Abenteuer-Universum

Mal aus einem anderen Thread herausgenommen, weil mich das weiter interessiert:

Was ist eigentlich der Grund dafür, dass man die Wahrscheinlichkeitstheorie nicht auf die Logik selbst anwendet? Man könnte zB sagen: Eine Aussage p kann wahr oder falsch sein, also P(Tp) = 1/2. Wenn p von Gründen (p1) abhängt, dann entstünde das folgende Baumdiagramm:

p

Tp(0,5)....................Fp(0,5)

Tp1(0,5)...Fp1(0,5)......Fp1 (1)

Man könnte jetzt erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass p wahr und begründet wahr ist bei 0,25 liegt, aber dass p falsch begründet falsch 0,5-wahrscheinlich ist. Man könnte außerdem erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass p wahr begründet ist gegen Null läuft (0,5 * 0,5 * 0,5 * ...), während die Wahrscheinlichkeit, dass p falsch und falsch begründet ist nur gegen 0,5 läuft. Ist das nicht interessant? Das würde ja zeigen, dass wir wahrscheinlich doch nix wissen. Klar, man müsste die Wahrscheinlichkeitstheorie selbst außen vor lassen, weil sie sonst in der Kette ebenfalls mit "draufgeht". Aber allein als Veranschaulichung fände ich es sehr schön.

Es gibt letztlich zwei Motivationen, aus denen heraus die Mathematik sich mit neuen Themen befasst: Anwendungen bzw. offene Fragen, oder abstrakte Grundlagen, formale Systeme, ...

Ersteres kann ich bei deiner Idee nicht erkennen. Also wäre es - wenn überhaupt - dann letzteres. Wenn du ein formales System konstruieren kannst, das eine interessante, reichhaltige Struktur zu haben scheint, dann wäre das evtl. von Interesse.

Ist es nicht hochinteressant, dass die formale Logik allein aufgrund ihres Aufbaus dafür spricht, dass wahre/korrekte Ableitungen unwahrscheinlicher sind als falsche/inkorrekte? Sieh dir den Baum an. Die Wahrscheinlichkeit für eine einstufige wahre Ableitung (Tp1 -> Tp) ist 0,25, die für eine falsche Ableitung (Fp1 -> Fp) 0,5. Das wird wahrscheinlich auch für n-Stufen so sein. Plakativ könnte man titulieren: Unsere Logik liefert tendenziell falsche Aussagen! Also für mich wäre das ein Hammer. Für dich nicht? Warum?

Weil es nicht richtig ist.

tomS hat geschrieben:Weil es nicht richtig ist.

Warum? Wo läge der Fehler?

Der Fehler liegt darin, dass logisch konsistent Schließen für wahre Prämissen immer wahre Aussagen und für falsche Prämissen immer falsche Aussagen liefert. Wenn wir den Wahrheitsgehalt einer Prämisse jedoch nicht kennen, denn können wir über den Wahrheitsgehalt der abgeleiteten Aussage nichts folgern. Insbs. ist es Quatsch, bei unbekanntem Wahrheitsgehalt willkürlich "50% wahr" anzusetzen.

Bsp.: Wir wissen heute nicht, ob die Goldbachsche Vermutung zutrifft. Wir wissen auch nicht, dass sie zu 50% wahr ist. Das ist einfach Quatsch.

Bsp. 2: Wenn wir wissen, das morgen zu 50% Regenwetter herrscht, und wenn wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Lotteriegewinn 1 : 1 Mio ist, dann wissen wir auch, und zwar sicher, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Lotteriegewinn morgen bei Regen 1 : 2 Mio ist.

Das ist halt elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und kein "Hammer, dass die Logik tendentiell falsche Aussagen liefert".

tomS hat geschrieben:Der Fehler liegt darin, dass logisch konsistent Schließen für wahre Prämissen immer wahre Aussagen und für falsche Prämissen immer falsche Aussagen liefert.

Das ist doch falsch, ex falso quodlibet.

Wenn wir den Wahrheitsgehalt einer Prämisse jedoch nicht kennen, dann können wir über den Wahrheitsgehalt der abgeleiteten Aussage nichts folgern. Insbs. ist es Quatsch, bei unbekanntem Wahrheitsgehalt willkürlich "50% wahr" anzusetzen.

Bsp.: Wir wissen heute nicht, ob die Goldbachsche Vermutung zutrifft. Wir wissen auch nicht, dass sie zu 50% wahr ist. Das ist einfach Quatsch.

Wieso? Wir wissen, dass sie entweder wahr oder falsch ist, d.h. wir wissen genausoviel wie bei einem Münzwurf (Kopf oder Zahl) und da wenden wir Stochastik ja auch an. Hier ist es sogar interessanter, weil man beweisen kann, dass die Wahrscheinlichkeit für falsche Prämissen und falsche Konklusionen größer ist als für wahre Prämissen zu wahren Konklusionen (s.o.). Das ist mE ein Hammer, weil man bei einer formalen Logik aufgrund Bivalenzprinzip völlige Gleichverteilung erwarten würde. Scheint aber nicht so.

Im ersten Fall gebe ich dir recht, da war's zu spät, war ein Denkfehler.

Im zweiten Fall liegt das Problem wo anders. Es gibt zwei Arten von wahren Aussagen: zum einen beweisbare wahre oder falsche, zum anderen unbeweisbare (in einem formalen System). Über letztere können wir nichts sagen, nicht mal mit einer Wahrscheinlichkeit. Und im ersten Fall ist die Aussage z.B. wahr, egal ob wir das bereits bewiesen haben oder nicht. Daher ist eine Wahrscheinlichkeit auch nicht sinnvoll.

Ein Beispiel für eine bekanntermaßen unbeweisbare Aussage in ZFC ist die Kontinuumshypothese. Es ist sinnlos, ihr eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen.

Ein Beipiel für eine sicher entweder wahre oder falsche Aussage ist die Goldbachsche Vermutung. Auch hier ist es nicht sinnvoll, ihr eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen.

Zusammenfassend kann man sagen:
Wenn man nicht weiß, ob eine Aussage stimmt, sollte man aus ihr auch nichts schlussfolgern. Und wenn man beim Schlussfolgern Fehler macht, wird alles noch schlimmer.
Das ist generell ein guter Hinweis, wie ich finde.

Ich gebe noch nicht auf und glaube an eine W-Theorie für unsere Logik!

Zunächst habe ich einen handwerklichen Fehler gemacht, der damit zusammenhängt, dass ich übersehen habe, dass Fp = W~p. Nunmehr arbeite ich nur noch mit einem Wahrheitswert, d.h. Tp v T~p, und daher lasse ich im folgenden die Wahrheitswerte weg, alles ist als: "es ist wahr..." zu lesen. Es gilt angehängtes Baumdiagramm. p/~p stehen für Beliebiges, Bew für "Beweis für..." und ~Bew für "Nicht-Beweis für...", der damit die Unbeweisbarkeit und den ungültigen Beweis meint.

Was zeigt uns die stochastische Auswertung (mE) Interessantes? (es geht hier vor allem um Veranschaulichung, denn bei so einem "Münzwurfbaumdiagramm" ist nichts großartig neues zu erwarten)

Die Wahrscheinlichkeit das wahre p/~p zu tippen beträgt 0,5: Unentscheidbarkeit. Das zeigt, dass und warum wir eine Begründung/Beweis brauchen. Die Wahrscheinlichkeit das wahre p/~p zu beweisen ist 0,25 und damit genauso hoch wie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler und damit Nichtbeweis für p/~p, aus dem bekanntlich alles folgen kann (p/~p): wieder Unentscheidbarkeit. Das zeigt, dass wir den Beweis zu p/~p wiederum beweisen müssen usw. usf. Wenn diese Kette unendlich wäre, dann liefe die Wahrscheinlichkeit sowohl für ein bewiesenes p als auch bewiesenes ~p gleichermaßen gegen Null, d.h.: Unentscheidbarkeit. Genau das sagt der Skeptizismus und wird hier stochastisch veranschaulicht. Interessant ist dabei auch: Je mehr Beweisschritte desto höher die Wahrscheinlichkeit für Fehler und Irrtümer! Auch das dürfte intuitiv einleuchten.

Der Dogmatismus (d.h. die Wissenschaften) sagen nun: Wir müssen bei irgendeinem "Bew" stehenbleiben und den als Basis anerkennen (Axiom oder Zirkel). Wir brechen daher die Kette ab. Wie man sehr schön erkennen kann, klappt das erstmal nicht. Denn wenn zB das ganz rechte Bew_Bew_p als Axiom angenommen wird, dann bleibt es ja doch nur neben dem ~Bew_Bew_p. Also muss dieses ausgeschaltet werden, damit Bew_Bew_p die Wahrscheinlichkeit Eins bekommen kann. Und genau hier zeigt sich der willkürliche Akt, denn man hat einfach von zwei gleichen Möglichkeiten (Bew_Bew_p = 0,5 = ~Bew_Bew_p) eine rausgeschmissen, ohne dass es dafür irgendeinen rationalen/stochastischen Grund gäbe. Das zeigt sehr schön, auf welch wackligen Füßen auch unsere Wissenschaft nur steht. Jedes Axiom, jedes Postulat, jede Annahme ist das Produkt einer willkürlichen Aussonderung, wo man hätte auch das Gegenteil hernehmen können. Es ist ziemlich unwahrscheinlich, dass wir dabei immer richtig "getippt" haben und genauso gut möglich, dass wir überall falsch liegen, freilich auch, dass wir überall richtig liegen. Life is a bitch.

Mich würde interessieren, was hierzu aus w-theoretischer Sicht zu sagen wäre. Mache ich irgendwelche handwerklichen Fehler? Ich finde es jedenfalls faszinierend, dass das Münchhausen-Trilemma/Agrippa's Regress stochastisch so anschaulicht dargestellt werden kann. Das hat mE noch niemand gemacht und das finde ich schade, gerade weil heute Stochastik in der Erkenntnistheorie ziemlich oft angewendet wird.

Die Wissenschaft ist sich dieser Tatsache sehr wohl bewusst. Sie argumentiert jedoch nicht mit sinnlosen Wahrscheinlichkeiten, sondern akzeptiert einfach, dass Axiome auch unzutreffend sein können.

Den Erfolg messen wir auch nicht in Wahrscheinlichkeiten. Schau dir bitte mal die Axiome der Quantenmechanik an. Natürlich könnten sie auch unzutreffend sein. Aber warum produzieren sie dann ausnahmslos richtige Ergebnisse? Was sagt deine Wahrscheinlichkeitsrechng dazu?

So wie du dir das vorzustellen scheinst, funktioniert Wissenschaft nicht.

Ich finde, dass es zumindest ein interessanter Gedanke ist. Du drehst Dinge herum und betrachtest sie von der anderen Seite, das finde ich zunächst immer spannend...

Du darfst aber eines nicht vergessen, Pippen:
Die Anwendung von Wahrscheinlichkeiten auf das Trilemma bzw. die Logik enthält selbst ein Axiom/eine Grundannahme und ein darauf aufbauendes logisches System/Konzept (eben der Wahrscheinlichkeit), die in ihrer Richtigkeit mit nichts zu beweisen ist (Warum sollen unsere Wahrscheinlichkeitsüberlegungen überhaupt etwas Richtiges aussagen? Warum nicht umgekehrt das Trilemma auf die Wahrscheinlichkeiten anwenden? Warum sollen Wahrscheinlichkeitsüberlegungen primär sein?) - und damit beißt sich die Katze mal wieder in den Schwanz...

Es war glaube ich Popper, der behauptet hat, dass wir z.B. bei den Naturgesetzen wegen des Induktionsproblems nicht nur nicht mit apodiktischer Sicherheit wissen können, ob diese zutreffend sind, also die Natur richtig treffen/beschreiben, sondern, dass wir nicht einmal sinnvoll eine Wahrscheinlichkeit angeben/wissen können, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie zutreffend sind. Dieser Meinung schließe ich mich an.
Wenn man Wahrscheinlichkeiten nicht quantifizieren kann, dann kann man per Wahrscheinlichkeitsbetrachtung gar nichts mehr aussagen.

Alles was man stets nur tun kann -und auch tut- ist Vertrauen in unsere Erkenntnisse und Methoden zu gewinnen und darauf aufbauend Überzeugungen.

Grüße
seeker

tomS hat geschrieben:Die Wissenschaft ist sich dieser Tatsache sehr wohl bewusst. Sie argumentiert jedoch nicht mit sinnlosen Wahrscheinlichkeiten, sondern akzeptiert einfach, dass Axiome auch unzutreffend sein können.

Den Erfolg messen wir auch nicht in Wahrscheinlichkeiten. Schau dir bitte mal die Axiome der Quantenmechanik an. Natürlich könnten sie auch unzutreffend sein. Aber warum produzieren sie dann ausnahmslos richtige Ergebnisse? Was sagt deine Wahrscheinlichkeitsrechng dazu?

So wie du dir das vorzustellen scheinst, funktioniert Wissenschaft nicht.

Ja und Nein.
Empfehle Lektüre
Michael Brooks, Freie Radikale, Warum Wissenschaftler sich nicht an regeln halte Springer 2014

Freie Radikale sind nicht nur Begriffe der Chemie und Medizin, sondern zeigen:

Eifersüchteleien, Rechthabereien, Mobbing, Totschweigen und viele andere Motive sind Anlass, viele neue Ideen zu unterdrücken und zu bespötteln.

An unzähligen Beispielen zeigt Brooks, wie heute selbstverständliche Theorien zu ihrer Zeit unterdrückt wurden: Besonders in Neuzeit. Wie Geld, Politik, Unternehmen (Pharma) sich gegenseitig beeinflussen.

Bei Mach/Boltzmann ging es noch um Interpretationen innerhalb der Physik!
Ein Beweis ist t'Hoft, der alle Kritiker seiner unverständlichen Rechenkünste als Möchte-Gern-Physiker und Dilletanten darstellt.

Kann man sich einen Doktoranden Vorstellen, der gegen die Lehrmeinung seines Meisters veröffentlicht. Bekäme der die Erlaubnis seines Gurus?
Historiker Daniel Boorstin: Das größte Hindernis auf dem Weg zum Wissen ist nicht die Dummheit, sondern die Illusion, man wisse was.
MfG
Alberich

Alberich hat geschrieben:Freie Radikale sind nicht nur Begriffe der Chemie und Medizin, sondern zeigen:

Eifersüchteleien, Rechthabereien, Mobbing, Totschweigen und viele andere Motive sind Anlass, viele neue Ideen zu unterdrücken und zu bespötteln.

An unzähligen Beispielen zeigt Brooks, wie heute selbstverständliche Theorien zu ihrer Zeit unterdrückt wurden: Besonders in Neuzeit. Wie Geld, Politik, Unternehmen (Pharma) sich gegenseitig beeinflussen.

Ja, das mag sein (schau dir mal die Smolin-Woit-Stringtheorie-Debatte an). Aber da helfen Wahrscheinlichkeiten auch nicht weiter.

Alberich hat geschrieben:Bei Mach/Boltzmann ging es noch um Interpretationen innerhalb der Physik!

Ich denke nicht, dass früher alles besser war (schau dir mal die sogenannte "deutsche Physik" an)

Alberich hat geschrieben:Ein Beweis ist t'Hoft, der alle Kritiker seiner unverständlichen Rechenkünste als Möchte-Gern-Physiker und Dilletanten darstellt.

Kann ich so nicht nachvollziehen. Zum ersten sollte man 't Hooft richtig schreiben. Zum zweiten hat 't Hooft bahnbrechende Arbeiten im Umfeld Quantisierung und Renormierung von Eichtheorien geleistet und mathematische Verfahren entwickelt, ohne die diverse Berechnungen kaum möglich gewesen wären. Zum dritten wird er von allen, die ihn persönlich kennelernen durften, als Mensch mit Austrahlung und außergewöhnlicher Persönlichkeit sehr geschätzt. Und zuletzt würde mich interessieren, wie du zu dieser Meinung kommst

@tomS

Ich denke nicht, dass früher alles besser war (schau dir mal die sogenannte "deutsche Physik" an)

Wo habe ich das je behauptet? Beweis?

Bei Lenard und Franck Futterneid und Antisemitismus. Heidegger? Heisenberg??

Zum ersten sollte man 't Hooft richtig schreiben

Hier das fehlende "o" nachgeliefert

Kann ich so nicht nachvollziehen.

Siehe:
http://www.staff.science.uu.nl/~hooft10 ... tions.html
Eigentlich stark!
MfG
Alberich

Sorry, aber wenn du das nicht verstehst, dann tut's mir leid. Ein genialer Physiker nimmt sich die Zeit um den Satz "das ist völlige Idiotie" höflich und vornehm zu formulieren und zu erklären. Das ist mehr als der Nonsense, auf den er sich bezieht, eigtl. wert ist.

Oder wo, bitteschön, kannst du auch nur den Anschein einer ungerechtfertigten Kritik erkennen? Kennst du "L" und "C"? Hast die "AL" gelesen. Hast du Arbeiten von 't Hooft gelesen? Hast du ihn getroffen? Kennst du jemand, der mit ihm diskutieren durfte? Nein?

seeker hat geschrieben:Die Anwendung von Wahrscheinlichkeiten auf das Trilemma bzw. die Logik enthält selbst ein Axiom/eine Grundannahme und ein darauf aufbauendes logisches System/Konzept (eben der Wahrscheinlichkeit), die in ihrer Richtigkeit mit nichts zu beweisen ist (Warum sollen unsere Wahrscheinlichkeitsüberlegungen überhaupt etwas Richtiges aussagen? Warum nicht umgekehrt das Trilemma auf die Wahrscheinlichkeiten anwenden? Warum sollen Wahrscheinlichkeitsüberlegungen primär sein?) - und damit beißt sich die Katze mal wieder in den Schwanz...

Da gebe ich dir natürlich Recht. Deshalb suspendiere ich das Trilemma für die Augenblicke, wo ich es mit Stochastik zu erfassen versuche, d.h. ich tue so, als ob die Stochastik sakrosankt wäre. Denn mir geht es ja nur um eine Veranschaulichung, in dem ich zeige, dass wenn wir mal die Stochastik als unantastbares Axiom neben das Trilemma stellen, wir dann zeigen können, dass das Trilemma dazu führt, dass eine beliebige Aussage p bestenfalls 0,5-wahr sein kann. Jeder Versuch, diese Wahrscheinlichkeit durch Begründungen zu erhöhen führt zwangsläufig zu ihrem Sinken, denn je mehr wir begründen, desto unwahrscheinlicher wird ihre Wahrheit. Das veranschaulicht mE sehr gut die zermalmende Wirkung dieses Trilemmas/Regresses: Die Aussage "E = mc²" ist genauso wahrscheinlich wie "Der Mond ist aus grünem Käse". Es gibt keinen rationalen Grund, an die eine Aussage mehr zu glauben als an die andere.

Wenn das geschehen ist, kann man dann darauf eingehen, dass ja auch diese Überlegungen im Lichte des Regresses wiederum fallibel sind, so dass eben am Ende keine Wahrscheinlichkeiten stehen, sondern nur eines: pure Unentscheidbarkeit, was man glauben soll.

@tomS
Hinter C vermute ich Crothers. Bekannt aus YouTube. Al und L kenne ich nicht.
Bitte um Nennung.
MfG
Alberich

Alberich hat geschrieben:Hinter C vermute ich Crothers. Bekannt aus YouTube.

Ja, habe ich inzwischen herausgefunden, dass das so ist.

Da ich nicht die Weisheit und Lebenserfahrung von 't Hooft habe, formuliere ich es etwas anders: ein Crackpot, unseriös, völlige Idiotie, Zeitverschwendung, ...

Noch Fragen?

Pippen hat geschrieben:Wenn das geschehen ist, kann man dann darauf eingehen, dass ja auch diese Überlegungen im Lichte des Regresses wiederum fallibel sind, so dass eben am Ende keine Wahrscheinlichkeiten stehen, sondern nur eines: pure Unentscheidbarkeit, was man glauben soll.

Mag sein, dass man damit dahin kommen kann, wenn man (nicht doch willkürlich?!... oder als zusätzliche Grundannahme?) bei zwei Möglichkeiten jeweils eine 50/50-Chnace ansetzt.
Für dieses Ergebnis brauche ich aber diese ganzen Überlegungen gar nicht. Das wusste ich auch so schon und das wusste auch Sokrates schon vor über 2000 Jahren: "Ich weiß, dass ich nichts weiß!"
Wenn man das einmal gefressen hat, dann kann man doch eigentlich aufhören immer neue Wege zu suchen, um immer zu demselben Schluss zu kommen?
Mehr geht eben nicht! Man sollte sich den Realitäten stellen und seinen Frieden mit ihnen machen!

An diesem Punkt sollte man daher m. E. besser überlegen, wie damit umzugehen ist...
Und das heißt für mich eben:

seeker hat geschrieben:Alles was man stets nur tun kann -und auch tut- ist Vertrauen in unsere Erkenntnisse und Methoden zu gewinnen und darauf aufbauend Überzeugungen.

...und damit müssen wir uns eben bescheiden und zufrieden damit sein, wenn unsere durch unsere modernen wissenschaftlichen Methoden und Forschungen gewonnenen rationalen Überzeugungen brauchbar, nützlich und zuverlässig, etc. sind und uns das nicht ganz abzustreitende Gefühl geben vielleicht am Ende doch irgendetwas begriffen zu haben und wenn wir darauf vertrauen können, dass wir nächstes Jahr noch etwas mehr begriffen haben werden als es dieses Jahr der Fall ist.
Auch damit kann man glücklich werden. Das ist interessant genug, auch wenn der Boden nicht unendlich fest ist, auf dem das alles steht! Wer braucht da DIE Wahrheit?

Grüße
seeker

`Wahrscheinlichkeit´ ist zuordenbar, wenn das gesamte System (alle möglichen Fälle) bekannt ist (sind). Offene Systeme, wie Vermutungen bzw. die offene Forschung sind nicht mit Wahrscheinlichkeitswerten belegbar. Es fehlt die Maßfunktion (siehe: Conrad Kuck, non-monotonic learning automata. Abschließend auch => "Because we do not define falsity, refutation proofs are not permissible."). Nach Kuck gilt: `nicht bewiesen´ bedeutet nicht `falsch´; `bewiesen´ bedeutet nicht doch noch widerlegt werden zu können.

tomS hat geschrieben: ... Ein Beispiel für eine bekanntermaßen unbeweisbare Aussage in ZFC ist die Kontinuumshypothese. Es ist sinnlos, ihr eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. ...

Cantors Kontinuumshypothese konnte ich beweisen (siehe: http://www.mathe-neu.de -> Logik des Formalismus, Cantor, Aufsatz: Beweis).

(Vermeintliche) Unentscheidbarkeit ...

tomS hat geschrieben: Die Wissenschaft ist sich dieser Tatsache sehr wohl bewusst. Sie argumentiert jedoch nicht mit sinnlosen Wahrscheinlichkeiten, sondern akzeptiert einfach, dass Axiome auch unzutreffend sein können.

Den Erfolg messen wir auch nicht in Wahrscheinlichkeiten. ...

Richtig!
Für ca. 2.500 Jahre galten die Binome der Babylonier als mathematischer Beweis für die Vorzeichenregel der Punktrechnung (Multiplikation, Division).
Martinez (negative math) hat den Widerspruch aufgezeigt, nach dem man innerhalb inverser Regeln konsistent agieren kann. Die Lösung des Problems / der Ausweg ist die Überführung der orthodoxen Algebra in die Multi-Präfix-Produkt - Theorie (ansatzweise Einführung siehe: http://www.mathe-neu.de -> Logik des Formalismus).

Gruß
PeterKepp

geändert: non-monotonic automata -> non-monotonic learning automata (sorry, in der Eile den Text nicht genau genug überprüft)

Oh mein Gott

Ja, tom?

du warst nicht gemeint

tomS hat geschrieben:Oh mein Gott

Gut. Fangen wir ganz klein an: "Hast Du Martinez (negative math) gelesen (verinnerlicht)"?

[@ all: Martinez hat aufgezeigt, dass die Inversion der Rechenregeln für vorzeichenbehaftete Faktoren ebenso `in sich abgeschlossen´ widerspruchsfrei bleibt, wie die orthodoxe Vorgehensweise "plus mal plus = plus, minus mal minus = plus, minus mal plus sowie plus mal minus = minus". Daraus folgt, dass es als unentschieden gelten muss, welche Regel anzuwenden (die richtige) ist.]

Gruß PeterKepp