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x/unendlich

Mathematische Fragestellungen
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x/unendlich

Beitrag von Pippen » 4. Jul 2015, 01:21

Für mich gilt: undefiniert, für seeker: 0. Was gilt nun (und noch wichtiger: warum)?

p.s. seeker würde ich folgendes vorwerfen: x/unendlch = 0 -> 0 * unendlich = x und das geht nicht. Auch noch wichtig: x/unendlich kann nicht einfach als Folge betrachtet werden, weil "unendlich" hier als Quasi-Zahl verwendet wird.

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Re: x/unendlich

Beitrag von Marcel » 4. Jul 2015, 08:14

Die Überlegung erschließt sich mir nicht. I
ch sehe es als grundlegend Falsch an unendlich als eine fixe Zahl zu halten. Und das aus einem ganz einfachen Grund:
Man müsse diese Zahl aus der Natur ableiten können.
Bsp: Natürliche Zahlen sind überall zu finden: Finger, Bäume. aus diesen lassen sich dann ja die Reelen ableiten usw. A
ber unendlich ist etwas unfassbares. Das Sing ist, schauen wir in der Physik: eine Unendliche Menge, müsste sich in der Realität auch widerspiegeln. Betrachten wir dies bei einer Kurvendiskussion (Verhalten im unendlichen) sagen wir auch nicht wir setzen für x = 00! Wir sagen wir setzen hohe Zahlen für x und schauen wo das ganze hin will. --> Unendlich ist also ein Ausdruck mit dem wir ausdrücken wollen, das wir uns an eine Sache Annähern (gucken wo es hin will) also gilt X/00 = lim (x)-->0
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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Re: x/unendlich

Beitrag von belgariath » 4. Jul 2015, 11:24

@ Pippen
Anders verhält sich die Division 0 durch 0. Die ist undefiniert. Manchmal wird auch x/0 als undefiniert bezeichnet, wegen dem nicht definierten Vorzeichen.

(Ganz witzig ist die Erklärung von Apple's Siri: https://www.youtube.com/watch?v=c2VykZfaj2s)

Frage: Wie verhält sich ∞/∞. Das ist eigentlich undefiniert, oder? Trotzdem kann der Quotient von zwei Funktionen, von denen jede für sich gegen unendlich geht, eine endliche Zahl ergeben, oder?
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Re: x/unendlich

Beitrag von seeker » 4. Jul 2015, 11:25

Wie schon angedeutet ist "x/unendlich=0" nur salopp zu sehen.
Tatsächlich geht es hier um Grenzwertbetrachtungen.

Es gilt z.B.:



, a ist Konstante, x ist Variable

Genau diesen Fall hatten wir bei den Gleichverteilungen auf unendlichen Mengen:

Endlicher Fall:
Sei die Wahrscheinlichkeit eine Zahl aus einer (endlichen) Menge mit n Elementen zu ziehen für jede Zahl aus der Menge p=a (also für jede Zahl gleich groß), mit a>0 und Element von R (= Gleichverteilung).
Dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zu ziehen so:

, weil die Summe aus allen a genau 1 ergeben muss.

Unendlicher Fall:
Hat die Menge unendlich viele Elemente (wie z.B. bei N oder R), dann ergibt sich:



...und das ist exakt definiert, weil das gegen Null konvergiert, das ist auch nicht "nahezu Null", sondern exakt Null, weil die Menge hier als aktual unendlich gehandhabt wird.
(Nicht-definiert wäre es, wenn die Folge divergieren würde, was hier nicht der Fall ist.)


Umgekehrt gilt aber NICHT, dass

irgendetwas anderes als Null ergibt.

Es gilt:

(...und das wäre dann eben auch bei einer Gleichverteilung auf unendlichen Mengen so.)

Um aber eine Verteilung auf einer Menge definieren zu können muss gelten:


Widerspruch!
Daher gibt es keine Gleichverteilung auf Mengen mit unendlich vielen Elementen.

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Re: x/unendlich

Beitrag von tomS » 4. Jul 2015, 16:09

Zunächst mal kann man mit ∞ nicht so rechnen wie mit anderen Zahlen. Man muss sich dieses Objekt als Resultat eines Grenzprozesses vorstellen. In diesem Sinne ist dann aber der Ausdruck x/∞ für endliches x wohldefiniert, nämlich x/∞ = 0. Das selbe gilt für x/0.

Der wesentliche Unterschied zu ∞/∞ oder 0/0 ist, dass in diesen Fällen zwei Grenzprozesses notwendig sind, um diese Ausdrücke definieren zu können.

Zum Einwand, dass bei x/∞ = 0 die Umkehrung 0 * ∞ = x folgen müsste ist zu sagen, dass diese Umformungen ebenfalls nur bei Vorliegen eines Grenzprozesses erlaubt sind, dann jedoch wohldefiniert sind. Da z.B. x/N = y(N) im Grenzfall N gegen unendlich definiert ist, nämlich y(∞) = 0, ist auch x = N * y(N) definiert. Wichtig ist dabei immer, dass unterschieden wird, welche Größe konstant ist, hier x, welche einem Grenzübergang unterworfen wird, hier N, und welche als abhängige Größe oder Funktion der beiden aufgefasst werden muss, hier y.
Gruß
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Re: x/unendlich

Beitrag von seeker » 4. Jul 2015, 16:18

Ja, nur kann es in diesen Fällen dann auch sein, dass die Geschichte (Grenzwertbetrachtung) nicht gegen einen einzigen festen Wert konvergiert (bei ∞/∞, 0/0 oder a/0, etc.).
In diesen Fällen ist das Ergebnis dann auch nicht definiert, ansonsten schon.
Bei a/∞ geht das immer, wenn a eine Zahl e R ergibt das immer Null.

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Re: x/unendlich

Beitrag von tomS » 4. Jul 2015, 16:26

seeker hat geschrieben:Ja, nur kann es in diesen Fällen dann auch sein, dass die Geschichte (Grenzwertbetrachtung) nicht gegen einen einzigen festen Wert konvergiert (bei ∞/∞, 0/0 oder a/0, etc.).
Natürlich kann es sein, dass für bestimmte Fälle kein Grenzwert existiert. Aber kannst du mal ein Beispiel angeben, das auf die von dir genannten Fälle ∞/∞, 0/0 zutrifft?
Gruß
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Re: x/unendlich

Beitrag von breaker » 4. Jul 2015, 16:41

Die ganze Diskussion bis hierher ergibt keinen Sinn und bringt daher keinen Erkenntnisgewinn.

Pippen wendet algebraische Rechenregeln auf das Symbol an, ohne sich zu fragen, warum diese gelten sollten und ohne zu sagen, was er mit diesem Symbol überhaupt meint.
Yukterez meint offensichtlich, die Antwort auf diese Frage wäre in einem Computerprogramm zu finden. Auch ohne vorher überhaupt den Kontext festzulegen.
Marcel hält eine Definition für falsch, was rein logisch keinen Sinn ergibt.
Seeker argumentiert mit Grenzprozessen; auch ohne zu sagen, wie er ds Symbol definiert und ohne zu begründen, warum es valise ist, mit Grenzwerten Aussagen über zu begründen.


Lasst uns bitte zunächst auf eine Definition von "" einigen, bevor wir dessen Eigenschaften untersuchen. Alles andere ist Esoterik.

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Re: x/unendlich

Beitrag von seeker » 4. Jul 2015, 16:52

tomS hat geschrieben:Aber kannst du mal ein Beispiel angeben, das auf die von dir genannten Fälle ∞/∞, 0/0 zutrifft?
Kann ich.
Was ich meinte war z.B. so etwas:

, hier ist
, hier ist
, hier ist

, also definiert

ABER

, also undefiniert

...obwohl wir beides Mal salopp vorliegen haben.

ABER

, ...also wieder definiert.

UND

, ...auch definiert.

Bei Null/Null entsprechend. Es kommt hier eben "darauf an"...

Bei a/x gibt es nur einen Fall, wenn x gegen Unendlich läuft, weil a eine feste Zahl ist. Das ist immer definiert.

Grüße
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Re: x/unendlich

Beitrag von seeker » 4. Jul 2015, 16:57

breaker hat geschrieben:Lasst uns bitte zunächst auf eine Definition von "" einigen, bevor wir dessen Eigenschaften untersuchen. Alles andere ist Esoterik.
Alles andere ist ungenau, ja. OK, guter Vorschlag.

Grüße
seeker
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Re: x/unendlich

Beitrag von Skeltek » 4. Jul 2015, 16:58

Wobei man aber noch einschieben sollte, dass durch

n= und dadurch der Grenzwert 0 selbst niemals erreicht wird. 0 ist hierbei lediglich Grenzwert, wird jedoch während der Prozess noch läuft (also niemals) angenommen.
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  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
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  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: x/unendlich

Beitrag von breaker » 4. Jul 2015, 17:20

seeker hat geschrieben:
breaker hat geschrieben:Lasst uns bitte zunächst auf eine Definition von "" einigen, bevor wir dessen Eigenschaften untersuchen. Alles andere ist Esoterik.
Alles andere ist ungenau, ja. OK, guter Vorschlag.

Grüße
seeker
Also: Wie definiert ihr und in welcher Relation steht es zu den reellen Zahlen?

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Re: x/unendlich

Beitrag von tomS » 5. Jul 2015, 06:55

@seeker: bei deinen Grenzwerten funktioniert doch alles perfekt; und "unendlich" würde ich nicht als "undefiniert" bezeichnen
Gruß
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Re: x/unendlich

Beitrag von seeker » 5. Jul 2015, 11:31

tomS hat geschrieben:bei deinen Grenzwerten funktioniert doch alles perfekt; und "unendlich" würde ich nicht als "undefiniert" bezeichnen
Ja, ich denke wir sind uns auch sicher einig.
Ich würde "unendlich" hier als "undefiniert" bezeichnen, insofern keine definierte Zahl/Wert e R vorliegt. Einverstanden?

@breaker:
Wie wäre es damit als Ausgangspunkt?
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlich ... Mathematik

Was fehlt dir noch bzw. worauf legst du hier Wert bzw. den Fokus bzw. was schlägst du vor?


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Re: x/unendlich

Beitrag von breaker » 5. Jul 2015, 11:48

Yukterez hat geschrieben:
belgariath hat geschrieben:Manchmal wird auch x/0 als undefiniert bezeichnet, wegen dem nicht definierten Vorzeichen.
Ob +0 oder -0 herauskommt ist eigentlich egal da +0 das Gleiche wie -0 ist.
breaker hat geschrieben:Yukterez meint offensichtlich, die Antwort auf diese Frage wäre in einem Computerprogramm zu finden.
Ist sie auch, wie man sieht. Ich meine wenn jemand meiner Begründung
Yukterez hat geschrieben:Deswegen hat man in unendlichem Abstand auch nicht irgendeine Wirkung, sondern gar keine.
nicht folgen kann dann sollte der zumindest Herrn Stephen Wolfram und seinem Programm vertrauen, da die sich ihre Reputation hart verdient haben.
breaker hat geschrieben:Auch ohne vorher überhaupt den Kontext festzulegen.
Nicht dass man für eine eindeutige mathematische Fragestellung mit allgemein bekannter und einstimmiger Lösung noch einen zusätzlichen Kontext bräuchte, aber ich denke
Yukterez hat geschrieben:Deswegen hat man in unendlichem Abstand auch nicht irgendeine Wirkung, sondern gar keine.
kann man notfalls auch als Kontext durchgehen lassen.

Bild, Bild
Wenn man keine Ahnung hat:
Einfach mal Klappe halten.

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Re: x/unendlich

Beitrag von breaker » 5. Jul 2015, 11:55

seeker hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:bei deinen Grenzwerten funktioniert doch alles perfekt; und "unendlich" würde ich nicht als "undefiniert" bezeichnen
Ja, ich denke wir sind uns auch sicher einig.
Ich würde "unendlich" hier als "undefiniert" bezeichnen, insofern keine definierte Zahl/Wert e R vorliegt. Einverstanden?

@breaker:
Wie wäre es damit als Ausgangspunkt?
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlich ... Mathematik

Was fehlt dir noch bzw. worauf legst du hier Wert bzw. den Fokus bzw. was schlägst du vor?
In dem Artikel, den Du verlinkst, steht im Prinzip das, was Skeltek dauernd sagt: Unendlichkeit in der Mathematik ist eine Umschriebung dafür, dass etwas nicht endet. Was dieses "etwas" ist, hängt vom Kontext ab.
Allerdings hilft das nicht weiter, wenn man irgendwelche Rechenregeln (insbesondere ) ableiten will.
Will man eine Rechenregel beweisen, in der reelle Zahlen und das Symbol vorkommt, muss man eine Menge konstruieren, die alle reellen Zahlen, sowie enthält und irgendeine algebraische Struktur hat.
Im Idealfall hat diese Menge dann noch eine Topologie, die so gemacht ist, dass z.B. offene Umgebungen von alle Eigenschaften haben, die wir intuitiv erwarten würden.

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Re: x/unendlich

Beitrag von seeker » 5. Jul 2015, 12:23

Na ja, deshalb sage ich ja die ganze Zeit, dass nur salopp zu sehen ist.
Eine solche Rechenregel muss aber [in der Analysis] stets als Aussage über uneigentliche Grenzwerte verstanden werden.
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlich ... Mathematik
Man muss definieren, was man damit meint. Man muss auch festlegen, ob eine aktuale oder eine potentielle Unendlichkeit gemeint ist.
Das steht stellvertretend für etwas anderes, das man genauer bennenen muss, eben z.B. für .

No problem - oder?

Grüße
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Re: x/unendlich

Beitrag von Skeltek » 5. Jul 2015, 16:31

breaker hat geschrieben: In dem Artikel, den Du verlinkst, steht im Prinzip das, was Skeltek dauernd sagt: Unendlichkeit in der Mathematik ist eine Umschriebung dafür, dass etwas nicht endet. Was dieses "etwas" ist, hängt vom Kontext ab.
Deshalb gibt es auch gelegentlich den Streitpunkt ob z.B. als vollständige bzw abgeschlossene Menge überhaupt existiert oder es sie lediglich nur gibt*; ist ein Grenzwert wie jede andere reele Zahl auch welche sich in den "Lücken" zwischen den existenten Zahlen verstecken.
Weierstrass hat z.B. bei seiner Definition eines Grenzwertsatzes explizit die Menge beschränkt, sonst wäre als Grenzwert definiert; sonst wäre klar, dass genau denselben unerreichbaren Stellenwert hat wie die "Lücken" zwischen den in endlichen Schritten konstruierbaren Zahlen hätte.

Cantors Diagonalargument beruht schließlich auf der Tatsache, dass er beweist dass es Zahlen gibt, die nicht "innerhalb" von (also in Schritten) erreicht werden können, ... indem er für jede Liste reeler Zahlen einen Verweis konstruiert, welcher aus der Menge hinaus führt.
Analog ließe sich auch beweisen, dass "unendlich" innerhalb keiner Liste Zahlen enthalten sein kann (Ist eigentlich klar, was allein schon aus der induktiven Konstruktion von klar wird).
Weder Cantors Diagonalzahlen noch sind innerhalb einer Liste anzutreffen, existieren also nicht(was aber nicht bedeutet, dass es sie nicht gibt*).

*Ich mache mir einfach nur für mich persönlich einen Unterschied zwischen den Wörtern "Existieren" und "Geben".
So ist "aktual unendlich" für mich ähnlich wie ein Paralleluniversum - ist egal ob es welche gibt... solange sie keine Verbindung zu unserem haben, existieren sie nicht innerhalb unseres Universums.


Wenn man das verstanden hat, versteht man auch den Unterschied zwischen "das Universum ist aktual unendlich groß" und "das Universum ist potentiell unendlich groß" (letzteres wäre, wenn es zwar nur endliche Größe hätte aber sich sein Rand immerzu mit c von uns weg bewegt; oder man fasst es so auf, dass einfach jede "Richtung Zukunft" kein Ende hat)
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Re: x/unendlich

Beitrag von breaker » 5. Jul 2015, 20:58

Da die Frage bereits durch Mathematica beantwortet wurde, werde ich mich nun aus diesem Thread zurückziehen.

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Re: x/unendlich

Beitrag von tomS » 6. Jul 2015, 06:59

Ich denke, wir beenden das besser, bevor noch mehr Porzellan zerschlagen wird
Gruß
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Re: x/unendlich

Beitrag von tomS » 6. Jul 2015, 22:28

Na ja, aber dennoch muss ja eine Definition oder eine formale Ableitung dahinterstecken. Du kannst das ja nicht einfach so hinschreiben wie "Bratwurst + Sauerkraut = 1. FCN"
Gruß
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Re: x/unendlich

Beitrag von tomS » 6. Jul 2015, 23:08

Nein, aber eine einzige sollte es schon sein; danach kann man sich überlegen, wie man das verallgemeinern kann ;-)
Gruß
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Re: x/unendlich

Beitrag von seeker » 6. Jul 2015, 23:31

Ich denke ein wichtiger Punkt ist:
Du musst als aktuale Unendlichkeit definieren.
Definierst du es nur als potentielle Unendlichkeit, so kommt nicht exakt Null heraus, sondern nur nahezu Null (beliebig nahe Null).
Das ist ein Unterschied...

Grüße
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Re: x/unendlich

Beitrag von tomS » 7. Jul 2015, 06:58

Ich denke nicht, dass ein Computeralgebrasystem hier grundsätzlich weiterhilft (nur pragmatisch)
Gruß
Tom

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Re: x/unendlich

Beitrag von seeker » 7. Jul 2015, 10:41

Denke ich auch.
Weil ja so ein Programm darauf aufbaut, damit arbeitet, was zuvor axiomatisch usw. festgelegt/einprogrammiert wurde.
Legst du etwas anderes fest kommt was anderes raus... Computer sind doof! Sie tun nur das, was man ihnen sagt.
Außerdem rechnet so ein Programm natürlich konkret nur mit endlichen Werten und mit endenend Algorithmen (wenn nicht würde es sich ja aufhängen, dann gibt's kein Ergebnis, das man anschauen kann).

Grüße
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