Beweis Irrationalität -> Rationalität und Frage dazu

[Pippen]

Mal sehen, ob ich es noch zusammenkriege:

Seien r und s irrationale Zahlen. Dann soll es mind. einen Fall geben, wo r^s eine rationale Zahl ergibt. Nun gibt es für V2 zwei mögliche Fälle:

1. V2^V2 = rationale Zahl. Dann wäre der Beweis erbracht.
2. V2^V2 = irrationale Zahl. Dann gilt wegen oben: (V2^V2)^V2. Das wird zu V2^(V2 * V2) = V2^2 = 2, eine rationale Zahl.

Diesen Beweis finde ich einfach toll, so einfach und doch so Ohhh, aber mich interessiert (obwohl ich es intuitiv einsehe), wieso man einfach das Fettgedruckte annimmt. Wieso ist (2^2)^2 = 2^(2*2) = 2^4 = 16? Kann das jmd. abstrakt (also mit Variablen) beweisen? Also wieso wird aus (a^b)^c = a^(b*c)? Woraus folgt das?

[tomS]

Das folgt trivialerweise aus dem Potenzgesetz durch Abzählen der Faktoren

(10^2)^3 = 100^3 = 1000000 = 10^6
10^(2*3) = 10^6
q.e.d.

Den Rest deines Beitrages verstehe ich nicht; was möchtest du beweisen?

[breaker]

Das folgt trivialerweise aus dem Potenzgesetz durch Abzählen der Faktoren

(10^2)^3 = 100^3 = 1000000 = 10^6
10^(2*3) = 10^6
q.e.d.

Nanana. Für irrationale Zahlen folgt das nicht ganz so einfach. Man muss schon die Exponentialfunktion bemühen.

[Pippen]

Wie würdet ihr denn beweisen, dass gilt: (a^b)^c = a^(b*c)? Mir ist schon klar, dass das so gilt, man kann sich ja genügend Beispiele überlegen, aber wie sähe ein Beweis aus?

[positronium]

Dabei geht es doch nur um eine Schreibweise. (a^b)^c heisst: c-mal a^b multiplizieren, und a^b heisst: b-mal a multiplizieren. Daraus folgt (b*c)-mal a multiplizieren.

[breaker]

Dabei geht es doch nur um eine Schreibweise. (a^b)^c heisst: c-mal a^b multiplizieren, und a^b heisst: b-mal a multiplizieren. Daraus folgt (b*c)-mal a multiplizieren.

Nur für ganze Zahlen.

[Pippen]

Dabei geht es doch nur um eine Schreibweise. (a^b)^c heisst: c-mal a^b multiplizieren, und a^b heisst: b-mal a multiplizieren. Daraus folgt (b*c)-mal a multiplizieren.

Den ersten Satz verstehe ich, aber wieso folgt daraus dann b*c-mal a multiplizieren? Warum nicht irgendwas anderes wie b+c-mal a multiplizieren oder vielleicht kann man b*c gar nicht ausklammern? Woraus ergibt sich das? Kann man das nicht durch ein paar Gleichungen beweisen? Also sowas wie:

1. (a^b)^c = bla
2. bla = a^(b*c)
3. Also (a^b)^c = a^(b*c)

@breaker: Für reelle Zahlen gilt das also nicht? Ist dann nicht der Ausgangsbeweis falsch?

[positronium]

Als Beweis ist das natürlich, wie breaker schreibt, nur für ganze Zahlen gültig. Wie man das für andere Zahlen beweist, weiss ich nicht, aber es erscheint logisch, dass das für diese dann ebenso gilt.

Ich meinte das so: Statt (a^b)^c kann man

und

schreiben.
Das erste Produkt wird auf das zweite angewandt, also für jedes c wird einmal das zweite Produkt aufmultipliziert, und dieses wieder für jedes b das a. Das sind soz. zwei verschachtelte Schleifen:
c1: b1->*a b2->*a b3->*a ...
c2: b1->*a ...
Ergibt natürlich b*c Faktoren a.

[breaker]

@breaker: Für reelle Zahlen gilt das also nicht? Ist dann nicht der Ausgangsbeweis falsch?

Die Regel gilt schon; nur der Beweis ergibt keinen Sinn. Man kann ja nicht eine Zahl pi-mal mit sich selbst multiplizieren...

Für allgemeine reelle Zahlen sind Potenzen über die Exponentialfunktion definiert. Es ist

wobei die e-Funktion durch ihre Taylorreihe definiert ist.

Für den Logarithmus gilt natürlich log(e[up]x[/up])=x.

Jetzt rechnet man:

[Pippen]

Vielen Dank. Das hatte ich gar nicht bedacht - vor lauter Freude vor diesem so ästhetischen Beweis - dass man ja schwerlich irgendeine Zahl 1,141...-mal multiplizieren kann. Sehr interessant, dass das dann ganz anders definiert wird. Müsste das dann nicht auch für rationale Zahlen gelten, ich meine, wie soll man 5 zB 0,333~-mal multiplizieren?

[breaker]

Für rationale Zahlen kann man noch definieren als .
Die Definition mit der e-Funktion ist aber die allgemeinste und funktioniert immer.

[tomS]

Damit funktioniert sie auch für reelle Exponenten r, da diese beliebig genau durch rationale r = p/q angenähert werden können.

[breaker]

Das ist natürlich richtig und damit kommt man sogar ohne Exponentialfunktion und Logarithmus aus.
Allerdings muss man dann zeigen, dass die Definition unabhängig von der approximierenden Folge ist.