3=x-1

[Pippen]

kann bekanntlich aufgelöst werden, in dem man beide Seiten mit 1 addiert. Das ergibt 4=x+0 und damit muss x = 4 sein, weil die Addition x+0 immer x ergibt (das dürfte axiomatisch festgelegt sein) und x gleich 4 sein muss. Ergibt sich das Verfahren des "auf beiden Seiten addieren/substrahieren von Gleichungen" (wie hier mit der Addition von 1) aus irgendwelchen Axiomen oder wird das einfach so gemacht? Irgendwie sehe ich nicht, wie man das aus Axiomen ableiten kann....

[Marcel]

Imprinzip heißt es: Eine Gleichung (aber auch Ungleichung) darf solange verändert werden wie man will, solange der Gleichungswert nicht verändert wird. D.H da du den schritt machst und mit 1 addierst musst du ihn halt auch auf der andern Seite machen um den wert beizubehalten. Mit wert der Gleichung ist halt die Art gemeint: du darfst hierbei keine Gleichung in eine Ungleichung transformieren und umgekehrt.
Warum man das machen darf haben wir in der Schule mal hergeleitet bzw aufgestellt über: es werde ja nicht der Gleichungswert verändert. Daraus folgt das man die Gleichung selbst andern darf.

[tomS]

Ergibt sich das Verfahren des "auf beiden Seiten addieren/substrahieren von Gleichungen" (wie hier mit der Addition von 1) aus irgendwelchen Axiomen oder wird das einfach so gemacht? Irgendwie sehe ich nicht, wie man das aus Axiomen ableiten kann....

Das was du hier exemplarisch vorführst ist eine sogenannte Äquivalenzumformung. Die gibt es bei normalen Rechnungen, z.B.

(3 - 12) : 3 = (-9) : 3 = -3

oder

(3 - 12) : 3 = (1 - 4) = -3

oder im Falle von Gleichungen

(3 - 12) : 3 = x | *3

(3 - 12) = 3x

-9 = 3x | +9

0 = 3x + 9 | :3

0 = x + 3 | -3

-3 = x

(ok, recht umständlich ;-)

Offensichtlich verhält es sich bei Gleichungen etwas anders; hier existieren neben den Äquivalenzumformungen einer Seite auch solche, die beide Seiten gleichzeitig betreffen; gekennzeichnet durch "| Umformung". Die Klasse der Äquivalenzumformung für Gleichungen ist offensichtlich größer.

Man kann das Problem auch anders beschreiben:

Gegeben: (3 - 12) : 3 = x
Behauptung: x = -3
Gesucht ist der Beweis.

Ich denke, daran wird klar, wie die Antwort lauten wird:
1) Die Menge aller zulässigen Äquivalenzumformungen ergibt sich beweisbar aus den Axiomen
2) Die in einem konkreten Fall benötigten Umformungen ergeben sich nicht aus den Axiomen; sie zu finden ist letztlich gleichwertig mit der Konstruktion eines Beweises

[breaker]

Irgendwie sehe ich nicht, wie man das aus Axiomen ableiten kann....

Aus welchen Axiomen?

[Pippen]

1) Die Menge aller zulässigen Äquivalenzumformungen ergibt sich beweisbar aus den Axiomen

Ok, nehmen wir z = x + y. Aus welchem Axiom konkret ergibt sich, dass ich beide Seiten mit einer Zahl i verknüpfen (addieren/subtrahieren/multiplizieren/dividieren) darf? ME kann das nur hergeleitet werden, aus dem Axiom a=a, denn für 'a' kann man ja auch zB 'a+1' einsetzen und das muss dann eben auch auf der anderen Seite stehen, damit: a+1 = a+1. Letztlich finden wir so ein Axiom nur in ZFC (Extensionalitätsaxiom). So würde ich es mir halbwegs herleiten.

[tomS]

Das folgt trivialerweise aus den Peano-Axiomen, so wie die gesamte Arithmetik.

http://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axio ... alisierung - Axiom 4

[Skeltek]

Irgendwie sehe ich nicht, wie man das aus Axiomen ableiten kann....

Es wird aus dem Gleichheitszeichen direkt hergeleitet.
Wenn links dasselbe steht wie rechts, kann man mit dem linken genau das gleiche machen wie mit dem rechten.

[tomS]

Kannst Du mir bitte darlegen, wie dieses Axiom dort Anwendung findet?

Nochmal zur Präzisierung? Welche Fragestellung meinst du? Und welches Axiom?

[Gepakulix]

Ergibt sich das Verfahren des "auf beiden Seiten addieren/substrahieren von Gleichungen" (wie hier mit der Addition von 1) aus irgendwelchen Axiomen oder wird das einfach so gemacht? Irgendwie sehe ich nicht, wie man das aus Axiomen ableiten kann....

Ich denke, es geht hier um das Axiom der Reproduzierbarkeit:
"Wenn man unter gleichen Anfangs-Bedingungen 2x dasselbe macht, ergibt sich auch dasselbe Resultat, unabhängig von Ort und Zeit".

Wenn ich also heute in Peking 4 + 1 zusammenzähle, und morgen in Prag 4 + 1 zusammenzähle, dann ergibt sich in beiden Fällen dasselbe Resultat.

In deinem Beispiel werden 2 Operationen durchgefuehrt: einmal auf der linken Seite des Gleichheitszeichens, und einmal auf der rechten Seite.
Wegen dem Gleichheitszeichen weiss ich, dass beide Seiten zu Beginn noch identisch waren (also gleiche Anfangsbedingungen fuer beide Operationen).

Jetzt wird separat eine Operation auf die Linke Seite angewendet, und unabhängig davon dieselbe Operation auch auf die Rechte Seite angewendet.
Unter Voraussetzung dass das Reproduzierbarkeits-Axiom von oben gilt, dann muss sich auch auf beiden Seiten dasselbe Resultat ergeben, und zwar unabhängig der angewendeten Operation (solange es dieselbe ist auf beiden Seiten)

[tomS]

Wie ich schon sagte, das Prinzip der Äquivalenzumformung folgt aus dem Peano-Axiom

"wenn m' = n', dann m = n": "natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich"

Damit gilt sofort, dass die Addition von Eins auf beiden Seiten einer Gleichung eine Äquivalenzumformung ist. Und sodann kann man die üblichen Rechenregeln der natürlichen Zahlen konstruieren und auf die Gleichung anwenden.