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Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zahlen

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von tomS » 2. Jul 2015, 17:43

Pippen hat geschrieben:Hilft das aber dem Mann aus dem Video? Der hat ja nur A, B und K aus IR eingeführt und damit eine gleichverteilte unendliche Menge, ...
Ist das wirklich so schwer zu verstehen??

A und B werden irgendwie festgelegt; wie, das entscheidet der Spielleiter. Es gibt 'zig Möglichkeiten, das zu tun. Eine einzige wird nicht funktionieren, nämlich das zufällige Ziehen gemäß Gleichverteilung!!!! Alle anderen funktionieren jedoch. Es ist nicht mal notwendig, dass A und B zufällig gewählt werden; der Spielleiter kann das auch streng deterministisch durchführen, sollte lediglich den Algorithmus nicht verraten.

K wird vom Spieler zufällig gewählt, gemäß irgendeiner von ihm gewählten, existierenden Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine einzige wird nicht funktionieren, nämlich die Gleichverteilung!!!!

Bsp.:

Der Spielleiter wählt A = 1, 17, 33, 9, 817, 9674, 2, ... sowie B = A + 1 (irgendwelcher blöden Zahlen, scheißegal).

Der Spieler würfelt K gemäß der Normalverteilung mit Zentrum 12 und Breite 4 (wieder scheißegal) und erhält eine Gewinnstrategie.

as simple as that
Gruß
Tom

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von breaker » 2. Jul 2015, 18:17

Wie wäre es, wenn wir folgende Variante des Spiels diskutieren:

1) a und b sind feste Zahlen, die bei jedem Durchgang gleich bleiben.
2) Nach jedem Durchgang benutzt der Spielleiter so ein Blitz-Dings von Men in Black und ich vergesse, was a und b waren.
3) Bei jedem Durchgang benutze ich die gleiche Verteilung, um mein K zu generieren.

Meiner Meinung nach ist diese Variante genau so interessant, aber einfacher und weniger verwirrend, weil man sich nicht darum kümmern muss, wie a und b zustande kommen.

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 2. Jul 2015, 18:17

@Pippen:
Der Punkt bzw. der notwendige gedankliche Sprung ist folgender:

Du kannst natürlich umgangssprachlich annehmen, dass die Zahlen in R gleichverteilt wären bzw. dir das so vorstellen, aber du kannst keine Zahl aus R gleichverteilt ziehen - und das ist mathematisch gesehen der Punkt: Die Mathematik sagt, dass es sinnlos ist von einer Gleichverteilung (= die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl gezogen zu werden ist gleich hoch) zu sprechen, wenn man nicht auch gleichverteilt ziehen kann.

Anders:
Es ist unmöglich eine Urne mit Kugeln zu haben, wo jede Zahl aus R durch genau eine Kugel repräsentiert ist und aus dieser Urne eine Kugel so zu entnehmen, dass die Wahrscheinlichkeit für jede darin enthaltenen Kugel gezogen zu werden gleich hoch ist. Sie ist nur dann gleich hoch, wenn diese Wahrscheinlichkeit für jede Kugel exakt Null ist, d.h. dann aber zwangsläufig, dass du gar keine Kugel ziehen wirst!

Jetzt klar?

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von tomS » 2. Jul 2015, 18:22

breaker hat geschrieben:Wie wäre es, wenn wir folgende Variante des Spiels diskutieren:

1) a und b sind feste Zahlen, die bei jedem Durchgang gleich bleiben.
2) Nach jedem Durchgang benutzt der Spielleiter so ein Blitz-Dings von Men in Black und ich vergesse, was a und b waren.
3) Bei jedem Durchgang benutze ich die gleiche Verteilung, um mein K zu generieren.

Meiner Meinung nach ist diese Variante genau so interessant, aber einfacher und weniger verwirrend, weil man sich nicht darum kümmern muss, wie a und b zustande kommen.
Zustimmung!

wenn wir sagen A,B aus R; [A,B] beliebig aber fest; gesucht ist eine Gewinnstrategie S; man nehme dazu ein nach einer Wahrscheinlichkeitsverteilung p(x) erzeugte Zufallszahl K ... dann meinen wir ja genau diese Variante
Gruß
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von Pippen » 2. Jul 2015, 23:41

seeker hat geschrieben:@Pippen:
Der Punkt bzw. der notwendige gedankliche Sprung ist folgender:

Du kannst natürlich umgangssprachlich annehmen, dass die Zahlen in R gleichverteilt wären bzw. dir das so vorstellen, aber du kannst keine Zahl aus R gleichverteilt ziehen - und das ist mathematisch gesehen der Punkt: Die Mathematik sagt, dass es sinnlos ist von einer Gleichverteilung (= die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl gezogen zu werden ist gleich hoch) zu sprechen, wenn man nicht auch gleichverteilt ziehen kann.

Anders:
Es ist unmöglich eine Urne mit Kugeln zu haben, wo jede Zahl aus R durch genau eine Kugel repräsentiert ist und aus dieser Urne eine Kugel so zu entnehmen, dass die Wahrscheinlichkeit für jede darin enthaltenen Kugel gezogen zu werden gleich hoch ist. Sie ist nur dann gleich hoch, wenn diese Wahrscheinlichkeit für jede Kugel exakt Null ist, d.h. dann aber zwangsläufig, dass du gar keine Kugel ziehen wirst!

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Jede Zahl hätte die Ziehungswahrscheinlichkeit 1/unendlich und das ist eben undefiniert. Aber das hindert mich doch nicht daran, trotzdem in die Urne zu greifen und zwei Zahlen zu ziehen, sagen wir: 0,01 und 6,7. Wenn ich so ein Verfahren mache, um A & B zu ziehen, dann hat der Spielleiter mit K keine Chance für eine über-50%ige Gewinnchance. Das ist mein Punkt. Er muss vorher sicherstellen, dass die Gleichverteilung ausgeschlossen wird.

p.s. Stell dir eine Urne vor, diesmal nur mit zwei Kugeln. Auf einer sind alle geraden nat. Zahlen, auf der anderen alle ungeraden nat. Zahlen vermerkt. Da läge auch Gleichverteilung einer unendlichen Menge (IN) vor und trotzdem wäre mE die Ziehungswahrscheinlichkeit problemlos 0,5. Kann man so das Problem gleichverteilter unendlicher Mengen umgehen? Denn sowas kann ich mir auch bei IR konstruieren.

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von tomS » 3. Jul 2015, 00:12

Du begreifst nicht, worum es geht, weil du dich ständig mit dem Scheinproblem befasst, wie A und B ermittelt werden. Das ist irrelevant!
Pippen hat geschrieben:Aber das hindert mich doch nicht daran, trotzdem in die Urne zu greifen und zwei Zahlen zu ziehen, sagen wir: 0,01 und 6,7. Wenn ich so ein Verfahren mache, um A & B zu ziehen, dann hat der Spielleiter mit K keine Chance für eine über-50%ige Gewinnchance. Das ist mein Punkt. Er muss vorher sicherstellen, dass die Gleichverteilung ausgeschlossen wird.
Falsch!
tomS hat geschrieben:Es geht hier um zwei verschiedene Auswahlkriterien. Das erste bezieht sich auf A und B. Es ist im Folgenden jedoch irrelevant, wir A und B ausgewählt werden; die folgende Argumentation gilt immer. Das zweite bezieht sich auf die gemäß einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Auswahl von K. Dieses ist völlig unabhängig vom ersten.

Das Ergebnis lautet nun, dass es unabhängig von der Auswahl von A und B immer möglich ist, eine Gewinnstrategie zu finden. Diese benutzt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Hilfsgröße K.
Pippen hat geschrieben:... und er dann (zufällig) eine Zahl K wählt, dann kann man keine Wahrscheinlichkeitsaussage darüber machen, wie oft K zwischen A und B liegt. Richtig?
Nein, nicht richtig.

Man kann eine Aussage treffen, nämlich dass diese Wahrscheinlichkeit im Allgemeinen größer Null ist. Und genau diese sehr schwache Aussage ist für den Beweis hinreichend.
Nochmal: der Spielleiter wählt A und B. Wie er das tut ist egal. Der Spieler wählt ein zufälliges K. Wie er das tut ist völlig unabhängig von der unbekannten Methode der Wahl von A und B.

Kümmere dich nicht um A und B:
breaker hat geschrieben:Wie wäre es, wenn wir folgende Variante des Spiels diskutieren:

1) a und b sind feste Zahlen, die bei jedem Durchgang gleich bleiben.
2) Nach jedem Durchgang benutzt der Spielleiter so ein Blitz-Dings von Men in Black und ich vergesse, was a und b waren.
3) Bei jedem Durchgang benutze ich die gleiche Verteilung, um mein K zu generieren.

Meiner Meinung nach ist diese Variante genau so interessant, aber einfacher und weniger verwirrend, weil man sich nicht darum kümmern muss, wie a und b zustande kommen.
Gruß
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 3. Jul 2015, 00:33

Pippen hat geschrieben:Jede Zahl hätte die Ziehungswahrscheinlichkeit 1/unendlich und das ist eben undefiniert.
Nein, das ist sehr wohl definiert! Das ist nämlich Null.
Pippen hat geschrieben:Aber das hindert mich doch nicht daran, trotzdem in die Urne zu greifen und zwei Zahlen zu ziehen, sagen wir: 0,01 und 6,7.
Ja, aber du kannst diese Zahlen dann nicht mit derselben Wahrscheinlichkeit ziehen bzw. gezogen haben wie alle anderen Zahlen! Darum geht es!
In dem Fall hatten dann die Zahlen 0,01 und 6,7 offensichtlich eine Wahrscheinlichkeit größer 0 gezogen zu werden (sonst hättest du sie ja nicht gezogen!), womit offensichtlich keine Gleichverteilung vorlag.

Nochmal:
Du darfst nicht die Zahlen "an sich" betrachten! "Gleichverteilung" bedeutet NICHT, dass die Zahlen "gleichmäßig da rumliegen"!
Es bedeutet, dass vor deiner Ziehung sichergestellt ist, dass du jede Zahl bei deiner Ziehung bzw. durch die Art deiner Ziehung in der Urne mit derselben Chance erwischen tust.
Mathematisch bedeutet es, dass du eine Funktion definieren kannst, die jeder Zahl dieselbe Wahrscheinlichkeit p > 0 (gezogen zu werden) zuordnet und dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten genau 1 ergibt. Genau das geht bei unendlichen Mengen nicht. Deshalb gibt es dort eine solche Funktion nicht, also gibt es keine Gleichverteilung - nicht mehr und nicht weniger ist damit gemeint!
p.s. Stell dir eine Urne vor, diesmal nur mit zwei Kugeln. Auf einer sind alle geraden nat. Zahlen, auf der anderen alle ungeraden nat. Zahlen vermerkt. Da läge auch Gleichverteilung einer unendlichen Menge (IN) vor und trotzdem wäre mE die Ziehungswahrscheinlichkeit problemlos 0,5. Kann man so das Problem gleichverteilter unendlicher Mengen umgehen? Denn sowas kann ich mir auch bei IR konstruieren.
Das geht natürlich wieder. Aber nur deshalb, weil du nur zwei (also NICHT unendlich viele Objekte) Teilmengen = Objekte hast, die du jeweils insgesamt ziehst.
Du kannst nun versuchen diese Teilmengen auf die gleiche Art noch weiter in noch kleinere Teilmengen zu unterteilen. Du wirst dabei aber feststellen, dass diese Teilmengen stets noch unendlich viele Elemente enthalten werden. Du kommst also so auch nicht zum Endlichen herunter... und es bleibt dabei, dass eine Gleichverteilung über eine unendliche Menge unmöglich ist.
breaker hat geschrieben:Wie wäre es, wenn wir folgende Variante des Spiels diskutieren:

1) a und b sind feste Zahlen, die bei jedem Durchgang gleich bleiben.
2) Nach jedem Durchgang benutzt der Spielleiter so ein Blitz-Dings von Men in Black und ich vergesse, was a und b waren.
3) Bei jedem Durchgang benutze ich die gleiche Verteilung, um mein K zu generieren.
Ja, das ist OK.
Ich komme heute nicht mehr dazu meine Vermutung/Schlussfolgerung klarer darzulegen. Vielleicht schaffe ich es morgen.

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von Pippen » 3. Jul 2015, 00:38

Ok, vielleicht mal grundlegender:

1. Ich will eine reelle Zahl A aus der Menge IR auswählen. Für die Ziehung von A gibt es kein Wahrscheinlichkeitsmaß, weil 1/unendlich undefiniert. Richtig?
2. Um für A doch noch eine Ziehungswahrscheinlichkeit zu ermitteln brauche ich irgendeine Verteilung von Zahlen in IR, wo nicht alle Zahlen die gleiche Ziehungswahrscheinlichkeit haben. Richtig?
3. Ich kann aber A (und dann auch B) faktisch ziehen. Richtig?
4. Dann hätten A & B aber keine Ziehungswahrscheinlichkeit (s.o.) und damit wäre gar keine Wahrscheinlichkeitsaussage mehr zu K möglich, weil die evtl. Gewinnstrategie von K die Wahrscheinlichkeiten von A & B als Zahlenwerte braucht. Richtig?

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 3. Jul 2015, 00:49

Pippen hat geschrieben:weil 1/unendlich undefiniert. Richtig?
Nein! 1/unendlich = 0!

Grüße
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von tomS » 3. Jul 2015, 01:00

Pippen hat geschrieben:... und damit wäre gar keine Wahrscheinlichkeitsaussage mehr zu K möglich, weil die evtl. Gewinnstrategie von K die Wahrscheinlichkeiten von A & B als Zahlenwerte braucht. Richtig?

Nein, die Gewinnstrategie braucht keine Wahrscheinlichkeiten oder Zahlenwerte von A und B!

tomS hat geschrieben:Nochmal: der Spielleiter wählt A und B. Wie er das tut ist egal. Der Spieler wählt ein zufälliges K. Wie er das tut ist völlig unabhängig von der unbekannten Methode der Wahl von A und B.
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von Pippen » 3. Jul 2015, 01:40

seeker hat geschrieben:
Pippen hat geschrieben:weil 1/unendlich undefiniert. Richtig?
Nein! 1/unendlich = 0!

Grüße
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Das ist spannend. Sehe ich anders. 1/unendlich = undefiniert. Da müsste es ja ein Körper- oder Halbgruppenaxiom geben, was x/unendlich definiert. Gibt's aber nicht. Man könnte es höchstens als Folge: 1/1, 1/2, 1/3,... auffassen, die dann gegen 0 läuft (aber auch nie erreicht!).

@toms: MaW: Allein daraus, dass K aus der nicht-gleichverteilten Menge IR gezogen wird, beträgt die Gewinnchance für A<K<B schon mehr als 50%?

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von tomS » 3. Jul 2015, 07:39

Pippen hat geschrieben:MaW: Allein daraus, dass K aus der nicht-gleichverteilten Menge IR gezogen wird, beträgt die Gewinnchance für A<K<B schon mehr als 50%?
Nicht die Gewinnchance für A < K < B, sondern die für das richtige Erraten ob A < B oder B < A. Darum geht es. Das ist das, was breaker und ich die ganze Zeit schon sagen.

Eine Kleinigkeit noch:
tomS hat geschrieben:Der Spieler zieht eine Zahl K zufällig aus R nach einer von ihm gewählten Verteilung, die sicherstellt, dass die Wahrscheinlichkeit für K in einem beliebigen Intervall [X,Y] zu liegen nie Null ist.
Da er A,B jedoch nicht kennt, kann die Verteilung für K nicht völlig beliebig sein.
Gruß
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 3. Jul 2015, 08:48

Pippen hat geschrieben:Man könnte es höchstens als Folge: 1/1, 1/2, 1/3,... auffassen, die dann gegen 0 läuft (aber auch nie erreicht!).
Schau hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert ... rt_endlich
Im Fall hier konvergiert der Wert gegen Null, ist also definiert, also geht das hier.
Ich habe aber ehrlich gesagt wenig Lust die Dikussion in diesem Thread hier in diese Richtung lenken zu lassen.
Das sollte man m. E. besser in einem der anderen 100 Threads tun, wo das schon geschehen ist.

Hier möchte ich persönlich das konkrete Problem der Threadüberschrift untersuchen.

Grüße
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von tomS » 3. Jul 2015, 08:52

Guter Punkt.

Wir haben bisher festgestellt, dass für dieses P(A,B) gilt, dass es mittels Summe oder Integral über p(x) auf dem Intervall [A,B] berechnet werden kann
Gruß
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 3. Jul 2015, 10:24

Also, ich fang mal an:

Der Spielleiter wählt zwei Zahlen A und B aus R und schreibt diese auf.
Sie seien beispielsweise: A = 3,999875682652865287562 und B = 5,000879623478562386289726942369762385628754872369826492359689234564823956
Der Spieler darf A anschauen. Seine Aufgabe ist es nun zu erraten, ob entweder (i) A>B oder (ii) B>A.
Der Spieler hat sich dazu die K-Strategie überlegt, d.h. er wählt zufällig ein K und vergleicht dieses mit A.

Seine Strategievorschrift lautet:
(I) Wenn K>A, dann gibt er zur Antwort: "B>A"!
(II) Wenn K<A, dann gibt er zur Antwort: "A>B"!


Zur Wahl von K aus R wählt er eine Normalverteilung.
Die von ihm gewählte Verteilung sei zufällig (als Beispiel) dergestalt, dass die Wahrscheinlichkeiten für K in den folgenden Intervallen zu liegen so aussehen:

(a) p(K,[-unendlich,A]) = 0,6 (also für K<A)
(b) p(K,[A,B] = 0,1 (also für K liegt zwischen A und B)
(c) p(K,[B,unendlich]) = 0,3 (also für K > B)


Wichtig ist mir hier, dass p(K,[-unendlich,A]) = p(K,[B,unendlich]), bei allen Verteilungen, die der Spieler finden kann, ausgeschlossen werden kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass er mit seiner Verteilung exakt diese Symmetrie herstellen kann ist wegen der Umstände Null.

Nach der Ziehung von K gibt es sechs Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge die Zahlen A, B, K angeordnet sein können:

(1) A<B<K
(2) B<A<K

(3) K<A<B
(4) K<B<A

(5) A<K<B
(6) B<K<A

Es folgen daraus diese Antworten des Spielers (A und K kennt er ja):

(1) A<B<K -> B>A! (ii)
(2) B<A<K -> B>A! (ii)

(3) K<A<B -> A>B! (i)
(4) K<B<A -> A>B! (i)

(5) A<K<B -> B>A! (ii)
(6) B<K<A -> A>B! (i)

Nun haben wir es mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu tun. Der Spieler muss aus Unwissenheit davon ausgehen, dass der Spielleiter die Zahlen A, B so gewählt hat, dass p(A>B) = p(B>A) = 0,5. Die Fälle (1), (4), (5) und (6) gewinnen, die Fälle (2) und (3) verlieren.

Die Gesamt-Wahrscheinlichkeiten für den Eintritt der Fälle und die jeweilige Antwort des Spielers stellen sich so dar:

....

muss ich noch ausarbeiten...

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von breaker » 3. Jul 2015, 11:01

seeker hat geschrieben:Nun haben wir es mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu tun. Der Spieler muss aus Unwissenheit davon ausgehen, dass der Spielleiter die Zahlen A, B so gewählt hat, dass p(A>B) = p(B>A) = 0,5
Vorsicht:
Wenn A und B feste Zahlen sind, dann ergibt es keinen Sinn, p(A>B) zu schreiben. Das ist nur gerechtfertigt, wenn A und B Zufallsvariablen sind.

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 3. Jul 2015, 11:40

Ja, ok.
Die Frage ist jetzt jedenfalls:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, für jeden der sechs Fälle einzutreten bezüglich der Antwort des Spielers?
D.h. mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt der Spieler in den versch. Fällen welche Antwort? (Mit welcher Antwort er wann gewinnt ist ja hier schon fixiert.)
Daraus kann man dann eine Summe bilden, wenn man noch berücksichtigt welche Antwort bei welchem Fall gewinnt (x1) und welche wann verliert (x0) und schauen ob diese >0,5 ist oder nicht.

Da hänge ich noch ein wenig, vielleicht fällt euch das auch leichter?

Grüße
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 3. Jul 2015, 13:29

Also, ich versuche das zu beenden:

Die Wahrscheinlichkeiten, dass der Spieler die untenstehenden Anworten gibt, sind im jeweils tatsächlich voliegenden Fall 1-6 so:

(1) A<B<K -> B>A! (ii), p = 0,6+0,1 = 0,7; Spieler gewinnt: p(Gewinn) 0,7*1=0,7
(2) B<A<K -> B>A! (ii), P = 0,6-0,1 = 0,5; Spieler gewinnt nicht: p(Gewinn) 0,5*0=0
Mittelwert = 0,35

(3) K<A<B -> A>B! (i), p = 0,3-0,1 = 0,2; Spieler gewinnt nicht: p(Gewinn) 0,3*0=0
(4) K<B<A -> A>B! (i), p = 0,3+0,1 = 0,4; Spieler gewinnt: p(Gewinn) 0,4*1=0,4
Mittelwert = 0,2

(5) A<K<B -> B>A! (ii), p = 0,1; Spieler gewinnt: p(Gewinn) 0,1*1=0,1
(6) B<K<A -> A>B! (i), p = 0,1; Spieler gewinnt: p(Gewinn) 0,1*1=0,1
Mittelwert = 0,1

Summe durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit p(Gewinn, ges.) = 0,65 > 0,5



Ich weiß allerdings grad nicht ob und wie viele Fehler da drinstecken, es ist zu heiß heute...

Grüße
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von Job » 3. Jul 2015, 13:39

Hallo zusammen,

leider habe ich im Moment mal wieder kaum Zeit, mich am Forum zu beteiligen, aber dieses Thema möchte ich doch kurz kommentieren. Vielleicht hilft es ja ein wenig.

Die aktuelle Diskussion zeigt aus meiner Sicht, welche Probleme sich auftuen können, wenn man über Wahrscheinlichkeiten redet. Mit ähnlichen Problemen haben sich die Mathematiker jahrhundertelang auch rumgeschlagen und keine befriedigenden Antworten gefunden.

Die Probleme fangen immer da an, wo Unendlichkeiten, insbesondere überabzählbare, ins Spiel kommen. Hier gibt es dann Situationen, wo die Intuition einem einen Streich spielen kann, oder es zu Paradoxien kommen kann.

Diese Unzulänglichkeiten wurden erst um 1930 behoben, als es gelang, für die W-Theorie eine konsistente axiomatische Grundlage zu schaffen. Der Vorteil ist, dass es nun keine zweideutigen Ergebnisse mehr geben kann, der "Wermutstropfen" ist, dass es bei überabzählbaren Ergebnismengen, potenzielle Ereignisse geben kann, für die man keine Wahrscheinlichkeitsaussage machen kann, weil sie nicht messbar sind (im Sinne der Maßtheorie).

Sehr schön ist dies in Wikipedia im Artikel "Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung" beschrieben. Wenn Ihr den einmal in Ruhe durchlest, werdet Ihr einen Eindruck gewinnen, warum viele Diskussionen dieser Art auch hier im Forum immer wieder auf die Probleme stossen, die auch die Mathematiker vor der Axiomatisierung nicht lösen konnten.

Kurz noch zwei Anmerkungen zu dem konkreten Beispiel.
Pippen hat geschrieben:Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Zahl K zwischen zwei ebenfalls zufällig gezogenen Zahlen A und B liegt? (K, A, B € IR)
Zu dieser sehr (zu) allgemeinen Frage gibt es mathematisch keine Antwort.

Das Beispiel im Video hat eine Stelle, wo behauptet wird, dass falls K < A und K < B es eine 50/50 Chance gibt, dass A>B bzw. A<B. Diese Behauptung ist im Rahmen der Axiome entweder fast immer falsch oder aber nicht definiert. (der Autor macht sich hier unsere Intuition zum Verbündeten). Damit ist alles andere, was danach kommt, aus meiner Sicht obsolet. Warum ist die Behauptung falsch? Vielleicht habt Ihr Lust, selber einmal darüber zu brüten. Warm genug ist es ja :-).

Viele Grüße
Job
Alles ist einfacher, als man denken kann, zugleich verschränkter, als zu begreifen ist.
J.W. von Goethe

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von tomS » 3. Jul 2015, 15:31

Danke für den Beitrag.

Ja, das Video ist da nicht immer sauber.

Ich hatte oben ein paar Wikipedia-Artikel verlinkt, in denen man (ansatzweise) die mathematisch notwendigen Formalismen nachlesen kann. Diese sind jedoch durchaus nicht-trivial.

Ich schlage vor, sobald wir glauben, das hier verstanden zu haben, das Banach-Tarski-Paradoxon zu diskutieren ...
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Skeltek
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von Skeltek » 4. Jul 2015, 01:03

Unendlich ist keine Größe, Wert oder Zahl. Es ist die Eigenschaft eines Prozesses nicht zu enden.
Bei Grenzwertbetrachtungen wird unendlich umgangssprachlich einfach so verwendet, weil die Leute zumindest damals wussten was damit gemeint ist.
Inzwischen hat sich dieser Abstrakte Begriff seiner eigentlichen Bedeutung entfremdet. Viele die ihn als Kind lernen hören von den Erwachsenen nur heraus, es sei größer als alles andere... und lernen dann eine falsche Vorstellung davon...
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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