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Banach-Tarski-Paradoxon

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Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von Job » 18. Jul 2015, 08:38

Hallo Tom,

Du hast vorgeschlagen, das Banach-Tarski-Paradoxon zu diskutieren. Darauf würde ich gerne zurückkommen. Was ist Deine Meinung zur Bedeutung dieses Ergebnisses im allgemeinen und in der Physik im besonderen?

Viele Grüße
Job
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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von tomS » 18. Jul 2015, 13:38

Nun, in der Mathematik bedeutet es zunächst, dass es Mengen gibt, die nicht messbar sind. Als nächstes bedeutet es, dass man messbare Mengen in unmessbar Teilmengen zerlegen und diese wieder zu neuen, messbaren Mengen mit anderem Maß zusammensetzen kann. D.h. das Maß ist nicht invariant unter dieser Zerlegungsaktion. Es gibt also mehr Mengen als messbare Mengen.

Physikalisch bedeutet es m.E. nichts.
Gruß
Tom

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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von Job » 19. Jul 2015, 09:27

Eine notwendige Bedingung für den Beweis des Satzes ist die Gültigkeit des Auswahlaxioms. Das Auswahlaxiom ist nicht ganz unumstritten, aber ohne das Auswahlaxiom können einige sehr tiefliegende Aussagen innerhalb der Mathematik nicht bewiesen werden. Darauf wollen die meisten Mathematiker nicht verzichten, so dass die große Mehrheit es wohl als solches anerkennt.

Auf der einen Seite ergeben sich bei Anwendung des Auswahlaxioms sehr wertvolle Erkenntnisse, auf der anderen Seite aber auch so irritierende Ergebnisse wie das von Banach-Tarski, das eine zwingende Konsequenz bei Gültigkeit des Auswahlaxioms ist.

Die Aussage von Banach-Tarski, dass man eine Kugel im dreidimensionalen (kontinuierlichen) Raum in endlich viele Teilmengen zerlegen kann, und aus diesen Teilmengen dann zwei Kugeln bilden kann, die der 1. exakt entsprechen, also insbesondere auch deren Volumen, widerspricht dabei zunächst jeglichem physikalischem Verständnis.

Daher wird heute soweit ich das sehe die Sache so interpretiert, dass es keinen direkten Einfluss auf unser Verständnis des Raumes hat, sondern es sich um eine der durchaus nicht seltenen mathematischen "Sonderheiten" handeln muss, die mit der Realität im Grunde nichts zu tun haben.

Nun fragen wir uns ja immer wieder (siehe Feynman als prominenten Vertreter), warum die Mathematik eigentlich so gut geeignet ist, die Natur zu beschreiben. Aus meiner Sicht kann es letztendlich nur daran liegen, dass die zentralen, grundlegenden Axiome, auf die die Mathematik aufbaut, auch die Grundprinzipien der Natur widerspiegeln. Während die einen Axiome uns dabei etwas über Kausalität und Beziehungen verraten können, könnte uns das Auswahlaxiom mit seinen Konsequenzen etwas über die Strukturen sagen.

Wenn wir also einmal den Spiess umdrehen, den Satz physikalisch ernst nehmen und davon ausgehen, dass es sich nicht einfach nur um eine Marotte handelt, sondern das Ergebnis der Nicht-Meßbarkeit bestimmter Teilmengen einen Hinweis auf grundlegende Eigenschaften der Natur widerspiegelt, stellt sich z.B. die Frage:

Was hätte dies für Konsequenzen auf das Verständnis des Raumes?

Eine erste Einsicht wäre dann vielleicht, dass der Raum nicht das Kontinuum sein kann, wie wir es heute betrachten und verwenden, da eine dann beliebig mögliche Teilung zu Paradoxien führen kann. Der Raum selbst müsste also so aufgebaut sein, dass solche beliebigen Teilungen nicht möglich sind, solche Teilmengen also nicht existieren können.

Nun gibt es ja bereits erste Ansätze in dieser Richtung in der Loop Quantengravitation. Hier ist der Raum selbst dynamisch und besteht aus diskreten Einheiten, die sich nicht mehr beliebig teilen lassen und daher solche Paradoxien nicht auftreten können. Dies ist aus meiner Sicht ein erster wichtiger Schritt in die richtige Richtung.

Allerdings glaube ich auch, dass dieser Ansatz noch zu einfach ist, um alle Fragen beantworten zu können. Einer der Gründe, warum ich das glaube ist, dass dieser Ansatz lokal endlich ist. Ich bin sicher, dass wir den Raum nur dann wirklich verstehen können, wenn wir uns in diesem Zusammenhang auch mit dem Thema Unendlichkeiten in geeigneter Weise auseinander setzen, das sich wie ein roter Faden durch die Mathematik zieht. Wenn wir auch hier die Mathematik wirklich ernst nehmen und davon ausgehen, dass dies nicht nur ein Gedankenexperiment ist, sondern irgendwie auch in der Natur Niederschlag findet, und dabei die Restriktionen und Konstruktionsprinzipien dieser Unendlichkeiten berücksichtigen, werden wir dem Wesen des Raumes vielleicht auf die Spur kommen.

Für mich ist also der Satz von Banach-Tarski nicht nur ein Paradoxon, das man erstaunt zur Kenntnis nimmt und danach wieder zum Tagesgeschäft übergeht, sondern ein Wink mit dem Zaunpfahl, dass unser heutiges Verständnis von Raum überdacht werden muss. Die LQG ist hierbei meiner Meinung nach auf der richtigen Spur. Sie kann aber nur dann Erfolg haben, wenn sie den heute lokal endlichen Ansatz noch einmal überdenkt und erweitert.

Viele Grüße
Job
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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von seeker » 20. Jul 2015, 10:41

Job hat geschrieben:Die Aussage von Banach-Tarski, dass man eine Kugel im dreidimensionalen (kontinuierlichen) Raum in endlich viele Teilmengen zerlegen kann, und aus diesen Teilmengen dann zwei Kugeln bilden kann, die der 1. exakt entsprechen, also insbesondere auch deren Volumen, widerspricht dabei zunächst jeglichem physikalischem Verständnis.
So lange man es mit Materie (z.B. eine Kugel aus Materie) zu tun hat, ja. Aber die besteht ja stets aus endlich vielen Teilchen (Atomen), womit Banach-Tarski nicht anwendbar ist.

Ich bin mir allerdings noch nicht sicher, ob das beim leeren Raum, beim Vakuum auch als so unphysikalisch gewertet werden muss, denn wir leben ja schließlich in einem Universum, das expandiert, das genauso auch kontrahieren könnte, ohne dass wir darin, an der wundersamen Zunahme des Raums eine Paradoxie sehen.
Könnte daher diese Geschichte nicht auch genau umgekehrt sehr, sehr gut mit unserem physikalischem Verständnis konform gehen und uns eher darin bestärken, dass die Anschauung des Raum als Kontinuum der richtige Weg ist?

Grüße
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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von tomS » 20. Jul 2015, 13:59

Ich denke nicht, dass das Banach-Tarski-Paradoxon reale / physikalische Konsequenzen hat

Zum ersten gehe ich davon aus, dass die Struktur der "realen Raumzeit" nicht die einer 4-dim. Mannigfaltigkeit ist, für die das Paradoxon möglich wäre, sondern dass bereits in der ART weitere Forderungen hinzugenommen werden müssen (z.B. Differenzierbarkeit / Glattheit, Diffeomorphismeninvarianz), die das Paradoxon ausschließen; insbs. wenn dahinter ein physikalischer Prozess zu verstehen ware.

Zum zweiten gehe ich davon aus, dass eine Theorie der Quantengravitation zu weiteren Modifizierungen führt, oder gar zu einer völlig anderen Struktur als einer Mannigfaltigkeit
(z.B. ist bis heute nicht mathematisch gesichert, dass die Navier-Stokes-Gleichungen für die Hydrodynamik konsistent lösbar sind; aber das ist auch nicht sooooo schlimm, denn auf atomarer Ebene gelten sie sowieso nicht mehr; sie sind also nur eine effektive Näherung für makroskopische Skalen). Siehe z.B. LQG, CDT, ...
Gruß
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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von Marcel » 20. Jul 2015, 16:27

@Job
Es ist ein interessanter Gedanke, dass der Raum solche Muster hervorbringen kann, doch das allgegenwärtige Problem ist, die Differenzierbarkeit zwischen Realität und (mathematischer) Fiktion. Stell dir mal vor; es gilt die Proportionalität zwischen Masse und Volumen (m~V). Und weiterhin auch die Proportionalität zwischen Energie und Masse (E~m). Dann würde ein solcher Vorgang dem Energie Erhaltungssatz widersprechen. Damit würden viele funktionierenden Prinzipien und Beobachtungen außer kraft gesetzt werden. Also, würde das an der Erfahrung scheitern wie wir ja sagen würden :)
Anders sieht es aber schon aus, wenn wir uns einen nicht Masse behafteten Körper Vorstellen, welcher Kugelförmig ist. Was auch immer das sein soll, lassen wir jetzt mal so stehen. Dann würde es prinzipiell möglich sein, da es ja egal ist ob 0 kg auf 1m³ oder auf 1000m³ verteilt ist. Also müssen wir an dieser Stelle von Nullmassekörpern ausgehen. Oder, wie du schon richtig erkannt hast, von einem leeren Raum. Jetzt bin ich der Ansicht, dass ein Raum ohne irgendwas kein Raum ist. Und auch da würde es dann in ein widerspruch laufen, da ich mit nichts natürlich alles machen kann und am ende kommt nichts wieder raus.
Meine Idee zur Lösung des Problemes: Das Paradoxon, so wie es mathematisch erscheint, ist nicht an die Physik gebunden. Also muss entweder die Mathematik in sich etwas haben, was über unser begreifbares Universum hinausgeht (Achtung Spekulation: Multiversum etc.), oder aber wir haben in einem Grundlegenden Aspekt der Mathematik etwas noch falsch verstanden, dass es ab und zu zu fehl Ableitungen kommt. Mein Mathematisches Verständnis reicht leider noch(!) nicht aus, damit ich das sicher beweisen kann. Ist also nur eine Leihen hafte Schlussfolgerung darum mit Vorsicht zu genießen und Kritik offen ;)
Mit freundlichen Grüßen
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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von Skeltek » 21. Jul 2015, 18:31

Die zwei entstehenden Kugeln haben nicht jeweils das gleiche Volumen wie die Anfangskugel. Der Sinn des ganzen war ja gerade zu zeigen, dass ein Volumenbegriff unsinnig ist.
Die Definition von "Volumen" selbst wird hier auf die Probe gestellt.
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  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von Marcel » 21. Jul 2015, 20:08

Okay ich hatte das:
Danach kann man eine Kugel in drei oder mehr Dimensionen derart zerlegen, dass sich ihre Teile wieder zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen lassen, von denen jede denselben Durchmesser hat wie die ursprüngliche.
(https://de.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski-Paradoxon)

so verstanden, dass der Durchmesser der Kugel dann der selbe ist. Und nach meinem Kenntnisstand gilt weiterhin für das Volumen einer Kugel: mit

also eine Proportionalität zu d
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von breaker » 21. Jul 2015, 20:21

Skeltek hat geschrieben:Die zwei entstehenden Kugeln haben nicht jeweils das gleiche Volumen wie die Anfangskugel. Der Sinn des ganzen war ja gerade zu zeigen, dass ein Volumenbegriff unsinnig ist.
Die Definition von "Volumen" selbst wird hier auf die Probe gestellt.
https://www.youtube.com/watch?v=FHRs1cNZkxY

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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von tomS » 21. Jul 2015, 22:47

Skeltek hat geschrieben:Die zwei entstehenden Kugeln haben nicht jeweils das gleiche Volumen wie die Anfangskugel. Der Sinn des ganzen war ja gerade zu zeigen, dass ein Volumenbegriff unsinnig ist.
Die Definition von "Volumen" selbst wird hier auf die Probe gestellt.
Doch, die beiden Kugeln haben das selbe Volumen!

Man zerlegt eine Kugel B in mehrere disjunkte Teilmengen T1, T2, ... Anschließend fügt man einige Teilmengen T1, T2, ... Tn zu einer Kugel B1 sowie die restlichen Teilmengen Tn+1, Tn+2, ... T2n zu einer zweiten Kugel B2 zusammen. Alle drei Kugeln sind Kugeln im topologischen Sinne, sie sind paarweise homöomorph, sie haben definiertes, identisches Volumen. Insofern gilt, dass V(B1) + V(B2) = 2 * V(B).

Lediglich den Mengen Ti kann man kein Volumen zuordnen.
Gruß
Tom

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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von Job » 22. Jul 2015, 09:01

Seeker hat geschrieben:
Könnte daher diese Geschichte nicht auch genau umgekehrt sehr, sehr gut mit unserem physikalischem Verständnis konform gehen und uns eher darin bestärken, dass die Anschauung des Raum als Kontinuum der richtige Weg ist?
Ich glaube wichtig ist erstmal, wie man den Raum an sich auffasst. Ist er eher eine Bühne, auf der sich etwas abspielt (Hintergrundabhängigkeit) oder ist die Bühne sozusagen selbst dynamisch (Hintergrundunabhängigkeit). Die ART ist Hu, QM und Stringtheorie sind wohl Ha. Ich glaube an Hu, was auch die LQG als Ansatz hat. Ein wesentliches Argument dafür sind alle zentralen Theorien der Physik (Maxwell, QM, ART), die alle nicht mit einem leeren Raum auskommen, sondern dem Vakuum unterschiedliche Eigenschaften zuweisen, ohne die diese Theorien nicht funktionieren.

Die Frage wäre dann, wie diese dynamische Struktur beschaffen ist. Banach-Tarski legt dann aus meiner Sicht nahe, dass diese Struktur nicht das Kontinuum selbst sein kann. Es wäre aber dabei durchaus nicht ausgeschlossen, dass sich ein Kontinuum dann als Grenzwert dieser Struktur (wäre dann eine Aktual Unendlichkeit oder evtl. auch eine Art Emergenz) dann doch daraus ergeben könnte, so ähnlich wie der Umstand, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen.

Mit der Annäherung an das Kontinuum der ART hat die LQG heute wohl noch Probleme. Diese wird sie meiner Meinung nach auch nicht lösen können, solange ihr Ansatz lokal endlich bleibt. Ähnliches gilt für die Zeit, denn eine weitere spannende Frage wäre dann sicher auch, ob sich das Wesen der Zeit nicht direkt aus diesen (zwingend dynamischen) Strukturen ableiten lässt. Die LGQ hat in dieser Hinsicht ja auch schon einige erste Ansätze.
tomS hat geschrieben:
Zum ersten gehe ich davon aus, dass die Struktur der "realen Raumzeit" nicht die einer 4-dim. Mannigfaltigkeit ist, für die das Paradoxon möglich wäre, sondern dass bereits in der ART weitere Forderungen hinzugenommen werden müssen (z.B. Differenzierbarkeit / Glattheit, Diffeomorphismeninvarianz), die das Paradoxon ausschließen; insbs. wenn dahinter ein physikalischer Prozess zu verstehen ware.
Bedeutet das nicht, dass das Paradoxon doch eine physikalische Bedeutung hat, eben weil es nahelegt, die bestehenden Ansätze zu modifizieren?
tomS hat geschrieben: Zum zweiten gehe ich davon aus, dass eine Theorie der Quantengravitation zu weiteren Modifizierungen führt, oder gar zu einer völlig anderen Struktur als einer Mannigfaltigkeit.
Das ist interessant. Kannst Du dazu Näheres sagen?
Marcel hat geschrieben:
Es ist ein interessanter Gedanke, dass der Raum solche Muster hervorbringen kann, doch das allgegenwärtige Problem ist, die Differenzierbarkeit zwischen Realität und (mathematischer) Fiktion. Stell dir mal vor; es gilt die Proportionalität zwischen Masse und Volumen (m~V). Und weiterhin auch die Proportionalität zwischen Energie und Masse (E~m). Dann würde ein solcher Vorgang dem Energie Erhaltungssatz widersprechen.
Dass Masse und Volumen proportional sind, würden die Physiker unter uns heute wohl nicht unbedingt bestätigen, oder? Ich würde Dir da aber zustimmen, nach dem Motto: Masse ist verdrängter Raum.

Die Aussage des Satzes von Banach-Tarski bezieht sich nicht auf Kugeln, die aus Atomen bestehen, wie Seeker bereits beschrieben hat und hat in dieser Hinsicht auch keine Auswirkungen auf die Physik. Die Aussage ist eher, dass ich im dreidimensionalen kontinuierlichen Raum keine konsistente Volumenbestimmung machen kann (es gibt kein Maß (noch nicht mal einen Inhalt), das allen Teilmengen ein sinnvolles Volumen zuordnen kann), ohne auf Paradoxien zu stossen. Das wurde 20 Jahre vorher schon für Teilaspekte von Vitali bewiesen. Dies ist eine zentrale, sehr tiefgründige Erkenntnis, auf der wesentlich die Axiomatisierung der Maßtheorie und damit auch der Wahrscheinlichkeitstheorie beruht. Nun kann man das zum einen als ein rein mathematisches Problem betrachten. Man kann es aber auch ernster nehmen. Ich schliesse daraus, dass die Struktur des Raumes per se nicht kontinuierlich sein kann. Man könnte also in diesem Fall nicht sagen, dass es die Physik nicht tangiert, denn die Vorstellung vom Raum ist sicher einer der zentralen Ankerpunkte innerhalb der Physik.
Marcel hat geschrieben: Also muss entweder die Mathematik in sich etwas haben, was über unser begreifbares Universum hinausgeht (Achtung Spekulation: Multiversum etc.), oder aber wir haben in einem Grundlegenden Aspekt der Mathematik etwas noch falsch verstanden, dass es ab und zu zu fehl Ableitungen kommt. Mein Mathematisches Verständnis reicht leider noch(!) nicht aus, damit ich das sicher beweisen kann. Ist also nur eine Leihen hafte Schlussfolgerung darum mit Vorsicht zu genießen und Kritik offen
Die Antwort auf diese (gar nicht laienhafte) Frage ist offen. Es ist heute eine Frage des Glaubens, in welche Richtung man tendiert. Ich tendiere zu der ersten Variante und aus meiner Sicht spielen hier die Unendlichkeiten und in diesem Zusammenhang das Auswahlaxiom eine zentrale Rolle. Die Frage nach Multiversen können wir dabei zunächst ausklammern.

Viele Grüße
Job
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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von Marcel » 22. Jul 2015, 09:42

Dass Masse und Volumen proportional sind, würden die Physiker unter uns heute wohl nicht unbedingt bestätigen, oder?
In wiefern kann man das nicht bestätigen? Ich glaube da übersehe ich gerade etwas Fundermentales, oder?
Es ist heute eine Frage des Glaubens, in welche Richtung man tendiert.
Mit glauben kann man nur nicht so gut arbeiten, weil es doch sehr subjektiv ist. :D
Das ding ist, das es schon logisch erscheint das die Mathematik "mehr weiß als wir".
Grade wenn man bedenkt wie wenig wir eigentlich verstehen.
aus meiner Sicht spielen hier die Unendlichkeiten [...] eine zentrale Rolle.
Finde ich schwer, es ist ja nicht so, dass wir Unendlichkeiten nicht verstehen. Nur ist die Grunddefinition von dieser verschieden in zwei Varianten eingeteilt. Und beobachtbar war bisher ja nichts was auf Unendlichkeiten in irgendeiner Hinsicht schließen lässt.
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von tomS » 22. Jul 2015, 10:21

TomS hat geschrieben:Zum ersten gehe ich davon aus, dass die Struktur der "realen Raumzeit" nicht die einer 4-dim. Mannigfaltigkeit ist, für die das Paradoxon möglich wäre, sondern dass bereits in der ART weitere Forderungen hinzugenommen werden müssen (z.B. Differenzierbarkeit / Glattheit, Diffeomorphismeninvarianz), die das Paradoxon ausschließen; insbs. wenn dahinter ein physikalischer Prozess zu verstehen ware.
Job hat geschrieben:Bedeutet das nicht, dass das Paradoxon doch eine physikalische Bedeutung hat, eben weil es nahelegt, die bestehenden Ansätze zu modifizieren?
Nein, denn damit das Paradoxon wirksam werden könnte, müsste ja ein Prozess der Verdoppeltung auch tatsächlich stattfinden. Dieser Prozess verletzt jedoch die
Differenzierbarkeit / Glattheit, Diffeomorphismeninvarianz der Theorie. Diese sind integraler Bestandteil der ART und kommen nicht zusätzlich hinzu.

Meine Formulierung war da sehr missverständlich
Gruß
Tom

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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von tomS » 22. Jul 2015, 10:23

Marcel hat geschrieben:
Dass Masse und Volumen proportional sind, würden die Physiker unter uns heute wohl nicht unbedingt bestätigen, oder?
In wiefern kann man das nicht bestätigen? Ich glaube da übersehe ich gerade etwas Fundermentales, oder?
Masse innerhalb eines Volumens ist das Integral über die Massendichte innerhalb dieses Volumens. Daraus folgt keine Proportionalität.
Gruß
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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von Skeltek » 22. Jul 2015, 12:59

tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Die zwei entstehenden Kugeln haben nicht jeweils das gleiche Volumen wie die Anfangskugel. Der Sinn des ganzen war ja gerade zu zeigen, dass ein Volumenbegriff unsinnig ist.
Die Definition von "Volumen" selbst wird hier auf die Probe gestellt.
Doch, die beiden Kugeln haben das selbe Volumen!
Wikipedia hat geschrieben: Das Banach-Tarski-Paradoxon oder auch Satz von Banach und Tarski ist eine Aussage der Mathematik, die demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern lässt.
Nein, das Ganze zeigt, dass der Volumenbegriff bei bestimmten Mengen unsinnig ist.
Das Volumen wurde nicht verdoppelt, da die Anwendung des Volumenbegriffes nicht für alle Punktmengen gilt.
Die verwendeten Mengen beim BSP gehören hier dazu.
Das Paradoxon ist als Widerspruchsbeweis zuverstehen und nicht als Bestätigung der Ergebnisse unter falscher Verwendung bei unsinnigen Voraussetzungen.

Der Volumbegriff ist nur für messbare Mengen anwendbar!
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  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von tomS » 22. Jul 2015, 14:58

@Skeltek: man hat zu Beginn eine messbare Kugel B; man hat zum Schluss zwei messbare Kugeln B1 und B2. Das Volumen hat sich verdoppelt (im Zwischenschritt werden nicht messbaren Mengen verwendet - richtig)
nach Wikipedia hat geschrieben:Der Satz von Banach und Tarski ... demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern lässt. Demnach kann man eine Kugel in drei oder mehr Dimensionen derart zerlegen, dass sich ihre Teile wieder zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen lassen, von denen jede denselben Durchmesser hat wie die ursprüngliche
That's it.
Gruß
Tom

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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von Job » 25. Jul 2015, 10:31

Marcel hat geschrieben: Mit glauben kann man nur nicht so gut arbeiten, weil es doch sehr subjektiv ist. :D
Nun, leider bleibt uns gar nichts anderes übrig. Die gesamte Mathematik und auch die Physik beruht im Grunde auf Glauben, denn die Axiome, Annahmen und Postulate, auf denen sie basieren sind halt Annahmen, die "richtig" sein können oder auch nicht. Die einzigen Indizien, die wir haben, sind die Vorhersagen und Erfolge der Schlussfolgerungen aus diesen Annahmen. Und so gesehen ist die Wahrscheinlichkeit sowohl in der Mathematik als auch in der Physik (z.B. QM, ART) sehr hoch, dass sie zumindest nicht so schlecht sind und schon viel mit der "Wahrheit" (darüber möchte ich mich nicht weiter auslassen) zu tun haben. Aber sicher können wir da nie sein und werden es wohl auch nie sein können. Harald Lesch hat einmal gesagt: "Wir irren uns empor" und das trifft es glaube ich ganz gut. Das Niveau, das wir heute dabei erreicht haben, ist allerdings schon sehr beachtlich. Daher wird es auch (verständlicherweise) immer schwieriger, den Glauben an das bisher Erreichte in dem einen oder anderen Fall zu erschüttern. Es besteht aber dabei auch die Gefahr, dass der Glaube zum Dogma wird. So Aussagen wie "Wir wissen heute, ...". "Es ist völlig unstrittig, ...", "xyz ist die einzige Theorie, die" ... usw. sollte man daher immer mit etwas Vorsicht geniessen. Insbesondere viele Aussagen der Kategorie "Wir wissen heute, dass ...", die man ständig hört, suggerieren, dass es sich um unumstößliche Wahrheiten handelt. Das einzige, was man statt dessen wirklich sagen kann, ist "Wir glauben heute zu wissen, dass...". Trotz allem oder gerade deswegen ist der Glaube an etwas sicher notwendig, denn sonst bekommt man keinen Fokus und ertrinkt in der Fülle der Möglichkeiten. Man muss sich nur bewusst sein, dass der Glaube sich auch als fehlerhaft herausstellen kann.
Marcel hat geschrieben:..., es ist ja nicht so, dass wir Unendlichkeiten nicht verstehen.
Da bin ich anderer Meinung. Zum einen haben wir sie auch in der Mathematik noch nicht wirklich vollständig verstanden. Ich bin mir z.B. nicht sicher, ob irgend jemand die Bedeutung des Auswahlaxioms bereits wirklich verstanden hat (wenn es denn überhaupt in dieser sehr allgemeinen Form zutrifft) und da zähle ich mich insbesondere natürlich auch dazu. Noch weniger kennen wir die Bedeutung der Unendlichkeit in der Physik. Auf der einen Seite sehen wir sie eher als etwas Negatives, weil Unphysikalisches an. Das ist sehr verständlich, weil die Welt, die wir kennen, in jeder Hinsicht endlich ist, wie Du ja auch schon angeführt hast. Es gibt nur endlich viele Atome und Photonen in dem uns zugänglichen Universum und wir können daher auch nur Messungen mit Messgeräten machen bzw. Rechnungen auf Computern durchführen, die selbst wieder endlich sind. Mit unseren Mitteln können wir Unendlichkeiten schlicht nicht darstellen oder messen. Es gibt sie auf unserer Ebene praktisch nicht. Auf der anderen Seite haben viele Theorien Unendlichkeiten indirekt im Bauch z.B. in Form der kontinuierlichen Räume, mit denen sie arbeiten. Die sind in ihrer Struktur unendlich. Das Wesen des Raumes und der Zeit haben wir aber bis heute nicht verstanden. Ob diese kontinuierlichen Räume nur eine Näherung von eigentlich (unendlichen?) diskreten Strukturen sind oder nicht, ist offen. Ähnliches gilt für die Zeit.
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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von Skeltek » 25. Jul 2015, 13:00

@tomS: Du hast ja Recht damit.
Ich meinte nur, dass die Anwendung der Volumendetermination bei Kugel 1 und Kugeln 2&3 nicht dieselben sind. Die Punkte sind ja völlig anders angeordnet.
Das ist ähnlich als würde man unendliche Summen umordnen; je nach Summationsreihenfolge ist auch dort unter Umständen die Summe eine andere.
Man hat hier sozusagen die Ordnung über den Punktmengen völlig umgestaltet.
Ein Voumen ist nunmal nicht einfach die Summe der darin enthaltenen Punkte.
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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von Marcel » 25. Jul 2015, 15:31

Was ich noch nicht verstanden habe ist, woher kommen diese unmeßbaren Mengen? Und was soll das eigentlich sein eine unmeßbare Menge? Eine normale Menge, kann man sich ja gut vorstellen ein Beutel mit Inhalt ;) Aber was ist denn Ein Beutel mit nicht Meßbaren Inhalt? :D
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von Job » 25. Jul 2015, 18:48

Marcel hat geschrieben:Was ich noch nicht verstanden habe ist, woher kommen diese unmeßbaren Mengen? Und was soll das eigentlich sein eine unmeßbare Menge? Eine normale Menge, kann man sich ja gut vorstellen ein Beutel mit Inhalt ;) Aber was ist denn Ein Beutel mit nicht Meßbaren Inhalt? :D
Hallo Marcel,

schau Dir mal den Wikipedia Beitrag zum Thema "Maßproblem" an. Dort bekommst Du einen guten Eindruck von der Problematik. Die Maßtheorie versucht, die intuitiven räumlichen Begriffe wie Länge, Fläche und Volumen, zu verallgemeinern und auf möglichst viele mitunter sehr abstrakte Räume oder Mengen zu übertragen. Dabei hat man festgestellt, dass es hier gewisse Grenzen gibt, das Problem also nicht allgemein lösbar ist.

Viele Grüße
Job
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tomS
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Re: Banach-Tarski-Paradoxon

Beitrag von tomS » 26. Jul 2015, 07:36

Marcel hat geschrieben:Was ich noch nicht verstanden habe ist, woher kommen diese unmeßbaren Mengen? Und was soll das eigentlich sein eine unmeßbare Menge? Eine normale Menge, kann man sich ja gut vorstellen ein Beutel mit Inhalt ;) Aber was ist denn Ein Beutel mit nicht Meßbaren Inhalt? :D
Es geht darum, dass man eine "normale" Menge wie eine Strecke, eine Fläche, einen Körper maßtheoretisch behandeln kann; dieses Maß ist dann entsprechend eine Länge, ein Flächeninhalt, ein Volumen. Im hier diskutierten Fall kommen Mengen vor, denen man kein Maß zuordnen kann.

Ich mach mal ein anderes Beispiel, um zu zeigen, dass Abbildungen zwischen verschiedenen Mengen nicht maßerhaltend sein müssen.

Gegeben sei die Strecke [0,1[ mit Zahlen z in [0,1[ und ihrer Dezimal- bzw. Zifferndarstellung z = 0.abcde...

Nun ordnen wir allen z in [0,1[ ein Tupel (x,y): x = 0.ace...; y = 0.bdf...

Damit bilden wir die Strecke [0,1[ bijektiv, d.h. eineindeutig auf das Quadrat [0,1[ * [0,1[ ab. D.h. wir starten mit einer Strecke mit Flächeninhalt Null, und erhalten ein Quadrat der Fläche 1.

Bein Banach-Tarski-Paradoxon liegt ein etwas anderer Fall vor, jedoch geht es ebenfalls darum, das aus einer Menge B eine neue Menge B1 + B2 erzeugt wird, wobei das Maß (das Volumen) nicht erhalten ist.
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

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