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Überlagerung gleichverteilter Flächen

Mathematische Fragestellungen
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positronium
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Überlagerung gleichverteilter Flächen

Beitrag von positronium » 11. Jul 2015, 17:24

Hallo allerseits,

ich habe schon vieles ausprobiert, komme aber zu keinem brauchbaren Ergebnis... Mein Problem: Es gibt eine Funktion f[Delta,theta,phi], welche je nach Kugelkoordinaten theta und phi die Werte -1, 0 oder 1 zurück gibt. Wenn man das plottet, dann sieht das so aus (Achtung, hier ist die grosse Fläche die 0, um das veranschaulichen zu können.)
plot1.gif
plot1.gif (20.78 KiB) 2694 mal betrachtet
Der Parameter Delta gibt die Winkel der nach innen und nach aussen versetzten Teile ("Mandarinenscheitel") an.

Die Funktion f wird in alle 3 Raumrichtungen gedreht, so dass Gleichverteilung herrscht, und sehr oft, nicht unendlich oft aufaddiert (ca. 10^23 mal). Man sieht, dass das oben symmetrisch ist; deshalb kann ich nicht unendlich viele f integrieren, weil dann natürlich 0 heraus käme. Ich kann aber auch nicht diese grosse Zahl Funktionen aufsummieren, auch weil die Gleichverteilung über die Kugelfläche unbekannt ist.
Die genaue Funktion F=sum f[Delta,theta,phi] brauche ich aber gar nicht. Gesucht ist, wie sich

in Abhängigkeit von Delta verhält.
Bastellösungen und Überlegungen lassen mich vermuten: k * Delta - l * Delta². Weil Delta sehr klein ist (maximal wohl 10^-11, in der Regel vermutlich so 10^-25) könnte ich vielleicht näherungsweise von einer Delta-Abhängigkeit ausgehen, aber gleichzeitig dürfte l quadratisch zu k sein...

Jetzt habe ich mir gedacht, eine iterative Funktion zu basteln, welche die Überlagerung der Flächen aufsummiert, und mir dann die Iteration automatisch heraus rechnen zu lassen, macht Mathematica aber nicht. Das sieht so aus:
Startparameter: {1, 0} D.h. Die Fläche der Grösse 1 (also, normiert) hat zu Anfang den Wert 0.
Dann wird im ersten Schritt diese Fläche bzw. in weiteren Schritten alle Flächen zerteilt, mit {Delta/2pi -> +1, (2pi-2Delta)/2pi -> +0, Delta/2pi -> -1). D.h. aus der einen Fläche {1, 0} werden drei Flächen
{Delta/2pi, 1}
{(2pi-2Delta)/2pi, 0}
{Delta/2pi, -1}
Diese Flächen werden wieder unterteilt usw.. Aber wie geschrieben: leider bekomme ich dafür keine Funktion (die nach wenigen Iterationen wie eine Normalverteilung aussieht), aus der ich die Delta-Abhängigkeit heraus lesen könnte.

Habt Ihr eine Idee, wie ich das Problem lösen kann?

Hoffentlich habe ich Euch mit dem langen Text nicht gequält! :oops:

Gruss und Danke

positronium

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tomS
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Re: Überlagerung gleichverteilter Flächen

Beitrag von tomS » 11. Jul 2015, 18:48

Ich verstehe nicht, worauf du hinauswillst. Was ist dein eigtl. Problemstellung?

Und warum glaubst du, dass die Gleichverteilung über der Kugeloberfläche unbekannt sei? Es ist halt einfach p = 1/A mit der Kugeloberfläche A.

Oder meinst du, du hast ein Problem damit, diese konkret mittels Zufallszahlen zu erzeugen? Dazu gibt es eine einfache, wenn auch m.E. nicht sehr effiziente Methode. Du würfelst Zufallsvektoren gleichverteilt im Einheitswürfel. Dann verwirfst du alle außerhalb der Einheitskugel. Die verbleibenden normierst du jeweils auf Eins.
Gruß
Tom

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Re: Überlagerung gleichverteilter Flächen

Beitrag von positronium » 11. Jul 2015, 19:37

tomS hat geschrieben:Ich verstehe nicht, worauf du hinauswillst. Was ist dein eigtl. Problemstellung?
Das im Detail zu erklären ist leider recht umfangreich. Grob gesagt geht es darum, dass ich eine endliche Zahl Vektorfelder habe, deren jeweilige Vektoren sich wellenartig drehen (bei jedem Feld um eine eigene Achse; jede Achse zeigt in eine eigene Raumrichtung). Schaut man von vorne auf einen Vektor hat man positive Ladung, von hinten negative. Wenn zwei gegenläufige Vektoren an einem Punkt liegen, "neutralisieren" sie sich - eigentlich bedeutet das, dass an dem Punkt im Feld keine Kraft "austritt".
Es kommt je nach Vektorrichtung zu einem kleinen Versatz im Feld, also, etwa in der Form "Vektorfeld[down]n[/down](x)=Vektor an x+deltax(n,x)", und damit zu einer Winkeldifferenz und Kraftaustritt. Diese Winkeldifferenz ist das Delta im obigen Text. Ich möchte also wissen, wie stark der Kraftaustritt (obige Latex-Formel) an einem Ort in Abhängigkeit von Delta ist.
tomS hat geschrieben:Und warum glaubst du, dass die Gleichverteilung über der Kugeloberfläche unbekannt sei? Es ist halt einfach p = 1/A mit der Kugeloberfläche A.
Das wäre eine kontinuierliche Verteilung. Es geht ja aber um eine endliche Zahl Flächen auf der Kugeloberfläche.
tomS hat geschrieben:Oder meinst du, du hast ein Problem damit, diese konkret mittels Zufallszahlen zu erzeugen? Dazu gibt es eine einfache, wenn auch m.E. nicht sehr effiziente Methode. Du würfelst Zufallsvektoren gleichverteilt im Einheitswürfel. Dann verwirfst du alle außerhalb der Einheitskugel. Die verbleibenden normierst du jeweils auf Eins.
Mit Zufallszahlen habe ich es versucht, aber die Rechengeschwindigkeit geht mit steigender Zahl Vektoren ganz schnell in die Knie. Es sind ja Summen über Funktionen zweifach zu integrieren. Symbolisch geht gar nichts, und numerisch muss ich sowieso Näherungen verwenden, weil die Funktionen ja nicht stetig sind.

Übrigens gibt es für Zufallszahlen auf einer Kugeloberfläche eine schönere Lösung: Man erzeugt Zufallszahlen zwischen 0 und 2pi für phi und -1 und 1 für cos(theta). Dann muss man nur noch cos(theta) durch arccos(cos(theta)) ersetzen.

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