Ist {³2} eine Menge nach ZFC?

[Pippen]

³2 ist ein unsinniger Ausdruck. Trotzdem glaube ich, dass {³2} eine Menge mit dem Element ³2 wäre, weil diese Menge kein ZFC-Axiom verletzt. Was "macht" man, wenn man die Frage gestellt bekommt, ob X eine Menge nach ZFC ist? (Ich würde einfach prüfen, ob dieses X irgendein Axiom von ZFC verletzt und wenn nicht, dann ist es eine Menge iSv ZFC, zB wäre Russell's Menge keine Menge nach ZFC, weil es das Fundierungsaxiom verletzt)

[tomS]

Der Ausdruck ³2 ist undefiniert; was soll das sein?

[Pippen]

Der Ausdruck ³2 ist undefiniert; was soll das sein?

Das ist es ja: kann sowas - d.h. unsinnige/undefinierte Elemente - eine Menge nach ZFC bilden? Wenn ja, warum und wenn nein, warum nicht?

[Pippen]

Hier mal das Video, was mich darauf gebracht hat: https://www.youtube.com/watch?v=dyCRPT6iFBg (Der Typ ist übrigens Matheprof in Australien, also nicht irgendwer, der mal wieder ein YT-Video postet)

[tomS]

welche Zeit in dem Video ungefähr?

[Skeltek]

Professor zu sein bedeutet nicht zwangsläufig viel...
Ein Affe kann innerhalb von 1/5 Sekunde bis zu 20 Objekte zählen&merken und sie danach blind in der richtigen Reihenfolge anordnen. Ein Professor kann nicht einmal einen Affen beim zählen schlagen, obwohl es sich dabei um die schlicht elementarste aller mathematischen Operationen(Addieren) handelt.

Schriftzeichen und Symbole sind keine Mengen. Sie dienen nur der Kommunikation.
Man formuliert Inhalte für gewöhnlich in der Art von Gedanke->Worte->Schriftzeichen.
Wenn die Schriftzeichen schwachsinnig sind...

[Pippen]

Ich gehe davon aus, dass die ZFC-Mengenlehre Mengen bereits a priori annimmt und dann nur festlegt, wie diese Mengen sich zu anderen Mengen verhalten sollen, d.h. {Fred} oder {$S&} oder {:)} oder {³2} sind zB nach ZFC Mengen. Die Russellsche Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, ist keine ZFC-Menge, weil sie gegen ein bestimmtes Axiom verstößt. MaW: Die Frage, ob ein X eine Menge nach ZFC ist, muss beantwortet werden mit: Jedes X ist eine Menge, bei dem man beweisen kann, dass kein Widerspruch zu den ZFC-Axiomen auftreten kann.

Ist das so richtig? Der Prof in dem Video will ja gerade vom modernen set-theorist wissen, was eine Menge ist und ob zB o.g. Bsp. unter ZFC fallen. Und die Antwort sollte mE so ausfallen, wie die Antwort auf die Frage, was eine nat. Zahl sei: Alles, was nicht gegen Peano 1-5 verstößt ist eine nat. Zahl.

[Skeltek]

Alle Mengen, welche sich gleich verhalten sind äquivalent.
Wenn du z.B. eine Abbildung hast von R->R mit y=x², dann ist aus dieser Tatsache kein bisschen ersichtlich, wo auf der Skala x=1 oder y=1 ist.
Die Funktionskurve sieht ja schließlich überall gleich aus wenn man keine Ahnung von der Größenordnung bzw Einheit hat.

Mit Mengendefinitionen ist es vergleichbar; es geht prinzipiell um Mengen, welche die gleiche Arithmetik und dasselbe Verhalten an den Tag legen.
Die Namen der Elemente oder unsere Vorstellungen davon sind hierbei irrelevant.

Deine Bezeichnung ³2 hat ja soweit ich sehe rein gar nichts mit Zahlen oder Werten zu tun. Die Ähnlichkeit der Schriftzeichen scheint mir hier rein zufällig?

[tomS]

Ich gehe davon aus, dass die ZFC-Mengenlehre Mengen bereits a priori annimmt und dann nur festlegt, wie diese Mengen sich zu anderen Mengen verhalten sollen, d.h. {Fred} oder {$S&} oder {:)} oder {³2} sind zB nach ZFC Mengen.

Wenn du dir die Axiome anschaust, dann werden Mengen als solche gar nicht explizit eingeführt, lediglich Mengenoperationen.

Deine o.g. Beispiele sind einelementige Mengen von Symbolen ohne weitere Bedeutung.

IchDie Russellsche Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, ist keine ZFC-Menge, weil sie gegen ein bestimmtes Axiom verstößt.

Nicht ganz. Sie ist nicht konstruierbar auf Basis der Axiome.

[Pippen]

IchDie Russellsche Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, ist keine ZFC-Menge, weil sie gegen ein bestimmtes Axiom verstößt.

Nicht ganz. Sie ist nicht konstruierbar auf Basis der Axiome.

Hm...wir sind uns doch aber einig, dass ZFC kein Konstruktionsaxiomensystem ist, sondern lediglich ein Operationsaxiomensystem (ok, ich glaube die leere Menge und die Menge von leeren Mengen wird explizit eingeführt, aber sonst ist da eben nix). Das hieße für mich: Die Russellsche Menge ist "erstmal" eine Menge iSv ZFC, bei der man aber dann feststellt: Ups, das Fundierungsaxiom widerspricht der Russellschen Mengenbildung und genau dadurch fliegt sie dann als ZFC-Menge raus. MaW: Ob eine Menge eine ZFC-Menge ist kann man nur dadurch beweisen, dass man für alle Axiome beweist, dass diese Menge keinem Axiom von ZFC widerspricht.