Abenteuer-Universum

Cantor beweist auf den ersten Blick ziemlich umständlich, dass es keine Mengen aller Mengen (Allmenge) geben kann. Er braucht dazu den Satz von Cantor, der wiederum entscheidend darauf beruht, dass in jeder Menge die leere Menge Teilmenge ist. Das könnte man ja auch einfach anders definieren und schon klappte der Beweis nicht.

Wieso hat er nicht einfach folgendermaßen bewiesen, dass es keine Allmenge geben kann, wenn man sie nicht postuliert/axiomatisiert:

Wir nehmen an, es gäbe eine Allmenge A, d.h. eine Menge aller Mengen (die also alle Teilmengen der Allmenge sind). Wir können aber jederzeit eine Menge mit einem Element konstruieren, welches u.a. die Eigenschaft hat, nur in X und nicht in A zu sein. Damit wäre X keine Teilmenge von A. Das wäre ein Widerspruch zur Annahme, die daher falsch sein muss. Kann es nicht aus demselben Grund gar keine Allklasse geben?

Ich weiß nicht, auf welchen Satz und welchen Beweis du dich beziehst. Ich hab' zunächst mal bei Wikipedia nachgeschlagen und finde da folgendes:

Zweite Cantorsche Antinomie
1899 zeigte Cantor über einen indirekten Beweis, dass „der Inbegriff alles Denkbaren“ oder „das System aller denkbaren Klassen“, die sogenannte Allklasse, keine Menge ist: Wäre die Allklasse eine Menge, dann wäre die Potenzmenge der Allklasse eine Teilmenge der Allklasse und damit keine mächtigere Menge, wie es der Satz von Cantor verlangt.[4] Damit bewies er, dass die Allklasse eine echte Klasse ist.

Hat Cantor nicht genauer bewiesen: "Wenn es die leere Menge gibt, dann gibt es keine Allmenge."
Wenn es die leere Menge nicht gibt, ... was dann?
Beweist Cantor also nicht ("nur"), dass man nicht beides zugleich haben/konstruieren kann?

Das sieht für mich zunächst einmal analog zu dem Verhältnis von Null ("nichts") und der Unendlichkeit ("alles") aus.

Grüße
seeker

tomS hat geschrieben:Ich weiß nicht, auf welchen Satz und welchen Beweis du dich beziehst. Ich hab' zunächst mal bei Wikipedia nachgeschlagen und finde da folgendes:

Zweite Cantorsche Antinomie
1899 zeigte Cantor über einen indirekten Beweis, dass „der Inbegriff alles Denkbaren“ oder „das System aller denkbaren Klassen“, die sogenannte Allklasse, keine Menge ist: Wäre die Allklasse eine Menge, dann wäre die Potenzmenge der Allklasse eine Teilmenge der Allklasse und damit keine mächtigere Menge, wie es der Satz von Cantor verlangt.[4] Damit bewies er, dass die Allklasse eine echte Klasse ist.

Genau. Aber dieser Beweis setzt offensichtlich den Satz von Cantor voraus. Mein o.g. "Beweis" müßte das nicht - er wäre einfacher. Was ist da faul dran, denn ansonsten hätte man sicherlich "meinen" einfacheren Weg gewählt.

Du kannst das Element nicht konstruieren, wenn es bereits in der Allmenge enthalten ist. Genausowenig wie du mit nur 1 und + kein Element konstruieren kannst, das nicht schon in N enthalten ist. Du könntest es höchstens anders benennen, aber das ändert nichts daran, dass das resultierende Etwas das gleiche ist.

Ein völlig isomorphes System unterscheidet sich überhaupt nicht vom Orginal, außer daß denselben Elementen einfach andere Namen gegeben wurden.
Du müsstest schon beweisen, dass es sich tatsächlich um ein neues noch nicht vorhandenes Element handelt und nicht um ein Element, dem du einfach einen neuen Namen gegeben hast.

Was ist X?
Und wie konstruierst du die Menge, die nicht in der Allmenge ist?

Ich glaube es geht so, d.h. ein Beweis der Unmöglichkeit einer Allmenge ohne den Satz v. Cantor bzw. die Nutzung des Potenzmengenbegriffs:

1. Wir nehmen die Allmenge A an.
2. A unterteilt sich auf jeden Fall in zwei disjunkte Teilmengen A1 und A2. A1 sind alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, A2 alle Mengen, die sich selbst enthalten.
3. Auch A1 müsste Element einer der beiden Mengen A1 oder A2 sein.
4. Würde A1 sich selbst enthalten, dann würde es sich nicht selbst enthalten. Also muss A1 Element von von A2 sein. Dann müsste es sich selbst enthalten, aber das ist nach dem vorigen Satz unmöglich.
5. A1 ist also weder Element von A1 noch von A2. Das widerspricht 2.
6. Da also die Annahme in 1. zu einem Widerspruch (2. <-> 5.) führt, muss sie falsch sein.

Hmm, das ist ein bisschen tricky... Ich bin mir nicht sicher, ob das tatsächlich die Nichtexistenz einer Allmenge beweist.
Mein Problem ist, dass die Definition der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, allein schon zu einem Widerspruch führt (ohne dass man die Existenz einer Allmenge annimmt). Man kann nämlich einfach fragen, ob sie sich selbst enthält und jede Antwort auf diese Frage führt zum Widerspruch.
Mein Gegenargument wäre also, dass nicht die Annahme einer Allmenge zum Widerspruch geführt hat, sondern dass Du eine unzulässige Unterteilung gewählt hast.

Ja, ich sehe das auch so. Das Argument zeigt, dass in deinen Annahmen ein Widerspruch steckt, aber es zeigt nicht, wo genau. Warum soll der Widerspruch nicht in der Annahme von A1 liegen?

tomS hat geschrieben: Warum soll der Widerspruch nicht in der Annahme von A1 liegen?

Er liegt natürlich genau da. Doch wenn ihr A1 wegen seiner Widersprüchlichkeit rausnehmen würdet, dann gäbe es ja erst recht keine Allmenge, weil eben A1 fehlen würde. Und wenn ihr A1 reinnehmt, dann gibt es auch keine Allmenge wegen Widersprüchlichkeit (siehe Beweis). Ergo: Nix Allmenge. Das wäre so meine Überlegung. Den Beweis findet man übrigens hier: https://books.google.de/books?id=tGUiBA ... ge&f=false

Du sagst also (bzw. das Buch sagt), wenn es eine Allmenge gibt, dann muss es auch die Menge aller Mengen geben, die sich nicht selbst enthalten? Das sehe ich nicht (was aber noch nichts heißen muss).

Jedenfalls ist die Frage interessant. Ich werde sie vielleicht mal auf dem Matheplaneten zur Diskussion stellen.

breaker hat geschrieben:Mein Problem ist, dass die Definition der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, allein schon zu einem Widerspruch führt (ohne dass man die Existenz einer Allmenge annimmt).

Warum ist das so?

Grüße
seeker

Naja, definiere M als die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Dann muss gelten: Entweder enthält M sich selbst, oder nicht. Beides führt aber zum Widerspruch.

Da schau mal:

http://de.wikipedia.org/wiki/Barbier-Paradoxon
http://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie

Hm, ich hab da so eine Idee...
Vielleicht ist die Argumentation so:
Die Menge aller Mengen, die sich selbst enthalten, ist widerspruchsfrei definierbar. Wenn es eine Menge aller Mengen gäbe, dann gäbe es in ihr das Komplement der Menge aller Mengen. Und dann kommt man zum Widerspruch (ohne die Existenz der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, anzunehmen).

Hmm, danke... so etwas habe ich mir schon gedacht.
Es ist aber immer noch verwirrend für mich.

Folgendes:
Nehmen wir an, ich hätte eine Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten = M.
Falls nun M e M wäre, dann würde man ein Element von M akzeptieren, das ja im selben Moment auch wieder dieselbe Eigenschaft hat, nämlich sich selbst zu enthalten.
Also kann M nicht Element von M sein, da dort nur Elemente enthalten sein können, die sich (falls Menge) nicht selbst enthalten.
Also ergäbe sich kein Widerspruch.
(Wir kommen dann in eine Zirkel bzw. in einen infiniten Regress.)

Was ist nun höher zu bewerten?

Davon unabhängig scheint es mir unmöglich zu sein dieses Element, das zum Widerspruch führen soll, konkret anzugeben oder auch nur eine Konstruktionsanweisung zu formulieren.
Existiert es dann überhaupt?
(Dasselbe könnte man aber auch zugegebenermaßen bei M selbst anmerken: Kann man überhaupt definieren, was mit "alle" gemeint sein soll? Allerdings könnte man auch fragen, ob das bei der Leeren Menge nicht genauso ist: Was ist mit "nichts" gemeint? Insbesondere bei einer Menge, die nur die leere Menge enthält oder einer Menge die nur die leere Menge enthält, die die leere Menge enthält, usw. Enthalten diese Mengen überhaupt "etwas", existieren sie? Ist eine Menge, die nichts enthält überhaupt eine Menge oder ein Münchhausen, der sich am eigenen Schopf aus dem Sumpf zieht? Aber das wäre ein anderes Thema... Ja.)

Und umgekehrt: Kann eine Menge sich überhaupt selbst enthalten? Kann man eine solche Menge überhaupt angeben, hinschreiben? Dort rieche ich auch Fallstricke und Widersprüchlichkeiten...
Führt das nicht in einen infiniten Regress? Muss man solche Mengen überhaupt akzeptieren und in die Überlegungen miteinbeziehen?

Grüße
seeker

Ich denke, die Lösung der Mathematiker ist der Begriff der Klasse.

Ja, scheint so. Wobei mir der Unterschied zwischen Mengen und Klassen leider noch nicht ganz klar geworden ist.

Was ich auch noch nicht verstehe:
Kann es eine Menge geben, die sich selbst als Element enthält? Führt der Versuch so etwas zu bilden nicht zu einem infiniten Regress?
Mir scheint: Falls überhaupt, dann geht das höchstens dann, wenn die Elemente einer solchen Menge selbst Mengen mit unendlich vielen Elementen sind.
Aber selbst in diesem Fall bin ich mir unsicher was Sache ist.
Ich steig da noch nicht durch...

Grüße
seeker

ich denke, dass genau dies nicht für Mengen sondern nur für Klassen betrachtet wird; ich bin aber bei Klassen kein Spezialist

breaker hat geschrieben:Hm, ich hab da so eine Idee...
Vielleicht ist die Argumentation so:
Die Menge aller Mengen, die sich selbst enthalten, ist widerspruchsfrei definierbar. Wenn es eine Menge aller Mengen gäbe, dann gäbe es in ihr das Komplement der Menge aller Mengen. Und dann kommt man zum Widerspruch (ohne die Existenz der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, anzunehmen).

OK, ich glaub, ich habs verstanden:
Mein obiger Post war falsch. Der Knackpunkt ist dieses Axiom:

Zu jeder Eigenschaft E und jeder Menge X gibt es eine Menge Y, die genau diejeniger Elemente von X enthält, auf die E zutrifft.

Das ist eines der ZFC-Axiome. Angewendet auf die Menge aller Mengen gibt es gerade den Widerspruch, den wir brauchen. Wir nehmen E(x)="x enthält sich nicht selbst". Dann sagt uns das Axiom, dass die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, als Teilmenge der Menge aller Mengen existieren muss.

breaker hat geschrieben:Der Knackpunkt ist dieses Axiom:

Zu jeder Eigenschaft E und jeder Menge X gibt es eine Menge Y, die genau diejeniger Elemente von X enthält, auf die E zutrifft.

Das ist eines der ZFC-Axiome. Angewendet auf die Menge aller Mengen gibt es gerade den Widerspruch, den wir brauchen. Wir nehmen E(x)="x enthält sich nicht selbst". Dann sagt uns das Axiom, dass die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, als Teilmenge der Menge aller Mengen existieren muss.

Führt das nicht dazu, dass das Axiom falsch/widersprüchlich ist? Soweit ich verstehe darf es nach ZFC überhaupt keine Russellsche Menge geben, d.h. man darf sie daraus gar nicht ableiten können. Da muss es dann noch ein Axiom geben, welches das o.g. Axiom wieder einschränkt.

Na das Axiom sagt ja nur, dass man die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten als Teilmenge einer größeren Menge definieren darf. Wenn es keine Menge aller Mengen gibt, dann kann man das Axiom nicht anwenden, um einen Widerspruch zu konstruieren.

1. Axiom: Zu jeder Eigenschaft E und jeder Menge X gibt es eine Menge Y, die genau diejeniger Elemente von X enthält, auf die E zutrifft.
2. Es sei die Menge X gegeben mit folgenden Elementen (E): alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten.
3a. Wie will man nun wissen, ob X in Y ist, wenn man nicht sagen kann, ob X sich selbst enthält?
3b. Da 2. widersprüchlich wäre, d.h. es gilt: X ist Element seiner selbst und X ist nicht Element seiner selbst, könnte man aus 2. Beliebies ableiten. Da sich 2. aus 1. ableitet gilt gleiches für 1. und damit das Axiom.

Der Beweis wider einer Allmenge ist mE gerade unabhängig von ZF/ZFC-Axiomen, er wird ganz naiv geführt. Denn es ist logisch, dass eine Allmenge A sich disjunkt unterteilen lässt in die Menge A1, der Mengen, die sich selbst nicht enthalten und die Menge A2, der Mengen, die sich selbst enthalten. Beide Mengen A1 und A2 wiederum müssen logischerweise sich selbst oder der anderen Menge zugeordnet sein. Da man zeigen kann, dass das für A1 nicht zutrifft, widerspricht das der o.g. disjunkten Unterteilung von A (A wäre ja dann unterteilt in A1, A2 und die Menge A1, die sich weder A1 noch A2 zuordnen ließe) und damit muss die Annahme falsch sein. Mich überzeugt dieser "archaische" Beweis.

Pippen hat geschrieben:Denn es ist logisch, dass eine Allmenge A sich disjunkt unterteilen lässt in die Menge A1, der Mengen, die sich selbst nicht enthalten und die Menge A2, der Mengen, die sich selbst enthalten.

Mir ist immer noch unklar, ob das überhaupt eine erlaubte bzw. sinnvolle Unterteilung ist.
Ich mein, sonst könnte man ja auch die Menge der nat. Zahlen N disjunkt in zwei Mengen einteilen wollen N1 = die nat. Zahlen, die gut singen können und N2 = die nat. Zahlen, die nicht gut singen können.

Daher würde es mich ganz unabhängig von der Allmenge zunächst immer noch interessieren, ob überhaupt eine Menge existiert, die sich selbst als Element enthält.
Kann mir da jemand was dazu sagen? Kann jemand ein Beispiel für so eine Menge angeben?

Beste Grüße
seeker

Also bitte lest doch mal bei Wikipedia nach: diese Widersprüche lösen sich auf, indem die Mathematiker den Begriff der Klasse einführen, der neben den Mengen - für die ZFC gilt - auch sogenannte "echte Klassen" umfasst, für die ZFC (o.ä.) nicht zu gelten braucht. Die Widersprüche lösen sich wie folgt:
a) eine Klasse, für die ZFC widerspruchsfrei ist, darf als Menge betrachtet werden
b1) eine Menge, für die ZFC zu einem Widerspruch führt, wird als echte Klasse betrachtet
b2) für eine echte Klasse wird ZFC nicht zur Anwendung gebracht

Damit ist alles gesagt.