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Ist Mathematik Sprache der Physik?

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von Alberich » 15. Jun 2015, 12:54

@tomS
Zuerst: Verzeih folgenden Sarkasmus.
tomS hat geschrieben:Die natürlichen Zahlen kann man sehr wohl zählen
Dann sollten wir heute noch beginnen. Danach die rationalen, die ebenfalls abzählbar sind.
Die reellen nicht, denn sie sind überabzählbar, wie man weiß.
Skeltek hat geschrieben:Du solltest das Unvermögen der "modernen" Wissenschaft berücksichtigen, nur diskret erfassbares festzuhalten und damit rechnen zu können.
Deswegen mein neuer thread: Ist die Welt körnig? Wer kann uns ein Kontinuum nennen (in der Natur)?
MfG
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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von positronium » 15. Jun 2015, 13:12

seeker hat geschrieben:xxx --> Soziologie --> Biologie --> Chemie --> Physik --> Mathematik
--> : "ist Teil von/beruht vollständig auf"

Passt das oder passt das nicht?? Was meint ihr?
Das ist wahrscheinlich zum einen stark vereinfacht, zum anderen bzgl. der Mathematik nur eine Vermutung.
Ohne die Mathematik würde ich eher Pfeile dieser Form einführen: <-->>, die besagen, dass der linke Teil stark auf dem rechten, aber auch der rechte schwach auf dem linken beruht bzw. davon abhängt. Und die Kette würde ich nicht nur linear aufbauen, sondern auch Pfeile z.B. direkt zwischen Biologie und Physik legen.
Aber darum ging es ja nicht primär im Thread, sondern um die Stellung der Mathematik.
Ich glaube, dass gilt: ...Physik --> Logik. - Ich kann nicht erkennen, dass die ganze Mathematik in der Natur realisiert ist. Sie dürfte m.M.n. nur der Beschreibung dienen. Aber wie geschrieben: Das ist nur eine Vermutung; wissen kann man das natürlich nicht.

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von tomS » 15. Jun 2015, 13:35

Ich sehe auch nicht, dass die gesamte Mathematik in der Natur realisiert ist. Ich denke jedoch, dass die Natur durch eine bestimmte "Untermenge" bzw. durch eine bestimmte "mathematische Struktur" beschrieben wird. Die zwei relevanten Fragen sind: durch welche Struktur? und warum gerade diese?
Gruß
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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von seeker » 15. Jun 2015, 16:43

tomS hat geschrieben:Ich denke jedoch, dass die Natur durch eine bestimmte "Untermenge" bzw. durch eine bestimmte "mathematische Struktur" beschrieben wird. Die zwei relevanten Fragen sind: durch welche Struktur? und warum gerade diese?
Die Frage ist auch: Wenn Untermenge, beschreibt diese Untermenge dann unsere Welt vollständig und eindeutig oder nicht?
Der Punkt dabei ist: Falls nicht, dann kann diese Untermenge aus der Mathematik (einer reduktiven Mathematik) unsere Welt prinzipiell nicht vollständig erklären/beschreiben!
Oder ist das mit der Mathematik nur eine ganz bestimmte, von uns gewählte Perspektive auf die Welt, unter vielen möglichen?
Und dann könnte man auch nicht mehr in einem absoluten Sinne sagen: "Die Mathematik ist die Sprache der Natur."
Man müsste dann stattdessen sagen: "Aus einer bestimmten Perspektive heraus lässt sich ein Teil dessen, was die Natur tut und ist, in der Sprache der Mathematik erzählen."

Stichwort: Komplexität
Ist das Ganze mehr als die Summe seiner Teile oder nicht? Ist das Ganze vollständig aus seinen Teilen zu erklären oder nicht?
Ergeben sich aus den Mittelwerten der Teile neue Entitäten, die eigenständige Wirkungen haben, auch Abwärtsverursachung generieren?
Sind die Eigenschaften der Teile vollständig intrinistisch festgelegt oder werden sie durch den Gesamtzustand des Ganzen erst festgelegt?
Bildet das dann sozusagen einen Kreis: Die Teile bestimmen, was das Ganze ist, aber das Ganze bestimmt auch umgekehrt, was die Teile überhaupt sind?
Gibt es in der Natur überhaupt "Teile", in dem Sinne, dass diese vollständig von Ganzen getrennt gesehen werden könnten? Ist das nicht eine wissentlich unrichtige, der Handhabbarkeit geschuldete Idealisierung unsererseits?

Grüße
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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von Pippen » 15. Jun 2015, 18:58

tomS hat geschrieben:
Pippen hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Aber das hindert mich doch nicht daran ,andere, vernünftige S, S', S'' ... zu betrachten, und mich dabei zu ärgern, dass der liebe Gott sich für S* entschieden hat.
Du könntest keine anderen vernünftigen S, S', S'' betrachten, denn wenn das pathologische S* zutrifft, dann ist unsere ganze Logik inkonsistent, weil mp inkonsistent ist ... Da gäbe es kein anderes S mehr, was vernünftig/konsistent sein könnte.
Jedes S kann und muss für sich isoliert betrachtet werden.

Die einfachsten Systeme S wären reine Logik-Systeme: die Widerspruchsfreiheit der Aussagenlogik sowie der Prädikatenlogik sind bewiesen!

http://de.wikipedia.org/wiki/Widerspruc ... itsbeweise
In meinem Bsp. mit Gott und Peano 2 hatte ich bewiesen, dass der modus ponens kein gültiger Schluss mehr ist (weil "n € IN -> n' € IN", "n € IN" im Falle der Gotteszahl E nicht zu "n' € IN" führt). Das infiziert mE alle Systeme S, denn ohne Schlußregeln gibt es kein formales System und mp ist die grundlegendste. Ohne Wasser kein Leben und ohne mp keine Logik und keine formalen Systeme! Wenn du also akzeptierst, dass es denkbar ist, dass Peano 2 falsch ist - und das habe ich hoffentlich gezeigt - dann zerstört das alle S, S1,...Sn, weil ich damit nicht nur gezeigt hätte, dass Peano 2 falsch, sondern auch das mp ungültig ist und du jetzt gar keinen gültigen Schluß mehr finden kannst, um formale Systeme zu kreieren.

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von breaker » 15. Jun 2015, 21:03

Deine Gotteszahl ist schlicht und einfach keine Zahl, da sie den Axiomen nicht genügt...

Von einer Zahl ohne Nachfolger zu sprechen ist in etwa so sinnvoll, wie von einem unvollständigen Hilbertraum zu sprechen, oder von einer fünfelementigen Menge, die nur 4 Elemente enthält, oder von trockenem Wasser.
Zuletzt geändert von breaker am 15. Jun 2015, 23:53, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von tomS » 15. Jun 2015, 23:01

Wenn du eine Aussage über eine andere Aussage, ein Theorem oder ein Axiom machst, dann gilt dies immer innerhalb genau eines formalen Systems. Es gibt keinen Grund und keine Möglichkeit, warum und wie ein anderes System infiziert werden sollte.
Gruß
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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von Alberich » 15. Jun 2015, 23:47

Poincare' soll gesagt haben, dass er sich während einer längeren Zeit mit nichtlinearen komplexen Systemen befasst habe. Total verwirrt habe er diese Bemühungen nach einiger Zeit eingestellt.
In einem früheren Thread hatte ich gefragt, ob es in der Natur streng lineare Gesetze gibt (Nicht mit definierten Naturkonstanten wie E=h*ny oder G=m*g).
Selbst die einfache Hooke'sche Gerade muss im Mikrobereich berücksichtigen, dass, der Festkörperphysik folgend, die Potentialtöpfe nichtlineare Flanken zeigen.

In einem formalen System, wie ich es von Hofstädter ( MIU-Spiel) erfahren habe, sind Addition, Subtraktion und Multiplikation definiert.
In der theoretischen Physik wäre man hilflos ohne imaginäre, bzw komplexe Zahlen.
Lassen sich diese Größen in ein konsistentes formales System einfügen, was ja aufgrund deiner platonischen Auffassung notwendig wäre? Wie gesagt, eine Frage..

MfG
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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von tomS » 16. Jun 2015, 06:46

Ja, natürlich ist das möglich.

Ein formales System ist keineswegs limitiert in dem Sinne, dass nur bestimmte Entitäten (z.B. natürliche Zahlen) oder nur bestimmte Regeln (Grundrechenarten) erlaubt währen. Jedes axiomatische System ist ein formales System. Z.B. kann die Quantenmechanik in diesem Sinne axiomatisiert werden.
Gruß
Tom

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von seeker » 16. Jun 2015, 07:14

Wenn man Platonist ist, muss man dann nicht sagen: UNSERE Mathematik ist ein formales System, das DIE Mathematik (formal) beschreibt?

Grüße
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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von Alberich » 16. Jun 2015, 10:18

tomS hat geschrieben:Ja, natürlich ist das möglich.

Ein formales System ist keineswegs limitiert in dem Sinne, dass nur bestimmte Entitäten (z.B. natürliche Zahlen) oder nur bestimmte Regeln (Grundrechenarten) erlaubt währen. Jedes axiomatische System ist ein formales System. Z.B. kann die Quantenmechanik in diesem Sinne axiomatisiert werden.
Wo kann man über solche Axiome etwas erfahren?
MfG
Alberich
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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von Pippen » 16. Jun 2015, 12:27

breaker hat geschrieben:Deine Gotteszahl ist schlicht und einfach keine Zahl, da sie den Axiomen nicht genügt...
Die Gotteszahl E ist eine natürliche Zahl, weil mit Peano 2 gilt: E-1 € IN -> E € IN. Damit ist E eine natürliche Zahl. Es gilt aber eben wegen des "göttlichen Wunders" nicht mehr: E € IN -> E+1 € IN. M.a.W.: E ist eine natürliche Zahl, hat aber keine nat. Zahl als Nachfolger und damit ist Peano 2 falsch und damit ist mp ein ungültiger Schluss, weil es damit einen Fall gäbe, wo die Prämisse wahr, die Konklusion aber falsch wäre. Anders als tom glaube ich, dass dieses Ergebnis alle anderen formalen Systeme mitinfiziert, weil alle formalen Systeme auf mp als Schlussregel angewiesen sind und durch mein Bsp. klar wäre, dass mp ganz allgemein keine gültige Schlussform mehr wäre.

@alberich: Google mal oder gehe zu wikipedia. Da bekommt man einen guten ersten Eindruck.

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von tomS » 16. Jun 2015, 12:58

Alberich hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Ja, natürlich ist das möglich.

Ein formales System ist keineswegs limitiert in dem Sinne, dass nur bestimmte Entitäten (z.B. natürliche Zahlen) oder nur bestimmte Regeln (Grundrechenarten) erlaubt währen. Jedes axiomatische System ist ein formales System. Z.B. kann die Quantenmechanik in diesem Sinne axiomatisiert werden.
Wo kann man über solche Axiome etwas erfahren?
MfG
Alberich
In jedem guten QM-Buch, z.B. Sakurai, Ballantine (teilweise ist auch von Postulaten die Rede; und teilweise sind es unnötig viele)

http://www-dft.ts.infn.it/~resta/fismat/ballentine.pdf

In Kürze:
1) der Zustand eines physikalischen Systems wird durch einen normierten Vektor in einem separablen Hilbertraum beschrieben
2) Observable (= physikalisch messbare Größen) des Systems werden durch selbstadjungierte Operatoren in diesem Hilbertraum beschrieben
3) die Zeitentwicklung eines Zustandes wird durch die Schrödingergleichung bzw. einen Zeitentwicklungsoperator U(t) beschrieben; letzterer wird mittels des Hamiltonoperators H gemäß U(t) = exp(-iHt) definiert
4) PROJEKTIONSPOSTULAT / MESSUNG: Im Zuge der Messung einer Observablen A erhält man die Eigenwerte a zu A als mögliche Messergebnisse; die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Wertes a folgt aus ...

Im Rahmen der Everettschen bzw. "Viele-Welten-Interpretation" soll (4) als Theorem abgeleitet, nicht als Postulat gefordert werden.

Siehe z.B. auch hier wobei ich mit diesen Formulierungen auch nicht ganz glücklich bin:

https://de.wikipedia.org/wiki/Mathemati ... etation.29
Gruß
Tom

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von deltaxp » 16. Jun 2015, 13:16

Pippen hat geschrieben: Was ist, wenn Gott es so eingerichtet hat, dass ab Zug 500 ein weißer Läufer automatisch auf ein schwarzes Feld wechselt und nichts und niemand das verhindern oder erklären kann? Dann wäre die Regel zum weißen Läufer falsch. Wir merken es nur nicht und wenn wir es merken, dann würden wir sie schlicht ändern, eben weil sie falsch wäre.
es ist bisher kein einziger objektiv dokumentierter fall bekannt, das ein Gott wunder gewirkt hat, wunder im sinne des auftreten eines Ereignis ohne kausalen Ursprungs, also ohne Wirkung der Naturgesetze. es sind aber Milliarden aussagen mathematischer Modelle der Natur gemessen, was sicherlich nur ein Untermenge der Mathematik ist. wenn es soweit ist, lass es mich wissen, dann können wir eine Gottesargumentation mit einbeziehen. Solange aber lassen wir diese Hypothese beiseite. Das ist hier ein wissenschaftliches Forum, Wissenschaft arbeitet gerade ohne eine Gottes-Hypothese, weil sie diese nicht benötigt.
Die Mathematik eben auch nicht.

Du kannst nicht gegen wissenschaftliche Methodik mit nicht-wissenschaftlichen Ansätzen argumentieren, was du tust. Umgekehrt geht es natürlich auch nicht, das ist auch nicht Aufgabe der Wissenschaft. ergo führt eine Diskussion auf so einer Basis also auch nicht zu irgendeinem Resultat. Das runde passt nun mal nicht in das eckige.

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von tomS » 16. Jun 2015, 13:48

Pippen hat geschrieben:
breaker hat geschrieben:Deine Gotteszahl ist schlicht und einfach keine Zahl, da sie den Axiomen nicht genügt...
Die Gotteszahl E ist eine natürliche Zahl, weil mit Peano 2 gilt: E-1 € IN -> E € IN. Damit ist E eine natürliche Zahl. Es gilt aber eben wegen des "göttlichen Wunders" nicht mehr: E € IN -> E+1 € IN. M.a.W.: E ist eine natürliche Zahl, hat aber keine nat. Zahl als Nachfolger und damit ist Peano 2 falsch und damit ist mp ein ungültiger Schluss, weil es damit einen Fall gäbe, wo die Prämisse wahr, die Konklusion aber falsch wäre. Anders als tom glaube ich, dass dieses Ergebnis alle anderen formalen Systeme mitinfiziert, weil alle formalen Systeme auf mp als Schlussregel angewiesen sind und durch mein Bsp. klar wäre, dass mp ganz allgemein keine gültige Schlussform mehr wäre.
Dann hat Gott eben ein Axiomensystem verhunzt.

Aber ich kann mich hier und jetzt entscheiden, ein anderes, nicht-verhunztes Axiomensystem zu verwenden. Ich kann außerdem selbst ein Axiomensystem reparieren: gib mir das verhunzte, sag mir, was dich stört, und ich ändere das; ich schreib's einfach auf einen Zettel - fertig.

Was du betreibst ist spekulativer Hokuspokus.
Gruß
Tom

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von breaker » 16. Jun 2015, 14:42

Pippen hat geschrieben: Die Gotteszahl E ist eine natürliche Zahl, weil mit Peano 2 gilt: E-1 € IN -> E € IN. Damit ist E eine natürliche Zahl.
Nein, eine Zahl liegt nur dann vor, wenn sie allen Axiomen genügt.
Pippen hat geschrieben: Es gilt aber eben wegen des "göttlichen Wunders" nicht mehr: E € IN -> E+1 € IN. M.a.W.: E ist eine natürliche Zahl, hat aber keine nat. Zahl als Nachfolger und damit ist Peano 2 falsch...
Nein, deine "Zahl" genügt Peano 2 nicht. Wenn es so eine Zahl gäbe, könte man aus den Axiomen einen Widerspruch herleiten und damit wären sie nicht konsistent. Wenn man aber weiß, dass sie konsistent sind, kann sowas nicht vorkommen.

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von Alberich » 16. Jun 2015, 15:06

@toms
Was du erklärst, ist mir wohl vertraut. Dazu Aus Wiki:
https://de.wikipedia.org/wiki/Axiom#Abgrenzungen


Auch Theorien der empirischen Wissenschaften lassen sich „axiomatisiert“ rekonstruieren. In der Wissenschaftstheorie existieren allerdings unterschiedliche Auffassungen darüber, was es überhaupt heißt, eine „Axiomatisierung einer Theorie“ vorzunehmen.

Ferner:
Durch Hilbert (1899) wurde ein formaler Axiombegriff herrschend: Ein Axiom ist jede unabgeleitete Aussage. Dies ist eine rein formale Eigenschaft. Die Evidenz oder der ontologische Status eines Axioms spielt keine Rolle und bleibt einer gesondert zu betrachtenden Interpretation überlassen.

Deine Axiome unterscheiden sich doch sehr von Axiomen der Mathematik (Beispiel:Euklid). Und solche unmittelbaren Einsichten "Hilbert-Raum, Operatoren, unitäre Entwicklung.." können Postulate zur Erstellung einer vorläufigen Theorie sein.
Nicht umsonst bezeichnete Einstein seine Annahme konstanter Lichtgeschwindigkeit in Inertialsystemen ein Postulat, nicht Axiom.
MfG
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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von tomS » 16. Jun 2015, 23:54

Alberich hat geschrieben:Deine Axiome unterscheiden sich doch sehr von Axiomen der Mathematik (Beispiel:Euklid). Und solche unmittelbaren Einsichten "Hilbert-Raum, Operatoren, unitäre Entwicklung.." können Postulate zur Erstellung einer vorläufigen Theorie sein.
Es handelt sich um ein physikalisches Axiomensystem, nicht um ein mathematisches.

Und es handelt sich bei der QM nicht um eine "vorläufige Theorie".
Alberich hat geschrieben:Nicht umsonst bezeichnete Einstein seine Annahme konstanter Lichtgeschwindigkeit in Inertialsystemen ein Postulat, nicht Axiom.
Erstens ist das nur ein Begriff. Und zweitens ist das auch nicht die endgültige, mathematische Formulierung der RT.

Die RT folgt u.a. aus den Axiomen
1) der Zustand eines physikalischen Systems wird durch eine Metrik sowie weitere Felder auf einer pseudo-Riemannschen (= lokal Minkowskischen) Mannigfaltigkeit beschrieben
2) die Dynamik eines Zustandes wird durch die Einstein-Hilbert-Wirkung plus weitere Wechselwirkungsterme definiert
Gruß
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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von Pippen » 17. Jun 2015, 18:13

tomS hat geschrieben:
Pippen hat geschrieben: Die Gotteszahl E ist eine natürliche Zahl, weil mit Peano 2 gilt: E-1 € IN -> E € IN. Damit ist E eine natürliche Zahl. Es gilt aber eben wegen des "göttlichen Wunders" nicht mehr: E € IN -> E+1 € IN. M.a.W.: E ist eine natürliche Zahl, hat aber keine nat. Zahl als Nachfolger und damit ist Peano 2 falsch und damit ist mp ein ungültiger Schluss, weil es damit einen Fall gäbe, wo die Prämisse wahr, die Konklusion aber falsch wäre. Anders als tom glaube ich, dass dieses Ergebnis alle anderen formalen Systeme mitinfiziert, weil alle formalen Systeme auf mp als Schlussregel angewiesen sind und durch mein Bsp. klar wäre, dass mp ganz allgemein keine gültige Schlussform mehr wäre.
Aber ich kann mich hier und jetzt entscheiden, ein anderes, nicht-verhunztes Axiomensystem zu verwenden. Ich kann außerdem selbst ein Axiomensystem reparieren: gib mir das verhunzte, sag mir, was dich stört, und ich ändere das; ich schreib's einfach auf einen Zettel - fertig.
Wie willst du das anstellen, wenn dir mp nicht zur Verfügung steht? Ich meine: Du wüßtest ja jetzt aufgrund o.g. Beispieles, dass mp kein gültiger Schluss und widersprüchlich ist. Du kannst das auch sowenig reparieren, wie man die gödelsche Unvollständigkeit durch ein Unvollständigkeitsaxiom ("Gödelsätze sind keine Sätze iSd Systems") reparieren könnte. Ich kenne kein System, welches ohne mp funktioniert. Hm...oder übersehe ich da was und es gibt auch Systeme, die ohne mp auskommen?

Aber wichtiger ist mir nochmal deine Position zur Falschheit von Axiomen (weil ich glaube, dass das viele Mathematiker und Physiker so vertreten): Sie besagt, dass widersprüchliche Axiome falsch sind, dass aber (mit einer korrekten und vollständigen Logik) als konsistent bewiesene Axiome nicht mehr falsch, sondern höchstens unpraktikabel werden, wenn man feststellt, dass sie bestimmten Ereignissen widersprechen. Wenn also ein Mathematiker irgendwann feststellt, dass man von einer bestimmten nat. Zahl keinen Nachfolger oder keine unendliche Menge bilden kann, dann würde er sagen: Das Axiom bleibt korrekt/konsistent, aber ich wende es nicht mehr an, weil es Probleme gibt. Habe ich das richtig verstanden?

@delta: 'Gott' ist für mich nur ein bildhafter Platzhalter für metaphysische Vorgänge, die ich nicht näher bezeichnen kann und will. Du kannst es auch "Weltgeist", "Superquantenfluktuation" nennen oder komplett weglassen.

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von Pippen » 17. Jun 2015, 18:24

breaker hat geschrieben:
Pippen hat geschrieben: Die Gotteszahl E ist eine natürliche Zahl, weil mit Peano 2 gilt: E-1 € IN -> E € IN. Damit ist E eine natürliche Zahl.
Nein, eine Zahl liegt nur dann vor, wenn sie allen Axiomen genügt.
Ok, dann wäre also E keine natürliche Zahl. Und E-1? Kann dann auch keine sein, denn E-1' wäre keine natürliche Zahl und das widerspräche Peano 2 und so geht es dann weiter runter bis 0. Das führt schlicht dazu, dass in der Konsequenz alle natürlichen Zahlen nur eine Illusion, weil widersprüchlich konstruiert, wären.
Pippen hat geschrieben: Es gilt aber eben wegen des "göttlichen Wunders" nicht mehr: E € IN -> E+1 € IN. M.a.W.: E ist eine natürliche Zahl, hat aber keine nat. Zahl als Nachfolger und damit ist Peano 2 falsch...
Nein, deine "Zahl" genügt Peano 2 nicht. Wenn es so eine Zahl gäbe, könte man aus den Axiomen einen Widerspruch herleiten und damit wären sie nicht konsistent. Wenn man aber weiß, dass sie konsistent sind, kann sowas nicht vorkommen.
Man weiß aber nur relativ gesehen, ob sie konsistent sind, d.h. genaugenommen weiß man eben von keinem Axiom, ob es konsistent ist, denn alle Konsistenzbeweise bauen ihrerseits auf Prämissen auf, die sich ja als falsch herausstellen könnten. Wäre denn für dich ein Axiom falsch, wenn sich herausstellte, dass trotz eines Konsistenzbeweises ein Widerspruch auftritt, zB weil man eine bestimmte Zahl nicht um eins addieren kann (wir stellen uns einfach vor, dass wäre der Fall, so schwer das auch vorzustellen sein mag)?

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von breaker » 17. Jun 2015, 20:40

Ja, schon. Aber das ist irgendwie keine besonders interessante Frage, sondern eher eine Tautologie.
Egal wie gut und gründlich irgendetwas bewiesen ist, ich kann danach immer sagen "Und was, wenn alles trotzdem falsch ist?"
Was soll man darauf antworten?

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von tomS » 17. Jun 2015, 22:28

Pippen hat geschrieben:Aber wichtiger ist mir nochmal deine Position zur Falschheit von Axiomen (weil ich glaube, dass das viele Mathematiker und Physiker so vertreten): Sie besagt, dass widersprüchliche Axiome falsch sind, dass aber (mit einer korrekten und vollständigen Logik) als konsistent bewiesene Axiome nicht mehr falsch, sondern höchstens unpraktikabel werden, wenn man feststellt, dass sie bestimmten Ereignissen widersprechen. Wenn also ein Mathematiker irgendwann feststellt, dass man von einer bestimmten nat. Zahl keinen Nachfolger oder keine unendliche Menge bilden kann, dann würde er sagen: Das Axiom bleibt korrekt/konsistent, aber ich wende es nicht mehr an, weil es Probleme gibt. Habe ich das richtig verstanden?
Nein, das hast du falsch verstanden.

Wenn ein Axiom A besagt, dass jede natürliche Zahl n einen Nachfolger n' = n+1 hat, und wenn für ein Axiomensystem, das A enthält, ein Beweis (!) gefunden wird, der zeigt, dass eine natürliche Zahl x existiert, die keinen (!) derartigen Nachfolger hat, dann ist bewiesen, dass das Axiomensystem inkonsistent ist. Damit ist nicht zwingend A alleine falsch, das Problem könnte ja durch ein anderes Axiom oder durch die Kombination mehrerer Axiome entstehen.

Wenn ich ein konsistentes Axiomensystem habe, jedoch feststelle, dass ich damit nicht die Natur beschreiben kann, dann ist das Axiomensystem als physikalisches Modell unpraktikabel, obwohl es mathematisch konsistent ist.
Gruß
Tom

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von seeker » 18. Jun 2015, 13:05

Ein Axiom ist zunächst nur eine Annahme, die völlig frei gewählt werden kann.
Sie kann für sich alleine auch nicht richtig oder falsch sein, denn die Bewertung "richtig/falsch" erfordert einen Bezug zu etwas anderem, "richtig/falsch" gibt es immer nur realtiv zu etwas anderem.
So kann ich z.B. als Axiom annehmen, dass es 4-eckige Kreise gäbe.
Diese Annahme -so lange sie für sich alleine steht- ist weder richtig noch falsch, sie ist ganz einfach nur da.
Erst wenn ich die Annahme in Bezug z.B. zu unserer/einer Geometrie setze, kann ich zu dem Schluss kommen, dass das Axiom relativ dazu "falsch" sei.
Wobei auch hier das Wort "falsch" eigentlich nicht treffend ist, besser wäre es zu sagen "es ist inkompatibel" oder "es ist nicht-passend" zu unserer Geometrie.

Im Prinzip gebe ich dir bei deinen Gedankengängen aber Recht, Pippen. Was du versuchst zu zeigen ist m.E. ein Spezialfall dessen, was ich schon im Allgemeinen versucht habe auszudrücken:
Wir stehen vor der grundsätzlichen Schwierigkeit nicht nachweisen zu können, dass unsere Logik auch wirklich logisch IST (ohne uns/unabhängig von uns).
Für den Platoniker würde dieses logisch SEIN (ohne uns) bedeuten, dass unsere Logik passend oder gar identisch zur platonischen Ideenwelt IST.
Und für den Konstruktivist stellt sich die Frage nach "ohne uns" gar nicht, soweit ich das verstehe. Er bleibt eh beim Menschen als Maß der Dinge.
Unsere Logik beruht im Grunde "nur" auf abstrahiertem Erfahrungswissen und unterliegt somit indirekt auch dem Induktionsproblem.
Allerdings dürfen wir in unsere Logik dennoch ein sehr großes Vertrauen haben, denn wäre unsere Logik völlig daneben, dann würde hier bei uns ja gar nichts funktionieren.
Das tut es aber und zwar bestens! Das schafft Vertrauen...

Es kann für uns als Menschen IMMER nur um mehr oder minder großes Vertrauen gehen, nie um wirklich apodiktisches Wissen.

Du tust dasselbe: Du fragst ob unsere Kontruktion des Unendlichen zu einer platonischen Ideenwelt oder einer physikalischen Welt "ohne uns" passend ist oder nicht.
Du stellst also einen Bezug her (s.o.).
Du sagst, dass wir das nicht wissen können. Da hast du Recht: Wir können nur vertrauen/glauben, dass es so sei.


Beste Grüße
seeker
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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von Pippen » 18. Jun 2015, 23:22

Dem, was seeker schreibt kann ich voll zustimmen.

@toms: Eine weitere Verständnisfrage. Nehmen wir einmal einen korrekten und konsistenten AL-Kalkül her (für alle, die es nicht wissen: AL-Kalküle sind tautologische Axiome mit idR einer Schlußregel (mp), bei denen man metatheoretisch beweisen kann, dass sie korrekt und vollständig sind, d.h. alles was aus dem Kalkül gefolgert wird ist (aussagen-) logisch wahr und alles (aussagen-) logische Wahre kann aus dem Kalkül gefolgert werden). Nun stellen wir in der QM ein Bsp. fest, wo nicht mehr gilt: (P v P) -> P, sondern wo gilt: ~((P v P) -> P). (Wir wollen einfach annehmen jmd. könnte das so zeigen, dass wir alle davon überzeugt wären, die Details sollen nicht interessieren.) Unser AL-Kalkül hat nun das Axiom "(P v P) -> P". Wäre dieses Axiom (und damit das AL-Kalkül) nun für dich inkonsistent/falsch oder unpraktikabel (oder Beides?).

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Re: Ist Mathematik Sprache der Physik?

Beitrag von tomS » 19. Jun 2015, 01:34

Es ist doch so:

1) Wir haben einen Satz logischer Axiome, darunter A.
2) Wir haben einen Satz weiterer, mathematischer Axiome und Definitionen; in der QM umfassen sie u.a. Funktionalanalysis.
3) Und dann haben wir physikalische Axiome oder Postulate, die 2) in Bezug zu Beobachtungen setzen.

Da (2) auf (1) aufbaut, wäre ein Beweis von ~A eine Inkonsistenz; diese ergäbe sich jedoch bereits aus (1) + (2) ohne QM, d.h. ohne (3)

(3) führt keine neue Mathematik ein, d.h. (3) ändert nicht die logische Konsistenz von (1) + (2)

Wenn mit konsistentem (1) + (2) unser (3) nicht auf die reale Welt "passt", dann ist (1) bis (3) konsistent, jedoch unpassend zur Betschreibung der Natur.

Mit inkonsistentem (1) + (2) müssen wir uns nicht mehr um (3) kümmern, das ist Zeitverschwendung.

In deinem Beispiel ist (1) + (2) inkonsistent.
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

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