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Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zahlen

Mathematische Fragestellungen
breaker
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von breaker » 30. Jun 2015, 20:35

Nein, das ist wieder nicht richtig.
Es ist eigentlich ganz simpel:

1. Man kann eine reelle Zahl zufällig ziehen, wenn nicht jede Zahl die selbe Wahrscheinlichkeit hat.

2. Mann kann keine reelle Zahl zufällig ziehen, sodass jede Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

Das Wort zufällig, das oben gebraucht wird, hat hier keine eigenständige Bedeutung, sondern bekommt erst einen Sinn, nachdem man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf R gewählt hat.
M.a.W.: Wenn man sagt "zufällig", dann meint man eigentlich: "zufällig bezüglich der und der Wahrscheinlichkeitsverteilung".

Beispiel:
Wenn ich die Gaußverteilung mit Mittelwert 0 zugrunde lege und bezüglich ihr zufällig eine Zahl ziehe, dann haben Zahlen in der Nähe von 0 eine größere Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden, als Zahlen, die sehr weit weg von 0 sind.
Wenn ich eine Gaußverteilung mit Mittelwert 100 habe, und bezüglich ihr zufällig eine Zahl ziehe, dann sind Zahlen nahe 100 wahrscheinlicher usw.

Pippen
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von Pippen » 30. Jun 2015, 23:43

Wenn also der Mann vom Video nur sagt, man solle zwei Zahlen A und B wählen und er dann (zufällig) eine Zahl K wählt, dann kann man keine Wahrscheinlichkeitsaussage darüber machen, wie oft K zwischen A und B liegt. Richtig? Das kann man erst, nachdem man eine gewisse Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrundelegt. Und da liegt doch der Haken! Das ist doch rein willkürlich. Der kann ja nicht wissen, wie ich A und B auswähle und kennt deshalb "meine" Wahrscheinlichkeitsverteilung gar nicht. Ob er <50% Erfolg hat. hängt aber entscheidend davon ab....

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von tomS » 30. Jun 2015, 23:58

Es geht hier um zwei verschiedene Auswahlkriterien. Das erste bezieht sich auf A und B. Es ist im Folgenden jedoch irrelevant, wir A und B ausgewählt werden; die folgende Argumentation gilt immer. Das zweite bezieht sich auf die gemäß einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Auswahl von K. Dieses ist völlig unabhängig vom ersten.

Das Ergebnis lautet nun, dass es unabhängig von der Auswahl von A und B immer möglich ist, eine Gewinnstrategie zu finden. Diese benutzt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Hilfsgröße K.
Pippen hat geschrieben:... und er dann (zufällig) eine Zahl K wählt, dann kann man keine Wahrscheinlichkeitsaussage darüber machen, wie oft K zwischen A und B liegt. Richtig?
Nein, nicht richtig.

Man kann eine Aussage treffen, nämlich dass diese Wahrscheinlichkeit im Allgemeinen größer Null ist. Und genau diese sehr schwache Aussage ist für den Beweis hinreichend.

EDIT: Es ist sogar so, dass ich meine Gewinnstrategie S und meine Wahrscheinlichkeitsverteilung P bzw. -diche p bekanntgeben kann, unter der Voraussetzung, dass immer p(x) > 0. Beweis durch Widerspruch: Bitte zeige, du gegen mich gewinnst, wenn ich Rahmen von S die Normalverteilung benutze
Gruß
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von breaker » 1. Jul 2015, 01:05

Folgendes ist aber durchaus richtig (und vielleicht ist das das Problem, das du mit der Strategie hattest):

Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist zwar immer größer, als 50%, aber man kann mit dieser Strategie niemals ein noch besseres Ergebnis erreichen.
Beispielsweise ist es unmöglich, sicher eine Gewinnwahrscheinlichkeit von mindestens 51% zu erreichen. Noch schlimmer: für jedes ∂>0 ist es unmöglich, sicherzustellen, dass man eine Gewinnwahrscheinlichkeit größer als 50%+∂ hat. Sie kann größer sein, aber man kann nicht sicherstellen, dass sie es ist!

Man weiß wirklich nur, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit größer als 50% ist, aber sie kann beliebig nahe an 50% liegen.
Das liegt daran, dass es theoretisch möglich ist, dass A und B immer so blöd gewäht sind, dass die Wahrscheinlichkeit, dass K zwischen A und B liegt, kleiner als ∂ ist.

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von tomS » 1. Jul 2015, 06:52

Zunächst mal ist es m.E. wichtig, dass das Prinzip nur für N, Z, Q, R sinnvoll ist. Für endliche Intervalle gibt es andere, bessere Strategien.

Es ist doch so: wenn der Spielleiter die Gewinnstrategie S (mittels zufälligem K) kennt, dann kennt er auch deren Schwächen. Wenn er sogar die genaue Verteilungsfunktion p(x) kennt, dann kann er dieses Wissen zu seinem Vorteil nutzen (z.B. wenn er weiß, dass welche Normalverteilung vorliegt, wird er seine Zahlen A,B weit weg von deren Maximum wählen; ganz schlecht wären Verteilungen mit endlichen Intervallen, auf denen p(x) = 0 gilt). D.h. am geschicktesten ist es, diese Verteilungsfunktion p(x) geheim zu halten.

Nun muss man bedingte Wahrscheinlichkeiten betrachten.

Wenn A,B beliebig aber fest vorgegeben sind, dann folgt die Gewinnwahrscheinlichkeit aus P(A,B), also dem Integral über p(x) auf dem Intervall [A,B]. Dies ist die Situation, die sich dem Spielleiter präsentiert, nachdem er A,B gewählt hat (wobei er p nicht kennt).

Wenn A,B noch nicht vorgegeben sind, also für den Spieler zu Beginn des Spiels, folgt die Gewinnwahrscheinlichkeit aus Q(A,B) * P(A,B), wobei Q die Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür ist, dass der Spielleiter ein bestimmtes Intervall festlegt. Nun kennt der Spieler jedoch Q nicht, kann also sein p nicht entsprechend optimieren.

Nehmen wir an, es gäbe einen dritten Beobachter, der sowohl Q als auch P kennt. Dieser kann die Gewinnwahrscheinlichkeit exakt berechnen.

Jedenfalls gilt für Q und P, dass keine Gleichverteilung auf N, Z, Q, R vorliegen kann, dass es also bevorzugte Bereiche geben muss. Da diese für dem Spielleiter jedoch nicht bekannt sind, kann er eigtl. nur eines machen, nämlich A,B möglichst nahe beieinander wählen.
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 1. Jul 2015, 08:51

tomS hat geschrieben:Jedenfalls gilt für Q und P, dass keine Gleichverteilung auf N, Z, Q, R vorliegen kann, dass es also bevorzugte Bereiche geben muss. Da diese für dem Spielleiter jedoch nicht bekannt sind, kann er eigtl. nur eines machen, nämlich A,B möglichst nahe beieinander wählen.
Ein wichtiger Punkt hierbei ist allerdings:
Es gibt kein "A,B sind möglichst nahe beieinander" in R, weil sich in jedem beliebigen Intervall [AB] überabzählbar unendlich viele Zahlen befinden!
Es gibt aber ein "beliebig nahe beieinander".

Ich komme u.a. auch deshalb immer wieder zu dem Schluss, dass mit der "K-Strategie" des Spielers zwar eine Gewinnwahrscheinlichkeit p = 0,5 + e > 0,5 erreicht wird, dass dieses e aber gegen Null läuft, dass es also im Mittel, bei vielen Spielen (mit immer anderen Verteilungen) beliebig klein sein wird, unter der Voraussetzung, dass Spielleiter und Spieler ihre Auswahlfunktionen für die zu wählenden Zahlen unabhängig voneinander treffen (was ja in der Aufgabenstellung so vorgegeben ist) - und zwar unabhängig davon, welche sinnvollen Verteilungen/Auswahlfunktionen von Spielleiter und Spieler zur Gewinnung ihrer Zahlen gewählt werden, denn ich glaube, dass es bei jeder möglichen Auswahlfunktion, die zufällige Zahlen aus R gewinnt, unendlich große "Ränder" (o.ä.) geben muss, wo die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zu ziehen gegen Null läuft. In genau diesen Rändern der Funktion des Spielleiters (wenn dieser optimal spielt) wird die Funktion des Spielers aber in nahezu allen Fällen (also mit einer Wahrscheinlichkeit, die gegen 100% läuft) liegen, denn dieser muss seine Auswahlfunktion K ja nur mit der Information der Kenntnis einer der Zahlen A,B auswählen, d.h. er kann nicht abschätzen/wissen wie nahe A,B zusammen liegen, womit er seine eigene Funktion für K (aus Wahrscheinlichkeitsgründen) fast immer fast maximal schlecht wählen wird.

D.h. ob der Spieler nun nach der K-Strategie spielt oder ohne Strategie einfach nur rät, macht nur einen infinesimal kleinen Unterschied, ist also eigentlich (in der Realität) zu vernachlässigen.

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 1. Jul 2015, 09:04

Korrektur:
Um das genannte Problem zu umgehen, muss der Spieler eine Auswahlfunktion wählen, die ihr Wahrscheinlichkeitsmaxmum genau bei der ihm bekannten Zahl (A oder B) hat und die ihm eine zufällige Zahl liefert, die beliebig/möglichst nahe bei dieser Zahl liegt. Tut er das, so sollte er m. E. nahezu eine 50%-Chance erhalten, dass sein K im Intervall [AB] zum liegen kommt.

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von breaker » 1. Jul 2015, 10:11

seeker hat geschrieben:Korrektur:
Um das genannte Problem zu umgehen, muss der Spieler eine Auswahlfunktion wählen, die ihr Wahrscheinlichkeitsmaxmum genau bei der ihm bekannten Zahl (A oder B) hat und die ihm eine zufällige Zahl liefert, die beliebig/möglichst nahe bei dieser Zahl liegt. Tut er das, so sollte er m. E. nahezu eine 50%-Chance erhalten, dass sein K im Intervall [AB] zum liegen kommt.
Aber er weiß ja nicht, wie nahe B an A liegt. Deshalbkann er niemals sicher sein, eine nahezu 50%-Chance zu haben...

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 1. Jul 2015, 10:21

Jetzt verwirrt mich die Sache wieder sehr... :?

Folgende vermutete Optimal-Strategie für den Spieler:

Der Spieler sieht sich eine der beiden Zahlen A oder B an (nehmen wir für weiter unten an, es wäre zufällig A).
Dann wählt er folgende Auswahlfunktion: K = A +- e. e ist eine infinitesimal kleine Zahl > 0.
Nun wirft er eine Münze. Zeigt sie Kopf, so bildet er sein K so: K = A + e, also K > A
Zeigt sie Zahl, so bildet er sein K so: K = A - e, also K < A
Mit dieser Information hat er alles was er braucht um seine Strategie anzuwenden, es gibt nun sechs mögliche Fälle:

1. A < B < K
2. A < K < B
3. K < A < B
4. B < A < K
5. B < K < A
6. K < B < A

Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt von jedem dieser Fälle ist gleich hoch: 16,66 %
In den Fällen 1.+ 3. + 4. + 6. gewinnt der Spieler mit 50% Wahrscheinlichkeit.
In den Fällen 2. + 5. gewinnt er mit 100% Wahrscheinlichkeit.
Das hieße dann, dass der Spieler mit 66,66% Gesamtwahrscheinlichkeit gewinnt!

Eigentlich kann man sogar Fall 1. und 6. ausschließen, weil sein K ja maximal nahe an A liegt, womit seine Gewinnwahrscheinlichkeit dann sogar 75% beträgt.

Stimmt das??

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von breaker » 1. Jul 2015, 11:39

Offensichtlich nicht:
Angenommen, B=A+e/2. Dann liegt dein K nie zwischen A und B. Du brauchst eine Verteilung, die dir immer eine positive Wahrscheinlickeit liefert, dass K zwischen A und B liegt. Unabhängig davon, was A und B sind!


Auch ist nicht klar, warum deine 6 Fälle alle gleich wahrscheinlich sein sollten.

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 1. Jul 2015, 12:09

breaker hat geschrieben:Auch ist nicht klar, warum deine 6 Fälle alle gleich wahrscheinlich sein sollten.
Ja, da bin ich mir auch noch nicht sicher. Im Grunde sind es -falls meine Argumentation stimmt- eh nur 4 mögliche Fälle, dann aber sicher mit je 25% Wahrscheinlichkeit.
breaker hat geschrieben:Angenommen, B=A+e/2. Dann liegt dein K nie zwischen A und B. Du brauchst eine Verteilung, die dir immer eine positive Wahrscheinlickeit liefert, dass K zwischen A und B liegt. Unabhängig davon, was A und B sind!
Ich glaube, das erfülle ich.

Mein Kniff geht ja so:
Der Spielleiter muss, egal, wie er A und B wählt, A und B konkret aufschreiben, also auch irgendwie konkret errechenen oder erraten können, etc.
Für K muss das aber m. E. nicht gelten! Es reicht meiner Idee nach, wenn ich zufällig festlege, ob K infinitesimal größer oder kleiner als A ist.
Deshalb kann ich sagen, dass mein e immer so klein ist, dass es viel kleiner ist, als der Abstand von A zu B, ohne es konkret angeben oder errechenen zu müssen.
Deshalb kann ich B=A+e/2 ausschließen und deshalb liegt K beliebig dicht an A (B aber nicht mehr, denn es ist ja schon fixiert). Gleichzeitig stellt mein Münzwurf, der das Vorzeichen von e zufällig auswählt, sicher, dass K immer im Intervall [AB] mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % (also > 0%) zum liegen kommt. Das geht deshalb immer, weil ich A (oder B) nach den Regeln des Spiels ja vor der Wahl von K anschauen darf, also kenne.
(Siehe dein Link: http://mathoverflow.net/questions/9037/ ... arger-with)

Grüße
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von breaker » 1. Jul 2015, 13:49

Nur um sicher zu gehen, dass ich Dich richtig verstehe:
Kannst du mal genau von vorne bis hinten erklären, wie du mit deiner Strategie auf mehr als 50% kommst?

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 1. Jul 2015, 17:30

Also nochmal genauer:

Der Spielleiter wählt zwei Zahlen A und B (aus R) nach einer nicht näher bekannten Methode und schreibt diese auf, also fixiert sie.
Bekannt ist dem Spieler also, dass A und B einen ebenso fixierten Abstand d voneinander haben, der > 0 ist.
Bekannt ist dem Spieler damit auch, dass unendlich viele Zahlen e(1), e(2), e(3), ... existieren, die kleiner d aber größer 0 sind.
Bekannt ist dem Spieler weiterhin eine der beiden vom Spielleiter festgelegten Zahlen (A oder B).
Der Spieler registriert also z.B. A und leitet daraus sein K ab, indem er sagt: K = A +- e(n), im "+-" steckt die zufällige Wahl:
Er wirft eine Münze (also 50:50-Chance), bei Kopf wählt er K = A + e(n) -> K > A, bei Zahl wählt er K = A - e(n) -> K < A.
Er kennt e dabei nicht konkret, weiß aber dass es existiert - und das reicht m. E.
Der Punkt ist: Es ist egal welches e(n) er wählt und er muss es m. E. auch nicht konkret angeben können, denn die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne A+e bzw. A-e im Intervall [AB] zu liegen ist immer 50%, deshalb, weil (jedes) K auf jeden Fall näher an A liegt als B.
Man kann also für das so gewonnene K berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit es im Intervall [AB] liegt, ohne e konkret kennen zu müssen.

Nach der Festlegung aller drei Zahlen A, B, K gibt es nun vier mögliche Fälle:

1. A < K < B
2. K < A < B
3. B < A < K
4. B < K < A

Es gibt nur diese 4 Fälle, weil K dichter an A liegt als B, jeder Fall muss gleich wahrscheinlich sein, insofern man annimmt, dass der Spielleiter seine Wahl von A und B so trifft, dass die Wahrscheinlichkeit für A > B gleich groß ist wie die Wahrscheinlichkeit für B > A (was aber auch eine untergeordnete Rolle spielt, weil p(A>B) + p(B>A) = 100%).
Jeder Fall kann also mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% angenommen werden.

Der Spieler wählt seine Antwort auf die Frage ob B größer oder kleiner als A ist immer unter der Prämisse, dass er Glück hatte (K liegt zwischen A und B, diese Wahrscheinlichkeit beträgt 50%).

Ist also sein K > A, so gibt er zur Antwort: "B > A !"
Ist sein K < A, so gibt er zur Antwort: "A > B !"

Liegt nun tatsächlich Fall 1. oder 4. vor, so gewinnt er mit 100% Wahrscheinlichkeit.
Liegt der Fall 2. oder 3. vor, so gewinnt er mit 50% Wahrscheinlichkeit.

Insgesamt macht das dann eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 75%!

Diese Schlussfolgerung finde ich recht dramatisch und verwirrt mich auch selber... es kann gut sein, dass ich irgendwo einen Denkfehler oder sonstigen Fehler drinhabe.
Das möchte ich halt gern klären.

Beste Grüße
seeker
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 1. Jul 2015, 17:47

P.S.:
Ich glaube, ich habe den Fehler gefunden, er liegt hier:
seeker hat geschrieben:Liegt der Fall 2. oder 3. vor, so gewinnt er mit 50% Wahrscheinlichkeit.
Nein, es sieht so, aus, dass er dann mit 0% Wahrscheinlichkeit gewinnt.
...womit die Gesamt-Gewinnwahrscheinlichkeit hier bei dieser Strategie nur 50% betrüge.

...und jetzt versteh ich ich grad nicht mehr warum dann die Ursprungsstrategie funktioniert.
Also alles nochmals durchdenken... :?

Grüße
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Pippen
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von Pippen » 1. Jul 2015, 19:52

tomS hat geschrieben:Das Ergebnis lautet nun, dass es unabhängig von der Auswahl von A und B immer möglich ist, eine Gewinnstrategie zu finden. Diese benutzt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Hilfsgröße K.
Pippen hat geschrieben:... und er dann (zufällig) eine Zahl K wählt, dann kann man keine Wahrscheinlichkeitsaussage darüber machen, wie oft K zwischen A und B liegt. Richtig?
Nein, nicht richtig.

Man kann eine Aussage treffen, nämlich dass diese Wahrscheinlichkeit im Allgemeinen größer Null ist. Und genau diese sehr schwache Aussage ist für den Beweis hinreichend.
Genau das verstehe ich nicht. Es gibt für jedes K unendlich viele AB-Intervalle in IR, und zwar unendlich viele AB-"A<K<B"-Intervalle und unendlich viele ~AB-"A<K<B"-Intervalle. Ich habe mir von einer damaligen Diskussion gemerkt, dass bei unendlich vielen möglichen Ereignissen die Stochastik unanwendbar wird, weil man - flapsig gesagt - mit "unendlich" nicht rechnen kann. Und das scheint mir auch heute noch einleuchtend: Aus einer Urne mit unendlich vielen AB-Intervallen kann man mit keiner Wahrscheinlichkeit einen AB-"A<K<B"-Intervall ziehen, weil .../unendlich nicht definiert ist. Dann kann man aber auch nicht behaupten, dass die Wahrscheinlichkeit für einen AB-"A<K<B"-Intervall "im Allgemeinen größer Null ist". Man bräuchte mehr Info, zB eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die einem sagt, mit welcher Struktur die jeweiligen Intervalle in der Urne verteilt wären.

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von breaker » 1. Jul 2015, 20:26

Das hast du dir falsch gemerkt. Tom hat damals z.B. folgendes geschrieben:
TomS hat geschrieben:OK, bleiben wir bei der Urne mit endlich oder unendlich vielen Kugeln, die mit 1,2,3... durchnumeriert sind. Nimm' an, dass die Kugeln unterschiedliche Größe haben und dass die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel zu ziehen, irgendwie mit der Größe der Kugel zusammenhängt.

Z.B. könnten unendlich viele Kugeln eine Poisson-verteilte Größe und damit entsprechend eine Poisson-verteilte Wahrscheinlichkeit haben. Warum jetzt physikalisch gerade die Poisson-Verteilung realisiert sein soll, ist eine andere Frage; das kann die Matghematik so nicht beantworten, dazu bräuchte man ein konkretes physikalisches Modell, das eben eine derartige Verteilung voraussagt (Poisson ist nur ein Beispiel; andere Verteilungen wären ebenfalls denkbar).

http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung

Was auch denkbar wäre, dass unendlich viele Kugeln eine identische Größe hätten. In diesem Fall ist es aber nicht möglich, der Größe eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen; das ist mathematisch einfach nicht definierbar!! Für endlich viele Kugel 1,2,...,N, also n ϵ [1,N] bekommst du richtigerweise die Wahrscheinlichkeiten pn = 1/N. Für unendlich viele Kugel n ϵ [1,∞[ wäre die Wahrscheinlichkeiten pn = 0; und daraus lässt sich kein gültiges Wahrscheinlichkeitsmaß ableiten.

D.h. dass die triviale Annahme der Gleichverteilung mathematisch schlichtweg nicht existiert, und dass man demnach daraus auch nichts folgern kann. Eine physikalische Theorie müsste also eine andere Verteilung vorhersagen oder man bräuchte ein physikalisches Argument für eine bestimmte Verteilung. Solange so ein Argument nicht vorliegt, kann man ebenfalls nichts aussagen. Dieses sogenannte "Maßproblem" tritt im Umfeld von Parallel- und Multiversen immer wieder auf und ist heute grundsätzlich nicht gelöst. Speziell für die Gleichverteilung ist es mathematisch beweisbar unlösbar. Und daher halte ich Spekulationen, die aus dieser Ecke stammen zwar grundsätzlich für interessant aber teilweise auch für unredlich. Insbs. muss man in diesem Zusammenhang immer auf die o.g. ungelösten Probleme hinweisen.
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von Pippen » 1. Jul 2015, 22:55

Das ist doch genau das, was ich sage: Bei einer Urne mit unendlich vielen Kugeln kann für kein Ereignis eine Wahrscheinlichkeit angegeben werden. Erst bei einer Urne mit unendlich vielen Kugeln und der Annahme eines bestimmten Verteilungsmechanismus der Kugeln kann man das machen. Ergo: Wenn ich einfach nur A, B und K aus IR einführe, dann kann ich keine Wahrscheinlichkeit angeben, wie oft K zwischen A und B liegt. Denn es gäbe unendlich viele AB-Intervalle, wo K nicht dazwischenliegt und damit gilt: günstiges Ereignis (A<K<B)/mögliche Ereignisse (unendlich viele AB-Intervalle, u.a. unendlich viele AB-Intervalle ohne K als Zwischenzahl) = undefiniert. Deshalb braucht man eine Zusatzannahme und das sind eure ominösen Verteilungungen. Das ist natürlich problematisch, wenn ich bei einer Urne, von der ich einfach nur weiß, dass da nummerierte Kugeln drin sind auf einmal annehme, dass diese Kugel in der Urne in einer bestimmten Weise verteilt sind. Deshalb gibt es ja sicherlich auch viele mögliche Verteilungen, die man annehmen kann. Ein Computer kann zB nur bestimmte Zahlenlängen verarbeiten, so dass dort aufgrund der Technik bestimmte Verteilungen angenommen werden können. Ein Mensch kann aber auch undarstellbare Zahlen durch abstrakte Beschreibungen verarbeiten.

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von breaker » 2. Jul 2015, 00:24

Erst bei einer Urne mit unendlich vielen Kugeln und der Annahme eines bestimmten Verteilungsmechanismus der Kugeln kann man das machen...
Das ist IMMER der Fall!
Nicht erst bei unendlich vielen Kugeln. Wahrscheinlichkeiten kann man immer erst angeben, nachdem man ein bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß gewählt hat!

Der einzige Unterschied zwischen endlich vielen und unendlich vielen Kugeln ist dass bei unendlich vielen Kugeln eine einzige Verteilung nicht mehr funktioniert (nämlich die Gleichverteilung).

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von tomS » 2. Jul 2015, 06:44

breaker hat geschrieben:
Erst bei einer Urne mit unendlich vielen Kugeln und der Annahme eines bestimmten Verteilungsmechanismus der Kugeln kann man das machen...
Das ist IMMER der Fall!
Nicht erst bei unendlich vielen Kugeln. Wahrscheinlichkeiten kann man immer erst angeben, nachdem man ein bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß gewählt hat!

Der einzige Unterschied zwischen endlich vielen und unendlich vielen Kugeln ist dass bei unendlich vielen Kugeln eine einzige Verteilung nicht mehr funktioniert (nämlich die Gleichverteilung).
Merken!
Gruß
Tom

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 2. Jul 2015, 12:57

breaker hat geschrieben:Der einzige Unterschied zwischen endlich vielen und unendlich vielen Kugeln ist dass bei unendlich vielen Kugeln eine einzige Verteilung nicht mehr funktioniert (nämlich die Gleichverteilung).
Das gilt auch für Gleichverteilungen auf unendlichen Teilmengen aus R.
Ich kann z.B. definieren, dass die Wahrscheinlichkeit aus R eine nicht-ganze Zahl zu ziehen Null sein soll. Damit bleiben nur die ganzen Zahlen übrig, die in Summe ein p von genau 1 haben müssen. Auch aus dieser Teilmenge kann ich keine ganze Zahl gleichverteilt ziehen.
Weiterhin sind m. E. auch Verteilungen, die irgendwo negative oder imaginäre (etc.) Wahrscheinlichkeitswerte liefern sinnlos.

Wie sieht es bei einer unendlichen Sinuswellenverteilung auf R aus?
Und wie bei einer Verteilung, die nicht analytisch lösbar ist, z.B. einer nichtlinearen, deterministisch-chaotischen Verteilung?
(Ich glaube, dass man hier zwar sagen kann, dass sie existiert, aber man kann damit nichts anfangen, womit auch diese Verteilung unbrauchbar ist.)

Zurück zum ursprünglichen Problem: http://mathoverflow.net/questions/9037/ ... arger-with

Wir haben bisher erkannt, dass bei diesem Problem nicht nur die Gleichverteilung auszuschließen ist, sondern zusätzlich noch alle Verteilungen, die nicht mit Sicherheit gewährleisten, dass die Wahrscheinlichkeit für K im Intervall [A,B] zu liegen > 0 ist.

Aus dem Scheitern meiner zuletzt vorgeschlagenen Strategie schließe ich, dass aber auch das nicht ausreicht (denn meine Strategie erfüllte alle bisher gefundenen Bedingungen):
Es muss zusätzlich (durch die Verteilung) auch noch sichergestellt sein, dass die Wahrscheinlichkeit für K auf beiden Seiten des Intervalls [A,B] zu liegen nicht Null ist!
D.h. es müssen mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 auch die Fälle
1. K > A und K > B
2. K < A und K < B
auftreten können. (Man muss hier auch die durch die Strategie des Spielers festgelegten Antworten ("A ist größer!", "B ist größer!") im Auge behalten.)
(Diese Bedingung erfüllte meine Strategie nicht.)

Ansonsten muss ich jetzt nochmals diese Behauptung hier überprüfen:
1) r is less than x and y. In this case, you guess "smaller" and win the game if x>y. Because variables x and y were assigned to the hidden numbers uniformly at random, P(x>y)=1/2. Thus, in this case you win with probability one half.

2) r is greater than x and y. By a symmetric argument to (1), you guess "larger" and win with probability one half.
http://mathoverflow.net/questions/9037/ ... arger-with

Ich bin mir nicht mehr sicher, ob das stimmt, wenn K nach einer Ungleichverteilung gewählt werden muss, z.B. nach einer Normalverteilung, deren Maximum definitiv nie genau in der Mitte des Intervalls [AB] liegen wird, womit sich zwangsläufig eine Asymmetrie ergibt, die die Gesamt-Gewinnwahrscheinlichkeit evtl. dann doch wieder auf exakt 50% drücken könnte und womit die Strategie dann doch nicht funktionieren würde. Das ist aber im Moment nur so eine Vermutung...

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 2. Jul 2015, 13:29

Ich habs mir nun angeschaut.
Ich komme vorerst zu dem Schluss, dass die Strategie nicht funktioniert: Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Spielers liegt nach wie vor bei 50%.
Wegen der Asymmetrie, die dafür sorgt, dass der Spieler durch seine Strategie-determinierte Antwort in den Fällen 1) und 2) mit etwas geringerer Wahrscheinlichkeit als 50% gewinnt, was den Vorteil beim Fall 3) wieder genau ausgleicht.

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von tomS » 2. Jul 2015, 13:30

seeker hat geschrieben:Das gilt auch für Gleichverteilungen auf unendlichen Teilmengen aus R.
Ja.
seeker hat geschrieben:Weiterhin sind m. E. auch Verteilungen, die irgendwo negative oder imaginäre (etc.) Wahrscheinlichkeitswerte liefern sinnlos.
Ja. Aber ist per definitionem ausgeschlossen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrschei ... tsma%C3%9F
https://de.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-Algebra
seeker hat geschrieben:Ich glaube, dass man hier zwar sagen kann, dass sie existiert, aber man kann damit nichts anfangen, womit auch diese Verteilung unbrauchbar ist.
Soweit ich weiß sind sehr allgemeine Maße zulässig.

https://de.wikipedia.org/wiki/Ma%C3%9F_(Mathematik)
https://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue- ... s-Ma%C3%9F

z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Verteilung
seeker hat geschrieben:Wir haben bisher erkannt, dass bei diesem Problem nicht nur die Gleichverteilung auszuschließen ist, sondern zusätzlich noch alle Verteilungen, die nicht mit Sicherheit gewährleisten, dass die Wahrscheinlichkeit für K im Intervall [A,B] zu liegen > 0 ist.
Das sind zwei verschiedene Dinge. Die Gleichverteilung existiert nicht, also musst du sie nicht ausschließen. Pathologische Verteilungen, die keine gesicherte Gewinnstrategie S liefern, sind halt dumm gewählt.
seeker hat geschrieben:Es muss zusätzlich (durch die Verteilung) auch noch sichergestellt sein, dass die Wahrscheinlichkeit für K auf beiden Seiten des Intervalls [A,B] zu liegen nicht Null ist!
Da du nicht weißt, wo das Intervall [A,B] liegt, und da somit deine Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) für jedes beliebige Intervall [A,B] eine Wahrscheinlichkeit P(A,B) > 0 zurückliefern muss, muss p(x) m.E. auf einer in R dichten Menge ungleich Null sein
Gruß
Tom

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von breaker » 2. Jul 2015, 14:28

Das gilt auch für Gleichverteilungen auf unendlichen Teilmengen aus R.
Ich kann z.B. definieren, dass die Wahrscheinlichkeit aus R eine nicht-ganze Zahl zu ziehen Null sein soll. Damit bleiben nur die ganzen Zahlen übrig, die in Summe ein p von genau 1 haben müssen. Auch aus dieser Teilmenge kann ich keine ganze Zahl gleichverteilt ziehen.
Weiterhin sind m. E. auch Verteilungen, die irgendwo negative oder imaginäre (etc.) Wahrscheinlichkeitswerte liefern sinnlos.
Das ist alles richtig.
Wie sieht es bei einer unendlichen Sinuswellenverteilung auf R aus?
Kann aus zwei Gründen keine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein:
1. nimmt sie negative Werte an,
2. ist sie keine integrierbare Funktion.
Und wie bei einer Verteilung, die nicht analytisch lösbar ist, z.B. einer nichtlinearen, deterministisch-chaotischen Verteilung?
Bin nicht sicher, was du damit für Verteilungen meinst.


Lass mich jetzt nochmal die Standardstrategie und Deine Strategie nebeneinanderstellen.
Die Standardstrategie geht wie folgt:
Ich wähle (der Einfachheit halber) eine Gaußverteilung mit Mittelwert 0 und Breite 1. Diese nenne ich p(x).
Die unbekannten Zahlen nenne ich a und b. Jetzt definiere ich A=min(a,b) und B=max(a,b). Die Frage ist jetzt, ob A=a oder A=b ist.
Nun schaue ich mir a an und lasse ich mir mit meiner Gaußverteilung ein K erzeugen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass K zwischen A und B liegt, ist

Diese nenne ich P[down]1[/down]. Die Wahrscheinlichkeit, dass K nicht zwischen A und B liegt, ist

Diese nenne ich P[down]2[/down].

Also gilt folgendes:
(i) In (100•P[down]1[/down]) Prozent der Durchgänge rate ich richtig.
(ii) In (100•P[down]2[/down]) Prozent der Durchgänge habe ich eine 50/50-Chance.

Wegen P[down]1[/down]+P[down]2[/down]=1 habe ich also bei jedem Durchgang eine 50%-Chance oder besser.

Deine Strategie geht wie folgt:
Wie Tom bereits gesagt hat, ist es meine Sache, wie ich meine Strategie wähle und was ich dafür benutze. Wenn ich will, kann ich also auch hyperreelle Zahlen benutzen. Deshalb sei e irgendeine infinitesimale Zahl. Wir schauen nun die Zahl a an und wählen dann folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung auf *R (den hyperreellen Zahlen):

In Worten: Mit je der Wahrscheinlichkeit 1/2 ist K a+e, bzw. K=a-e. Die Wahrscheinlichkeit, dass K irgendwas anderes ist, ist 0.
Das bedeutet, K liegt mit Wahrscheinlichkeit 1/2 zwischen A und B.
Wenn K=a+e herauskommt, sagst du, dass b>a ist, sonst b<a.
Nun bleibt es richtig, dass du auf jeden Fall gewinnst, wenn K zwischen A und B liegt. Das ist in 50% der Fälle der Fall.
ABER wenn K nicht zwischen A und B liegt, hast du keine 50/50-Chance, sondern liegst immer falsch! Deshalb bleibt es insgesamt bei einer 50/50-Chance.

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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von seeker » 2. Jul 2015, 15:43

tomS hat geschrieben:Da du nicht weißt, wo das Intervall [A,B] liegt, und da somit deine Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) für jedes beliebige Intervall [A,B] eine Wahrscheinlichkeit P(A,B) > 0 zurückliefern muss, muss p(x) m.E. auf einer in R dichten Menge ungleich Null sein
Genau! Das ist auch meine Schlussfolgerung daraus. Allerding kennt man einen Rand des Intervalls. Vielleicht lässt sich damit doch noch etwas anfangen.
breaker hat geschrieben:In Worten: Mit je der Wahrscheinlichkeit 1/2 ist K a+e, bzw. K=a-e. Die Wahrscheinlichkeit, dass K irgendwas anderes ist, ist 0.
Das bedeutet, K liegt mit Wahrscheinlichkeit 1/2 zwischen A und B.
Wenn K=a+e herauskommt, sagst du, dass b>a ist, sonst b<a.
Nun bleibt es richtig, dass du auf jeden Fall gewinnst, wenn K zwischen A und B liegt. Das ist in 50% der Fälle der Fall.
ABER wenn K nicht zwischen A und B liegt, hast du keine 50/50-Chance, sondern liegst immer falsch! Deshalb bleibt es insgesamt bei einer 50/50-Chance.
Danke für die Ausführungen. Genau! So ist es!
breaker hat geschrieben: (Sinus) Kann aus zwei Gründen keine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein:
1. nimmt sie negative Werte an,
2. ist sie keine integrierbare Funktion.
1. lässt sich ausschalten, indem man den Sinus so nach oben verschiebt, dass sein Minimum >= 0.
2. ist relevant! Danke!
breaker hat geschrieben: Und wie bei einer Verteilung, die nicht analytisch lösbar ist, z.B. einer nichtlinearen, deterministisch-chaotischen Verteilung?
Bin nicht sicher, was du damit für Verteilungen meinst.
Nun z.B. eine Verteilung, deren Kurve prinzipiell so aussieht, wie bei der Kurve der logistischen Gleichung, bei der ein entfernter Punkt also nicht direkt errechenbar ist, sondern Schritt für Schritt errechnet werden muss.
https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung
... aber ich sehe, dass wir auch dort ein Integral bekommen, das unendlich groß wird, also nicht-integrierbar!
Dennoch wird es sicherlich auch Kurven geben, die doch integrierbar sind, da beidseitig gegen Null laufend aber dennoch nicht direkt berechenbar sind. Solche Wahrscheinlichkeitsmaße wären zwar existent, aber schwer handhabbar, da wir ihren Verlauf nicht gänzlich kennen können.
breaker hat geschrieben:Also gilt folgendes:
(i) In (100•P1) Prozent der Durchgänge rate ich richtig.
(ii) In (100•P2) Prozent der Durchgänge habe ich eine 50/50-Chance.
(ii) stelle ich in Frage! Ich glaube, dass man dort eben nur eine Chance kleiner 50/50 hat!
Deswegen weil die Antwort, die der Spieler dort gibt (A>B ODER A<B), durch seine Strategie (also der Kenntnis des K, K größer/kleiner A bzw. B) bestimmt ist und weil die damit zusammenhängende Wahrscheinlichkeit dass K in A bis unendlich liegt NICHT gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass K in B bis unendlich liegt (wegen der Asymmetrie: das Maximum jeder gewählten/wählbaren Verteilung für K liegt niemals in der Mitte des Intervalls [AB], die Verteilung ist also immer asymmetrisch bezgl. [AB]). Die Antworten, die der Spieler hier bei jedem möglichen Fall geben muss, wählen deshalb (wegen seiner Strategievorschrift) in jedem Fall die Möglichkeit, die eine Chance auf Richtigkeit kleiner 50% hat.

Ich kann das später evtl. noch genauer ausführen und zur Diskussion stellen, wenn ihr wollt bzw. noch nicht versteht, was ich meine.

Beste Grüße
seeker
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Re: Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zah

Beitrag von Pippen » 2. Jul 2015, 17:01

breaker hat geschrieben:
Der einzige Unterschied zwischen endlich vielen und unendlich vielen Kugeln ist dass bei unendlich vielen Kugeln eine einzige Verteilung nicht mehr funktioniert (nämlich die Gleichverteilung).
OHHH! Das hilft mir wirklich beim Verständnis weiter. Super!

Hilft das aber dem Mann aus dem Video? Der hat ja nur A, B und K aus IR eingeführt und damit eine gleichverteilte unendliche Menge, wo Wahrscheinlichkeiten nicht mehr funktionieren. Ich frage mal: Mit welcher Begründung kann man denn nun willkürlich einfach irgendwelche Verteilungsmuster annehmen?

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