Stochastikproblem

[tomS]

Es geht mir darum herauszufinden, welche Strategie objektiv am besten ist, wenn man die Zielvorgabe des Szenarios streng einhält (und keine weiteren Kriterien einführt), die nunmal nicht mehr und nicht weniger fordert als: "Gewinne mindestens einen Bären mit möglichst geringem Geldeinsatz!".
In deinem Worten: Welche subjektive Strategie ist objektiv die beste?
Das lässt sich ausrechnen, indem man betrachtet, was im Mittel herauskommt, wenn eine Vielzahl von Spielern eine gemeinsame Startegie verfolgen.
Ich behaupte, dass in dem Fall die Gruppe von Spielern, die die Strategie "Ich wähle C) und kaufe den Bären!" wählt, im Schnitt besser davonkommt als jede andere Gruppe die andere Strategien verfolgt.

Grüße
seeker

Also zunächst mal sollten wir uns auf "mindestens einen" oder "genau einen" einigen. Ich ging immer von Letzterem aus.

Den zu erwartenden Geldeinsatz E(x,p) habe ich oben berechnet, er beträgt für (A - C) jeweils 100€. Ja, das ist die naheliegendste Nutzenfunktion, aber sie kann offensichtlich nicht zwischen den drei Fällen differenzieren.

Dein Problem ist der Satz

... dass in dem Fall die Gruppe von Spielern, die die Strategie "Ich wähle C) und kaufe den Bären!" wählt, im Schnitt besser davonkommt als jede andere Gruppe die andere Strategien verfolgt

der zwei zentrale Probleme enthält: Erstens habe ich oben berechnet, dass die drei Strategien (A - C) alle auf das selbe hinauslaufen, nämlich "im Schnitt auf 100€". Und zweitens beinhaltet er ein subjektives Vorurteil, nämlich dass der Vergleich der drei Strategien nach diesen Kriterium des Erwartungswertes für den zu erwartenden Geldbetrag erfolgen muss. Das ist jedoch nicht objektivierbar - und im vorliegenden Fall legt dieses Kriterium nicht mal eine optimale Strategie fest, d.h. nach deinem Kriterium ist (C) sicher nicht bevorzugt sondern gleich gut oder schlecht wie (A) oder (B). Entweder akzeptierst du das, oder du hast noch eine andere Nutzenfunktion im Kopf, die du hier nicht erläutert hast, und die dir eindeutig (C) liefert. Welche wäre das?

[seeker]

Also zunächst mal sollten wir uns auf "mindestens einen" oder "genau einen" einigen. Ich ging immer von Letzterem aus.

Ich bin gerade nicht sicher ob das einen Unterschied im Ergebnis beim Vergleich der Strategien macht, aber nehmen wir doch "mindestens einen", ok?
Das kommt m.E. dem ursprünglichen Text am nächsten.

Den zu erwartenden Geldeinsatz E(x,p) habe ich oben berechnet, er beträgt für (A - C) jeweils 100€.

Der Punkt dabei ist: Das berücksichtigt nicht, dass manche Spieler mehr als einen Bären gewinnen, während andere keinen gewinnen - es war aber Vorgabe, dass "mehr als einen Bären zu gewinnen" keinen zusätzlichen Benefit darstellt. Dadurch ergibt sich ein Unterschied zwischen A, B und C, d.h. deine Berechnung E(x,p) trifft hier bei genauerer Betrachtung das Problem nicht.

Ich sehe es so:
Nimm drei Gruppen a, b, c von Spielern, wobei jede Gruppe beleibig viele Spieler enthält. Alle Spieler in einer Gruppe sollen dieselbe Strategie A, B oder C verfolgen.
D.h.: Alle Spieler in Gruppe a verfolgen Startegie A, alle Spieler in Gruppe b verfolgen Startegie B, alle Spieler in Gruppe c verfolgen Startegie C.
Beim Einsatz von z.B. 100 € stellt sich hinterher folgendes heraus:

Gruppe a: 63,4% der Spieler haben mindestens einen Bären gewonnen, 36,6% der Spieler haben keinen Bären gewonnen
Gruppe b: 65,1% der Spieler haben mindestens einen Bären gewonnen, 34,8% der Spieler haben keinen Bären gewonnen
Gruppe c: 100% der Spieler haben mindestens einen Bären gewonnen, 0% der Spieler haben keinen Bären gewonnen

Das ist doch eine klare Sache? Damit ist aus meiner Sicht schon einmal nachgewiesen, dass Strategie C beim Einsatz von 100€ objektiv bzw. im Schnitt die beste Strategie ist.
Das sagt uns natürlich noch nicht, wie es bei anderen möglichen Geldeinsätzen ausschaut. Diese muss man extra betrachten.

Der Punkt ist:
Während in Gruppe c jeder Spieler genau einen Bären geonnen hat, gibt es in Gruppe a und b Spieler, die mehr als einen Bären gewonnen haben - das spielt aber per Vorgabe keine Rolle, weil dieser Durchschnitt nicht mehr gebildet werden darf! (Würde man ihn bilden, wie viele Bären im Schnitt von jeder Gruppe gewonnen werden, so wären alle Gruppen wieder gleichauf.)

Sind wir uns bis dahin einig?

Grüße
seeker

[tomS]

Zunächst mal habe ich oben bewusst auf genau einen Bären hingearbeitet. Du schwankst zwischen mehreren Möglichkeiten: Maximierung der Anzahl der Bären (in Prozent), Minimierung des Einsatzes. Da musst du dich entscheiden!

Wenn du eine Strategie verfolgst, bei der du zulässt, dass nicht alle Spieler mindestens einen Bären haben werden, dann steht diese Strategie im Widerspruch zu deiner Annahme "mindestens ein Bär". Du darfst also nicht aufhören, Lose zu kaufen, solange du noch keinen Bären hast. Andererseits ist es sinnlos, nach dem Gewinn des ersten Bären weiter Lose zu kaufen, denn erstens gibst du mehr Gelds aus (minimierst also sicher nicht den Einsatz), und zweitens sehe ich keine Nutzenfunktion, die weitere Bären belohnt.

Deine Argumentation bzgl. eines festen Einsatzes von 100€ sowie der Maximierung der Wahrscheinlichkeit liefert natürlich auch eine Nutzenfunktion, aber eben wieder eine andere als die Minimierung des Einsatzes. Letztere erlaubt dir insbs., das Ziel "ein Bär" sicher zu erreichen, während die Maximierung der Wahrscheinlichkeit daran scheitert. Es gibt Spieler, die nach 100€ Einsatz keinen Bären haben.

Also meines Erachtens wirfst du verschiedene Nutzenfunktionen und Zielsetzungen durcheinander. Mir ist zumindest nicht klar, was du jetzt genau optimieren willst.

Vergleiche mal folgende zwei Strategien:
(C)
(A) ohne Deckelung des Einsatzes
In beiden Fällen erwartest du Ausgaben von 100€. Im ersten Fall kostet es sogar sicher 100€. Im letzten Fall besteht eine Chance, weniger ausgeben zu müssen. Warum soll (C) objektiv (!) betrachtet besser sein, wenn es doch Fälle gibt, in denen (A) besser ist?

Nochmal: beide Nutzenfunktionen sind zulässig:
seeker: Maximierung der Anzahl der Bären bei einem festen Einsatz von exakt 100€
Tom: Minimierung des Einsatzes bei Sicherstellung genau eines Bärens

Bzgl. jeder dieser beiden Kriterien lassen sich (A - C) vergleichen. Bei deinem Kriterium gewinnt (C). Bei meinem Kritium ist keine Entscheidung möglich. Beachte jedoch, dass das Zufall ist und dass für andere Werte x,p durchaus z.B. (A) nach meinem Kriterium besser abschneiden könnte.

Die Entscheidung für (A), (B) oder (C) nach Festlegung eines Kriteriums = einer Nutzenfunktion ist objektiv möglich. Die Entscheidung für ein Nutzenkritium dagegen nur subjektiv. Z.B. lehne ich dein Bewertungskriterium für mich schlichtweg deswegen ab, weil es nicht sicherstellt, dass ich zuletzt mindestens einen Bären habe.

[positronium]

Leider habe ich das Gefühl, dass sich der Thread wegen einer nicht exakten Aufgabenstellung im Kreis dreht. Es ging doch darum, dass unbedingt ein Bär beschafft werden muss, und dafür möglichst wenig Geld ausgegeben werden soll. Der erste Teilsatz dieser Aufgabe führt zwangsläufig dazu, dass hier

A) Lose für 1€ mit einer Gewinnchance von 1% kaufen
B) Lose für 10€ mit einer Gewinnchance von 10% kaufen
C) Den Teddybär mit einer "Gewinnchance" von 100% für 100 € kaufen
D) Irgendwie A-C kombinieren
E) Es ist egal. Alles ist gleich gut.

A und B sowieso nicht möglich sind, weil theoretisch niemals ein Bär gewonnen werden könnte - zumindest bei begrenztem Budget. Und deshalb muss auch E wegfallen.
Dann stellt sich noch die Frage, ob eine Kombination von A oder B mit C, also Fall D im Schnitt besser als C ist.
Hier ein Plot der Situation. (x-Achse ist das eingesetzte Kapital, y die Wahrscheinlichkeit, einen Bären zu bekommen, Rot=1€-Lose zu 1/100, Blau=10€-Lose zu 1/10, Grün=100€-Kauf)

baer.png (12.45 KiB) 9091 mal betrachtet

Nachdem die rote und blaue Kurve immer flacher als eine 45°-Linie (entspräche dem Direktkauf) ist, vermute ich, dass der Direktkauf am besten ist. Ich müsste aber noch darüber nachdenken.

[tomS]

Leider habe ich das Gefühl, dass sich der Thread wegen einer nicht exakten Aufgabenstellung im Kreis dreht. Es ging doch darum, dass unbedingt ein Bär beschafft werden muss, und dafür möglichst wenig Geld ausgegeben werden soll.

Eigtl. nicht. Das führt m.E. auf eine präzise Aufgabenstellung: mindestens ein Bär bei Minimierung des Einsatzes (daraus folgt dann m.E. die Verfeinerung "genau ein Bär", da "mehr als ein Bär" sicher eine Minimierung des Einsatzes ermöglicht hätte).

A) Lose für 1€ mit einer Gewinnchance von 1% kaufen
B) Lose für 10€ mit einer Gewinnchance von 10% kaufen
C) Den Teddybär mit einer "Gewinnchance" von 100% für 100 € kaufen
D) Irgendwie A-C kombinieren
E) Es ist egal. Alles ist gleich gut.

Die Optionen (A - C) sind exakt beschrieben. (D) ist natürlich schwierig, aber prinzipiell auch berechenbar. (E) ist keine weitere Option sondern lediglich eine wolkige Aussage.

A und B sowieso nicht möglich sind, weil theoretisch niemals ein Bär gewonnen werden könnte - zumindest bei begrenztem Budget.

Moment. Von einem begrenzten Budget war nie die Rede. Kann man einführen, ändert aber sicher die Aufgabenstellung. (A) und (B) scheiden damit nicht aus.

Dann stellt sich noch die Frage, ob eine Kombination von A oder B mit C, also Fall D im Schnitt besser als C ist.
Hier ein Plot der Situation. (x-Achse ist das eingesetzte Kapital, y die Wahrscheinlichkeit, einen Bären zu bekommen, Rot=1€-Lose zu 1/100, Blau=10€-Lose zu 1/10, Grün=100€-Kauf)

Was willst du jetzt mit "besser" bewerten? Du stellst auf der y-Achse die Wsk. dar. Das ist aber nach der von seeker und dir genannten ursprünglichen Aufgabenstellung "möglichst wenig Geld auszugeben" nicht das selbe. Es geht nicht um die Maximierung der Wsk., sondern um die Minimierung des zu erwartenden Einsatzes. Ich habe das oben zu E(x,p) = x/p berechnet. In den Fällen (A) und (B) liefert das den selben Wert wie (C), nämlich 100€. Wenn jedoch x nach unten oder p nach oben abweichen würde, dann wäre E(x,p) < 100€. Und damit wäre diese Strategie gemäß "Minimierung von E(x,p)" besser als (A - C). Und damit muss man auch bei (D) immer E(x,p) zur Bewertung heranziehen, sonst vergleicht man Äpfel mit Birnen.

[positronium]

Leider habe ich das Gefühl, dass sich der Thread wegen einer nicht exakten Aufgabenstellung im Kreis dreht. Es ging doch darum, dass unbedingt ein Bär beschafft werden muss, und dafür möglichst wenig Geld ausgegeben werden soll.

Eigtl. nicht. Das führt m.E. auf eine präzise Aufgabenstellung: mindestens ein Bär bei Minimierung des Einsatzes (daraus folgt dann m.E. die Verfeinerung "genau ein Bär", da "mehr als ein Bär" sicher eine Minimierung des Einsatzes ermöglicht hätte).

Ja, das ist eine präzise Aufgabenstellung, aber es wurden auch andere Kriterien (z.B. egal wie viele Bären) genannt.

A und B sowieso nicht möglich sind, weil theoretisch niemals ein Bär gewonnen werden könnte - zumindest bei begrenztem Budget.

Moment. Von einem begrenzten Budget war nie die Rede. Kann man einführen, ändert aber sicher die Aufgabenstellung. (A) und (B) scheiden damit nicht aus.

OK, das "bei begrenztem Budget" hätte ich weglassen sollen. Es geht aber auf jeden Fall darum, eine Wahrscheinlichkeit von exakt 1 zu erreichen. In den Fällen A und B kommt es dazu aber nur bei unendlichen vielen Loskäufen. Ich denke, das ist bei dieser Aufgabe ein Problem.

Dann stellt sich noch die Frage, ob eine Kombination von A oder B mit C, also Fall D im Schnitt besser als C ist.
Hier ein Plot der Situation. (x-Achse ist das eingesetzte Kapital, y die Wahrscheinlichkeit, einen Bären zu bekommen, Rot=1€-Lose zu 1/100, Blau=10€-Lose zu 1/10, Grün=100€-Kauf)

Was willst du jetzt mit "besser" bewerten? Du stellst auf der y-Achse die Wsk. dar. Das ist aber nach der von seeker und dir genannten ursprünglichen Aufgabenstellung "möglichst wenig Geld auszugeben" nicht das selbe. Es geht nicht um die Maximierung der Wsk., sondern um die Minimierung des zu erwartenden Einsatzes.

Ja, natürlich. Um den Bären mit absoluter Sicherheit zu bekommen, muss man aber eine Wahrscheinlichkeit von 1 erhalten, wofür man in dem Plot ablesen kann, wieviel Wahrscheinlichkeit man bei welcher Aktion für wieviel Geld erhält. Dabei zeigt sich m.M.n., dass man im Fall des Bärenkaufs am günstigsten weg kommt - alle Kombinationen sind schlechter.

[seeker]

Moment. Von einem begrenzten Budget war nie die Rede.

Doch, es war:

Du hast 300 € in der Tasche.

28. Feb 2015, 11:58

Aber dann wärs ja tatsächlich blöd. A und B würden in Reinform wegfallen und es bliebe nur C oder D.
Also würde ich vorschlagen das einmal wegzulassen.

Es geht aber auf jeden Fall darum, eine Wahrscheinlichkeit von exakt 1 zu erreichen.

Das sehe ich zwar auch so, aber wenn wir das sehr ernst nehmen, dann fallen A und B in der Realität genauso weg wie bei 300€. (Wer hat unendlich viel Geld in der Tasche, wer hat unendlich viele Lose?)
Also würde ich das auch nicht berücksichtigen wollen.


Ich habe es mir noch einmal angeschaut.

Ergebnis:
Ich halte die Analysemethode mit den Gruppen immer noch für gut.

Wenn die Spieler Lospäckchen kaufen (also z.B. Lose für 100€ auf einmal), dann habe ich Recht, dann ergibt sich eine Asymmetrie und Strategie C ist objektiv besser als B und B ist besser als A.

Wenn die Spieler Einzellose kaufen und sofort nach einem Gewinn aufhören weitere Lose zu kaufen, dann hat Tom Recht.
In dem Fall sind die Strategien A, B, C objektiv gleichwertig, weil das Geld, das die erfolglosen Spieler in einer Gruppe zusätzlich aufbringen müssen von den Spielern die früh gewonnen haben und somit Geld eingespart haben genau ausgeglichen wird.

Die Strategien können dann auch gemischt/gewechselt werden ohne gegenüber den "Reinstrategien" schlechter zu werden. Allerdings -soweit ich es im Moment überschaue, ich muss das nochmals durchsehen- nicht ganz beliebig. Es scheint da eine Grenze bei 100€ = 100 Ziehungen bei A bzw. 10 Ziehungen bei B zu geben. Ein Wechsel von C zu A oder B scheidet sowieso aus.

Welche genauen Misch-Strategien unter diesen Randbedingungen genau gewählt werden sollten obliegt Zusatzkriterien und sind somit "subjektiv" zu nennen.
Z.T. können diese objektivierbar (im Sinne von rechnerisch erfassbar) sein , z.T. auch nicht ("Ich habe heute Glück!", "Wenn ich weniger Geld als 100€ ausgeben muss, dann freut mich das pro gespartem Euro doppelt so stark, wie es mich pro Euro ärgert, wenn ich mehr als 100 € ausgeben muss!", usw.)

Grüße
seeker

[tomS]

Wenn wir die Begrenzung auf 300€ (habe ich übersehen) sowie die nur endlich vielen Lose (irrelevant, da Wsk. > 0, d.h. mindestens ein Gewinn im Topf! und da Wsk. nicht abhängig von Zahl der Lose!) weglassen, sind (A - C) bzgl. der Minimierung des Einsatzes gleich gut.

(D) ist interessant, da man vorher festlegen muss, wann die Strategie gewechselt und wie bewertet wird. Z.B. besteht ein großer Untschied, ob ich vorher festlege 10 mal gemäß (A) zu Losen und dann auf (C) umzusteigen, oder ob ich diese Entscheidung für (C) erst treffe, nachdem ich sicher weiß, dass ich bei (A) nicht gewonnen habe.

[tomS]

So, jetzt hab' ich mal weitergerechnet, nämlich die Idee, N mal gemäß (A) bzw. (B) zu losen und anschließend auf (C) umzusteigen. Zunächst erhält man für die ersten N Lose

E'(x,q,N) = x ( 1 + q + q[up]2[/up] + ... + q[up]N-1[/up])

Anschließend zahlt man X = 100€, allerdings nur mit einer Wsk. von q[up]N[/up], d.h. insgs. erhält man

E(x,q,N) = x (1 - q[up]N[/up]) / (1 - q) + Xq[up]N[/up]

Das ist für die o.g. Werte bzgl. (A) oder (B) immer konstant 100€! (oder hab' ich mich verrechnet?) D.h.
- einmaliges Wechseln von (A) nach (C) nach N beliebig oder
- einmaliges Wechseln von (B) nach (C) nach N beliebig
führt zu keiner besseren oder schlechteren Strategie; der Erwartungswert für die Gesamtsumme beträgt immer 100€.

[tomS]

Dann hab' ich berechnet, N mal gemäß (A) zu losen und anschließend auf (B) umzusteigen; oder umgekehrt. Das selbe Ergebnis wie oben

D.h.
- einmaliges Wechseln von (A) nach (B) nach N beliebig sowie Weiterkaufen oder
- einmaliges Wechseln von (B) nach (A) nach N beliebig sowie Weiterkaufen
führt zu keiner besseren oder schlechteren Strategie; der Erwartungswert für die Gesamtsumme beträgt wieder jeweils 100€.

[seeker]

(D) ist interessant, da man vorher festlegen muss, wann die Strategie gewechselt und wie bewertet wird. Z.B. besteht ein großer Untschied, ob ich vorher festlege 10 mal gemäß (A) zu Losen und dann auf (C) umzusteigen, oder ob ich diese Entscheidung für (C) erst treffe, nachdem ich sicher weiß, dass ich bei (A) nicht gewonnen habe.

D ist gleichermaßen verzwickt wie interessant.
Ich bin noch nicht sicher, ob das so ist, so lange du nicht die Strategie wählst "Ich kaufe auf jeden Fall n Lose, gleich ob ich gewinne oder nicht und wechsle danach, falls ich noch nicht gewonnen habe!"
Z.B. funktioniert m. E. die Strategie "Ich kaufe 1€-Lose, bis ich gewinne. Jedoch maximal 100 Stück. Falls ich nach 100 Losen noch nicht gewonnen habe, kaufe ich den Bären für 100€." Die Gruppe, die diese Strategie verfolgt zahlt im Schnitt genau dasselbe wie die Gruppe die ausschließlich A, B oder C verfogt.

Dass das freie Wechseln der Strategien von A nach B, B nach A und dann gegebenenfalls am Schluss nach C erlaubt ist, erscheint mir im Moment stimmig.

Die spannende Frage ist für mich: Existiert eine Strategie, die objektiv besser als Strategie C ist?
Ich glaube nicht, dass eine solche existiert und deine Rechnungen scheinen das auch zu stützen.

Strategie A und B ereichen ja nur im Optimalfall Strategie C, wenn man es strikt durchhält niemals mehr als ein Los auf einmal zu kaufen.
Daher lässt sich vermuten, dass es nicht besser geht.

Grüße
seeker

[Skeltek]

Für D ist entscheidend, welchen Wert welche verbleibende Geldmenge hat.
Nehmen wir an jemand hat 100€ in der Tasche, dann sind
3 € viel wert (Minimum für Nahrungskauf um den Tag zu überleben)
5€ etwas weniger wert als die ersten drei Euro, z.B. für Unterkunft im Winter.
80€ blabla
Die letzten 2€ sind fast nichts wert im Vergleich zu den ersten drei.
Ausserdem gibt es Schwellwerte, ab denen der Wert eines Teils des bisher relativ wertlosen Geldes plötzlich vervielfacht wird.
So kann man sich z.B. für 80€ eine schicke Jacke kaufen, während man sich für 89€ nur Schrott leisten kann.

Der Nutzen der Strategie D ist also davon abhängig, welchen nominalen (und nicht numerischen) Wert der verbleibende Geldbetrag nach der Aktion mit der Teddybärverlosung nun tatsächlich hat.
Nur ohne jegliches Hintergrundwissen kann und sollte man den Wert der Geldbeträge einer logarthmischen Wertfunktion zuordnen.
So gesehen ist dann eine Menge von 100€ nur 1/sqrt(200/100) mal so viel Wert wie 200€ (keine Lust das richtig zu rechnen, deshalb hier einfach mal die Wurzel statt ln-orientierter Funktion).

[seeker]

Das sind Zusatzkriterien Skeltek, die du da einführst.
Kann man tun, aber die Aufgabenstellung an sich gibt das nicht her, bzw. schreibt nicht vor, welche wie zu wählen sind.
Daher ist es sinnvoll das Problem zunächst ohne diese zu lösen.
Möchte man das Ganze später als Modell realen, komplexeren Gegebenheiten besser annähern, dann erst sollte man sie einführen.

Grüße
seeker

[positronium]

Das ist für die o.g. Werte bzgl. (A) oder (B) immer konstant 100€!

Das sollte passen. Bei mir sieht die Rechnung ein wenig anders aus (L=gekaufte Lose, p=Gewinnwahrscheinlichkeit):

Das eliminiert sich bis auf die Zahl 100€.

D ist gleichermaßen verzwickt wie interessant.
Ich bin noch nicht sicher, ob das so ist, so lange du nicht die Strategie wählst "Ich kaufe auf jeden Fall n Lose, gleich ob ich gewinne oder nicht und wechsle danach, falls ich noch nicht gewonnen habe!"

Wenn man sich darauf festlegt, eine Mindestzahl Lose zu kaufen, sieht es anders aus. Das erhöht die Kosten und gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen. ich vermute, dass sich das genau so wie oben heraus kürzt.

Die spannende Frage ist für mich: Existiert eine Strategie, die objektiv besser als Strategie C ist?
Ich glaube nicht, dass eine solche existiert und deine Rechnungen scheinen das auch zu stützen.

Sehe ich auch so.

Strategie A und B ereichen ja nur im Optimalfall Strategie C, wenn man es strikt durchhält niemals mehr als ein Los auf einmal zu kaufen.
Daher lässt sich vermuten, dass es nicht besser geht.

Im Mittel sind sie mit C identisch. Im Gegensatz zu C hat man aber eine Chance-/Risikostreuung.

[seeker]

Wenn man sich darauf festlegt, eine Mindestzahl Lose zu kaufen, sieht es anders aus. Das erhöht die Kosten und gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen. ich vermute, dass sich das genau so wie oben heraus kürzt.

Tut es nicht. Wenn man sich im Voraus festlegt mehr als ein Los zu kaufen (egal ob Lossorte A oder B), dann steht man schlechter da, weil das dann in die schon von mir gezeigte Richtung geht. Das immer wieder Verwirrende ist die Tasache, dass es einen Unterschied macht, ob man sich im Voraus entscheidet 10 € auszugeben und dafür ein 10%-Los zu kaufen oder zehn 1%-Lose. Das 10%-Los ist in dem Fall der bessere Deal.

Im Mittel sind sie mit C identisch. Im Gegensatz zu C hat man aber eine Chance-/Risikostreuung.

Ja. Und die ist auch zwischen A und B nicht identisch.

Grüße
seeker

[tomS]

Das Interessante ist, dass (A - C) identisch sind (unter den o.g. Annahmen: Ziel ist genau ein Bär bei die Minimierung der zu erwartenden Kosten; unendlich viele Lose bzw. Ziehen mit Zurücklegen; Kaufen einzelner Lose; potentiell unbegrenztes Budget) und dass sogar einige Strategien aus (D) identisch mit (A - C) sind. Kann man beweisen, dass ein beliebiges Mischen von (A - C) immer zum Erwartungswert von 100€ führt? (C) ist dabei eigtl. nur ein Spezialfall von (A) mit p=1 und X=100€.

Man sieht leicht, dass dies sicher i.A. nicht gilt, sondern nur für bestimmte Werte für x und p.

Ein allgemeiner Ansatz wäre folgender: man betrachtet Sequenzen a, bei denen mit Wahrscheinlichkeit p[down]a[/down] und Einsatz x[down]a[/down] gelost wird. Eine neue Sequenz a beginnt mit einer Wahrscheinlichkeit



wobei alle Wahrscheinlichkeiten über alle vorherigen Sequenzen b=0,1,... der Länge N[down]b[/down] multipliziert werden.

Der erwartete Einsatz für eine derartige Sequenz ist dann



Der insgesamt zu erwartende Einsatz ist



Alles eingesetzt liefert das



Bei vorgegeben x[down]a[/down] und p[down]a[/down] sind die Längen N[down]a[/down] der einzelnen Sequenzen die (diskreten) Variablen. D.h. die Aufgabe lautet i.A.

[seeker]

C ist ein Sonderfall, denn C muss bei jeder gemischten Strategie entweder gar nicht vorkommen oder am Schluss genau 1x.

Daher würde ich die Sache wie folgt angehen:
Zuerst ist zu zeigen, dass A und B gleichwertig sind. (Das ist getan.)
Dann ist zu zeigen, dass beliebige vorzeitige Abbrüche von A und B (an derselben Stelle, also bei gleichem Geldeinsatz) auch stets gleichwertig sind. (Das ist glaube ich im Prinzip auch schon getan.)
Daraus ergibt sich nämlich, dass beliebige Mischungen AB mit A und B gleichwertig sein müssen.
Zuletzt ist zu zeigen, dass das hinzufügen von C (am Ende!) zu den Strategien A oder B (an einem beliebigen Punkt) nichts ändern. (Das ist glaube ich im Prinzip auch schon getan.)

Zu zeigen wäre daher nur noch, was passiert, wenn vorzeitige Abbrüche von A und B bei nicht gleichem Geldeinsatz erfolgen.
(Daraus ergeben sich dann hinterher Szenarien wie z.B. 7x A, dann auf B wechseln, ...)

Grüße
seeker

[tomS]

na ja, das ist alles nur für die speziellen Werte für x und p getan ...

[positronium]

Wenn man sich darauf festlegt, eine Mindestzahl Lose zu kaufen, sieht es anders aus. Das erhöht die Kosten und gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen. ich vermute, dass sich das genau so wie oben heraus kürzt.

Tut es nicht. Wenn man sich im Voraus festlegt mehr als ein Los zu kaufen (egal ob Lossorte A oder B), dann steht man schlechter da, weil das dann in die schon von mir gezeigte Richtung geht.

Hier bin ich mir nicht sicher. Du musst bedenken, dass Du bei der Entscheidung "ich kaufe jetzt 10 Stück 1%-Lose, nicht nur den Nachteil in Kauf nimmst, z.B. wenn Du beim 2. Los einen Treffer hast, 8 Lose unnötig gekauft zu haben, sondern auch den Vorteil erhältst mehr als einen Bären gewinnen zu können - die Abbruchbedingung "Gewinn" ist ja dadurch von pro-Stück auf pro-10-Stück verändert. Wenn tatsächlich nur exakt ein Bär gewünscht ist, hast Du Recht; dann steht man schlechter da. Aber wenn man die Bedingung des Loskaufs in einzelnen Stücken ändert, dann kann auch die Gewinnbewertung geändert werden (Möglichkeit des Erhalts eines Werk- und Wochentagsbären...).

[seeker]

na ja, das ist alles nur für die speziellen Werte für x und p getan ...

Das ist allerdings richtig, allgemein wär schöner. Dennoch könnte es evtl. Sinn machen C gesondert zu behandeln, da es wie gesagt nur 1x am Ende vorkommen kann.

@positronium:
Stimme zu. In der hier vorliegenden Aufgabenstellung ist es halt so, dass nur der erste gewonnene Bär pro Person einen Benefit darstellt.
Und da ist es dann deshalb so, wie ich sage. Alles andere verändert die Aufgabenstellung. Wenn du sie so veränderst, dass auch mehr als ein gewonnener Bär einen Benefit darstellt, dann ist es wieder egal, ob du die Lose einzeln kaufst oder im Paket.

Wenn ich genau 1x einen Sechser im Lotto gewinnen will, dann ist es besser 10 Wochen lang pro Woche nur ein Feld auszufüllen (und das Spiel abzubrechen, sobald ich gewinne), wenn es mir nur um die reine Gewinnsumme geht, dann kann ich genauso gut in nur einer Woche 10 Felder ausfüllen.

Grüße
seeker

[tomS]

na ja, das ist alles nur für die speziellen Werte für x und p getan ...

Das ist allerdings richtig, allgemein wär schöner. Dennoch könnte es evtl. Sinn machen C gesondert zu behandeln, da es wie gesagt nur 1x am Ende vorkommen kann.

(C) ist einfach zu behandeln, da immer nur am Ende relevant; man muss einfach das Produkt P aller Wsk.s berechnen und dann P * 100€ addieren. Alternativ kann man (C) wie (A) oder (B) betrachten mit einer Wsk. = 1 (damit werden alle weiteren Terme dann Null).

Mein Ansatz ist so allgemein, dass er für beliebige weitere Fälle (A), (B), und entsprechende x[down]A[/down], p[down]A[/down], x[down]B[/down], p[down]B[/down], ... funktioniert - allerdings sehe ich ggw. keinen vernünftigen Lösungsansatz, außer die Sequenzen der Länge N[down]a[/down] durchzuprobieren - und das kann es ja wohl nciht sein ;-)

[Skeltek]

Okay, aber der Erwartungswert=Gewinneinsatz ist nicht zwangsläufig eine neutrale Rechnung.

Annahme:
Man muss immer das gesammte Geld setzen was man hat.
Gewinnchance 50%.
Gewinn: verdoppelt das eingesetzte Geld.
Verlust: gesammter Einsatz geht verloren.

Wie man leicht erkennt ist der Erwartungswert=Einsatz; trotzdem ist die Relation der Ergebnisse nicht gleichwertig(da der Einsatz nicht konstant ist, ist der Erwartungswert auch immer unterschiedlich). Das eine nimmt den Einsatz mit Faktor 2, die Alternative mit 1/unendlich.

Gleichwertigkeit tritt erst ein bei folgender Konstellation:
Einsatz: Gesammtes Vermögen.
Gewinnchance 50%.
Gewinn: Einsatz wird verdoppelt.
Verlust: Einsatz wird halbiert.
Erwartungswert des Gewinnes ist hier zwar immer (100-50)/2=25% Gewinn pro Spiel, allerdings bleibt langfristig der Gewinn pro Spiel +/- 0 %

[seeker]

@Skaltek:
Ja das ist alles das drumherum. Das kann alles später noch betrachtet werden.
Ich mein, später werd ich auch noch wissen wollen, was passiert, wenn man das Szenario realistischer gestaltet und die verfügbare Geldmenge auf 300 € begrenzt, so wie in der ursprünglichen Aufgabenstellung angegeben: Welche Stratgeien D neben der Strategie C sind dann noch gangbar?

@Tom:
Vielleicht ist es einfacher zu zeigen, dass es keine Strategie D gibt (die mit C endet oder C gar nicht enthält), die schlechter als A, B, C ist.
Du hast geschrieben:

Man sieht leicht, dass dies sicher i.A. nicht gilt, sondern nur für bestimmte Werte für x und p.

Ich sehe das im Moment nicht. Kannst du ein Beispiel für solch eine Strategie geben, die schlechter als A, B, C ist?

Ich mein allgemeine Vorgabe muss auch bei allgemeiner Betrachtung natürlich sein, dass die Wahlmöglichkeiten gleichwertig sein müssen, dass also der Quotient aus Gewinnchance (pro Los) / Lospreis bei jeder wählbaren Option gleich sein muss.

Grüße
seeker

[tomS]

Du hast geschrieben:

Man sieht leicht, dass dies sicher i.A. nicht gilt, sondern nur für bestimmte Werte für x und p.

Ich sehe das im Moment nicht. Kannst du ein Beispiel für solch eine Strategie geben, die schlechter als A, B, C ist?

Das meine ich nicht.

Ich habe folgendes mit Excel ausprobiert:
N mal (A), dann einmal (C)
N mal (B), dann einmal (C)
N mal (A), dann immer (B)

Dabei ist mir aufgefallen, dass dies mit den drei Vorgaben
(A) x=1€, p=1%
(B) x=10€, p=10%
(C) x=100€, p=100%
immer auf E = 100€ rausläuft, dass also (A - C) gleichwertiug sind

Mir ist aber auch aufgefallen, dass wenn ich x und p variiere, dieses nicht mehr gilt, d.h. dass sich dann doch eine Vorzugsstrategie ergibt. Diese kann ich wieder mit Excel ermitteln, aber nur für die o.g. einfachen Fäller, also nicht für häufigeres Wechseln zwischen (A) und (B) und ggf. zuletzt (C) D.h. ich kann nur wenige Spezialfälle für (D) betrachten; ich habe noch keine Idee, wie ich (D) für beliebige x und p berechne.

[positronium]

ich habe noch keine Idee, wie ich (D) für beliebige x und p berechne.

Ich glaube, das ist gar nicht in einer allgemeingültigen Formel möglich, weil man für jeden Strategiewechsel die bisherigen Wahrscheinlichkeiten als Parameter braucht. Also müsste man das entweder iterativ durchrechnen, oder per Rekursion formulieren - ersteres ist nicht das, was sinnvoll ist, und zweiteres müsste man vermutlich als Programm umsetzen, das man mit Parametern für die Strategiewechsel füttert.