Rotationsvolumen berechnen

[pepr]

Rotationsvolumen berechnen:

Da habe ich mal ein für euch bestimmt ganz simples Problem:

Ich möchte ein Rotationsvolumen berechnen. Dummerweise nicht um die x-Achse, sondern um die y-Achse.
Was tun....


Klingt jetzt vielleicht simpel, da kommt aber noch was

[positronium]

Was ist denn das Problem? Es ist egal, ob man um x oder y rechnet - ist ja nur eine Koordinatentransformation. Oder bist Du mit der Beschreibung noch nicht fertig, wegen "...da kommt aber noch was"?

[pepr]

Du sagst: Ist ja nur eine Koordinatentransformation. Klingt jetzt ja sehr einfach, aber das ist doch nichts anderes, als die Umkehrfunktion zu bilden, oder?

[positronium]

Nein, es geht um eine Transformation (Drehung/Spiegelung) bzw. eine Matrix, welche diese beschreibt. Je nachdem welche Parameter Du zur Verfügung hast, kann das sehr einfach sein - z.B. nur das Vertauschen der Variablen x und y.
Wie sieht denn die Aufgabe konkret aus?

[pepr]

ok, da bist du vielleicht tiefer in der Mathematik drin, aber gibt es nicht durchaus auch so komplexe Funktionen, wo es schwer oder sogar unmöglich wird eine Transformation oder Umkehrfunktion zu bilden?

[positronium]

Für Umkehrfunktionen ist das richtig. Z.B. kann es nötig sein, Näherungen zu ermitteln, oder dass man numerisch rechnen muss.
Eine Transformation kann man normalerweise "einfach" anschreiben.
Es hängt aber von Deiner Problemstellung ab. In einfachen Fällen ist die Umkehrfunktion auch verwendbar, sofern Du nur einen Parameter hast. Also z.B. einen Halbkreis von der y- auf die x-Achse transformieren willst.

[pepr]

gut, dann folgendes Beispiel:

Wie groß ist das Rotationsvolumen um die y-Achse folgender Funktion:

f(x) = 3*x^7-2*x^6+2*x^5-7*x^4-3*x^3+4*x^2-3*x+1

für den Bereich y=4 bis y=7

[positronium]

Das muss man numerisch lösen.
Zuerst, wie Du vermutet hast, die Umkehrfunktion bilden - man hat ja hier als Parameter nur x (nichts in die dritte Dimension gekrümmtes, feste Koordinaten, Volumina etc.). Das Ergebnis ist symbolisch äusserst unansehnlich und für die weitere Rechnung unbrauchbar; d.h. man macht eine numerische, interpolierende Funktion daraus.
Dann integriert man über 4...7 für x und der Integrand ist die Kreisfläche für das jeweilige y.

[pepr]

nun gut, hast du eine Funktion auf die Schnelle, wo man keine Umkehrfunktion bilden kann, die so komplex ist, dass man das mathematisch kaum schafft?

[positronium]

Auf die Schnelle nicht, aber Dein Beispiel ist schon unschön. Ohne Computer macht das keinen Spass. Auch wird es natürlich problematisch, wenn durch die Umkehrfunktion Zwei-/Mehrdeutigkeiten entstehen, also Fallunterscheidungen bzw. Regionen zu berücksichtigen sind. Und so eine Funktion muss ja auch nicht der Form y(x) sein, sondern könnte z.B. so aussehen: x(k) y(k).

[pepr]

Also ich wollte einfach auf folgendes raus:
Wir hatten vor vielen Jahren dieses Thema in der Schule im Leistungskurs behandelt und stiessen dann aber bei einigen Funktionen bei Bildung der Umkehrfunktionen auf echte Schwierigkeiten. Wir haben dann aber ein ganz einfaches System entwickelt, das ohne Umkehrung zu machen - einfach die vorhandene Funktion um die y-Achse wahrlich rotieren zu lassen. War ganz einfach mittels Kreisformel und Integration des zu berechnenden Bereiches - und schon brauchte man diesen ganzen Umkehrquatsch gar nicht mehr.

[positronium]

Hmm, kann ich nicht nachvollziehen. Das Problem ist doch bei y(x), dass man über y, also das Ergebnis der Funktion integrieren muss, und dass x in die Kreisflächenformel als Radius eingesetzt werden muss. Man braucht dabei also immer den Abstand zur y-Achse.
Alternativ könnte man von 0 bis zum Maximalwert von x integrieren, und bei jedem Rechenschritt das Intervall 4...7 durch die Funktion y(x) beschneiden, und die Länge dieses Bereichs als Integrand verwenden. Ohne Computer geht da aber auch nichts.
Vielleicht hattet Ihr irgendwelche Sonderfälle...