Stochastik - Verständnisfrage

[Pippen]

Bisher glaubte ich folgendes: Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl z (z € IR) zu treffen, also P(z), sei undefiniert, weil z/unendlich undefiniert ist. Genauso wäre die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl z zwischen 13 und 42 zu treffen, also P(13...42), undefiniert, weil auch dort durch unendlich viele reelle Zahlen geteilt werden müsste, was undefiniert ist.

Nun habe ich gerade ein YT-Video von Loviscach gesehen. Dort sagt er: P(z) = 0 und P(13...42) ist irgendein Integral. Kann das jmd. erklären?

p.s. Hier mal der Videolink: https://www.youtube.com/watch?v=8VcLDoVwMvY

[tomS]

Du hast recht: es existiert keine Gleichverteilung auf N, Z, Q, R.

Betrachten wir das endliche Intervall [a,b] als Teilmenge von R.

Es gilt P([a,b]) = 1, also die Wahrscheinlichkeit, irgendeine Zahl aus diesem Intervall zu ziehen, ist Eins.

Nun kann man auf diesem Intervall eine Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) definieren (sigma-Algebra, Wahrscheinlichkeitsmaß), so dass die Wahrscheinlichkeit P([x,y]) für ein beliebiges Intervall [x,y] das in [a,b] liegt, als Integral über p(x) darstellbar ist. Außerdem folgt die Normierungsbedingung, dass das Integral über das gesamte Intervall [a,b] gerade Eins ergibt.

p(x) kann dabei fast jede messbar, positive Funktion sein, u.a. auch die Gleichverteilung p(x) = 1/(b-a).

Nun geschehen zwei Dinge:
1) für exakt eine Zahl z ist P(z) = P([z,z]) = 0 für jedes beliebige p(x)
2) für [a,b] = R existiert kein konstantes p(x), so dass P(R) = 1

[Pippen]

Betrachten wir das endliche Intervall [a,b] als Teilmenge von R.

Es gilt P([a,b]) = 1, also die Wahrscheinlichkeit, irgendeine Zahl aus diesem Intervall zu ziehen, ist Eins.

Nun kann man auf diesem Intervall eine Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) definieren (sigma-Algebra, Wahrscheinlichkeitsmaß), so dass die Wahrscheinlichkeit P([x,y]) für ein beliebiges Intervall [x,y] das in [a,b] liegt, als Integral über p(x) darstellbar ist. Außerdem folgt die Normierungsbedingung, dass das Integral über das gesamte Intervall [a,b] gerade Eins ergibt.

Nehmen wir also mal das endliche Intervall zwischen 0 und 100. Da gibt es unendlich viele reelle Zahlen drin. Wir wollen wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass jmd. zufällig eine reelle Zahl zwischen 13 und 42 auswählt. Nun definiere ich die Wahrscheinlichkeitsdichte, aber wie funktioniert das? Wenn ich zB die Wahrscheinlichkeitsdichte zwischen 13 und 42 so angebe, dass also die Wahrscheinlichkeit zum Treffen einer Zahl zwischen 13 und 42 0,4 ergäbe, so ist das doch in sich widersprüchlich, weil sie für bestimmte Zahlen in einem unendlichen Zahlenraum endliche Trefferwahrscheinlichkeiten ausgibt. Oder fingiert man da ganz hart?

[tomS]

Nun, exakt so wie oben beschrieben:

Betrachten wir das endliche Intervall [a,b] = [0,100] als Teilmenge von R.

Es gilt P([0,100]) = 1, also die Wahrscheinlichkeit, irgendeine Zahl aus diesem Intervall zu ziehen, ist Eins.

Nun kann man auf diesem Intervall eine Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) definieren, so dass die Wahrscheinlichkeit P([x,y]) für ein beliebiges Intervall [x,y] das in [0,100] liegt, als Integral über p(x) darstellbar ist. Außerdem folgt die Normierungsbedingung, dass das Integral über das gesamte Intervall [0,100] gerade Eins ergibt.

p(x) kann dabei fast jede messbar, positive Funktion sein; wir wählen jetzt speziell Gleichverteilung p(x) = 1/(b-a) = 1/100.

Es gilt weithin, dass für exakt eine Zahl z ist P(z) = P([z,z]) = 0 gilt. D.h. die Wsk. z.B. die Zahl 17 zu ziehen ist Null.

Nun wenden wir uns der Wahrscheinlichkeit zu, eine Zahl aus dem Intervall [13,42] zu ziehen. Es ist

P([13,42]) = int_13^42 p(x) = (42 - 13)/100 = 29/100 = 0.29

In deinem Fall existiert überhaupt kein Problem, weil du dich zu Beginn auf ein Intervall [0,100] festgelegt hast. Alles ist wunderbar definiert. Ein Problem tritt erst dann auf, wenn du nach der Wahrscheinlichkeit für das Intervall [13,42] fragst, unter der Voraussetzung, dass alle reellen Zahlen zulässig sind. Dann ist eine konstante Wsk.-Dichte p(x), d.h. eine Gleichverteilung unzulässig.

[Pippen]

In deinem Fall existiert überhaupt kein Problem, weil du dich zu Beginn auf ein Intervall [0,100] festgelegt hast. Alles ist wunderbar definiert. Ein Problem tritt erst dann auf, wenn du nach der Wahrscheinlichkeit für das Intervall [13,42] fragst, unter der Voraussetzung, dass alle reellen Zahlen zulässig sind. Dann ist eine konstante Wsk.-Dichte p(x), d.h. eine Gleichverteilung unzulässig.

Aber auch zwischen 0 und 100 gibt's doch schon unendlich und unabzählbar viele reelle Zahlen. Wieso spielt das da keine Rolle und ich kann - fast wie ich lustig bin - Wahrscheinlichkeitsdichten bilden? Inuitiv ist es doch so: Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte in einem Intervall [0,100] einen endlichen Wert hat, dann ist sie Unsinn, weil damit Wahrscheinlichkeiten wie das Ziehen einer Zahl zwischen 13 und 42 im Intervall [0,100] einen endlichen Wert bekommen, was angesichts der unendlich vielen Zahlen außerhalb von 13-42 (aber im Intervall [0,100]) niemals stimmen kann. Das interessiert also offenbar nicht, solange es formal korrekt definiert wird?

[tomS]

Ich weiß nicht, was du da für ein Problem konstruieren willst.

Wenn du eine konstante Wahrscheicnlichkeitsdichte p(x) = 1/100 konstruierst, dann kannst du damit dem Gesamtintervall [0,100] die Wahrscheinlichkeit Eins sowie jedem endlichen Intervall [x,y] die Wahrsdheinlichkeit (y-x) * p(x) = (y-x)/100 zuweisen. Alles ist wohldefiniert.

Das einzige, was der Intuition zu widersprechen scheint ist, dass die Wahrscheinlichkeit für exakt eine Zahl x, also für das Intervall [x,x] exakt Null ist.

Also wo ist dein Problem?

[Pippen]

Gehen wir nochmal hierher zurück:

Betrachten wir das endliche Intervall [a,b] = [0,100] als Teilmenge von R.

Es gilt P([0,100]) = 1, also die Wahrscheinlichkeit, irgendeine Zahl aus diesem Intervall zu ziehen, ist Eins.

Nun kann man auf diesem Intervall eine Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) definieren, so dass die Wahrscheinlichkeit P([x,y]) für ein beliebiges Intervall [x,y] das in [0,100] liegt, als Integral über p(x) darstellbar ist. Außerdem folgt die Normierungsbedingung, dass das Integral über das gesamte Intervall [0,100] gerade Eins ergibt.

p(x) kann dabei fast jede messbar, positive Funktion sein; wir wählen jetzt speziell Gleichverteilung p(x) = 1/(b-a) = 1/100.

Es gilt weithin, dass für exakt eine Zahl z ist P(z) = P([z,z]) = 0 gilt. D.h. die Wsk. z.B. die Zahl 17 zu ziehen ist Null.

Nun wenden wir uns der Wahrscheinlichkeit zu, eine Zahl aus dem Intervall [13,42] zu ziehen. Es ist

P([13,42]) = int_13^42 p(x) = (42 - 13)/100 = 29/100 = 0.29

Mein Problem ist nun folgendes: Stellen wir uns mal eine Urne mit allen reellen Zahlen zwischen 0 und 100 drin vor. Nach deiner Rechnung wäre die Wahrscheinlichkeit, eine reelle Zahl zwischen 13 und 42 zu ziehen P=0,29. Das kann natürlich nicht sein, weil es unendlich viele reelle Zahlen außerhalb von [13,42] und innerhalb [0,100] gibt. Was würdest du zu so einem Einwand sagen?

[tomS]

Die Argumentation ist falsch.

Du musst einfach lernen, mit Wahrscheinlichkeitsdichten umzugehen. Dabei ist es egal, dass in einem Intervall [x,y] unendlich viele Zahlen enthalten sind. Relevant als Wahrscheinlichkeitsmaß im Falle der Gleichverteilung ist die Länge des Intervalls.

Es gibt innerhalb und außerhalb des Intervalls unendlich viele reelle Zahlen; das Verhältnis ist endlich; das ist für mathematische Konsistenz ausreichend. Bitte vergiss' einfach, Wahrscheinlichkeiten für einzelne Zahlen auszurechnen; es geht um Wahrscheinlichkeiten für Zahlbereiche.

[Pippen]

Es gibt innerhalb und außerhalb des Intervalls unendlich viele reelle Zahlen; das Verhältnis ist endlich

Aha. Das ist der Punkt, den ich erst jetzt verstehe. Weil man also bei überabzählbaren Ereignismengen nicht mehr einfach Ereignis/alle Ereignismöglichkeiten rechnen kann, rechnet man die Wahrscheinlichkeit über das Verhältnis von Ereignisintervallen aus.

Ist das übrigens reine Theorie oder kann man das praktisch beweisen/anwenden? Da es sich um reelle Zahlen (überabzählbare Mengen) handelt, tippe ich auf reine Theorie.

[tomS]

Die Physiker verwenden das ständig, z.B.
1) in der statistischen Mechanik für die Wahrscheinlichkeit, eine Energie aus einem bestimmten Intervall zu messen, oder
2) in der Quantenmechanik für die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Messgröße (Observable A wie Ort, Energie, Impuls, ...) aus einem bestimmten Intervall zu messen
In beiden Fallen ist die Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) jedoch i.A. nicht konstant