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Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P(B)

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Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P(B)

Beitrag von Pippen » 5. Aug 2015, 19:21

Eigentlich müßte man doch die Formel P(A & B) = P(A) * P(B) aus den Wahrscheinlichkeitsaxiomen herleiten können.

1. Ist das richtig?
2. Weiß jmd. wie das geht? Ich habe keine Ahnung, wie man aus dem 3. Axiom, d.h. P(A v B) = P(A) + P(B), wenn A & B = leere Menge, dazu kommen können soll.

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gradient
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Re: Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P

Beitrag von gradient » 5. Aug 2015, 20:57

Hallo Pippen,

ich nehme an, du wolltest berechnen?

Wenn ja, dann:

1. Nein, gilt nur bei stochastischer Unabhängigkeit der Ereignisse und . Ansonsten gilt .

2. Hat sich dann erübrigt...

MfG
Patrick

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Re: Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P

Beitrag von Pippen » 5. Aug 2015, 23:46

gradient hat geschrieben:Hallo Pippen,

1. Nein, gilt nur bei stochastischer Unabhängigkeit der Ereignisse und . Ansonsten gilt .
Aha, danke erstmal. Für mich stellt sich natürlich die Frage: Wie kommt man denn dann auf ohne Axiome? Geht das überhaupt, d.h. muss nicht jede stochastische Formel aus den Axiomen ableitbar sein? Oder gelten die Komlogorov-Axiome quasi nur im Kontext abhängiger Ereignisse und erfassen unabhängige Ereignisse gar nicht?

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Re: Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P

Beitrag von gradient » 6. Aug 2015, 10:37

Hallo Pippen,

ist keine "stochastische Formel" im eigentlichen Sinne, sondern ein Kriterium zur Entscheidung, ob zwei vorgegebene Ereignisse und stochastisch unabhängig sind. Davon, dass stochastisch unabhängige Ereignisse existieren (also nicht gegen die Axiome verstoßen), kann man sich leicht mit stochastischen Experimenten überzeugen.
Beispiel: Wir haben eine Kiste mit zwei Äpfeln und zwei Birnen. Ich ziehe mit Zurücklegen. A=Die erste Frucht, die ich ziehe, ist ein Apfel. B=Die zweite Frucht, die ich ziehe, ist eine Birne. Offensichtlich gilt .
Aus dem Ergebnisraum entspricht und es ist , womit und stochastisch unabhängig sind.
Wenn man ohne Zurücklegen zieht, sind A und B nicht länger stochastisch unabhängig und die Produktformel ist nicht mehr anwendbar.

Was ist eigentlich dein mathematischer Hintergrund? Du beschäftigst dich zwar mit mathematischen Fragestellungen, doch das kann man nur sinnvoll tun, wenn man sich gründlich damit auseinander setzt (sich also Definitionen anguckt, damit rumspielt, Theoreme und deren Beweise durcharbeitet usw.).

MfG
Patrick

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Re: Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P

Beitrag von Skeltek » 6. Aug 2015, 19:13

@Pippen:

[(A => B) => (P(A&B)=P(B)<=P(A))]

Der Beweis aber auf den du hinaus wolltest ist Mengen-theoretischer Art.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P

Beitrag von Pippen » 19. Aug 2015, 18:29

Man muss mE aus dem 3. Kolmogorov-Axiom herleiten können. Ein Ereignisraum sei: {AA, AB, BA, BB, leere Menge}. Wir suchen P(AB), d.h. genauer: . Es gilt dann aus dem 3. Axiom: 1 = P(AA) + P(AB) + P(BA) + P(BB) + 0. Wenn nun eine Wahrscheinlichkeitsgleichverteilung vorliegt, dann kann man die vorgenannte Addition vereinfacht als Multiplikation schreiben: 1 = 4 * P(AB) und das wäre 1/4 = P(AB). Jetzt kann man sich überlegen, dass man auf das gleiche Ergebnis kommt, wenn man gleich P(A) * P(B) nimmt. So reime ich mir das gegenwärtig zusammen. Das ist allerdings kein Beweis!

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Re: Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P

Beitrag von tomS » 19. Aug 2015, 20:45

Du wirst auch keinen Beweis finden, weil diese Formel nicht allgemeingültig ist! Siehe
gradient hat geschrieben:... gilt nur bei stochastischer Unabhängigkeit der Ereignisse ...
Gruß
Tom

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Re: Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P

Beitrag von Pippen » 20. Aug 2015, 01:22

tomS hat geschrieben:Du wirst auch keinen Beweis finden, weil diese Formel nicht allgemeingültig ist! Siehe
gradient hat geschrieben:... gilt nur bei stochastischer Unabhängigkeit der Ereignisse ...
Unmöglich. Ich verwette mein Leben, dass die Produktregel aus den drei K. Axiomen irgendwie ableitbar ist. Wieso vertrauen sonst die Mathematiker darauf? Weil sie meistens funktioniert? :shock:

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Re: Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P

Beitrag von tomS » 20. Aug 2015, 09:27

Warum liest du nicht, was wir schreiben?? Es funktioniert nicht immer und kann damit nicht alleine aus den Axiomen abgeleitet werden! Man benötigt die Zusatzannahme der stochastischen Unabhängigkeit der Ereignisse.


Nochmal ausführlich: gegeben sei ein Korb {A,B} mit zwei Früchten, einem Apfel A und einer Birne B. Wir ziehen hintereinander zwei Früchte aus dem Korb, ohne Zurücklegen der ersten Frucht. Für die erste Frucht erhalten wir die beiden Möglichkeiten A und B, jeweils mit Wahrscheinlichkeiten

P[down]1[/down](A) = P[down]1[/down](B) = 1/2

Für die zweite Frucht erhalten wir jeweils die verbleibenden Möglichkeiten B und A, wiederum mit den Wahrscheinlichkeiten

P[down]2[/down](A) = P[down]2[/down](B) = 1/2

Die Wahrscheinlichkeiten berechnen sich für das erste bzw. zweite Ziehen wie folgt: jeweils zwei Möglichkeiten, d.h. jeder einzelnen Möglichkeit kommt die Wahrscheinlichkeit 1/2 zu.


Wenn wir für die erste Frucht A erhalten haben, ist die Wahrscheinlichkeit für die zweite Frucht

P[down]2[/down](A|A) = 0
P[down]2[/down](B|A) = 1


B|A steht dabei für "Ziehen von B, unter der Voraussetzung, dass vorher A gezogen wurde".

Am besten zeichnest du dir das als Baum auf:

Code: Alles auswählen

 o
/ \
A  B
|  |
B  A

So, nun kommt der entscheidende Schritt: wir berechnen die Wahrscheinlichkeit

P("zuerst Apfel, dann wieder Apfel") = P(A[down]1[/down] ∧ A[down]2[/down])

Offensichtlich ist diese Wahrscheinlichkeit gleich Null, also

P(A[down]1[/down] ∧ A[down]2[/down]) = 0 ≠ P[down]1[/down](A) P[down]2[/down](A) = ¼

Deine Annahme, diese Produktformel müsse aus den Axiomen ableitbar sein, ist also ohne Zusatzannahme i.A. falsch!
Gruß
Tom

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Re: Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P

Beitrag von Pippen » 21. Aug 2015, 03:58

tomS hat geschrieben: Es funktioniert nicht immer und kann damit nicht alleine aus den Axiomen abgeleitet werden! Man benötigt die Zusatzannahme der stochastischen Unabhängigkeit der Ereignisse.
Ich meine natürlich: Die Produktregel iVm ihrer Zusatzannahme der Unabhängigkeit der Ereignisse muss sich aus den Kolmogorov-Axiomen beweisen lassen.

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Re: Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P

Beitrag von tomS » 21. Aug 2015, 08:07

Nach Wikipedia sind die Unabhängigkeit zweier Ereignisse sowie die bedingte Wahrscheinlichkeit Definitionen, d.h. nicht als Theoreme ableitbar.

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrschei ... reignissen

Ich würde zunächst mal mit bedingten Wahrscheinlichkeiten argumentieren. Es gilt:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

A und B sind unabhängig. Dann gilt

P(A|B) = P(A)

Durch Einsetzen und Umstellen folgt sofort

P(A) = P(A ∩ B) / P(B)

P(A) P(B) = P(A ∩ B)
Gruß
Tom

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Re: Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P

Beitrag von Pippen » 21. Aug 2015, 14:25

tomS hat geschrieben:Nach Wikipedia sind die Unabhängigkeit zweier Ereignisse sowie die bedingte Wahrscheinlichkeit Definitionen, d.h. nicht als Theoreme ableitbar.

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrschei ... reignissen

Ich würde zunächst mal mit bedingten Wahrscheinlichkeiten argumentieren. Es gilt:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

A und B sind unabhängig. Dann gilt

P(A|B) = P(A)

Durch Einsetzen und Umstellen folgt sofort

P(A) = P(A ∩ B) / P(B)

P(A) P(B) = P(A ∩ B)
Das verstehe ich alles, aber es fehlt die Herleitung des Großmarkierten aus den K-Axiomen. In wikipedia "Wahrscheinlichkeitstheorie" steht ein Beweis, nach dem es aus den Axiomen herleitbar ist, aber den verstehe ich nicht. Insbesondere verstehe ich nicht, wie man zu dem Bruch kommt, wo doch das 3. Axiom lediglich die disjunkten Wahrscheinlichkeiten addiert. Aber schön zu sehen, dass ich es zumindest nicht falsch verstanden habe und JEDE stochastische Formel (evtl. iVm diversen Definitionen und Annahmen) aus den Axiomen herleitbar sein muss.

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Re: Herleitung Wahrscheinlichkeitsformel P(A & B) = P(A) * P

Beitrag von tomS » 21. Aug 2015, 15:23

Der Nenner sorgt für die Normierung.

Das Wahrscheinlichkeitsmaß der Schnittmenge von A und B liefert die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als B eintreten, allerdings auf der gesamten, ursprünglichen Grundmenge. Gefragt ist nach der Wahscheinlichkeit von A, unter der Voraussetzung dass B vorliegt. D.h. man muss das Maß geeignet normieren, so dass das neue Maß nicht mehr auf der gesamten Grundmenge 1 ergibt, sondern auf der eingeschränkten Menge B.

Streng genommen liegt für P(A|B) also ein anderes Maß vor als für P(A) und P(B). Man trägt letztlich der Einschränkung des Wahrscheinlichkeitsraumes von der gesamten Grundmenge auf B Rechnung.

Anschaulich gesprochen ist es egal, wie B eingetreten ist, wichtig ist nur, dass es sicher eingetreten ist. Deswegen dividiert man durch P(B).

Das bedeutet jedoch wiederum, dass P(A|B) nicht aus den Axiomen ableitbar ist, da diese sich immer auf einen Wahrscheinlichkeitsraum beziehen, nicht auf zwei. Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird also nicht aus den Axiomen abgeleitet, sondern es wird lediglich bewiesen, dass wenn ein gültiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer Grundmenge vorliegt, d.h. wenn P(A), P(b), ... konsistent definiert sind, dass dann mittels P(A|B) ein neues Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer neuen Grundmenge B konsistent konstruiert wird.
Gruß
Tom

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