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Cantor's Allmenge/Allklasse

Mathematische Fragestellungen
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ralfkannenberg
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Mai 2017, 20:45

seeker hat geschrieben:
18. Mai 2017, 19:57
Und wenn man X = {X} zulassen würde, dann ginge z.B. das hier nicht mehr:

0 = {}
1 = { {} }
2 = { {},{{}} }
usw.

...denn dann würde gelten: 0 = 1 = 2 = 3 = ...
Hallo seeker,

das lässt sich vermeiden, wenn Du bei Mengen untereinander nicht eine "ist Element von"-Beziehung verwendest, sondern eine "ist Teilmenge von"-Beziehung verwendest.


Freundliche Grüsse, Ralf

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tomS
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von tomS » 19. Mai 2017, 06:23

Das Beispiel ist einfach ungeeignet
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

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ralfkannenberg
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Mai 2017, 09:50

seeker hat geschrieben:
18. Mai 2017, 19:57
Und wenn man X = {X} zulassen würde, dann ginge z.B. das hier nicht mehr:

0 = {}
1 = { {} }
2 = { {},{{}} }
usw.

...denn dann würde gelten: 0 = 1 = 2 = 3 = ...
Hallo seeker,

an sich kann man das einfach widerlegen, denn die erste Menge enthält als Leere Menge kein Element, die zweite Menge enthält 1 Element und die dritte Menge enthält 2 Elemente.

Mengen, die eine unterschiedliche Anzahl von Elementen enthalten sind also nicht gleich.

Natürlich kann man so nur bei endlichen Mengen argumentieren, aber im Allgemeinen kann man immer mit Teilmengen argumentieren.

Und da gilt:

{} ist eine echte Teilmenge von { {} } und diese ist eine echte Teilmenge von { {},{{}} }.

Und bei einer "echten Teilmengen"-Relation liegt eben keine Gleichheit vor. Natürlich können sie gleichmächtig sein, wie das Beispiel der beiden Mengen IN und IN U {0} zeigt, aber gleich sind sie nicht, denn die zweite Menge enthält das Element 0 und die erste enthält das Element 0 nicht.


Freundliche Grüsse, Ralf

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seeker
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von seeker » 19. Mai 2017, 13:38

tomS hat geschrieben:
18. Mai 2017, 20:20
Ich denke, ich weiß, worauf du hinauswillst: ich halte derartige Definitionen auch für problematisch, jedoch nicht zwingend für widersprüchlich. Dazu müsstest du erst beweisen, dass daraus zwei widersprüchliche Aussagen folgen.

Und viele Eigenschaften einer mathematischen Struktur werden in der Mathematik gerade nicht bei deren Aufbau = Definition berücksichtigt.

Bsp. 1: Mathematiker verwenden das Auswahlaxiom, ohne zu wissen, ob das daraus resultierende Axiomensystem widerspruchsfrei ist, und wohlwissend, dass im Falle überabzählbarer Mengen keine exliziten Beispiele möglich sind. Trotzdem wird das Auswahlaxiom für konkrete Beweise herangezogen.

Bsp. 2: Wiles u.a. haben den Modularitätssatz bewiesen, d.h. die Entsprechung zweier sehr unterschiedlicher mathematischen Strukturen: jeder elliptische Kurve entspricht eine Modulformen u.u.

Die Stärke der Mathematik besteht ja gerade darin, eine schlanke Definition zu finden, aus der reichhaltige Strukturen und Theoreme folgen.
Ja, das ist beachtenswert. Die Frage ist vielleicht auch: Welche Eigenschaften einer math. Struktur sollen/müssen bei deren Aufbau schon berücksichtigt sein, welche nicht?

Die Art und Weise wie wir Mathematik betreiben hängt auch mit uns selbst als Menschen zusammen, mit unserem gegebenen Wissen und unserer gegebenen Intelligenz.
Wären wir z.B. hyperintelligente Wesen, so würden wir viele Eigenschaften einer mathematischen Struktur bereits bei deren Aufbau überblicken können (die wir als beschränkte Menschen vielleicht erst nach 100 Jahren finden oder gar nie) und je nach dem, was wir wollen, bereits in die Definition einfließen lassen können.


Hallo Ralf,
dein Argument würde aber nicht mehr greifen, wenn man zuließe, dass gilt:

{}={{}}

welches sich aus dem von mir genannten

X = {X}

ergibt, nämlich dann, wenn X = {}

Unser Mengenbegriff, so wie wir ihn haben wollen, besagt nämlich nicht, dass zwei Mengen dann ungleich sind, wenn sie eine unterschiedliche Anzahl von Elementen enthalten, sondern dass sie dann ungleich sind, wenn sie eine unterschiedliche Anzahl von wohlunterscheidbaren Elementen enthalten.

Mit {}={{}}={{{}}}= ... wäre aber genau das nicht mehr gegeben, womit z.B. gelten würde:

2= { {},{{}} } = { {},{} } = { {} } = 1 = {} = 0

... also muss X ≠ {X} gelten.


Ich habe aber in pippens Link (danke!) ein Beispiel für eine Menge gefunden, die sich selbst enthält:

B = {x|x ist kein Motorrad}

damit käme so etwas heraus:

B = {Äpfel, 1, Autos, B, ...}

... weil eine Menge B kein Motorrad ist.

Ausgesprochen besagt B: "Die Menge von allem, was kein Motorrad ist"
Diese Aussage benutzt also "alles" und mit "kein" eine Negation, ist somit auch eine Menge mit unendlich vielen Elementen.
Ich habe vor das noch weiter zu analysieren, ob diese Zutaten nötig sind, um eine Menge formulieren zu können, die sich selbst enthält, ob B überhaupt konsistent ist, usw.
Mich interessiert das gerade, mit Mengen, die sich selbst enthalten, beliebig geht das sicher nicht.

Später...
Grüße
seeker


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ralfkannenberg
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Re: Cantor's Allmenge/Allklasse

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Mai 2017, 14:20

seeker hat geschrieben:
19. Mai 2017, 13:38
Unser Mengenbegriff, so wie wir ihn haben wollen, besagt nämlich nicht, dass zwei Mengen dann ungleich sind, wenn sie eine unterschiedliche Anzahl von Elementen enthalten, sondern dass sie dann ungleich sind, wenn sie eine unterschiedliche Anzahl von wohlunterscheidbaren Elementen enthalten.
Hallo seeker,

danke für Deinen Hinweis - tatsächliche setze ich stets "stillschweigend" (und der Einfachheit halber) voraus, dass in der Menge kein Element mehrfach aufgelistet wird.


Freundliche Grüsse, Ralf

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