Hat jede Menge notwendig eine Komplementärmenge?

[Pippen]

Siehe Threadtitel, falls ja, würde mich interessieren, woraus sich das ergibt, falls nein würde mich ein Gegenbeispiel interessieren.

[breaker]

Der Begriff der Komplementärmenge ist nur für Teilmengen einer gegebenen Menge definiert. Ansonsten ergibt der Begriff keinen Sinn.

Folgende Aussage ist aber richig:
Ist X eine gegebene Menge, dann hat jede Teilmenge A von X eine Komplementärmenge (nämlich die Menge aller Elemente aus X, die nicht in A sind).


Es ist aber wichtig, dass die Komplementärmenge von der umgebenden Menge X abhängt! Man kann z.B. X={1,2,3} nehmen und A={1}. Dann ist die Komplementärmenge {2,3}. Nimmt man aber A={1} und X={1,2,3,4,5}, dann ist die Komplementärmenge {2,3,4,5}.

[Pippen]

Es gibt also keine Menge M zu der ich nicht eine Komplementärmenge bilden könnte, wenn ich unbedingt wollte (indem ich X irgendwo irgendwie als Teil einer größeren Menge (Stichwort: Potenzmenge), die es ja immer gibt, definiere)?

[breaker]

Vorsicht: Eine Menge ist keine Teilmenge ihrer Potenzmenge, sondern ein Element!

Mit der Potenzmenge funktioniert das nicht. Aber man kann als 'größere' Menge einfach wieder die ursprüngliche Menge selbst nehmen. Ist zwar ein triviales Beispiel, aber funktioniert. Genauer:
X ist die Menge, die du in eine größere Menge Y einbetten willst. Wähle Y=X. Dann ist X insbesondere eine Teilmenge von Y und das Komplement von X ist die leere Menge.

[Skeltek]

Man kann jede Menge erweitern zu einer größeren Menge. Das Komplement der ursprünglichen Menge in der erweiterten Menge wäre dann die Menge der hinzugekommenen Elemente.
Menge X= {1,2,3,4,5,7,9}
Komplement der Menge Y= {1,3,5} in X
wäre die Menge Z= {2,4,7,9}

Das Komplement der Menge X in ihrer Potenzmenge(X ist darin nur ein Element von vielen)
wäre die Gesammtheit aller übrigen Mengen die Element der Potenzmenge sind.

[tomS]

Es gibt also keine Menge M zu der ich nicht eine Komplementärmenge bilden könnte ...

Für M alleine genommen ist die Aussage sinnlos.

Der Begriff der Komplementärmenge ist nur für Teilmengen einer gegebenen Menge definiert. Ansonsten ergibt der Begriff keinen Sinn.