IN c IR

[Pippen]

Wenn IN eine Teilmenge von IR ist, dann muss (nach meinem Verständnis) gelten, dass jede natürliche Zahl zugleich eine reelle Zahl ist, d.h. reelle Zahlen sind keinesfalls unendlich-stellige Brüche/Dezimalzahlen, sondern auch die Null oder Eins wäre reell. Jetzt wollen mir aber Mathematiker erzählen, dass die natürliche Zahl 1 von der rationalen Zahl 1/1 und wiederum der reellen Zahl 0,999~ zu unterscheiden ist und insbesondere die nat. Zahl 1 zB nicht in Q oder R liegt. Wie passt das zusammen? Wenn IN eine Teilmenge von Q oder R ist, dann muss auch die 1 in Q und R sein - und zwar genau die natürliche 1, nicht als Bruch oder sonstwas. Kann da jmd. Licht ins Dunkel bringen?

[Skeltek]

Alle natürlichen Zahlen sind reel.
Und der Unterschied zwischen 1, 1/1 und 0,9~ ist lediglich die Notation.
Wer hat dir denn erzählt es gäbe einen Unterschied?

[tomS]

Wenn IN eine Teilmenge von IR ist, dann muss (nach meinem Verständnis) gelten, dass jede natürliche Zahl zugleich eine reelle Zahl ist, d.h. reelle Zahlen sind keinesfalls unendlich-stellige Brüche/Dezimalzahlen, sondern auch die Null oder Eins wäre reell.

Ja

WennJetzt wollen mir aber Mathematiker erzählen, dass die natürliche Zahl 1 von der rationalen Zahl 1/1 und wiederum der reellen Zahl 0,999~ zu unterscheiden ist und insbesondere die nat. Zahl 1 zB nicht in Q oder R liegt. Wie passt das zusammen? Wenn IN eine Teilmenge von Q oder R ist, dann muss auch die 1 in Q und R sein - und zwar genau die natürliche 1, nicht als Bruch oder sonstwas. Kann da jmd. Licht ins Dunkel bringen?

Das glaube ich nicht, dass die Mathematiker das erzählen wollen. Das ist nämlich falsch.

Natürlich ist 1 = 1/1 = 0.9... (unendlich viele 9er)

[Marcel]

Man das nervt mich jetzt schon ne ganze Weile!
Warum ist 0,99999~ gleich 1¿¿¿??? Für meine penible Definition sei es mehr ungefähr 1 !

[tomS]

Wenn du mit deiner Schreibweise einen unendlich-periodischen Dezimalbruch andeuten willst, dann ist die Erklärung wie folgt.

Sei x = 0.9~

Nehmen wir an, x sei ungleich 1. Dann existiert ein d = 1 - x > 0.

Nun betrachten wir dieses d.
Ist d = 0.1? Nein
Ist d = 0.01? Nein
...

d ist also kleiner als alle Zahlen d[down]n[/down] = 1/10[up]n[/up], d.h. für beliebige n gilt: d < d[down]n[/down].

Es gibt nur eine reelle, nicht-negative Zahl, die diese Eigenschaft hat, nämlich d = 0.

Damit kann aber x < 1 nicht gelten, sondern x = 1.

[Skeltek]

0,9~ steht für ein geschnittenes Stück Brot.
Das Brot wird nicht weniger wenn man es in Scheiben schneidet, egal ob die Scheiben immer kleiner oder unendlich viele sind.

[Pippen]

Warum ist 0,99999~ gleich 1¿¿¿??? Für meine penible Definition sei es mehr ungefähr 1 !

Weil zwischen 0,999... und 1 nur die Zahl 0,000...1 liegen kann, also eine Zahl mit unendlichen vielen Nullen und am Ende einer Eins. Das widerspricht sich natürlich und daher gibt es diese Zahl nicht. Wenn daher keine Zahl zwischen 0,999... und 1 liegt, wenn also nichts zwischen 0,999... und1 liegt, dann müssen beide Werte gleich sein. So gilt es für IR. Für hyperreelle Zahlen gilt: 0,999... < 1, denn dort gäbe es wohl die ominöse Zahl 0,000...1.

[breaker]

Das glaube ich nicht, dass die Mathematiker das erzählen wollen. Das ist nämlich falsch.

Komt drauf an, worauf Pippen genau anspielt. Ganz streng genommen sind reelle Zahlen Äquivalenzklassen von Folgen rationaler Zahlen (die wiederum Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen sind). Wenn man die reellen Zahlen so konstruiert, ist die reelle Zahl 1 ein anderes Objekt als die natürliche Zahl 1.
Diese Unterscheidung ist natürlich völlig uninteressant (und kann bestimmt auch umgangen werden, wenn man die reellen Zahlen anders konstruiert), aber man kann sie treffen, wenn man will.

[Pippen]

Komt drauf an, worauf Pippen genau anspielt. Ganz streng genommen sind reelle Zahlen Äquivalenzklassen von Folgen rationaler Zahlen (die wiederum Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen sind). Wenn man die reellen Zahlen so konstruiert, ist die reelle Zahl 1 ein anderes Objekt als die natürliche Zahl 1.

Dann kann man aber nicht behaupten, die nat. Zahlen seien eine Teilmenge der reellen! Denn das hieße nach der Teilmengendefinition, dass zB die natürliche Zahl 1 genau so wie sie durch Peano-Axiome konstruiert wird, nämlich als Nachfolger von Null, auch eine reelle Zahl sein müsste und das ist offensichtlich unmöglich, wenn IR ausschließlich mittels Dedekind- oder Cauchy-Verfahren konstruiert wird. Vllt. ist es ja auch falsch, dass IN Teilmenge von IR ist...wie wäre es mit einem Beweis?!?

[breaker]

Streng genommen ist es falsch; zumindest wenn man die natürlichen Zahlen über die Peano-Axiome definiert und die reellen über Klassen von Cauchyfolgen. Die Unterscheidung ist aber völlig langweilig und überflüssig, weil sie in der Mathematik später nie eine Rolle spielt. Die natürlichen Zahlen und die Teilmenge {1,2,3,...} von R haben die selben mengentheoretischen Eigenschaften und die gleichen algebraischen Eigenschaften. Es gibt keinen Grund, warum man zwischen ihnen unterscheiden sollte.
Wenn du willst, kannst du die durch die Peano-Axiome definierten Zahlen anders nennen und die Teilmenge von R dann natürliche Zahlen nennen. Dann stimmt die Aussage wieder und alle mathematischen Sätze, die später kommen, bleiben richtig.

[Pippen]

Streng genommen ist es falsch; zumindest wenn man die natürlichen Zahlen über die Peano-Axiome definiert und die reellen über Klassen von Cauchyfolgen. Die Unterscheidung ist aber völlig langweilig und überflüssig, weil sie in der Mathematik später nie eine Rolle spielt. Die natürlichen Zahlen und die Teilmenge {1,2,3,...} von R haben die selben mengentheoretischen Eigenschaften und die gleichen algebraischen Eigenschaften. Es gibt keinen Grund, warum man zwischen ihnen unterscheiden sollte.
Wenn du willst, kannst du die durch die Peano-Axiome definierten Zahlen anders nennen und die Teilmenge von R dann natürliche Zahlen nennen. Dann stimmt die Aussage wieder und alle mathematischen Sätze, die später kommen, bleiben richtig.

Das sehe ich genauso.

Eine Verständnisfrage: In IR wäre das, was wir als 1 kennen wohl die 0,9~, die 2 wäre die 1,9~ usw. Ist das richtig? Wie wäre dann dann die reelle 0 dargestellt?

[breaker]

Eine Verständnisfrage: In IR wäre das, was wir als 1 kennen wohl die 0,9~, die 2 wäre die 1,9~ usw. Ist das richtig? Wie wäre dann dann die reelle 0 dargestellt?

So ist das noch nicht richtig. Eine reelle Zahl ist eine Äquivalenzklasse von rationalen Zahlen, d.h. eine Menge, die viele verschiedene Zahlen enthält (was auch noch sehr grob gesprochen ist).

[Pippen]

Eine Verständnisfrage: In IR wäre das, was wir als 1 kennen wohl die 0,9~, die 2 wäre die 1,9~ usw. Ist das richtig? Wie wäre dann dann die reelle 0 dargestellt?

So ist das noch nicht richtig. Eine reelle Zahl ist eine Äquivalenzklasse von rationalen Zahlen, d.h. eine Menge, die viele verschiedene Zahlen enthält (was auch noch sehr grob gesprochen ist).

Eine reelle Zahl x ist die Menge aller rationalen Zahlen, die kleiner als x ist. Das ist mE die Kurzversion via Dedekind Schnitt. Mein Problem: Wieso kann man nun nicht sagen, die reelle Zahl 1 ist die Menge aller rationalen Zahlen kleiner als die natürliche 1? Damit könnte auch die "echte" 1 eine reelle Zahl sein.

[breaker]

Damit könnte auch die "echte" 1 eine reelle Zahl sein.

Warum?

[Pippen]

Damit könnte auch die "echte" 1 eine reelle Zahl sein.

Warum?

Die reelle 1 wäre die Menge aller natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen kleiner als der Nachfolger der natürlichen Zahl 0 (also 1). Interessanterweise - vllt. willst du ja darauf hinaus - wäre die natürliche 1 selbst immer noch außen vor; sie wäre ja nur ein Bezugspunkt. Das hieße übrigens, dass auch V2 keine reelle Zahl ist; die reelle Zahl ist lediglich die Menge aller Zahlen kleiner als x²=2 sind. Die eigentliche Zahl, wo quasi x²=2 beträgt wäre gar nicht reell.

[breaker]

Ich glaube, du verstehst die Dedekind'schen Schnitte immernoch falsch. Die reelle Zahl 1 ist nicht in der Menge aller rationalen Zahlen, die kleiner als (die rationale) 1 sind, sondern sie ist diese Menge!
Damit kann die reelle 1 niemals gleich der rationalen 1 sein.

[Pippen]

Ich glaube, du verstehst die Dedekind'schen Schnitte immernoch falsch. Die reelle Zahl 1 ist nicht in der Menge aller rationalen Zahlen, die kleiner als (die rationale) 1 sind, sondern sie ist diese Menge!
Damit kann die reelle 1 niemals gleich der rationalen 1 sein.

Genau. Damit gilt aber auch: x²=2 ist keine reelle Zahl. Die reelle Zahl "x²=2" (V2) sind alle Zahlen, die gerade die Gleichung nicht erfüllen (nämlich weil sie kleiner sind). MaW: Die reellen Zahlen werden indirekt bestimmt, man sagt nicht, was sie sind, sondern nur, was sie nicht sind. Das war mir so noch gar nicht bewußt und damit kann man die natürliche Zahl 1 auch nicht reell abbilden.

Dann ist es aber auch (genaugenommen) falsch, dass IN Teilmenge von IR ist.

[breaker]

Genau. Damit gilt aber auch: x²=2 ist keine reelle Zahl. Die reelle Zahl "x²=2" (V2) sind alle Zahlen, die gerade die Gleichung nicht erfüllen (nämlich weil sie kleiner sind). MaW: Die reellen Zahlen werden indirekt bestimmt, man sagt nicht, was sie sind, sondern nur, was sie nicht sind.

Nein, man sag eben schon, was sie sind. Sie sind bestimmte Mengen. Daran ist nichts verwerflich. Und auf diesen neuen Zahlen kann man eine Multiplikation einführen, sodass die Gleichung x[up]2[/up]=2 (hier die reelle Zahl 2) eine Lösung hat. Damit gibt existiert hier die Wurzel aus 2.

[Pippen]

Nein, man sag eben schon, was sie sind.

Man sagt nach Dedekind, dass V2 die Menge aller rationalen Zahlen y ist, für die gilt: y < x²=2. Damit bleibt "x²=2" ein blinder Fleck...und davon gibt es unendlich viele, so dass es schon wundert, dass IR als Kontinuum gilt.

[breaker]

Warum?? Weil ich nicht als rationale Zahl definiert hab, sondern als was anderes?

[Pippen]

Warum?? Weil ich nicht als rationale Zahl definiert hab, sondern als was anderes?

Ich habe es so verstanden: Nach Dedekind ist V2 nichts weiter als die Menge aller rat. Zahlen, die kleiner sind als das x aus der Gleichung x² = 2. MaW: Kein Element aus der V2-Menge wird - in x² = 2 eingesetzt - je die Gleichung punktgenau erfüllen, auch nicht irgendwo in der Unendlichkeit, denn es bleibt ja immer definiert, dass es kleiner ist als x² = 2. Dann ist aber x² = 2 in IR genaugenommen undefiniert bzw. die Festlegung, dass diese Menge V2 die Lösung von x² = 2 sei, ist eine pure Fiktion. Da hätte man auch gleich fingieren können: Es gibt reelle Zahlen r, welche alle diejenigen Gleichungen lösen, die mit rat. Zahlen unlösbar sind. Punkt.

[breaker]

Es ist nicht so, wie du es darstellst. Die Gleichung x[up]2[/up]=2 hat in R eine Lösung. Der tiefere Grund ist, dass die Multiplikation in R anders definiert ist, als in Q. Das kann auch nicht anders sein, da R ja aus ganz anderen Objekten besteht. Hier nochmal der Grundgedanke:

Man startet mit den rationalen Zahlen und will eine neue Menge konstruieren,
1. die die gleiche algebraische Struktur hat
2. in die man die rationalen Zahlen einbetten kann (im Sinne eines injektiven Körperhomomorphismus)
3. in der die Gleichung x[up]2[/up]=2 eine Lösung hat.

Diese neu konstruierte Menge hat zunächst nichts mit den rationalen Zahlen zu tun. Bedingung 2. stellt zwar sicher, dass es am Ende doch einen Zusammenhang zwischen beiden Mengen gibt. Es ist jedoch nicht so, dass die reellen Zahlen von Angang an so konstruiert werden, dass sie die rationalen Zahlen enthalten. Sie werden als etwas neues konstruiert und am Ende wird bewiesen, dass man die rationalen Zahlen in diese Menge (algebraisch sinnvoll) einbetten kann.

[breaker]

Nochmal konkret zu :

Man definiert als die Menge aller Zahlen, die
- entweder negativ sind, oder
- deren Quadrat kleiner als 2 ist.

In Zeichen:


Die Multiplikation in R muss nun neu definiert werden. Denn wir haben bisher keine Vorschrift, wie man zwei Mengen wie die obige miteinander multiplizieren soll.
Die Definition lautet wie folgt:
Seien a und b positive reelle Zahlen. Das Produkt von a und b ist diejenige Menge, die alle rationalen Zahlen q enthält, sodass
1. es gibt ein r in der Menge a und ein s in der Menge b, sodass q < rs
2. r und s sind positiv.
(für negative reelle Zahlen wird die Definition entsprechend erweitert. Das ist hier erstmal uninteressant.)

Angewandt auf :
Um das Produkt von mit sich selbst zu bestimmen, gehen wir also wie folgt vor:
Wir nehmen alle rationalen Zahlen q, sodass es und gibt, mit s,r>0 und q<sr.
Das bedeutet, es muss ein s>0 und ein r>0 geben mit s[up]2[/up]<2 und r[up]2[/up]<2 und q<sr.

Das ist aber gerade die Menge aller q, die kleiner als 2 sind (das kann man sich relativ leicht klar machen, wenn man ein bisschen darüber nachdenkt). Die Menge aller rationalen Zahlen, die kleiner als 2 sind, ist aber nichts anderes, als die reelle Zahl 2.

Mit anderen Worten: In R gilt .

[Pippen]

Nochmal konkret zu :

Man definiert als die Menge aller Zahlen, die
- entweder negativ sind, oder
- deren Quadrat kleiner als 2 ist.

In Zeichen:


Die Multiplikation in R muss nun neu definiert werden. Denn wir haben bisher keine Vorschrift, wie man zwei Mengen wie die obige miteinander multiplizieren soll.
Die Definition lautet wie folgt:
Seien a und b positive reelle Zahlen. Das Produkt von a und b ist diejenige Menge, die alle rationalen Zahlen q enthält, sodass
1. es gibt ein r in der Menge a und ein s in der Menge b, sodass q < rs
2. r und s sind positiv.
(für negative reelle Zahlen wird die Definition entsprechend erweitert. Das ist hier erstmal uninteressant.)

Angewandt auf :
Um das Produkt von mit sich selbst zu bestimmen, gehen wir also wie folgt vor:
Wir nehmen alle rationalen Zahlen q, sodass es und gibt, mit s,r>0 und q<sr.
Das bedeutet, es muss ein s>0 und ein r>0 geben mit s[up]2[/up]<2 und r[up]2[/up]<2 und q<sr.

Das ist aber gerade die Menge aller q, die kleiner als 2 sind (das kann man sich relativ leicht klar machen, wenn man ein bisschen darüber nachdenkt). Die Menge aller rationalen Zahlen, die kleiner als 2 sind, ist aber nichts anderes, als die reelle Zahl 2.

Mit anderen Worten: In R gilt .

Aha, danke, so passt es natürlich. Hinsichtlich IN c IR: Kann man sagen: Die natürlichen Zahlen sind Teilmenge von IR, aber keine Elemente von IR; sie sind gewissermaßen nur Elemente (IN) der Elemente (Z) der Elemente (Q) der Elemente (reelle Zahlen) von IR?

[breaker]

Ja, kann man so sagen. Kann sein, dass man in deiner Kette an einer Stelle ein "der Elemente" wegnehmen und woanders eines einfügen muss, aber sonst ja.


Aber um das nochmal klar zu machen: Die Inklusionen, die du angesprochen hast, sind nicht interessant. Sie erhalten keine algebraischen oder topologischen Strukturen, sondern sind nur reine Mengeninklusionen.
Interessant sind hingegen die Einbettungen der natürlichen Zahlen und der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen. Erstens, weil diese nicht trivial sind und zweitens weil sie algebraische Strukturen erhalten, d.h. die sagen einem, dass man eben doch so tun kann, als wären die rationalen und die natürlichen Zahlen Teilmengen von R, auch wenn das streng genommen nicht stimmt.