Stochastik contra Intuition; Erwartungswert

[Pippen]

Wir haben eine Urne mit 100 Kugeln, drei davon sind rot. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Ziehung eine rote Kugel zu erwischen ist 0,03. Wenn man 10 Jahre lang, jedes Jahr eine Ziehung macht, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu erwischen? Da addiert man doch die Wahrscheinlichkeiten, also 0,03 *10 = 0,3. Richtig? Ist das nicht paradox? Die Wahrscheinlichkeit müßte doch gefühlsmäßig höher ausfallen oder? Ich würde sagen, so 5-10%, denn so wenig sind 3 rote Kugeln auf 100 nicht und wenn man zehnmal zieht, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit, mal eine zu erwischen, höher als poppelige 0,3%?!?

Übrigens: Wie hoch wäre der Erwartungswert, wenn in obigem Fall eine rote Kugel 100 Euro Gewinn bringt und wenn man keine zieht, dann verliert man 1 Euro: (3/100 * 100 euro = 3 Euro * 10 Ziehungen = 30 Euro positiver Erwartungswert) minus (97/100 *1 Euro = 0,97 Euro * 10 Ziehungen = 97 Euro negativer Erwartungswert) = -67 Euro Erwartungswert, d.h. das Spiel sollte man zu o.g. Konditionen nicht spielen, weil man langfristig verliert. Ist diese Rechnung korrekt bzw. wie würde man schulmäßig den Erwartungswert berechnen?

[positronium]

Wir haben eine Urne mit 100 Kugeln, drei davon sind rot. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Ziehung eine rote Kugel zu erwischen ist 0,03. Wenn man 10 Jahre lang, jedes Jahr eine Ziehung macht, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu erwischen? Da addiert man doch die Wahrscheinlichkeiten, also 0,03 *10 = 0,3. Richtig?

Das stimmt so nicht. Auch sind die 10 Jahre für das Problem nicht relevant.
Du musst erst festlegen, ob gezogene Kugeln zurück gelegt werden, und dann auch noch, ob Du an genau einer gezogenen roten Kugel oder an beliebig vielen, also bis zu 3 oder alternativ bis zu 10, interessiert bist.
Wenn man die Kugeln zurück legt, und es egal ist, wie viele rote man zieht, wäre die Berechnung: 1-0,97^10=0,26... Man stellt also die Frage, wie wahrscheinlich es ist, beim ersten Ziehen keine zu bekommen (=0,97), beim zweiten mal immer noch keine (=0,97*0,97) usw..

Ist das nicht paradox? Die Wahrscheinlichkeit müßte doch gefühlsmäßig höher ausfallen oder? Ich würde sagen, so 5-10%, denn so wenig sind 3 rote Kugeln auf 100 nicht und wenn man zehnmal zieht, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit, mal eine zu erwischen, höher als poppelige 0,3%?!?

Hier hast Du Dich nur vertan - in anderen Threads hast Du das ja richtig gemacht: Eine Wahrscheinlichkeit von 0,3 ist natürlich nicht 0,3% sondern 30%.

Übrigens: Wie hoch wäre der Erwartungswert, wenn in obigem Fall eine rote Kugel 100 Euro Gewinn bringt und wenn man keine zieht, dann verliert man 1 Euro: (3/100 * 100 euro = 3 Euro * 10 Ziehungen = 30 Euro positiver Erwartungswert) minus (97/100 *1 Euro = 0,97 Euro * 10 Ziehungen = 97 Euro negativer Erwartungswert) = -67 Euro Erwartungswert, d.h. das Spiel sollte man zu o.g. Konditionen nicht spielen, weil man langfristig verliert. Ist diese Rechnung korrekt bzw. wie würde man schulmäßig den Erwartungswert berechnen?

Ich würde einfach so rechnen (also, mit zurücklegen): Bei einem Ziehen werden 3*100€=300€ ausgegeben und 97*1€=97€ einkassiert. D.h. (+300€-97€)*10Ziehungen=2030€.
Und dann durch 100 teilen = 20,30.
Das gleiche Ergebnis hast Du übrigens auch, hast Dich aber verrechnet 0,97*10 ist natürlich nicht 97.

[Pippen]

@positronium: Es geht bei der Urne mit 100 Kugeln, drei davon rot, darum genau einmal zu ziehen, dann die Kugel wieder zurückzulegen und das Ganze dann 10mal wiederholen. Es handelt sich also um 10 seperate Einmal-Ziehungen. Da ist mE die Wahrscheinlichkeit bei den insgesamt 10 Ziehungen 0,3, also 30%. Stimmst du mir da zu?

Beim Erwartungswert scheine ich (genauer der Windows-Taschenrechner! ) nur falsch gerechnet zu haben, aber mein Rechenweg war wohl ok.

[positronium]

Es geht bei der Urne mit 100 Kugeln, drei davon rot, darum genau einmal zu ziehen, dann die Kugel wieder zurückzulegen und das Ganze dann 10mal wiederholen. Es handelt sich also um 10 seperate Einmal-Ziehungen. Da ist mE die Wahrscheinlichkeit bei den insgesamt 10 Ziehungen 0,3, also 30%. Stimmst du mir da zu?

Nein, das ist auf jeden Fall falsch. Das kannst Du Dir ganz einfach veranschaulichen: Würde man die 3% Wahrscheinlichkeit bei jedem Ziehen einfach addieren, würde das bedeuten, dass man mit 100%/3%=33,3... Ziehungen mit Sicherheit eine rote erwischt, und das kann ja nicht sein - es besteht immer die Möglichkeit, niemals eine rote zu ziehen.
Trotzdem fehlt hier noch eine Angabe, nämlich ob die Wahrscheinlichkeit gefragt ist, mit der man nach den 10 Ziehungen genau einmal eine rote gezogen hat, oder einmal oder öfter. In letzterem Fall ist meine obige Rechnung mit ca. 26% richtig.

[Pippen]

Nein, das ist auf jeden Fall falsch. Das kannst Du Dir ganz einfach veranschaulichen: Würde man die 3% Wahrscheinlichkeit bei jedem Ziehen einfach addieren, würde das bedeuten, dass man mit 100%/3%=33,3... Ziehungen mit Sicherheit eine rote erwischt, und das kann ja nicht sein - es besteht immer die Möglichkeit, niemals eine rote zu ziehen.
Trotzdem fehlt hier noch eine Angabe, nämlich ob die Wahrscheinlichkeit gefragt ist, mit der man nach den 10 Ziehungen genau einmal eine rote gezogen hat, oder einmal oder öfter. In letzterem Fall ist meine obige Rechnung mit ca. 26% richtig.

Aha, vielen Dank, jetzt habe ich verstanden, warum meine Rechnung falsch sein muss. Eigentlich offensichtlich. Deine Rechnung stimmt wohl, ist aber gar nicht so einfach. Ich dachte erst daran, einfach die Einzelwahrscheinlichkeit von 0,03 hoch 10 zu nehmen, aber das führt auch in die Grütze, weil es wohl bedeutet, dass man zehnmal hintereinander rot zieht, was ja nicht gefragt ist. Da muss man wirklich aufpassen.

[positronium]

...0,03 hoch 10 zu nehmen, aber das führt auch in die Grütze, weil es wohl bedeutet, dass man zehnmal hintereinander rot zieht...

Ja.

Da muss man wirklich aufpassen.

Stimmt.
In diesem Fall ist es eben einfacher, die Zahl der Folgen von Ziehungen ohne rote Kugel (97^n) zu ermitteln und durch die Gesamtzahl möglicher Folgen (100^n) zu teilen, alternativ natürlich 0,97^n/1^n=0,97^n, und das von 1 abzuziehen.

[deltaxp]

Wir haben eine Urne mit 100 Kugeln, drei davon sind rot. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Ziehung eine rote Kugel zu erwischen ist 0,03. Wenn man 10 Jahre lang, jedes Jahr eine Ziehung macht, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu erwischen? Da addiert man doch die Wahrscheinlichkeiten, also 0,03 *10 = 0,3. Richtig? Ist das nicht paradox? Die Wahrscheinlichkeit müßte doch gefühlsmäßig höher ausfallen oder? Ich würde sagen, so 5-10%, denn so wenig sind 3 rote Kugeln auf 100 nicht und wenn man zehnmal zieht, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit, mal eine zu erwischen, höher als poppelige 0,3%?!?

nein, so einfach geht das nicht. dann würde man ja irgendwann Wahrscheinlichkeiten größer 1 haben.

die Rechnung ist etwas komplizeierter:

wahrscheinlichkeit im ersten jahr eine rotekugel zu ziehen + wharscheinlichkeit im ersten jahr KEINE rote kugel zu ziehen * mal Wahrscheinlichkeit eine zu ziehen + Wahrscheinlichkeit in den ersten beiden Jahren KEINE rote kugel zu ziehen mal Wahrscheinlichkeit eine rote zu ziehen usw usf.

also 0.03+ 0.97*0.03+0.97^2*0.03+ ... 0.97^9*0.03 = 0.2626

selbst nach 33 jahren ist es nicht nahe p nicht nahe 1 sondern nur 0.634.

kann man sich auch mitm würfel klar machen. die Chance ne 6 zu würfeln ist 1/6, was nicht heisst, dass du nach 6 würfen mit Sicherheit eine 6 hast, das lässt sich analog oben ausrechnen, in der tat ist die Wahrscheinlichkeit mit 6 würfen eine 6 zu würfeln popelige 0.666, erst nach 26 Würfen überschreitet man die 99% die 100% erreicht man aber nie