Gedankenblitz zur Überabzählbarkeit von Q?

[Pippen]

1. Wir machen eine Liste wie damals Cantor mit den reellen Zahlen, nur diesmal mit rationalen Zahlen in dezimaler Schreibweise. Ist eine rationale Zahl endlich (zB 0,5), dann füllen wir sie mit unendlich vielen Nullen auf (also zB 0,5000...).
2. Jetzt können wir - analog Cantor - wieder eine Diagonalzahl bilden.
3. Diese Diagonalzahl könnte nun ebenfalls nicht mehr in der Liste auftauchen, so dass die rationalen Zahlen überabzählbar wären.

Huh??? Hängt es davon ab, wie man Q notiert, ob Q abzählbar (in Bruchschreibweise) oder überabzählbar (in Dezimalschreibweise) ist?

[Skeltek]

Deine so entstehende Diagonalzahl ist aber nicht rational.
Cantor wollte eben beweisen, dass sogar eine Menge welche alle Zahlen umfassen soll überabzählbar ist, da es Zahlen gibt, welche in der Liste nicht vorkommen.
Natürlich wird es Zahlen geben, die auch in einer rationalen Liste nicht vorkommen(die müssen ja nicht rational sein). Cantor hat es für eine Liste aller Zahlen gemacht und musste nicht expliit sagen, dass die nicht enthaltene Zahl nicht rational oder was auch immer ist.
Q ist nicht dicht in der Menge aller Zahlen, es gibt immer weitere Zahlen dazwischen (nicht rationale Zahlen).

Eine Liste welche nur rationale Zahlen enthält enthält zwangsläufig nicht alle Zahlen.

[tomS]

Klingt plausibel, aber wie beweist du für eine Liste, dass die resultierende Diagonalzahl irrational ist?

[Skeltek]

Rationale Zahl ist übrigens als Bruch zweier natürlicher Zahlen darstellbar.
Deine Diagonale Zahl wäre aber kein Bruch aus zwei existierenden endlichen Zahlen. Um diese anzunähern, müsste man die beiden natürlichen Zahlen aus denen der Bruch geht gegen unendlich laufen lassen.

[tomS]

Klingt plausibel, aber wie beweist du das?

[breaker]

Klingt plausibel, aber wie beweist du für eine Liste, dass die resultierende Diagonalzahl irrational ist?

Warum irrational??

[Pippen]

Hm...verdammt guter und offensichtlicher Einwand, dass nämlich die Diagonalzahl gar nicht rational wäre (und damit für die Abzählbarkeit von Q keine Bedeutung hätte). Beweis indirekt? Also wir nehmen an, die Diagonalzahl wäre rational, d.h. als p/q (p,q € IN) darstellbar. Dann wäre sie in der Liste, denn die Liste enthält ja angeblich alle rationalen Zahlen. Aber das widerspräche der bewiesenen Eigenschaft unserer Diagonalzahl, nicht in der Liste zu sein. Widerspruch. Damit kann die Diagonalzahl nicht rational sein. Irgendwie komisch: Könnte man mit diesem Gedankengang nicht auch analog beweisen, dass Cantor's Diagonalzahl gar keine reelle Zahl ist? Oder mache ich da irgendwo einen Fehler bei dem Beweis?

[breaker]

Oder mache ich da irgendwo einen Fehler bei dem Beweis?

Ja.

Hier:

Dann wäre sie in der Liste, denn die Liste enthält ja angeblich alle rationalen Zahlen.

Das die Liste alle rationalen Zahlen enthät, war ja eine Annahme und kein bewiesener Satz. Daraus darfst du nichts folgern.

[Skeltek]

Der reele Zahlenraum ist der angenommene dichte Raum, der alle existierenden Zahlen enthält. C ist in dem Sinn nur eine Erweiterung, da sich der reele Raum auf den komplexen bijetiv abbilden lässt.
Bis auf die Ordnung sind die beiden gleich mächtig.

"Reele Zahl" an sich ist eigentlich ein Unwort, da alle Zahlen in dem Sinn reel wären.
Natürliche, ganze, rationale, irrationale, transzendente Zahlen usw sind alle reele Zahlen.
Der reele Raum ist der hypotetische Raum, in den alle anderen eingebettet sind.
Reel im Gegensatz zu komplex bezieht sich eher auf die Wohlordnung, welche man bei der mathematischen Betrachtung der - zunächst namenlosen - Elemente betrachten möchte.

Es gibt grob zwei Ansätze:
-der eine geht von einem Raum und seiner Mächtigkeit aus und danach werden Normierung und arithmetik darüber "gespannt".
-der andere geht von Elementen aus und schließt daraus, welche Eigenschaften der von den Elementen aufgespannte Raum hätte.

[breaker]

Der reele Zahlenraum ist der angenommene dichte Raum, der alle existierenden Zahlen enthält. C ist in dem Sinn nur eine Erweiterung, da sich der reele Raum auf den komplexen bijetiv abbilden lässt.
Bis auf die Ordnung sind die beiden gleich mächtig.

"Reele Zahl" an sich ist eigentlich ein Unwort, da alle Zahlen in dem Sinn reel wären.
Natürliche, ganze, rationale, irrationale, transzendente Zahlen usw sind alle reele Zahlen.
Der reele Raum ist der hypotetische Raum, in den alle anderen eingebettet sind.
Reel im Gegensatz zu komplex bezieht sich eher auf die Wohlordnung, welche man bei der mathematischen Betrachtung der - zunächst namenlosen - Elemente betrachten möchte.

Es gibt grob zwei Ansätze:
-der eine geht von einem Raum und seiner Mächtigkeit aus und danach werden Normierung und arithmetik darüber "gespannt".
-der andere geht von Elementen aus und schließt daraus, welche Eigenschaften der von den Elementen aufgespannte Raum hätte.

http://www.youtube.com/watch?v=FHRs1cNZkxY

[Pippen]

Dann wäre sie in der Liste, denn die Liste enthält ja angeblich alle rationalen Zahlen.

Das die Liste alle rationalen Zahlen enthät, war ja eine Annahme und kein bewiesener Satz. Daraus darfst du nichts folgern.

Hm...wie würde man denn dann beweisen können, dass meine Diagonalzahl nicht rational sein kann? Also genau das, was tom schon ansprach. Denn ich kann ja beweisen, dass es eine Diagonalzahl gibt, die nicht in einer angenommen abzählbaren Liste mit allen rationalen Zahlen vorkommen kann. Woher wissen wir nun, dass diese Diagonalzahl nicht rational ist und nicht etwa doch rational, so dass damit schon Q überabzählbar wäre? ME schreit das nach einem indirekten Beweis...aber wie?

[breaker]

Naja. Wenn Du von wo anders her schon weißt, dass Q abzählbar ist, dann kann man das natürlich so machen, wie in deinem Widerspruchsbeweis.

Wenn nicht:
1. Da Du ursprüglich zeigen wolltest, dass Q überabzählbar ist, bist natürlich Du in der Beweispflicht. D.h. du musst zeigen, dass die Diagonalzahl rational ist, damit dein Beweis funktioniert.

2. So, falls die obigen beiden Sachen eh schon klar waren, dann kommen wir jetzt zu deiner eigentlichen Frage: Wie zeigt man, dass die Diagonalzahl irrational sein muss, ohne die Abzählbarkeit von Q zu benutzen?
Das scheint mir nicht ganz einfach zu sein... Man müsste zeigen, dass die Diagonalzahl unendlich viele Nachkommastellen hat und nicht periodisch ist. Und das unabhängig von der Wahl der Liste für Q. Es dürfte relativ einfach sein, zu zeigen, dass die Diagonalzahl in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen haben muss (die ungleich 0 sind). Aber wie man zeigt, dass sie nicht periodisch sein kann, dafür hab ich auf Anhieb keine gute Idee.

[Pippen]

Wie zeigt man, dass die Diagonalzahl irrational sein muss, ohne die Abzählbarkeit von Q zu benutzen?
Das scheint mir nicht ganz einfach zu sein... Man müsste zeigen, dass die Diagonalzahl unendlich viele Nachkommastellen hat und nicht periodisch ist. Und das unabhängig von der Wahl der Liste für Q. Es dürfte relativ einfach sein, zu zeigen, dass die Diagonalzahl in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen haben muss (die ungleich 0 sind). Aber wie man zeigt, dass sie nicht periodisch sein kann, dafür hab ich auf Anhieb keine gute Idee.

Ich sehe auch keine Möglichkeit die Irrationalität der Diagonalzahl ohne vorherige Annahme der Abzählbarkeit von Q nachzuweisen. Das ist aber eine Katastrophe, denn so kann man Cantor's Beweis zur Abzählbarkeit vorwerfen, dass seine Spalten- bzw. Zeilenmethode mit Brüchen das Problem der Diagonalzahl schlicht übersehen hat.

[breaker]

Verstehe ich nicht. Was hat die Diagonalzahl jett mit dem Beweis der Abzählbarkeit von Q zu tun?

[Pippen]

Verstehe ich nicht. Was hat die Diagonalzahl jett mit dem Beweis der Abzählbarkeit von Q zu tun?

Zur Erinnerung: Ich habe - ähnlich wie Cantor - eine Liste. aber mit allen rationalen Zahlen, angenommen. Dann habe ich analog zu Cantor eine Diagonalzahl konstruiert, die nicht in der Liste sein kann. Wenn nun diese Diagonalzahl rational wäre, dann wäre Q überabzählbar. Wenn man nun nicht beweisen könnte, dass die Diagonalzahl nicht rational sein kann, dann hätten wir hier sowas wie die Goldbach'sche Vermutung, also eine unbeweisbare Hypothese nach der Q überabzählbar wäre und damit wäre jeder Beweis zur Abzählbarkeit von Q nur ein Beweis unter Vorbehalt der Falschheit dieser (unbeweisbaren) Hypothese. Damit verliert doch Cantor's ursprünglicher Beweis zur Abzählbarkeit von Q seine ganze Beweiskraft, oder?

[breaker]

Nur weil wir beide deine Hypothese nicht nach 5 Minuten überlegen beweisen könen, ist sie doch nicht unbeweisbar.

[Pippen]

Nur weil wir beide deine Hypothese nicht nach 5 Minuten überlegen beweisen könen, ist sie doch nicht unbeweisbar.

Nein, natürlich nicht. Aber wenn es kein Mathematiker schaffen würde zu beweisen, dass die Diagonalzahl irrational wäre, dann wäre Cantor's Beweis zur Abzählbarkeit von Q ungültig, weil er genau dieses Problem schlicht übersehen hätte.

[breaker]

Nach der Argumentation wären praktisch alle Beweise ungültig. Denn es könnte ja immer einen Gegenbeweis geben, in dem es eine Lücke gibt, die niemand füllen kann...

[Skeltek]

Verstehe ich nicht. Was hat die Diagonalzahl jett mit dem Beweis der Abzählbarkeit von Q zu tun?

Zur Erinnerung: Ich habe - ähnlich wie Cantor - eine Liste. aber mit allen rationalen Zahlen, angenommen. Dann habe ich analog zu Cantor eine Diagonalzahl konstruiert, die nicht in der Liste sein kann.
Wenn nun diese Diagonalzahl rational wäre, dann wäre Q überabzählbar.

Nein, mit letzter Feststellung hättest du zunächst nur bewiesen, dass die Liste nicht alle rationalen Zahlen enthält.

[Pippen]

Nach der Argumentation wären praktisch alle Beweise ungültig. Denn es könnte ja immer einen Gegenbeweis geben, in dem es eine Lücke gibt, die niemand füllen kann...

Bei gültigen Beweisen darf es solche Lücken nicht geben. Bsp. V2-Beweis. Man nimmt an, das V2 rational ist und daraus folgt ein Widerspruch. Deshalb folgt, dass die Annahme falsch ist. Da es aber durch die Zweiwertigkeit der Logik nur zwei Werte (W/F) für eine Aussage geben kann, folgt daraus lückenlos, dass die Negation der Annahme, V2 sei irrational, wahr ist.

Wahrscheinlich geht die Lösung so: Man kann bei meiner Liste Q nicht beweisen, dass die daraus konstruierte Diagonalzahl nicht rational ist, so dass dort offen bleibt, ob die Liste überabzählbar ist oder doch abzählbar und die Diagonalzahl schlicht keine rationale Zahl, d.h.: Q ist abzählbar oder nicht abzählbar (weil Diagonalzahl rational). Aber Cantor kann beweisen, dass es ein anderes Verfahren gibt, alle rationalen Zahlen aufzuzählen, d.h.: Q ist abzählbar. Damit beweist er dann indirekt durch seinen Beweis, dass meine Diagonalzahl irrational sein muss. Denn wenn bewiesen ist, dass Q entweder abzählbar (Diagonalzahl irrational) oder überabzählbar (Diagonalzahl rational) ist und bewiesen ist, dass Q abzählbar ist, dann ist bewiesen, dass Q nicht überabzählbar ist und damit auch die Diagonalzalh nicht rational ist (keine Ahnung übrigens wie man diesen XOR-Schluss bezeichnet).

Macht das Sinn? Da muss dann Cantor meine Idee in der Tat nicht widerlegen, die widerlegt sich selbst.

[breaker]

Das klingt richtig.