Ist Mathematik Sprache der Physik?

[tomS]

Die Mathematiker können die verschiedenen Stufen der Unendlichkeit exakt fassen. Cantor, Gödel und Cohen (Fields-Medaille) haben hier bahnbrechend Arbeiten geleistet.

Was die Mathematiker nicht können, was zunächst aber auch nicht notwendig ist, ist diese Unendlichkeit konkret als anschauliches Bild zu fassen (ich kann mir sieben Dreiecke vorstellen, jedoch nicht unendlich viele). Wie gesagt, das ist aber auch nicht notwendig!! Das ist nicht Gegenstand oder Inhalt der Mathematik. Es ist ausreichend, ein formales, widerspruchsfreies Axiomensystem zu haben, und in dessen Rahmen 'Unendlichkeit" formal zu beschreiben.

Die Problematik in diesem Thread ist, dass ihr mehr wollt als die Mathematiker, und dass ihr aus der Unmöglichkeit desselben auf Probleme oder Beschränktheit der Mathematik zurückschließt. Ihr schießt sozusagen über's Ziel hinaus und beschwert euch dann, dass das nicht funktioniert. Macht euch doch (zunächst) den Standpunkt der (meisten) Mathematiker zueigen und respektiert deren Sichtweise auf ihr Fach.

[Fuzzlix]

Genau Tom:

Die Mathematiker können die verschiedenen Stufen der Unendlichkeit exakt fassen.

Was bedeutet denn "verschiedenen Stufen" ? Verschiedene Arten? Bedeutet das, dass Unendlichkeit in der einen Betrachtung andere Eigenschaften hat als in einer anderen Betrachtung? Und was ist denn dann die wahre/absolute Unendlichkeit? - die Unendlichkeit der einen Stufe oder der anderen (um in Deinem Wortschatz zu bleiben) ?

Und ich soll dann wissen welche Unendlichkeit Du meinst, wenn Du (oder wer anderes) mal eben kurzerhand den Begriff Unendlichkeit benutzt. Kein Wunder dass dass wir so schnell ins Streiten kommen, wenn wir über einen BEGRIFF diskutieren. Vielleicht sollten wir lieber darüber reden, wofür der Begriff steht?

Fuzzlix.

[tomS]

Wenn ich nicht explizit sage, welche Stufe der Unendlichkeit ich meine, dann ist die Stufe für die Aussage irrelevant.

Für einen ersten Überblick, warum es verschiedene Stufen der Unendlichkeit gibt, siehe die Abzählbarkeit der natürlichen sowie die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen.

[Alberich]

@fuzzlix

Was bedeutet denn "verschiedenen Stufen" ? Verschiedene Arten? Bedeutet das, dass Unendlichkeit in der einen Betrachtung andere Eigenschaften hat als in einer anderen Betrachtung? Und was ist denn dann die wahre/absolute Unendlichkeit?

http://www.mathepedia.de/Ueberabzaehlba ... lich.aspxn

Schau dir den link an. Schwierig ist das nicht.
Allerdings weiß ich nicht, was das mit unserem Thema zu tun hat. Wenn schon diskutiert wird, ob es in der Natur Unendlichkeiten gibt, warum noch diese Unterscheidung.

Mir empfahl ein älterer Festredner: Teile deine Aussagen immer in 3 Drittel:
Drittel 1 muss jeder verstehen. Publikum sagt: Das ist unser Mann.
Drittel 2 muss neu, aber verständlich sein. Publikum sagt: Der Mann hat mir was gebracht.
Drittel 3 muss absolut unverständlich sein: Publikum sagt: Ein richtiger Experte.
Frag also immer nach, wenn du Erklärungen brauchst. Nicht mich, mein Wissen ist ebenfalls endlich! Verzeih, wenn ich hier ungewollt den Lehrer spiele.
MfG
Alberich

[Pippen]

Ich kann aber über unendliche Mengen nachdenken, d.h. zumindest für mich ist das Axiom wahr!

Du kannst nur dann über unendliche Mengen nachdenken, wenn dieses Konzept konsistent und wahr wäre. Ist es inkonsistent oder falsch, dann denkst du zwar, du kannst über unendliche Mengen nachdenken, aber du kannst es in Wirklichkeit nicht. Das ist dann eine Form der Selbsttäuschung. Mir geht es darum zu zeigen, dass konsistente Axiome dennoch falsch sein können. So kann es eben sein, dass Peano 2 ein vollkommen konsistentes Nachfolgeraxiom ist, welches dennoch falsch ist, weil eben die Welt so aufgebaut sein mag, dass man weder empirisch noch im Denken über die Zahl E hinauszählen kann. Peano 2 wäre dann immer noch konsistent - es entstünde (zumindest erstmal scheinbar!) kein Widerspruch, wenn wir E+1 zählen - aber dennoch falsch, weil es einfach nicht geht (darin läge dann natürlich der Widerspruch, nämlich dass wir denken etwas wäre denkbar, was real nicht denkbar ist).

@Alberich: Was ist, wenn Gott es so eingerichtet hat, dass ab Zug 500 ein weißer Läufer automatisch auf ein schwarzes Feld wechselt und nichts und niemand das verhindern oder erklären kann? Dann wäre die Regel zum weißen Läufer falsch. Wir merken es nur nicht und wenn wir es merken, dann würden wir sie schlicht ändern, eben weil sie falsch wäre.

[Alberich]

@pippen
Das ist wie Speisung der 4000 oder Jungfrauengeburt.
Und beides ist Aberglaube. Frag Frank
MfG
Alberich

[Pippen]

@pippen
Das ist wie Speisung der 4000 oder Jungfrauengeburt.
Und beides ist Aberglaube.

Du verstehst meinen Einwand nicht, wohl ähnlich wie toms. Ich gebe euch Beispiele, die - wenn sie wahr wären - eure Axiome falsch machen würden. Wie abergläubig oder absurd diese Beispiele sind spielt keine Rolle, denn ich will damit nur zeigen, dass Axiome falsch sein können. Interessant ist dabei, dass selbst konsistente Axiome falsch sein können, d.h. selbst wenn es gelänge ZFC als konsistent zu beweisen wäre das immer noch kein Beweis für die Wahrheit von ZFC. Das kann man sich vorstellen wie bei einem gültigen Schluss: Es reicht nicht aus zu beweisen, dass eine Schlußfolgerung auf x gültig ist. Damit x auch wirklich (als wahr) gelten kann, muss zusätzlich die Wahrheit der Prämissen feststehen. Daran scheitern alle Wissensansprüche, auch die der Mathematik, sie ist da nicht das Besondere als was sie sich gern hinzustellen pflegt.

[tomS]

@Pippen: ich bin ehrlich, ich habe keine Lust mehr, dass du jeden Thread, an dem du dich beteiligst, in diese eine Richtung drehst. Ich bin der Meinung, dass du diese Themen ganz grundsätzlich nicht verstehst, und ich kann nicht erkennen, dass sich daran etwas ändern wird.

Wenn wir uns den Titel diesesThreads ansehen, dann ist dein Thema allenfalls ein Randthema. Kommen wir doch bitte wiede auf die ursprüngliche Fragestellung zurück.

[Pippen]

@Pippen: ich bin ehrlich, ich habe keine Lust mehr, dass du jeden Thread, an dem du dich beteiligst, in diese eine Richtung drehst. Ich bin der Meinung, dass du diese Themen ganz grundsätzlich nicht verstehst, und ich kann nicht erkennen, dass sich daran etwas ändern wird.

Wenn wir uns den Titel diesesThreads ansehen, dann ist dein Thema allenfalls ein Randthema. Kommen wir doch bitte wiede auf die ursprüngliche Fragestellung zurück.

Threads haben immer eine gewisse Offenheit für Entwicklungen. Mich interessiert das Thema eben und wenn niemand antwortet, dann versickert es ohnehin. Außerdem ist es wohl gerade die Frage, wer hier was "ganz grundsätzlich nicht versteht". Sollten wir das nicht herausfinden? Konkrete Argumente habe ich da noch nicht vernommen, außer dem untauglichen Versuch von Alberich mit dem Hinweis auf Aberglauben, der bei Fallibilität keine Rolle spielen kann. Daher nochmal meine Position gebündelt und ohne jeden Schnickschnack auf den Punkt gebracht:

Mir geht es darum zu zeigen, dass Axiome falsch sein können. Denn widersprüchliche Axiome wären falsch (das folgt aus der Logik). Wir können aber für kein Axiom dessen Widersprüchlichkeit absolut widerlegen. Daher kann jedes Axiom falsch sein.

So, jetzt interessiert mich, welche meiner o.g. Aussagen du aus welchem Grund angreifst. Denn ansonsten musst du mir zustimmen, dass Axiome selbst bei (scheinbar, weil immer nur relativ) bewiesener Konsistenz falsch sein können.

[tomS]

Zunächst mal können Axiome falsch sein, das hat niemand bestritten.

Konsistente Axiome (von denen hast du oben gesprochen - also wenn du dich schon selbst zitierst, dann bitte richtig!) können nicht mathematisch / logisch falsch sein, denn rein logisch wurde ja gezeigt, dass sie konsistent sind; daher können sie lediglich in einem bestimmten, nicht-mathematischen Kontext "nicht anwendbar" sein. Das ist jedoch keine Aussage über Mathematik, sondern über den Anwendungskontext (Physik, Biologie, ...)

[seeker]

Konsistente Axiome (von denen hast du oben gesprochen - also wenn du dich schon selbst zitierst, dann bitte richtig!) können nicht mathematisch / logisch falsch sein, denn rein logisch wurde ja gezeigt, dass sie konsistent sind

... und diese bauen wiederum auf der Logik als Grundlage auf.
D.h. du brauchst immer irgendwelche grundlegenden Annahmen, auf denen du aufbaust und mit denen du hantierst.
Tust du das nicht, so kannst du gar nichts mehr zusammenbauen, auch keine Mathematik.
Eine dieser logischen Grundannahmen besteht in der Verallgemeinerung: "Wie im Speziellen so im Allgemeinen!"
Ich möchte in diesem Thread aber auch nicht wieder nur über Unendlichkeiten sprechen, das haben wir ja schon lang und breit in anderen Threads getan und das sollte wenn, dann dort fortgeführt werden.

Ich würde gerne eine andere zur Threadüberschrift passende Frage stellen:

Ist die Physik die Sprache der Natur?

Falls ja, folgt daraus:
Die (rechte) Mathematik ist die Sprache der Natur.

Und wir kommen zu der spannenden Frage:

Ist die Mathematik vollständige Sprache der Natur?

Lässt sich die Natur vollständig mit mathematischen Mitteln beschreiben?

Grüße
seeker

[tomS]

Ich würde gerne eine andere zur Threadüberschrift passende Frage stellen:

Ist die Physik die Sprache der Natur?

Falls ja, folgt daraus:
Die (rechte) Mathematik ist die Sprache der Natur.

Und wir kommen zu der spannenden Frage:

Ist die Mathematik vollständige Sprache der Natur?

Die ersten zwei Fragen sind wohl genau die des Thread-Titels. Ich würde sagen, offensichtlich ja. Wobei mir noch nicht klar ist, was du mit "Die rechte Mathematik" meinst. Was ist hier "recht"?

Die letzte Frage ist eine rein metaphysische Frage. Ich würde sagen, ebenfalls ja; wobei das Glaubenssache ist.

[seeker]

Was ist hier "recht"?

Ja, etwas unklar... Ich wollte damit zum Ausdruck bringen, dass die Natur, so sie denn der Sprache der Mathematik folgte, nicht zwingend jeder beliebigen Mathematik folgen müsste.
D.h. für uns dann, dass wir die richtige/passende Mathematik finden müssen, wenn wir die Natur beschreiben wollen.

Ist die Mathematik vollständige Sprache der Natur?

Die letzte Frage ist eine rein metaphysische Frage. Ich würde sagen, ebenfalls ja; wobei das Glaubenssache ist.

Es geht m. E. darüber hinaus. Ich bin auch nicht sicher, ob das tatsächlich nur Glaubenssache ist oder ob sich in der Richtung nicht doch empirische Hinweise finden lassen.
Es geht darum, ob reduktionistische Ansätze (und die Mathematisierung ist ein reduktionistischer Ansatz!) die Natur überhaupt (zumindest im Prinzip) vollständig erfassen können oder nicht.
Es geht auch darum, ob es Abwärtskausalität gibt oder nicht und ob das Ganze stets vollständig durch seine Teile bestimmt ist und ob die Teile in ihrem "so-sein" stets völlig unabhängig vom Ganzen sind. Es geht auch um Holismus.

Grüße
seeker

[tomS]

Was ist hier "recht"?

Ja, etwas unklar... Ich wollte damit zum Ausdruck bringen, dass die Natur, so sie denn der Sprache der Mathematik folgte, nicht zwingend jeder beliebigen Mathematik folgen müsste.
D.h. für uns dann, dass wir die richtige/passende Mathematik finden müssen, wenn wir die Natur beschreiben wollen.

Nun, zunächst mal gibt es nur eine Mathematik. Es ist ja nicht so, dass verschiedene Bereiche unverbunden nebeneinander stehen würden. Viele berühmte Theoreme zeigen erstaunliche Querverbindungen zwischen weit entfernten Gebieten auf. Die Frage ist dann "nur" noch, welche konkrete mathematische Struktur die "passende" ist. Einfaches Beispiel ist die Auswahl der "passen" Eichgruppe für das Standardmodell (die spannende Folgefrage ist dann, warum gerade diese Struktur und keine andere)

Ist die Mathematik vollständige Sprache der Natur?

Die letzte Frage ist eine rein metaphysische Frage. Ich würde sagen, ebenfalls ja; wobei das Glaubenssache ist.

Es geht m. E. darüber hinaus. Ich bin auch nicht sicher, ob das tatsächlich nur Glaubenssache ist oder ob sich in der Richtung nicht doch empirische Hinweise finden lassen.
Es geht darum, ob reduktionistische Ansätze (und die Mathematisierung ist ein reduktionistischer Ansatz!) die Natur überhaupt (zumindest im Prinzip) vollständig erfassen können oder nicht.
Es geht auch darum, ob es Abwärtskausalität gibt oder nicht und ob das Ganze stets vollständig durch seine Teile bestimmt ist und ob die Teile in ihrem "so-sein" stets völlig unabhängig vom Ganzen sind. Es geht auch um Holismus.

Das habe ich schon so verstanden. Mich würde interessieren, welche empirischen Hinweise gegen einen Reduktionismus sprechen könnten.

[seeker]

Nun, zunächst mal gibt es nur eine Mathematik. Es ist ja nicht so, dass verschiedene Bereiche unverbunden nebeneinander stehen würden.

Ja, das schon. Ich meinte etwas anderes: Es könnte prinzipiell sein, dass andere Wesen eine völlig andere Mathematik entwicklen könnten, die nicht in die unsere überführbar wäre. Das erscheint mir zumindest denkbar, wenn auch nicht recht vorstellbar.

Mich würde interessieren, welche empirischen Hinweise gegen einen Reduktionismus sprechen könnten.

Direkt fällt mir folgendes ein:

1. Die Existenz des Bewusstseins, also der Innenwahrnehmung, der Qualia.

Wenn das Bewusstsein ein Epiphänomen wäre, also keinerlei kausale Wirkung mehr hätte, wie kann ich dann überhaupt über mein Bewusstsein reden, davon wissen und wie kann es dann überhaupt ein philosophisches Problem für mich werden?
Denn schon das ist ja eine Wirkung des Bewusstseins!
Man könnte nun einwenden, dass ja nicht "Ich" darüber reden würde, sondern mein Gehirn bzw. die Prozesse darin, aber das hilft auch nicht weiter, denn dann lässt sich fragen: Wie kann dann mein Gehirn über Bewusstsein reden?
Auch DAS wäre schon eine Wirkung des Bewusstseins!
Folgerung: Es gibt Abwärtsverursachung!


2. Quantenmechanik

Wenn wir sagen, dass der Veruchsaufbau ein quantenmechanisches Objekt präpariert, dann heißt das m. E., dass er es (teilweise) determiniert.
So erscheint z.B. ein Quantenobjekt "Elektron", je nach Versuchsaufbau als Welle oder Teilchen.
D.h. das "so-sein" des Elektrons ist nicht intrinistisch durch das Elektron selbst vollständig festgelegt, sondern zusätzlich auch noch holistisch durch das Ganze (den Versuchsaufbau).
Folgerung: Es gibt Abwärtsverursachung!

Grüße
seeker

[tomS]

Es könnte prinzipiell sein, dass andere Wesen eine völlig andere Mathematik entwicklen könnten, die nicht in die unsere überführbar wäre. Das erscheint mir zumindest denkbar, wenn auch nicht recht vorstellbar.

Was wäre das? Wäre das überhaupt Mathematik?

Ist es nicht so, dass wenn man Mathematik hinreichend präzise formal definiert ist (und ich denke, das ist nach Hilbert geschehen), dann ist
i) "etwas", das in diese Definition passt, immer Mathematik, und
ii) "etwas anderes" das nicht in diese Definition passt, eben keine Mathematik

Du müsstest schon etwas präziser sagen, was du dir unter (ii) vorstellst, inwiefern es nicht "unserer Mathematik" entspricht aber dennoch "Mathematik ist"

1. Die Existenz des Bewusstseins, also der Innenwahrnehmung, der Qualia.

Wenn das Bewusstsein ein Epiphänomen wäre, also keinerlei kausale Wirkung mehr hätte, wie kann ich dann überhaupt über mein Bewusstsein reden, davon wissen und wie kann es dann überhaupt ein philosophisches Problem für mich werden?
Denn schon das ist ja eine Wirkung des Bewusstseins!
Man könnte nun einwenden, dass ja nicht "Ich" darüber reden würde, sondern mein Gehirn bzw. die Prozesse darin, aber das hilft auch nicht weiter, denn dann lässt sich fragen: Wie kann dann mein Gehirn über Bewusstsein reden?
Auch DAS wäre schon eine Wirkung des Bewusstseins!
Folgerung: Es gibt Abwärtsverursachung!

Ich denke, die wesentliche Problematik ist die präzise Definition und der experimentelle Nachweis der Qualia. Ich würde eher sagen, dass wir prinzipbedingt möglicherweise nicht dazu in der Lage sind, dieses Problem zu lösen. Und dann können wir auch keine Schlussfolgerungen ziehen

2. Quantenmechanik

Wenn wir sagen, dass der Veruchsaufbau ein quantenmechanisches Objekt präpariert, dann heißt das m. E., dass er es (teilweise) determiniert.
So erscheint z.B. ein Quantenobjekt "Elektron", je nach Versuchsaufbau als Welle oder Teilchen.
D.h. das "so-sein" des Elektrons ist nicht intrinistisch durch das Elektron selbst vollständig festgelegt, sondern zusätzlich auch noch holistisch durch das Ganze (den Versuchsaufbau).
Folgerung: Es gibt Abwärtsverursachung!

Grüße
seeker

Die Quantenmechanik befasst sich durchaus mit der Gesamtheit = dem Quantenobjekt + Versuchsaufbau + Umgebung. Das ist z.B. Gegenstand von Dekohärenz (sehr präzise untersucht; u.a. Nobelpreis 2012), Everettsche bzw. Viele-Welten-Interpretation mit vollständiger Determiniertheit. Ich denke, das Problem liegt hier eher darin begründet, dass oft noch die "alte Sprache" entsprechend "Welle oder Teilchen", "Kollaps", "Beobachter", etc. verwendet wird.

Insgs. kann ich nicht erkennen, dass diese Phänomene über die Mathematik selbst hinausweisen. Im Falle von (1) sind wir evtl. in der Situation, dass wir ein umfassendes und vollständiges mathematisches System aus der Innenperspektive (= als Teil dieses Systems) ggf. nicht in Gänze erfassen können (vgl. Gödel). Die Unmöglichkeit der Erfassung bedeutet jedoch nicht, dass ein solches nicht vorliegen kann. Im Falle von (2) sehe ich eher, dass wir praktischen und experimentellen Beschränkungen unterliegen, nicht jedoch, dass die Mathematik selbst hier unzureichend wäre. Ich bin (bis auf gelegentliche Zweifel) ein Anhänger der "vielen Welten" in Kombination mit "Dekohärenz" und halte die QM daher für mathematisch präzise und umfassend definiert sowie insbs. für vollständig deterministisch.

[seeker]

Was wäre das? Wäre das überhaupt Mathematik?

Wir sollten uns hier nicht auf unsere Definitionen zurückziehen. Das geht m. E. am Kern vorbei.
Es geht darum, ob ein uns völlig fremdes geistiges Konstrukt "Alien-Mathematik" oder sonstwie genannt die Welt evtl. ebenso gut beschreiben könnte bzw. ebenso gut (oder besser) zu ihr passen könnte - oder ob man das ausschließen kann.

Deshalb...

Du müsstest schon etwas präziser sagen, was du dir unter (ii) vorstellst, inwiefern es nicht "unserer Mathematik" entspricht aber dennoch "Mathematik ist"

Nein, du müsstest nachweisen, dass es so etwas prinzipiell nicht geben kann. Kannst du das nicht, so kannst du es auch nicht ausschließen.
Ich sage nur: Nur weil ich mir etwas nicht vorstellen kann, heißt das noch lange nicht, dass es das auch nicht geben kann. Es ist also ungewiss. Mehr sage ich gar nicht.

So weit es uns Menschen betrifft, stimme ich dem hier zu:

Die Frage ist dann "nur" noch, welche konkrete mathematische Struktur die "passende" ist.

Zum Bewusstsein:

Ich denke, die wesentliche Problematik ist die präzise Definition und der experimentelle Nachweis der Qualia. Ich würde eher sagen, dass wir prinzipbedingt möglicherweise nicht dazu in der Lage sind, dieses Problem zu lösen. Und dann können wir auch keine Schlussfolgerungen ziehen

Da machst du es dir m. E. zu einfach.
Erstens brauche ich keinen experimentellen Nachweis, um Gewissheit zu haben, dass Qualia existieren - und zwar eine höhere Gewissheit als es irgendein experimenteller Nachweis liefern könnte und zweitens müssen wir gar nicht exakt formulieren können was Qualia sind, um schlussfolgern zu können.
Es reicht hier die Gewissheit der Existenz und die Gewissheit, dass wir um diese Existenz wissen.
Falls du meine Argumantation aushebeln willst, so sehe ich nur einen Weg: Du musst die Existenz des Bewusstseins leugnen.
... und kommst damit sofort in logische Widersprüchlichkeiten hinein. Beispiel: Wer oder was leugnet dann in dem Fall was?

Und wenn du sagst "Ich würde eher sagen, dass wir prinzipbedingt möglicherweise nicht dazu in der Lage sind, dieses Problem zu lösen.", dann sagst du in dem Moment, dass möglicherweise nicht alles mathematisch erfassbar ist.

Zur QM:

Die Quantenmechanik befasst sich durchaus mit der Gesamtheit = dem Quantenobjekt + Versuchsaufbau + Umgebung. Das ist z.B. Gegenstand von Dekohärenz (sehr präzise untersucht; u.a. Nobelpreis 2012), Everettsche bzw. Viele-Welten-Interpretation mit vollständiger Determiniertheit.

Es geht darum, ob diese Determiniertheit (so sie denn vorliegt) eine vollständige Aufwärtskausalität ist oder nicht. Das ist sie m. E. offensichtlich nicht.
Wenn sie das nicht wäre, dann wäre eine echte ToE prinzipiell unmöglich und dann könnte man auch nicht mehr von einer vollständig-mathematischen Welt sprechen.

Insgs. kann ich nicht erkennen, dass diese Phänomene über die Mathematik selbst hinausweisen.

In Ordnung. Nur wäre es dann im Fall des Holismus dann so, dass uns auch die Mathematik die Welt nicht vollständig verständlich machen kann (selbst dann nicht, wenn alle nur erdenklichen Messergebnisse wunschgemäß vorlägen), da die Strukturen darin auch nicht auf etwas uns vollständig Verständliches reduzierbar wären. Wenn uns unsere eigene Mathematik prinzipbedingt irgendwann selbst unverständlich werden müsste, wie könnten wir noch wissen, ob es sich um "Mathematik" handelt?

Grüße
seeker

[tomS]

Ich denke, du machst es dir zu einfach:

Du müsstest schon etwas präziser sagen, was du dir unter (ii) vorstellst, inwiefern es nicht "unserer Mathematik" entspricht aber dennoch "Mathematik ist"

Nein, du müsstest nachweisen, dass es so etwas prinzipiell nicht geben kann. Kannst du das nicht, so kannst du es auch nicht ausschließen.

Du redest darüber, dass es „etwas jenseits unserer Mathematik“ geben könnte, und dass dies ggf. eine „andere Art von Mathematik wäre“. Wenn du nicht in irgendeiner Form definieren kannst, was dieses „etwas“ sein soll, dann ist die gesamte Diskussion inhaltsleer.

Bsp.: gibt es etwas „jenseits von Farbe“? ja, und zwar in verschiedener, jeweils präzise definierter Hinsicht:
- infrarote, ultraviolette, … elektromagnetische Strahlung
- Schallwellen
- …
Solange du nichts dergleichen aufführen kannst, ist es sinnlos von diesem „etwas“ zu reden.

Ich sage nur: Nur weil ich mir etwas nicht vorstellen kann, heißt das noch lange nicht, dass es das auch nicht geben kann. Es ist also ungewiss. Mehr sage ich gar nicht.

Letztlich fragst du hier, ob es etwas gibt, was du dir nicht vorstellen kannst. Da würde ich mal sagen „ja“. Aber warum möchtest du es dann Mathematik nennen?

So weit es uns Menschen betrifft, stimme ich dem hier zu:

Die Frage ist dann "nur" noch, welche konkrete mathematische Struktur die "passende" ist.

Warum nur bzgl. der Menschheit? Eine mathematische Struktur ist ein recht umfassender Begriff.

Zum Bewusstsein:

Ich denke, die wesentliche Problematik ist die präzise Definition und der experimentelle Nachweis der Qualia. Ich würde eher sagen, dass wir prinzipbedingt möglicherweise nicht dazu in der Lage sind, dieses Problem zu lösen. Und dann können wir auch keine Schlussfolgerungen ziehen

Da machst du es dir m. E. zu einfach.
Erstens brauche ich keinen experimentellen Nachweis, um Gewissheit zu haben, dass Qualia existieren - und zwar eine höhere Gewissheit als es irgendein experimenteller Nachweis liefern könnte und zweitens müssen wir gar nicht exakt formulieren können was Qualia sind, um schlussfolgern zu können.
Es reicht hier die Gewissheit der Existenz und die Gewissheit, dass wir um diese Existenz wissen.

Ich leugne die Existenz der Qualia und des Bewusstseins keineswegs. Ich habe auch nicht gesagt, dass die Problematik im „Nachweis der Existenz“ besteht. Die Problematik besteht in einer mathematisch / naturwissenschaftlich präzisen Definition von Qualia sowie dem naturwissenschaftlich präzisen Nachweis.

Wenn du behauptest, dass Qualia auf ein „etwas jenseits der Mathematik hinweisen“, dann müsstest du zeigen können, dass Qualia prinzipiell nicht mathematisch beschrieben werden können. Die Tatsache, dass wir das jetzt nicht können, bedeutet gar nichts. Betrachte mal Gödels zweiten Unvollständigkeitssatz: er behauptet (korrekt) die Existenz wahrer jedoch unbeweisbarer Sätze innerhalb eines konsistenten formalen mathematischen Systems. Wenn unser Bewusstsein isomorph zu einem derartigen formalen System wäre, dann folgt daraus sofort, dass wir unser Bewusstsein in seiner Gesamtheit (d.h. inkl. aller wahrere Aussagen über das Bewusstsein) nie erkennen / erfassen können. Demzufolge könnten die Qualia gerade in dieser für nicht zugänglichen Ebene des formalen Systems liegen, genauso wie die gem. Gödel wahren jedoch unbeweisbaren Sätze in dem „für Algorithmen unzugänglichen Bereich des formalen Systems liegen“.

Dies ist ein Indiz (kein Beweis), dass gerade diese prinzipielle nicht-Erkennbarkeit der Qualia ein Hinweis darauf sein könnte, dass sie Elemente eines konsistenten formalen mathematischen Systems sind. Und damit wäre Qualia gerade kein Indiz für ein „etwas jenseits der Mathematik“.

Falls du meine Argumentation aushebeln willst, so sehe ich nur einen Weg: Du musst die Existenz des Bewusstseins leugnen.

Nein – s.o.

... und kommst damit sofort in logische Widersprüchlichkeiten hinein. Beispiel: Wer oder was leugnet dann in dem Fall was?

Nein – s.o.

Und wenn du sagst "Ich würde eher sagen, dass wir prinzipbedingt möglicherweise nicht dazu in der Lage sind, dieses Problem zu lösen.", dann sagst du in dem Moment, dass möglicherweise nicht alles mathematisch erfassbar ist.

Nein – s.o.

Zur QM:

Die Quantenmechanik befasst sich durchaus mit der Gesamtheit = dem Quantenobjekt + Versuchsaufbau + Umgebung. Das ist z.B. Gegenstand von Dekohärenz (sehr präzise untersucht; u.a. Nobelpreis 2012), Everettsche bzw. Viele-Welten-Interpretation mit vollständiger Determiniertheit.

Es geht darum, ob diese Determiniertheit (so sie denn vorliegt) eine vollständige Aufwärtskausalität ist oder nicht. Das ist sie m. E. offensichtlich nicht.

Offensichtlich? Ich weiß nicht, was du damit meinst.

Insgs. kann ich nicht erkennen, dass diese Phänomene über die Mathematik selbst hinausweisen.

In Ordnung. Nur wäre es dann im Fall des Holismus dann so, dass uns auch die Mathematik die Welt nicht vollständig verständlich machen kann …, da die Strukturen darin auch nicht auf etwas uns vollständig Verständliches reduzierbar wären.

Nein – s.o.

Wir wissen aus der „Außenansicht formaler Systeme“, dass deren Innenansicht sozusagen beschränkt und unvollständig ist. Im Falle bestimmter formaler Systeme (Logik, Arithmetik, …) können wir uns natürlich sowohl die Innen- als auch die Außenansicht zu eigen machen und daher die Beschränktheit der Innenansicht überwinden. Sollte unser Bewusstsein jedoch isomorph zu einem genügend komplexen formalen System sein, dann können wir das prinzipbedingt nicht (witzig ist, dass wir beweisen können, dass wir das nicht können). D.h. alleine aus unserer Beschränktheit dürfen wir gerade nicht (zwingend) schlussfolgern, dass das Bewusstsein jenseits der Mathematik liegt; es kann durchaus möglich sein, dass unser Bewusstsein vollständig mathematisch ist, jedoch jenseits der unserem Bewusstsein zugänglichen Mathematik liegt.

Da du ganz oben nicht in der Lage warst, überhaupt zu erklären, was dieses „jenseits der Mathematik“ überhaupt sein könnte, ziehe ich mich lieber auf den Standpunkt zurück, dass etwas jenseits der uns zugänglichen Mathematik existiert, dass dieses jedoch ebenfalls mathematisch ist. Das erscheint mir nach dem, was wir über die Mathematik und die Physik wissen, pragmatisch gerechtfertigt und weniger esoterisch. Ich lasse mich aber durch eine präzisere Definition gerne überzeugen …

[Pippen]

Konsistente Axiome können nicht mathematisch / logisch falsch sein, denn rein logisch wurde ja gezeigt, dass sie konsistent sind;

Aha, hier unterscheiden wir uns also.

ME ist deine Ansicht aber falsch, weil auch ein mathematisches System immer nur relativ konsistent sein kann, d.h. konsistent unter der Bedingung gewisser Annahmen. Wenn diese aber ihrerseits falsch wären, dann ist die Konsistenz wertlos und das Axiom kann trotzdem widersprüchlich und damit falsch sein (EFQ). Ein Konsistenzbeweis zeigt daher nie (bzw. nur relativ), dass ein Axiom wahr ist. Seeker will mE genau darauf auch hinaus.

Warum ist das wichtig? Weil damit klar wird, dass math. Axiome genauso falsch sein können wie Konsistenzbeweise wertlos, ganz wie in den Naturwissenschaften. Wenn Gott bei einer Zahl E verhindert, dass E+1 wieder eine Zahl ist, dann ist das entsprechende Peanoaxiom falsch und müsste umformuliert werden, inklusive der Logik und dort insbesondere der Universalgeneralisierung. So erlebe ich immer wieder Mathematiker & Logiker, die sich damit brüsten, dass ihre Erkenntnisse sicherer wären als die der Naturwissenschaften und das ist mE so nicht haltbar.

Wir wissen aus der „Außenansicht formaler Systeme“, dass deren Innenansicht sozusagen beschränkt und unvollständig ist. Im Falle bestimmter formaler Systeme (Logik, Arithmetik, …) können wir uns natürlich sowohl die Innen- als auch die Außenansicht zu eigen machen und daher die Beschränktheit der Innenansicht überwinden. Sollte unser Bewusstsein jedoch isomorph zu einem genügend komplexen formalen System sein, dann können wir das prinzipbedingt nicht (witzig ist, dass wir beweisen können, dass wir das nicht können).

Wie soll dieser Beweis aussehen?

[tomS]

Konsistente Axiome können nicht mathematisch / logisch falsch sein, denn rein logisch wurde ja gezeigt, dass sie konsistent sind;

ME ist deine Ansicht aber falsch, weil auch ein mathematisches System immer nur relativ konsistent sein kann, d.h. konsistent unter der Bedingung gewisser Annahmen.

Ein mathematisches System beruht ausschließlich auf Axiomen ohne jede weitere Annahme (wobei die Axiome natürlich die Axiome der elementaren Logik umfassen). Anders ausgedrückt: alle Annahmen sind Bestandteil des Axiomensystems. Wieder anders ausgedrückt: es gibt neben den Axiomen keine weiteren Annahmen.

Wenn also ein Axiomensystem widerspruchsfrei ist, dann auch das darauf basierende mathematische System. Es gibt nichts weiter "relativ zu dem es konsistent oder inkonsistent sein könnte".

Wir wissen aus der „Außenansicht formaler Systeme“, dass deren Innenansicht sozusagen beschränkt und unvollständig ist. Im Falle bestimmter formaler Systeme (Logik, Arithmetik, …) können wir uns natürlich sowohl die Innen- als auch die Außenansicht zu eigen machen und daher die Beschränktheit der Innenansicht überwinden. Sollte unser Bewusstsein jedoch isomorph zu einem genügend komplexen formalen System sein, dann können wir das prinzipbedingt nicht (witzig ist, dass wir beweisen können, dass wir das nicht können).

Wie soll dieser Beweis aussehen?

Das ist exakt Gödels erster Unvollständigkeitssatz.

[Pippen]

Ein mathematisches System beruht ausschließlich auf Axiomen ohne jede weitere Annahme (wobei die Axiome natürlich die Axiome der elementaren Logik umfassen). Anders ausgedrückt: alle Annahmen sind Bestandteil des Axiomensystems. Wieder anders ausgedrückt: es gibt neben den Axiomen keine weiteren Annahmen.

Es gibt verschiedene Annahmen, die den Axiomen zugrundeliegen und diesen gewissermaßen vorgehen, zB dass die Mehrheit der Benutzer ihre Zeichen und deren Bedeutung richtig versteht, dass das, was in den Axiomen steht auch richtig ins Bewußtsein des Benutzers dringt und er sich darüber nicht täuscht oder (durch einen bösen Gott?) getäuscht wird, dass die Welt nicht komplett irrational ist usw. Du würdest dich wundern, wie viele Hintergrundannahmen sich ergeben, wenn man da rigoros verfährt: unendlich viele. Wenn auch nur eine dieser Annahmen falsch wäre, dann kann das Axiom falsch sein, obwohl es als konsistent bewiesen wäre (weil eben dieser Beweis immer unter der Bedingung geführt wird, dass die o.g. Annahmen auch alle wahr seien). Das ist dann genau der Punkt auf den ich hinauswill: Mathematische Erkenntnisse sind auch nur vorläufig und fallibel, wenn man es genau nimmt. (Das ist dann freilich schon Mathematikphilosophie, in der Mathematik selbst wird dieses Thema einfach übergangen, weil man sonst vom "Hundertsten ins Tausendste kommt", das macht ja den Erfolg der Wissenschaften gegenüber der Philosophie aus; ich finde es dennoch wichtig, die Grenzen genau zu kennen.)

Das ist exakt Gödels erster Unvollständigkeitssatz.

Nur ein paar vorsichtige Gedanken, weil es schon spät ist und du in diesem Komplex mit Sicherheit kompetenter bist: Gödel beweist doch lediglich aus der Innenansicht der PM einen unentscheidbaren Satz, d.h. weder der Satz ist beweisbar noch sein Gegenteil. Der ganze Rest, und das ist letztlich ja sein erster U-Satz, beruht auf der w-Konsistenzannahme im Rahmen des Beweises, was ja schon wieder eine Art Außenansicht im Rahmen der Innenansicht darstellt (das zeigt ja dann sein 2. U-Satz). Ich finde es unmöglich zu beweisen, dass etwas nicht der Fall ist, wenn dieses Etwas per definitionem außerhalb unseres Denkens/Bewußtseins liegen soll. Wie soll das gehen? Wie will eine natürliche Zahl beweisen, dass es außerhalb von ihr keine weiteren Zahlen gibt, wenn sie dabei immer schon sich als Zahl voraussetzen muss?

[Fuzzlix]

Hallo Tom.

Wenn ich nicht explizit sage, welche Stufe der Unendlichkeit ich meine, dann ist die Stufe für die Aussage irrelevant.

Anscheinend für Dich. ich halte diese Herangehensweise aber für falsch.

Für einen ersten Überblick, warum es verschiedene Stufen der Unendlichkeit gibt, siehe die Abzählbarkeit der natürlichen sowie die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen.

Genau! Also wofür steht denn dann der Begriff der Unendlichkeit? Für die abzählbare Unendlichkeit oder eine überabzähbare Unendlichkeit?
Ich sage ja nicht, dass das was Du sagst falsch ist. Ich versuche nur darauf hinzuweisen, dass auch der Begriff der Unendlichkeit, wie jeder andere Begriff auch, mehrdeutig bis schwammig ist.

Ich würde gerne eine andere zur Threadüberschrift passende Frage stellen:

Ist die Physik die Sprache der Natur?

Falls ja, folgt daraus:
Die (rechte) Mathematik ist die Sprache der Natur.

Und wir kommen zu der spannenden Frage:

Ist die Mathematik vollständige Sprache der Natur?

Die ersten zwei Fragen sind wohl genau die des Thread-Titels. Ich würde sagen, offensichtlich ja. Wobei mir noch nicht klar ist, was du mit "Die rechte Mathematik" meinst. Was ist hier "recht"?

Die letzte Frage ist eine rein metaphysische Frage. Ich würde sagen, ebenfalls ja; wobei das Glaubenssache ist.

Was Du und Seeker hier sagen, findet meine Zustimmung. Entscheidend dafür ist sowohl die gute Fragestellung als auch Dein letzter Satz, Tom.

Grund dafür ist meine inzwischen gewonnene Überzeugung, dass es uns unmöglich ist, irgendeine wie auch immer geartete absolut wahre Aussage zu zu formulieren. Daraus schlussfolgere ich, dass KEINE wie auch immer geartete Sprache (zB Mathematik, Logik, Deutsch, usw.) in der Lage ist, die Natur vollständig zu beschreiben.

Fuzzlix.

[tomS]

Hallo Tom.

Wenn ich nicht explizit sage, welche Stufe der Unendlichkeit ich meine, dann ist die Stufe für die Aussage irrelevant.

Anscheinend für Dich. ich halte diese Herangehensweise aber für falsch.

Für einen ersten Überblick, warum es verschiedene Stufen der Unendlichkeit gibt, siehe die Abzählbarkeit der natürlichen sowie die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen.

Genau! Also wofür steht denn dann der Begriff der Unendlichkeit? Für die abzählbare Unendlichkeit oder eine überabzähbare Unendlichkeit?
Ich sage ja nicht, dass das was Du sagst falsch ist. Ich versuche nur darauf hinzuweisen, dass auch der Begriff der Unendlichkeit, wie jeder andere Begriff auch, mehrdeutig bis schwammig ist.

Wie ich schon sagte

Wenn ich nicht explizit sage, welche Stufe der Unendlichkeit ich meine, dann ist die Stufe für die Aussage irrelevant.

D.h. wenn ich genau eine Unendlichkeit meine, dann sage ich das auch dazu. Der Begriff Unendlichkeit ist nicht mehrdeutig oder schwammig, er wurde von Cantor sehr präzise definiert (bis auf die Einschränkung der Unbeweisbarkeit der Kontinuumshypothese).

Beispiel: Wenn wir allgemein von "Zahlen" reden, dann wissen wir auch, dass wir noch weiter präzisieren können (natürliche, ganze, rationale, reelle, komplexe, ..., p-adische, ... Zahlen). Wenn wir in einer Aussage einfach "Zahlen" sagen, dann gilt diese Ausage eben für alle diese präziseren Begriffe von Zahlen. Wenn ich über die Addition rede, werde ich mir normalerweise nicht die Mühe machen, zu sagen, welche Zahlen ich gerade meine. Das hat nichts damit zu tun, dass hier irgendetwas schlampig, nebulös, unpräzise oder falsch wäre. Man kann das durchaus immer präzisieren - wenn notwendig und sinnvoll.

All das ist in unserem Kontext hier jedoch bedeutungslos.

Die letzte Frage ist eine rein metaphysische Frage. Ich würde sagen, ebenfalls ja; wobei das Glaubenssache ist.

Was Du und Seeker hier sagen, findet meine Zustimmung. Entscheidend dafür ist sowohl die gute Fragestellung als auch Dein letzter Satz, Tom.

Grund dafür ist meine inzwischen gewonnene Überzeugung, dass es uns unmöglich ist, irgendeine wie auch immer geartete absolut wahre Aussage zu zu formulieren. Daraus schlussfolgere ich, dass KEINE wie auch immer geartete Sprache (zB Mathematik, Logik, Deutsch, usw.) in der Lage ist, die Natur vollständig zu beschreiben.

Was meinst du mit "absolut wahre Aussage"? Was bedeutet "absolut"?

Deine Schlussfolgerung lasse ich so nicht gelten. Wie ich gerade Pippen versuche zu erklären, kann die Mathematik durchaus zugleich umfassend als auch prinzipiell beschränkt sein. Wir wissen z.B. sicher, dass dies für mathematische Systeme wie die Arithmetik gilt. D.h. die Schlussfolgerung ist eher, dass Mathematik die Natur zwar allumfassend beschreibt, dass dies jedoch aus unserer Innensicht nicht erkennbar / beweisbar ist und dass wir daher dieses allumfassende mathematische System nie kennen können, obwohl es existiert (und wir sozusagen selbst in ihm vorkommen).

[tomS]

Ein mathematisches System beruht ausschließlich auf Axiomen ohne jede weitere Annahme (wobei die Axiome natürlich die Axiome der elementaren Logik umfassen). Anders ausgedrückt: alle Annahmen sind Bestandteil des Axiomensystems. Wieder anders ausgedrückt: es gibt neben den Axiomen keine weiteren Annahmen.

Es gibt verschiedene Annahmen, die den Axiomen zugrundeliegen und diesen gewissermaßen vorgehen, zB dass die Mehrheit der Benutzer ihre Zeichen und deren Bedeutung richtig versteht, dass das, was in den Axiomen steht auch richtig ins Bewußtsein des Benutzers dringt ...

Nein, es gibt diese zusätzlichen Annahmen gemäß der formalen Auffassung der Mathematik nicht! Es gibt keine Bedeutung von Axiomen für Benutzer! Das ist alles nicht Bestandteil des mathematischen Systems; es ist Bestandteil der Anwendung desselben, oder der Interpretation! Ein berühmtes Beispiel zur Axiomatisierung der Geometrie:

Man muß jederzeit an Stelle von „Punkte, Geraden, Ebenen“ „Tische, Stühle, Bierseidel“ sagen können

Das ist der Kern eines Axiomensystems. Alles weitere, was du dir dazu ausdenkst, ist wichtig für's Verständnis, die Anwendung, die Interpretation, die Physik, ... aber nicht für den Kern des Axiomensystems selbst!

Du würdest dich wundern, wie viele Hintergrundannahmen sich ergeben, wenn man da rigoros verfährt: unendlich viele.

s.o. - keine außer den Axiomen selbst; alles weitere liegt außerhalb desselben

Wenn auch nur eine dieser Annahmen falsch wäre, dann kann das Axiom falsch sein, obwohl es als konsistent bewiesen wäre (weil eben dieser Beweis immer unter der Bedingung geführt wird, dass die o.g. Annahmen auch alle wahr seien).

s.o. - es gibt für ein formales System keine Annahmen außerhalb des Axiomensystems.

ich finde es dennoch wichtig, die Grenzen genau zu kennen

Ich auch.

Das ist exakt Gödels erster Unvollständigkeitssatz.

Gödel beweist doch lediglich aus der Innenansicht der PM einen unentscheidbaren Satz, d.h. weder der Satz ist beweisbar noch sein Gegenteil.

Gödel hat das Theorem bewiesen, dass dieses Theorem formal innerhalb des Axiomensystems nicht bewiesen (nicht abgeleitet) werden kann. Aber dieser Beweis findet natürlich gerade nicht aus der Innenansicht statt!

Ich finde es unmöglich zu beweisen, dass etwas nicht der Fall ist, wenn dieses Etwas per definitionem außerhalb unseres Denkens/Bewußtseins liegen soll.

Das ist richtig, und auch wieder nicht.

Gödel formuliert ein Theorem T mit Mitteln eines Systems S. T ist innerhalb von S nicht beweisbar. T ist jedoch in andere Weise durchaus beweisbar, und damit wahr (vorausgesetzt, das System ist nicht widersprüchlich, was wiederum für genügend komplizierte Systeme nicht beweisbar ist). D.h. es existiert ein wahres Theorem T, das innerhalb des Systems S unbeweisbar ist. Gödel zeigt nun, dass eine derartige Aussage T für alle Systeme S existiert, wenn diese nur "genügend mächtig" sind; insbs. wenn sie mindestens die Arithmetik umfassen.

Nehmen wir nun an, die Natur = unser gesamtes Universum gehorche einem derartigen System S. Wir dürfen wohl annehmen, dass S die Arithmetik umfasst, also im o.g. Sinne "genügend mächtig" ist. Dann existiert nach Gödel ein innerhalb von S unbeweisbares, jedoch wahres Theorem T. Dieses Theorem sagt eine Wahrheit über die Natur aus. Diese Wahrheit ist jedoch innerhalb von S nicht beweisbar. Da wir selbst Bestandtetil des Universums sind und daher ebenfalls den Gesetzen von S unterliegen, nehmen wir sozusagen die Innenansicht bzgl. S ein und können T sicher nicht beweisen. Wir nehmen jedoch an, dass ein derartiges System S vorliegt, und daher schlussfolgern wir, dass ein derartiges T existiert, auch wenn wir es weder konstruieren noch beweisen können.

Kurz gesagt: unter der Annahme, dass es allumfassende, mathematisch präzise und konsistente Naturgesetze gibt, denen unser Universum sowie insbs. wir selbst unterliegen, folgt logisch zwingend, dass es präzise mathematische Wahreiten über die Natur (das Universum, uns selbst, ...) gibt, die wir jedoch prinzipiell nicht kennen bzw. beweisen (oder widerlegen) können.

Ich halte es für durchaus möglich, dass dies insbs. auf unser Bewusstsein zutrifft. Möglicherweise folgt unser Bewusstsein als physikalisches Phänomen präzisen mathematischen Regeln, die wir jedoch nicht ergründen können. D.h. möglicherweise ist uns gerade der logische Zugang zu uns selbst verwehrt (das ist eine Glaubenssache meinerseits; natürlich kann man aus dem oben gesagten gerade nicht sicher ableiten, auf welche Phänomen diese Unerkennbarkeit genau zutrifft; ich denke jedoch, gerade beim Bewusstsein könnte es sich aufrgund der Selbstbezüglichkeit so verhalten).

[Fuzzlix]

Was meinst du mit "absolut wahre Aussage"? Was bedeutet "absolut"?

Wikipedia ist für Kant das Absolute das Unbedingte in der Erkenntnis. Und dieses Absolute ist unereichbar. (Jedenfalls für Kant. und für mich auch )

Deine Schlussfolgerung lasse ich so nicht gelten. Wie ich gerade Pippen versuche zu erklären, kann die Mathematik durchaus zugleich umfassend als auch prinzipiell beschränkt sein.

Tom, was Du da sagst ist nicht mehr als eine Behauptung oder ein Glaubensbekenntnis. Und wie definierst Du "umfassend"?
Umfassend == absolut oder vollständig?

Wir wissen z.B. sicher, dass dies für mathematische Systeme wie die Arithmetik gilt.

Also dass Die Arithmetik beschränkt ist, würde ich ja noch ohne zu widersprechen stehen lassen aber dass sie "umfassend" ist?!?! Ja was denn umfassend? jetzt wird es aber ganz schön schwammig.

D.h. die Schlussfolgerung ist eher, dass Mathematik die Natur zwar allumfassend beschreibt, ...

Tom, Du solltest Prediger werden. Sorry wenn ich sarkastisch werde aber wenn ich so was lese dann kommt es mir hoch. Da ich Dich als einen intelligenten Menschen einschätze, halte ich es für extrem unwahrscheinlich, dass dieser blinde Glaube an die absolute Richtigkeit der Mathematik deiner inneren Überzeugung entspricht. Daraus schlussfolgere ich, dass Du hier nicht das schreibst was Du denkst sondern im Auftrag arbeitest, eine bestimmte Meinung zu vertreten. Damit ist aber für mich einer ehrlichen, aufrichtigen und zielführenden Diskussion jede Grundlage entzogen. Echt schade, Tom.

Fuzzlix.