Elementare Logik

[Skeltek]

Hi,

seit kurzem frage ich mich, was in der Mathematik oder Logig als "elementarer" Logikbaustein gilt.
Manchmal haben Menschen Probleme einem kleinen Kind zu erklären, weshalb 2*3 und 3*2 dasselbe Ergebniss haben, es versteht das einfach nicht, oder nimmt es irgendwann als Wahrheit hin.

So habe ich vor kurzem mir gedacht, ob (3a²b+3ab²) eine Kubikzahl c³ sein können, mit a,b,z N und a&b teilerfremd. Mir erschien es geometrisch intuitiv völlig logisch(dass es keine sein kann),
aber irgendwie musste ich mich mit jemandem darüber streiten ob das wirklich elementar ist und nicht weiter in kleinere logische Bausteine gesplittet werden kann...

Wir alle wissen, dass 1+1=2 ist oder z.B. ein Implikationszeichen nicht in elementarere Schritte heruntergebrochen werden kann. Ab hier ist Schluss, am unteren Ende der elementarsten Bausteine können wir nur noch hinnehmen und nicht implikativ herleiten.
Deshalb hier die Frage, ob ihr glaubt, dass es weitere "elementare" Axiome gibt, welche nicht auf dreiwertiger Verknüpfung beruhen, aber nicht weiter heruntergebrochen werden können.
Normalerweise baut man ja alles axiomatisch auf, indem man aus A&B=>C folgert (also drei Dinge verknüpft).
Gibt es komplexere Dinge, welche nicht weiter heruntergebrochen werden können, welche sich unserem Verstand einfach entziehen, weil sie in dieser Realität nicht möglich sind zu konstruieren oder sich vorzustellen?

[Analytiker]

Die Logik ist theoretisch sehr gut fundiert.

https://de.wikipedia.org/wiki/Logik

Es geht los mit der Aussagenlogik, wo es strukturlose Elementaraussagen gibt, denen ein Wahrheitswert zugeordnet wird.

https://de.wikipedia.org/wiki/Aussagenlogik

Weiter geht es mit der Prädikatenlogik, einer Erweiterung der Aussagenlogik.

https://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik

Die Prädikatenlogik erster Stufe lässt sich erweitern zu einer Prädikatenlogik zweiter Stufe, die wiederum sich auch erweitern lässt und so weiter.

Jede mehrwertige Logik kann zu einer zweiwertige Logik heruntergebrochen werden. Sachen in einer dreiwertigen Logik kann man in der Regel natürlich krüzer formulieren als in einer zweiwertigen Logik. Als Analogie mag gelten, dass man in beliebigen Stellenwertsystemen rechnen kann, aber im Zweiersystem, wenn man natürliche Stellenwertbasen zugrunde legt, auf lange Sicht die längsten Ausdrücke hat.

Sich mit der Logik auseinanderzusetzen kann faszinierend sein.

Aufmerksam betrachtend,

Analytiker

[Skeltek]

Es ist klar, dass aus einfachen Aussagen komplexere Aussagen über Relationen von ganzen konstruktiv hergeleiteten Systemen zusammengesetzt werden können.
(Ich bevorzuge z.B. auch eher die Mengen-theoretische Konstruktion der Definition der natürlichen Zahlen)
Die Frage ist nun die, ob es völlig intuitive Wahrheiten gibt, welche nicht aus elementareren Bausteinen zusammengesetzt werden können, da sie eine unendliche lange nicht-periodische (also nicht durch Induktion zeigbare) Beweiskette erfordern.
Und ob man dann überhaupt eine andere Wahl hätte als dieses als ein nicht weiter zerlegbares Grundaxiom zu akzeptieren...

[Analytiker]

Mit der Intuition kann man weit kommen, besonders in den empirischen Wissenschaften, siehe Einstein, ein begnadeter Physiker, aber kein Mathematik-Genie. In der Mathematik und auch natürlich in der Logik kann man alles auf die Mengenlehre zurückführen, es empfiehlt sich besonders in der Prädikatenlogik, die ziemlich sperrig ist. Es ist pragmatisch von atomaren Aussagen auszugehen, um ein Gedankengebäude aufzubauen. Man kann es sich natürlich kompliziert machen und erstmal etwas Komplexes voraussetzen.

Die Zahl pi ist nun mal nicht periodisch, aber man kann sie als Basis wählen, zumal sie für perfekte geometrische Symmetrie steht und obendrein in der Stochastik nicht unerheblich mitspielt.

Jedoch sollte man es sich nicht unnötig kompliziert machen und man geht von Elementaraussagen aus, auf die man ein Gedankengebäude hin aufbauen kann.

Eins sei hier festgehalten, die Logik und die Mathematik müssen nicht neu erfunden werden. In der Theorie ist man sehr weit fortgeschritten und es passt alles. Der Berechenbarkeit sind jedoch Grenzen gesetzt und es macht dann Sinn, sich mit sehr guten Näherungen zufrieden zu stellen.

In der Informatik und in der Mathematik wird nicht mehr viel Neues hinzukommen und wenn, dann wird irgendeine Vermutung bestätigt, derer es mehrere hundert Seiten Beweises bedarf, im Grunde genommen meist nur Detailfragen, ohne großen Bezug für den Gesamtzusammenhang.

Ärgerlich ist, dass in der Physik, einer empirischen Wissenschaft, die theoretische Lücke bezüglich der Quantengravitation noch ziemlich groß ist. Die Mathematik und die Logik kennen ihre Grenzen, siehe Gödel. Warum ist die Physik nicht in der Lage, die Lücke zwischen Relativitätstheorie und Quantenphysik zu schließen? Wahrscheinlich, weil man da mit Intuition nicht weiter kommt.

Fragend,

Analytiker

[Pippen]

z.B. ein Implikationszeichen nicht in elementarere Schritte heruntergebrochen werden kann.

Das ist mE genaugenommen falsch, wie die sog. konjunktiven und disjunktiven Normalformen zeigen. Irgendwo ist natürlich Schluss, wenn man halbwegs praktikabel bleiben will. Folgendes halte ich in diesem Sinne für elementar, d.h. alles ist darauf zurückführbar und keiner dieser Punkte ist hinwegdenkbar (wenn man nicht nur rumspielen will, sondern eine praktische Logik anstrebt, mit der man was "machen" kann):

1. p xor ~p
2. Aussagesymbole (Konstanten, Variablen)
3. modus ponens-Regel

Selbst die elementarste Logik muss diese 3 Punkte regeln. Der Rest ist dann idR ein Aufbauschen von 2., in dem immer komplexere Aussagensymbole erschaffen werden, und 3., in dem von mp immer neue Schlüsse abgeleitet werden. Was also für die Physik ihre 4 Grundkräfte sind für die Logik die o.g. drei Punkte.

[Analytiker]

A impliziert B ist in der Aussagenlogik nichts Anderes als nicht A oder B. In der Aussagenlogik kann man für alle aussagenlogischen Zusammenhänge sogar mit einem Operator auskommen, entweder mit dem NAND-Operator oder mit dem NOR-Operator. In den Normalformen werden die Negation, die Konjunktion und die Disjunktion verwendet, also drei Operatoren. Natürlich kann man auch mit nur zwei Operatoren arbeiten und alle aussagenlogischen Zusammenhänge erfassen, entweder mit der Negation und der Konjunktion oder der Negation und der Disjunktion.

https://de.wikipedia.org/wiki/Junktor

[Skeltek]

Es sollte nicht von der Klammerung abhängig sein, ob man die einbettende Relation als elementar betrachtet oder nicht.
Letztlich ist jede noch so komplizierte Klammerung eine Verkettung elementarer Operationen, welche sich in Äquivalente Aussagen umformen lassen.
Irgendwo in der Kette steht dann immer eine elementare Operation.