Stochastikproblem

[Pippen]

Es gibt zwei Buchstaben A und B. Du kannst einmal wählen! Wenn du A wählst, dann bekommst du 250 Euro. Wenn du B wählst, dann bekommst du in 1 von 4 Fällen 1000 Euro und in 3 von 4 Fällen gar nichts. Was würde die Wahrscheinlichkeitsrechnung hier raten? Mein Gedankengang wäre: Wenn ich B wähle, dann ist die Wahrscheinlichkeit groß (3/4), dass ich gar nix bekomme, also wähle ich A.

Im Falle vieler Versuche wäre es mE egal, was man wählt, da der Erwartungswert für A und B gleich wäre: 250 Euro.

Was meint ihr?

[tomS]

Es ist egal. Der Erwartungswert beträgt

Wählen von A: E(A) = 4 * [1/4 * 250€] = 250€
Wählen von B: E(B) = 1 * [1/4 * 1000€] + 3 * [1/4 * 0€] = 250€

[seeker]

Ich mein, in dem Fall kommt es darauf an, ob du ein Spieler bist oder nicht, ob du also ein Los kaufen magst oder nicht (genau das tust du ja im Prinzip, wenn du B wählst und dadurch auf das Geld aus A verzichtest).
Verändern wir die Zahlen etwas:

Wenn du A wählst gewinnst du mit 100% Wahrscheinlichkeit 100 €.
Wenn du B wählst gewinnst du mit einer Chance von 1:100 einen Betrag von 10.000 €.

Im Prinzip dieselbe Situation. Erwartugswert in beiden Fällen 100€. Jedoch wirst du bei Wahl von B auf keinen Fall am Ende 100 € gewonnen haben.
Was tust du? Magst du ein Los für 100 € kaufen oder nicht?

Was ist, wenn du 100-mal wählen darfst?

Wenn du 100x immer A wählst gewinnst du 10.000 € mit 100% Sicherheit.
Wenn du 100x B wählst, kann es auch sein, dass du gar nichts gewinnst, wenn du Pech hast.
Es kann auch sein, dass du mehrmals gewinnst. Die Chance, dass du genau 1x gewinnst (= 10.000 €) ist recht klein.

Man kann diese Wahrscheinlichkeiten auch ausrechnen und das ist vielleicht auch interessant:
Wie wahrscheinlich ist es, dass ich in diesem Fall (100x B wählen) nichts gewinne, genau 1x gewinne, genau 2x gewinne, mehr als 2x gewinne, usw.?
Wie viele Lose musst du kaufen (also wie oft musst du B wählen), damit du mit einer akzeptablen Wahrscheinlichkeit (sagen wir z.B. 90%) 1x gewinnst?
Vielleicht schlag ich es mal nach.

Grüße
seeker

[tomS]

Ich mein, in dem Fall kommt es darauf an, ob du ein Spieler bist oder nicht, ob du also ein Los kaufen magst oder nicht (genau das tust du ja im Prinzip, wenn du B wählst und dadurch auf das Geld aus A verzichtest).
Verändern wir die Zahlen etwas:

Wenn du A wählst gewinnst du mit 100% Wahrscheinlichkeit 100 €.
Wenn du B wählst gewinnst du mit einer Chance von 1:100 einen Betrag von 10.000 €.

Im Prinzip dieselbe Situation. Erwartugswert in beiden Fällen 100€. Jedoch wirst du bei Wahl von B auf keinen Fall am Ende 100 € gewonnen haben.
Was tust du? Magst du ein Los für 100 € kaufen oder nicht?

Was ist, wenn du 100-mal wählen darfst?

Wenn du 100x immer A wählst gewinnst du 10.000 € mit 100% Sicherheit.
Wenn du 100x B wählst, kann es auch sein, dass du gar nichts gewinnst, wenn du Pech hast.
Es kann auch sein, dass du mehrmals gewinnst. Die Chance, dass du genau 1x gewinnst (= 10.000 €) ist recht klein.

Man kann diese Wahrscheinlichkeiten auch ausrechnen und das ist vielleicht auch interessant:
Wie wahrscheinlich ist es, dass ich in diesem Fall (100x B wählen) nichts gewinne, genau 1x gewinne, genau 2x gewinne, mehr als 2x gewinne, usw.?
Wie viele Lose musst du kaufen (also wie oft musst du B wählen), damit du mit einer akzeptablen Wahrscheinlichkeit (sagen wir z.B. 90%) 1x gewinnst?
Vielleicht schlag ich es mal nach.

Grüße
seeker

Ich verstehe deine Zahlen und deine Logik nicht.

Wenn A gewählt wird, gibt's immer 250€. Ich hab' das mit 4 Fällen dargestellt, aber es ist egal. Der Erwartungswert beträgt 250€.

Wenn B gewählt wird, beträgt der Erwartungswert ebenfalls 250€. D.h. rein rational ist es egal, ob man A oder B wählt.

Wenn man das Spiel iteriert, ist es sicher egal.

Wenn man das Spiel genau einmal spielt, darf man bei B auf 1000€ hoffen - oder man riskiert den Verlust von 250€. Das ist aber Psychologie, keine Mathematik. Man kann jetzt natürlich statt des objektiven Erwartungswertes in Euro einen subjektiven "Zufriedenheitsfaktor" einführen und den berechnen ...

[seeker]

Ich verstehe deine Zahlen und deine Logik nicht.

Wenn A gewählt wird, gibt's immer 250€. Ich hab' das mit 4 Fällen dargestellt, aber es ist egal. Der Erwartungswert beträgt 250€.

Wenn B gewählt wird, beträgt der Erwartungswert ebenfalls 250€. D.h. rein rational ist es egal, ob man A oder B wählt.

Ist das so? Ist es rational gesehen egal? Wie du selbst sagst: Es spielt auch Psychologie hinein. Und es spielt noch mehr hinein:

Nehmen wir noch andere Zahlen:

Wenn du A wählst gewinnst du mit 100% Wahrscheinlichkeit 1000€.
Wenn du B wählst gewinnst du mit einer Wahrscheinlichkeit von 1:1 Milliarde einen Betrag von 2000 Mrd €.

Der Erwartungswert ist rein mathematisch bei B höher, nähmlich 2000€. Klare Sache: 2000€ sind mehr als 1000€, also B!
Aber ist es deshalb auch klüger B zu wählen? Oder solltest du hier nicht lieber einfach A wählen, die 1000 € nehmen und dir was Schönes gönnen?
(Was wolltest du auch mit 2000 Mrd € anfangen, die du höchstwahrscheinlich eh nicht gewinnen wirst?)

Ich bleib dabei: Es kommt darauf an, ob du ein Spieler bist oder nicht und es hängt von weiteren Randbedingungen ab, was hier rational ist.

Grüße
seeker

[tomS]

Ich verstehe deine Logik und deine Zahlen nicht.

Wenn du A wählst (und du darfst genau einmal, wählen), dann gewinnst du 250€.

[seeker]

Die Sache mit dem Erwartungswert ist ja mathematisch völlig klar. Das ist für mich abgehakt.

Meine Gedanken bewegen sich da in andere Richtungen, darüber hinaus. Das ist eigentlich alles.

Um die eine Paradoxie nochmals darzustellen:

Bei Pippens ursprünglichen Zahen erhälst du bei beiden Möglichkeiten A oder B einen Erwartungswert von 250 €, auch wenn du nur 1x wählen darfst.
Das paradoxe ist jedoch, dass wenn du nun B wählst, dass du dann in keinem Fall 250 € gewinnen wirst, während du bei A in jedem Fall 250 € gewinnst.
Das ist nicht dasselbe! Und man darf also auch nicht wegen dem Erwartungswert = 250 € bei der Wahl von B erwarten, dass man tatsächlich 250 € gewinnen würde, denn das ist ausgeschlossen.

Ich denke man muss aufpassen, dass man bei dem Problem hier nicht den "Statistikfehler" macht:

Ein Statistiker zielte mit einem Gewehr auf einen Baum. Er schoss zweimal. Einmal schoss er rechts vorbei, einmal schoss er links vorbei.
Hinterher behauptete er, er hätte den Baum statistisch gesehen getroffen.

P.S.:
Daher ergibt sich die logische Schlussfolgerung, dass Pippens Problem ("Soll ich A oder B wählen?") mit den gegebenen Informationen nicht entscheidbar ist (da der Erwartungswert bei beiden Wahlmöglichkeiten A und B identisch ist), obwohl es prinzipiell entscheidbar wäre, wenn genügend Informationen vorlägen (denn die Wahl von A führt wie gezeigt nicht zu demselben Ergebnis wie die Wahl von B).
Daher muss man Zusatzfragen stellen, um das Problem entscheiden zu können. Daher z.B. die Frage: "Pippen, bist du ein Spieler?"

Grüße
seeker

[tomS]

Ja, das habe ich oben schon gesagt. Objektiv statistisch ist es egal. Subjektiv kann man weitere Infos mit einbeziehen, z.B. ob einem einen die Chance auf 1000€ das Risiko, evtl. nichts zu gewinnen, wert ist.

[seeker]

Objektiv statistisch ist es egal.

Nein, es ist eben nicht egal, denn A und B führen zu anderen objektiven Ergebnissen. Es ist vielmehr mit den gegebenen Informationen statistisch unentscheidbar.

Grüße
seeker

[Skeltek]

Es ist nicht egal was man wählt.
Nehmen wir einmal an, du kannst nur einmal spielen:

Die Mafia hat deine Freundin entführt und du sollst innerhalb von 5 Minuten 1000€ auftreiben....

Der Nutzen ist nicht linaer zur Geldmenge...

[Pippen]

Ich sehe es mittlerweile wie toms. Selbst wenn man nur einmal spielt, ist es egal, was man wählt, auch da "zieht" das Argument des Erwartungswertes. Nehmen wir nun mal zusätzlich an, wir spielen das Spiel und ich bin gerade ziemlich klamm, könnte also wirklich Geld gebrauchen. Wenn wir mehrmals spielen, dann bleibt mE der Erwartungswert das Richtschwert und es ist egal, ob ich A oder B wähle, ich kann quasi willkürlich wählen und je länger ich spiele, desto wahrscheinlicher wird es, dass ich mind. 250 Euro gewinne. Wenn wir aber nur einmal spielen, dann wird es schwierig. Man müsste dann den Erwartungswert irgendwie nochmal mit einem Wichtigkeitswert abgleichen, der angibt, wie wichtig einem ein Gewinn von mind. 250 Euro wären.

Das könnte dann so aussehen:

A: 100%: 250 Euro, Erwartungswert: Wahrscheinlichkeit * Gewinn = 1 * 250 Euro = 250 Euro, Wichtigkeitswert: Erwartungswert * Gewinnwahrscheinlichkeit = 250 Euro * 1 = 250 Euro

B: 75%: 0 Euro, 25%: 1000 Euro, Erwartungswert: Wahrscheinlichkeit1 * Gewinn1 + Wahrscheinlichkeit2 * Gewinn2 = 0,75 * 0 Euro + 0,25 * 1000 Euro = 250 Euro, Wichtigkeitswert: Erwartungswert * Gewinnwahrscheinlichkeit = 250 * 0,25 = 62,5.

Wenn ich also Wert darauf lege, bei einmaligem Spiel mind. 250 Euro zu gewinnen, dann kann man damit mathematisch nachweisen, dass nur A rational ist, was i.Ü. auch intuitiv naheliegend wäre. Es fragt sich anhand dieses Beispiels, ob nicht unsere Welt derart komplex ist, dass man ab einem bestimmten Punkt, zB wenige Ereignisse und die Erwartungswerte der Alternativen liegen nicht extrem weit auseinander, bewußt auf Statistik verzichten und stattdessen seine Entscheidung auf den guten alten Münzwurf bauen sollte. Das hieße in unserem Fall: Einfach den Zufall entscheiden lassen, ob A oder B und damit leben.

[seeker]

Mancher hat vielleicht den Eindruck, dass ich Haare spalte.
Das denke ich aber nicht.

Nur wenn die Wahl einer von zwei Alternativen "A "oder "B" zu demselben Ergebnis führt, dann ist es egal, was ich tue.
Wenn ich aber hier im Beispiel wähle, dann ist genau das nicht gegeben, denn ich habe ja am Ende nicht irgendeinen Erwartungswert in der Tasche, sondern einen realen Geldbetrag.
Und dieser Geldbetrag ist nach einer Ziehung in allen Fällen bei Wahl von A ein anderer als bei Wahl von B - streng objektiv gesehen!
Damit es relativ egal würde, ob ich A oder B wähle, müsste ich sehr oft wählen, für genaue Egalität unendlich oft.

D.h.: Dass mir die Statistik hier bei einer einzelnen Ziehung nicht weiterhilft, dass das Problem mit den gegebenen Informationen statistisch nicht lösbar/entscheidbar ist, dass mir die Statistik hier kein objektives Entscheidungskriterium in die Hand geben kann, um mein reales Problem rational lösen zu können. Das hat mit Subjektivität zunächst überhaupt nichts zu tun.

Ja, so etwas wie einen Wichtigkeitswert könnte man einrechnen, um das Problem lösen zu können. Man kann sich sicher auch noch weitere Vorgaben/Randbedingungen ausdenken. In der Realität liegen die Dinge ja sowieso in fast allen Fällen etwas komplizierter als das in einer einfachen Rechnung dann erfasst werden kann.

Grüße
seeker

[tomS]

Objektiv statistisch ist es egal.

Nein, es ist eben nicht egal, denn A und B führen zu anderen objektiven Ergebnissen. Es ist vielmehr mit den gegebenen Informationen statistisch unentscheidbar.

Grüße
seeker

Nochmal: "objektiv statistisch" gesehen ist es egal. Die Statistik kann dir den erwarteten Gewinn sagen, und der beträgt 250€ - in beiden Fällen.

Jetzt sagst du, dass du die Statistik für nicht anwendbar hältst, um die Frage "was man tun soll" zu lösen. OK, dann musst du eine andere Bewertung der Situation schaffen, die eine Lösung erlaubt. Ich gebe dir recht, wir wissen sicher, dass die Statistik dir nicht den Geldbetrag nennen wird, denn du dann zuletzt tatsächlich haben wirst. Aber sie nennt dir den Geldbetrag, den du im Schnitt erwarten kannst. Das ist nicht schlecht, denn es gibt bei den o.g. Angaben keine bessere oder weitergehende Information.

Du kannst natürlich andere Bewertungskriterien einführen, z.B. die maximal mögliche Abweichung vom Erwartungswert. Du kannst dann die "Enttäuschung" oder das "Glück" bewerten, wenn du 0 statt 250€ hast, oder 1000€ statt 250€. Aber all diese Kriterien musst du irgendwie definieren, und sie müssen auch irgendwie objektivierbar sein. Sonst bleibt als Entscheidungskriterium nur dein Bauchgefühl. Das ist für dich natürlich völlig OK, aber eben nicht objektiv.

[Pippen]

Aber schon komisch, dass die Mathematik den Erwartungswert auch für nur einmalige Zufallsexperimente benutzt. Er wirkt da irgendwie deplatziert. Sein eigentlicher Anwendungsbereich ist doch das vielfache Zufallsexperiment.

[seeker]

D’accord. OK, dann sind wir uns soweit einig.

Ich möchte noch ein anderes, aber zum Kontext passendes Problem vorstellen: (weil's so ne schöne Kopfnuss ist )

Du bist mit deiner Tochter auf dem Jahrmarkt und ihr kommt bei einem Losverkäufer vorbei.
Dort gibt es so nen Riesen-Plüschteddybär zu gewinnen. Deine Tochter möchte unbedingt einen haben, du hast also keine Wahl: Du musst so einen Bär besorgen!
Gleichzeitig kannst du aber auch mit mehr als einem Teddybär (oder irgendwelchen anderen Gewinnen) nichts anfangen.

Der Losverkäufer will für ein Los 1€ haben und sagt dir, dass die Gewinnchance mit einem Los diesen Bär zu gewinnen stets genau bei 1% liegt.
(Sein Eimer mit Losen ist sehr groß. Deshalb nehmen wir an, dass das herausnehmen von Nieten oder Gewinnern aus diesem Eimer die späteren Chancen nicht verändert. Er könnte den Eimer auch stets nach jeder Entnahme mit den richigen Losen wieder nachfüllen oder er könnte ein Glücks-Drehrad statt Losen verwenden. Darum soll's also nicht gehen.)

Hundert Meter weiter gibt es einen zweiten Gewinnstand wo es den gleichen Teddybär zu gewinnen gibt. Dort will der Losverkäufer 10€ für ein Los haben. Dafür ist die Gewinnchance auf den Bären dort 10%.

Dann fällt dir noch ein, dass ihr auf dem Hinweg an einem Ladengeschäft vorbeigekommen seid, wo genau so ein Plüschteddybär für 100€ im Schaufenster stand.

Du möchtest natürlich möglichst wenig Geld für den Teddybär ausgeben, d.h. wenn du ihn für weniger als 100€ bekommen würdest, würde dich das freuen, wenn du am Ende mehr bezahlen müsstest, würde dich das ärgern. Du hast 300 € in der Tasche.

Was tust du? Was ist objektiv die vernünftigste Wahl?

A) Lose für 1€ mit einer Gewinnchance von 1% kaufen
B) Lose für 10€ mit einer Gewinnchance von 10% kaufen
C) Den Teddybär mit einer "Gewinnchance" von 100% für 100 € kaufen
D) Irgendwie A-C kombinieren
E) Es ist egal. Alles ist gleich gut.

Grüße
seeker

[positronium]

F) Ich würde in den Laden gehen, und handeln.

[tomS]

@seeker: nette Aufgabenstellung; ich probier's mal mit folgendem Ansatz:

Die Wsk., mit einem Los zu gewinnen, sei p. Die Wsk., mit diesem Los nicht zu gewinnen, sei q = 1 - p. Nun ist der Erwartungswert über die gesamten Loskosten zu berechnen. Ich muss im n-ten Kauf überhaupt nur dann ein Los kaufen, wenn ich in bei allen Loskäufen davor nicht gewonnen habe. Die Wsk. dafür, bei n Käufen nie zu gewinnen, ist q[up]n[/up]. D.h. der Ewartungswert für die Loskosten im n-ten Kauf ist E[down]n[/down] = xq[up]n[/up] (x ist der Preis eines Loses). Der Erwartungswert E über alle Loskäufe ist die Summe über alle Einzelkäufe, also E = x (1 + q + q[up]2[/up] + ...) = x/(1-q) = x/p (Formel der geometrischen Reihe). Der Beginn lautet q[up]0[/up] = 1, denn das erste Los muss ich sicher kaufen, das zweite nur noch mit einer Wsk. von q, das dritte mit einer Wsk. von q[up]2[/up] usw.

Also lautet mein Endergebnis E = x/p.

A) für x = 1€ und p = 0.01. folgt E = 100€
B) für x = 10€ und p = 0.1 folgt ebenfalls E = 100€

Also sind (A - C) bzgl. der zu erwartenden Loskosten E(x,p) gleichwertig.

[tomS]

Aber das ist eigtl. nicht die realistische Fragestellung. Sagen wir mal, dass wenn ich max. 80€ ausgebe, ich ziemlich happy bin. Und wenn ich über 120€ ausgeben muss, dann bin ich sauer. Mich interessiert also für (A) und (B) die Wsk. P(< 80€) sowie P(> 120 €). Ich würde also z.B. max. für 20€ Lose kaufen, um danach doch in den Laden zu gehen und meinen Verlust zu begrenzen.

[seeker]

So weit so gut.

Nun überleg mal folgendes:
Um A wählen zu können musst du mindestens 1€ ausgeben, um B) wählen zu können 10€ und für C) 100 €.
Wie hoch sind die Erfolgswahrscheinlichkeiten den Teddybär zu gewinnen (bei A, B, C), wenn du 1) 1€, 2) 10€, 3) 100 € für A, B oder C ausgibst?
(also z.B. für 100€ 100 Lose für je 1€ mit Gewinnchance 1% kaufen oder 10 Lose für je 10 € mit Gewinnchance 10% kaufen oder den Teddybär für 100 € direkt kaufen...)
Bzw.: Wie hoch ist jeweils die Chance keinen Teddybär zu gewinnen?
Du willst wie gesagt nur genau 1 Teddybär gewinnen.

Grüße
seeker

[Analytiker]

Investiert man 100 € für 100 Lose für je ein €, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit keinen Teddyären zu gewinnen (99/100)^100, was etwa 36,6 % entspricht. Investiert man 100 € für 10 Lose je 10 €, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit keinen Teddybären zu gewinnen (9/10)^10, was etwa 34,9 % entspricht. Bei Direktkauf geht man nicht leer aus und erhält einen Teddybären.

Man muss natürlich entscheiden, ob man genau einen Teddybären erhält oder mehrere, wenn man die Lose mit einem Streich kauft. Bei den 1-€-Losen ist die Wahrscheinlichkeit für genau einen Teddybären 100*(1/100)*(99/100)^99, was etwa 40 % entspricht, bei den 10-€-Losen entsprechend etwa 38,7 %.

Man kann natürlich auch die Lose einzeln kaufen und kontrollieren und nach dem ersten Treffer abbrechen und erhält eine geometrische Verteilung. Kauft man die Lose auf einmal, ist das Resultat binomialverteilt.

Gruß
Analytiker

[tomS]

Man kauft die Lose natürlich nacheinander, da man sonst nicht optimal agiert.

Ja, man kann den Einsatz auch auf exakt 100€ festlegen und schauen, was passiert. Aber ist wieder das selbe, die Entscheidungskriterien sind subjektiv (genauer: man kann verschiedene jeweils objektive Entscheidungskriterien festlegen, aber welches Kriterium man dann letztlich zugrundelegt, ist eine subjektive Entscheidung).

Z.B. klingt es so, dass man beim Losen für 100€ zu über 30% keinen Bären bekommt. Das spricht gegen Losen.

Andererseits besteht auch die Chance, den Bären für deutlich unter 100€ zu bekommen, und gleichzeitig die maximalen Kosten auf (z.B.) 120€ zu begrenzen. So gesehen spricht dies für Losen. Das Problem ist, dass man verschiedene, objektiv bewertbare Strategien hat, die zugrundeliegenden Kriterien jedoch nicht objektiv sind.

[Skeltek]

Das was ich vorher sagte. Der Wert von Geld nimmt nicht linear mit der Menge zu.

Annahme:
Du hast 1€ in der Tasche und möchtest einen Teddybären für 100€ kaufen.

Losstand1:
Los 1€ - Gewinnchance auf 10€ ist 5%
Losstand2:
Los 1€ - Gewinnchance auf 100€ ist 0,5%
Losstand3:
Los 1€ - Gewinnchance auf 1000€ ist 0,05%

Jeder ist sich glaube ich darüber im Klaren, dass man im überall das gleiche Verlustgeschäft macht, was den Erwartungswert betrifft - jeder investierte Euro kommt nur zur Hälfte wieder als Gewinn zurück.
Trotzdem sind 10€ nicht 1/10 so viel wert wie 100€,
1000€ sind nicht das zehnfache wert wie 100€.
10€ wären für das Vorhaben des Bärenkaufes absolut nutzlos und damit wertlos.
1000€ sind genau dasselbe wert wie 100€, da das überschüssige Geld von 900€ für den Zweck nur einen Teddybären zu kaufen absolut nutzlos ist.

Stochastische Fragen sind ohne jede Bedeutung, wenn der Nutzen nicht dem numerischen Wert entspricht.

[seeker]

...die zugrundeliegenden Kriterien jedoch nicht objektiv sind.

Ich würde aber schon sagen, dass das Kriterium "Gewinne mindestens einen Teddybären" ein objektives Kriterium bzw. eine objektive Zielvorgabe ist.
Somit haben wir hier eine ganz andere Situation wie bei Pippens erstem Problem, obwohl beide Probleme zunächst gleich erscheinen mögen.

Die erste Überraschung ist ja nun, dass A) und B) dadurch nicht mehr gleich sind, was man ja intuitiv erwarten würde.
Wenn man z.B. zehn 1€-Lose kauft kann man ja für sein Geld auch mehr als einen Bären gewinnen, bei einem 10€-Los nur einen.
Diese Chance mehr als 1x zu gewinnen (die per Zielvorgabe nichts wert ist) ist sozusagen durch eine größere Wahrscheinlichkeit überhaupt nichts zu gewinnen zu bezahlen.

Die Cance mit 100 € Einsatz mindestens einen Bären zu gewinnen ist so:
A) 63,4%
B) 65,1%
C) 100%

Man steht damit natürlich immer noch vor einem Dilemma.
Ich würde folgendermaßen argumentieren:

Die o.g. Chancen vertehe ich als Gewinn-Chancenpunkte, die ich als Gegenwert für mein eingesetztes Geld erhalte.
D.h. ich erhalte für 100 € bei A) 63,4 GP, bei B) 65,1 GP und bei C) 100 GP.
Somit ist das Angebot C) das beste, da ich den größten Gegenwert erhalte.

Wenn ich nur 10 € einsetze erhalte ich bei A) 1-(99/100)^10 *100% = 9,56 GP, bei B) 1-(90/100)^1 *100% = 10 GP.
Hier ist also Angebot B) das bessere.

Eventuell könnte man noch überlegen, ob es nicht eine gute Strategie wäre zuerst neun 1€ Lose zu kaufen, dann neun 10€-Lose und dann, falls man noch nicht gewonnen hat, den Teddybär für 100€ zu kaufen. Ich bin mir da aber nicht sicher, denn mit dieser Strategie kann es sein, dass man am Ende 199 € bezahlen muss.

Daher glaube ich im Moment, dass C) die vernünftigste Option ist.

Grüße
seeker

[tomS]

...die zugrundeliegenden Kriterien jedoch nicht objektiv sind.

Ich würde aber schon sagen, dass das Kriterium "Gewinne mindestens einen Teddybären" ein objektives Kriterium bzw. eine objektive Zielvorgabe ist.

Ja, aber das alleine nützt nichts. Du brauchst eine "objektive Nutzenfunktion", und davon gibt es mehrere. Welche du wählst, ist rein subjektiv.

Wenn man z.B. zehn 1€-Lose kauft kann man ja für sein Geld auch mehr als einen Bären gewinnen, bei einem 10€-Los nur einen.
Diese Chance mehr als 1x zu gewinnen (die per Zielvorgabe nichts wert ist) ist sozusagen durch eine größere Wahrscheinlichkeit überhaupt nichts zu gewinnen zu bezahlen.

Mehr als einen Bären zu gewinnen ist in unserem Kontext eigtl. sinnlos und kann zugunsten von Kosteneinsparung vermieden werden.

Die Cance mit 100 € Einsatz mindestens einen Bären zu gewinnen ist so:
A) 63,4%
B) 65,1%
C) 100%

Man steht damit natürlich immer noch vor einem Dilemma.
Ich würde folgendermaßen argumentieren:

Die o.g. Chancen vertehe ich als Gewinn-Chancenpunkte, die ich als Gegenwert für mein eingesetztes Geld erhalte.
D.h. ich erhalte für 100 € bei A) 63,4 GP, bei B) 65,1 GP und bei C) 100 GP.
Somit ist das Angebot C) das beste, da ich den größten Gegenwert erhalte.

Wenn ich nur 10 € einsetze erhalte ich bei A) 1-(99/100)^10 *100% = 9,56 GP, bei B) 1-(90/100)^1 *100% = 10 GP.
Hier ist also Angebot B) das bessere.

Eventuell könnte man noch überlegen, ob es nicht eine gute Strategie wäre zuerst neun 1€ Lose zu kaufen, dann neun 10€-Lose und dann, falls man noch nicht gewonnen hat, den Teddybär für 100€ zu kaufen. Ich bin mir da aber nicht sicher, denn mit dieser Strategie kann es sein, dass man am Ende 199 € bezahlen muss.

Jetzt gibst du wieder eine andere Nutzenfunktion an, wobei diese nicht vollständig ist. Es geht nicht darum, bei festem Einsatz die Wsk. für einen Bären zu maximieren, sondern darum, die Kosten für genau einen Bären zu minimieren (das war deine Vorgabe: ein Bär). Natürlich kannst du jetzt kombinieren, z.B. erst Losen und dann evtl. auf C umschwenken.

Daher glaube ich im Moment, dass C) die vernünftigste Option ist.

Und genau das ist deine subjektive Entscheidung. Du minimierst das Risiko, mehr als 100€ zu müssen, und verzichtest dafür auf die Chance, weniger als 100€ zahlen zu müssen. Eine sinnvolle Entscheidung, aber sicher nicht die einzige. Wie gesagt, ich könnte z.B. eine Schmerzgrenze von 120€ festlegen, und dann zunächst für maximal 20€ Losen und erst bei 20€ auf (C) umsteigen; dadurch habe ich eine Wahrscheinlichkeit von 100% für genau einen Bären für maximal 120€, aber ich habe mit Sicherheit eine nichtverschwindende Wsk., Geld zu sparen, also mit weniger als 20€ auszukommen. Dafür kann ich das Risiko, 20€ mehr zu zahlen als bei (C) in Kauf nehmen.

Meine Nutzenfunktion ist einfach eine andere als deine, und keine ist objektiv bevorzugt. Und es gibt natürlich beliebig viele weitere. Die einfachste Nutzenfunktion war der Erwartungswert für das zu bezahlende Geld; diese hat gar uns keine Präferenz geliefert. Jetzt suchen wir andere Ansätze (Nutzenfunktionen) aber alle diese Ansätze sind subjektiv. Wenn wir uns auf einen einigen, können wir (A - C) objektiv vergleichen; aber wir können verschiedene Nutzenfunktionen m..M.n. nicht objektiv vergleichen.

[seeker]

Ja, aber das alleine nützt nichts. Du brauchst eine "objektive Nutzenfunktion", und davon gibt es mehrere. Welche du wählst, ist rein subjektiv.

Wenn das subjektiv wäre, was an dem ganzen Problem wäre dann überhaupt noch objektiv zu nennen?

Meine Nutzenfunktion ist einfach eine andere als deine, und keine ist objektiv bevorzugt.

Genau das glaube ich nicht.

Es geht mir darum herauszufinden, welche Strategie objektiv am besten ist, wenn man die Zielvorgabe des Szenarios streng einhält (und keine weiteren Kriterien einführt), die nunmal nicht mehr und nicht weniger fordert als: "Gewinne mindestens einen Bären mit möglichst geringem Geldeinsatz!".
In deinem Worten: Welche subjektive Strategie ist objektiv die beste?
Das lässt sich ausrechnen, indem man betrachtet, was im Mittel herauskommt, wenn eine Vielzahl von Spielern eine gemeinsame Startegie verfolgen.
Ich behaupte, dass in dem Fall die Gruppe von Spielern, die die Strategie "Ich wähle C) und kaufe den Bären!" wählt, im Schnitt besser davonkommt als jede andere Gruppe die andere Strategien verfolgt.

Grüße
seeker