Unendliches Universum & Stochastik

[seeker]

Noch vor gut 100 Jahren haben sich viele Mathematiker geweigert, solche Mengen überhaupt zu akzeptieren, weil sie aus ihrer Sicht axiomatisch und aus anderen Gründen den Grundlagen der Mathematik widersprechen. Vor allem David Hilbert hat dazu beigetragen, dass sie nach und nach akzeptiert wurden. Der Hintergrund war vor allem der überwältigende praktische Nutzen. Dies ist ein wenig vergleichbar mit der Situation in der QM. Keiner weiß, auf welchem festen Boden die QM physikalisch steht, aber der praktische Nutzen ist überwältigend.

Ich glaube das ist ein ganz wichtiger Punkt, der uns auch einen schönen Einblick in die Natur des Menschen gewährt:
Der Mensch ist bei allen Dingen stets an etwas interessiert, das er "Wahrheit" nennt (und das im übrigen als eine Idee, ganz im Sinne Platons gesehen werden kann), wichtiger ist ihm aber im Zweifel immer die Nützlichkeit: Das Gros der Menschen wird einem gewissen Realismus/Pragmatismus früher oder später immer den Vorzug vor einem übersteigerten Idealismus geben:
Die Nützlichkeit der Dinge ist wohl das höchste Gut für den Menschen - auch bei Theorien.
Das muss auch so sein, denn wäre es anders, so hätte der Mensch gar nicht bis heute überleben können; d.h. diese Natur des Menschen ist evolutionär erklärbar.



Noch zu den Unendlichkeiten, transzendenten Zahlen, irrationalen Zahlen oder allgemein R:

Ich habe die Vermutung, dass diese ganze Sache ihre Wurzeln schon bei den alten Griechen und der Geometrie hat:
Man dachte sich einen idealen Kreis (obwohl man nie einen gesehen hat) und kam dann zu dem Problem, wie das Verhältnis aus Umfang zu Durchmesser bei diesem Objekt denn sei... und stieß damit zu der (wie sich später herausstellte) transzendenten Zahl Pi.

D.h.: Schon in der Vorstellung z.B. eines perfekten Kreises (der ja sozusagen "unendlich genau rund" sein soll) steckt die Annahme von Unendlichkeiten mit drinne.
Ansonsten scheint es mir, dass wir seither ganz verrückt nach diesen Perfektionen sind: Wir möchten's bitte unendlich exakt wissen!
Diese unendliche Exaktheit ist aber irgendwo ein Phantom, denn unendlich genaue Werte kann man weder messtechnisch erfassen, noch kann man damit rechnen.
Wir sind stets gezwungen zu runden, zumindest, wenn wir uns in R bewegen und es mit der Abbildung von realen Dingen zu tun haben.
Gibt es überhaupt unendlich exakte Werte? Das wissen wir gar nicht. Es ist eine Idee in unseren Köpfen, an die wir uns gewöhnt haben und in die wir uns verliebt haben.

D.h.:

Nur leider fangen die mathematischen Probleme schon bei so Dingen wie pi, e und der Differentialrechnung an.

Warum eigentlich? Wir müssen doch sowieso runden. D.h. wir und auch unsere Computer rechnen doch eh mit endlich vielen Nachkommastellen.
Außerdem sind weder reale Objekte noch unsere Messwerte jemals perfekt bzw. unendlich genau gewesen.

Aber gut, ich würde im Moment dennoch nichts an dem ändern wollen, wie es zurzeit ist.
Denn der Punkt ist ja der, dass wenn man mit einer Zahlenmenge operiert, in denen die Zahlen dicht liegen, man sozusagen auf Nummer sicher geht.
Denn wenn man mit diskreten Zahlen (im Bereich der Physik) arbeiten wollte, dann ergäbe sich das Problem, dass man ja eine kleinste Maßeinheit angeben müsste.
Und ich hätte keine Ahnung, wie groß die denn sinnvollerweise gewählt werden müsste. Das ist das eigentliche Problem: Unsere Unwissenheit.
Auf der anderen Seite: Könnte man eine kleinste allgemeine Maßeinheit (also nicht nur für Raum und Zeit, auch für Wahrscheinlichkeiten und alles andere) angeben, dann würden zumindest die Singularitäten verschwinden (wenn eben das kleinste Maß auch begründet wäre) und manch andere Verrücktheit oder Paradoxie vielleicht auch.

Positive Wahrscheinlichkeiten ergeben sich nur für Intervalle und nur diese können wir ja auch messen.

Ich glaube das ist auch ein interessanter Punkt.
Ich denke, dass wir dabei auch nicht die Intervalle messen, sondern ungenaue Werte innerhalb von Intervallen mit ungenauen Grenzen.

Beste Grüße
seeker

[positronium]

Nur leider fangen die mathematischen Probleme schon bei so Dingen wie pi, e und der Differentialrechnung an.

Warum eigentlich? Wir müssen doch sowieso runden. D.h. wir und auch unsere Computer rechnen doch eh mit endlich vielen Nachkommastellen.

Das Runden ist ein ganz massives Problem. Runden bedeutet nur bei einzelnen Zahlen, dass man ganz hinten etwas murkst. In Mitten von Algorithmen zu runden kann aber dazu führen, dass das Ergebnis statt nur an den letzten Stellen ungenau zu sein, völlig falsch ist.
Selbst wenn man mit double-precision, also 15 bis 16 Dezimalstellen Genauigkeit rechnet, kann man je nach (natürlich auch realistisch gewählten) Parametern Ergebnisse erhalten, welche die vorderste/n Stelle/n unbrauchbar macht/en. In Extremfällen können auch Zehnerpotenzen zwischen tatsächlichem und errechnetem Ergebnis liegen.
Oft ergeben sich solche Probleme, wenn z.B. beim Lösen von Gleichungen sehr kleine zu sehr grossen Zahlen addiert werden müssen. Rechnet ein Computer x=1 + 10^-20, dann gibt er x=1 zurück. Das scheint zwar auf den ersten Blick in Ordnung zu sein, aber was, wenn diese Zahl in eine Geradengleichung der Form y=10^-30*x einzusetzen ist? Dann ist y unbrauchbar. Das kann dazu führen, dass manche Algorithmen je nach Parameterwerten verschiedentlich zusammenbrechen.

Deshalb finde ich es sehr wichtig, sich zu überlegen, was eine Berechnung in der Natur/Physik eigentlich bedeutet. Ist z.B. in x=y/3 vielleicht y=1 gar nicht sinnvoll oder erlaubt? Gibt es in der Natur ein 0,3... oder doch nur mathematisch in einer Umkehrfunktion?

Vorzuziehen sind deshalb natürlich immer algebraische Lösungen, selbst wenn man Näherungen verwendet, aber dann weiss man zumindest, wo man beispielsweise eine Reihenentwicklung abgebrochen hat.
(Aber ich hätte sowieso gerne eine Integer-Welt - und passende Theorie dazu.)

Außerdem sind weder reale Objekte noch unsere Messwerte jemals perfekt bzw. unendlich genau gewesen.

Bei den realen Objekten bin ich mir nicht sicher, ob das so stimmt. Sie können nicht unendlich genau gefertigt werden, aber dem Objekt selbst traue ich möglicherweise schon in seiner technischen Unperfektion eine natürliche Perfektion zu.
Ein Messwert ist natürlich nie exakt. Das ist prinzipbedingt, aber hier handelt es sich ja um eine "Rundung" des Ergebnisses unter Einfluss des Messgeräts. An dem Punkt ist eine Rundung ja OK; die vergleicht man dann mit dem exakten Rechenergebnis, falls vorhanden.

Denn der Punkt ist ja der, dass wenn man mit einer Zahlenmenge operiert, in denen die Zahlen dicht liegen, man sozusagen auf Nummer sicher geht.

Ja. Vor allem ist dadurch die verwendete Mathematik viel einfacher.

[seeker]

Das Runden ist ein ganz massives Problem.

Danke für den schönen Einblick in Erfahrungswerte; kann ich nachvollziehen.
Der schlimmste Fall ist wohl, wenn du nichtlineare, chaotische Gleichungssysteme vorliegen hast, die du iterieren musst. Dann wird's vermutlich ganz schwierig.

Vorzuziehen sind deshalb natürlich immer algebraische Lösungen...

Das wäre uns lieb - klar. Bekommen wir aber nicht immer.

Deshalb finde ich es sehr wichtig, sich zu überlegen, was eine Berechnung in der Natur/Physik eigentlich bedeutet. Ist z.B. in x=y/3 vielleicht y=1 gar nicht sinnvoll oder erlaubt? Gibt es in der Natur ein 0,3... oder doch nur mathematisch in einer Umkehrfunktion?

Da verstehe ich noch nicht ganz, was du meinst. Brüche kann man ja so umskalieren, dass man ganze Zahlen erhält, hier: x'=3x=y/1. Oder meinst du etwas anderes?

Außerdem sind weder reale Objekte noch unsere Messwerte jemals perfekt bzw. unendlich genau gewesen.

Bei den realen Objekten bin ich mir nicht sicher, ob das so stimmt. Sie können nicht unendlich genau gefertigt werden, aber dem Objekt selbst traue ich möglicherweise schon in seiner technischen Unperfektion eine natürliche Perfektion zu.
Ein Messwert ist natürlich nie exakt. Das ist prinzipbedingt, aber hier handelt es sich ja um eine "Rundung" des Ergebnisses unter Einfluss des Messgeräts. An dem Punkt ist eine Rundung ja OK; die vergleicht man dann mit dem exakten Rechenergebnis, falls vorhanden.

Der Punkt ist, dass wir es nicht wissen, ob ideale/perfekte Objekte bzw. Objekteigenschaften existieren. Und da bin ich dann halt zu sehr Agnostiker, um da einfach drüber wegzusehen: Wenn ich etwas nicht weiß, dann tue ich mich schwer damit, so zu tun als wüsste ich es bzw. ohne Weiteres zu glauben, dass es so sei und daraus dann ohne Unwohlsein konkrete Handlungen oder Schlussfolgerungen abzuleiten.

Wir haben m.E. keinerlei Grundlage für die Annahme der Existenz von perfekten Objekteigenschaften (= unendliche Genauigkeit bei realen Objekten) - außer dem Grund, dass wir es gerne so hätten und dass wir uns in 2000 Jahren an diesen Gedanken, der aus der Mathematik und Philosophie der westlichen Welt kommt, sehr gewöhnt haben und er vieles bei der Beschreibung leichter zu machen scheint, insofern also doch nützlich war.

Dieses Denken hat dann auch zu solchen Sachen wie dem Laplaceschen Dämon geführt und einem vollständig mechanistischen, kausalen Weltbild.
Aber was ist passiert? Vor ca. 100 Jahren hat sich langsam herausgestellt, dass solche Eigenschaften im Konkreten gar nicht existieren. Stichwort: Heißenbergsche Unschärfe.
Wie haben wir darauf reagiert? "Na gut!", haben wir gesagt, "Dann sind gewisse Eigenschaftspaare wie Ort und Impuls in der Natur halt nicht exakt existierend, aber die QM-Wahrscheinlichkeiten bzw. QM-Zustände, die dahinter stehen, werden es aber sicherlich sein!". Wie denn das? Hätten wir aus diesen Befund der Unschärfe nicht eher Grund anzunehmen, dass es nicht so sei? Wo ist da die Logik dahinter?

Ich glaube die Logik dahinter kann nur sein, dass diese Annahme immer noch nützlich ist, weil sie vieles vereinfacht und weil wir es einfach (bislang) nicht besser wissen und ja alles soweit wunderbar zu funktionieren scheint (mit einer Exaktheit in der QM, die uns aus unserer Perspektive hervorragend scheint) und weil wir auch einfach nicht bereit sind von unserem Ideal einer in der Natur tatsächlich existierenden Exaktheit abzulassen, weil uns das ja so Recht wäre, wenn es denn so wäre (weil man in diesem Fall prinzipiell die Gleichung "Theorie=Natur" aufstellen kann).
Das ist bei genauer Betrachtung aber sehr, sehr wenig, eigentlich überhaupt kein wirklicher Grund, eher eine fromme Hoffnung.
Was folgt aus solcher Haltung? Solche Weltbilder, wie z.B. die VW-Interpretation der QM (mit ihren unendlichen Welten, um die Kausalität zu retten) und das mathematische Universum.
Wie gesagt: Da bin ich zu sehr Agnostiker, um da kein Unwohlsein zu verspüren...

Beste Grüße
seeker

[positronium]

Deshalb finde ich es sehr wichtig, sich zu überlegen, was eine Berechnung in der Natur/Physik eigentlich bedeutet. Ist z.B. in x=y/3 vielleicht y=1 gar nicht sinnvoll oder erlaubt? Gibt es in der Natur ein 0,3... oder doch nur mathematisch in einer Umkehrfunktion?

Da verstehe ich noch nicht ganz, was du meinst. Brüche kann man ja so umskalieren, dass man ganze Zahlen erhält, hier: x'=3x=y/1. Oder meinst du etwas anderes?

Das geht zwar in diesem Beispiel, aber das muss nicht immer möglich oder erlaubt bzw. sinnvoll sein. Gerade in einem Programm weiss man ja nicht unbedingt im Vorhinein, welche Zahlen und Zahlenkombinationen verarbeitet werden müssen. Auch muss natürlich nicht unbedingt ein Bruch ursächlich sein - könnte ja eine sqrt, ein log usw. sein.

Darauf wollte ich aber gar nicht hinaus. Vielmehr ging es mir darum zu sagen, dass alle Gleichungen nur deshalb so schön funktionieren, weil wir durch eine geeignete Zahlenmenge alle konstruierbaren Ergebnisse zulassen, also durch R bzw. C. Wenn die Natur aber beispielsweise in N funktioniert, ist das nicht mehr der Fall.
Wenn in z=x*y alle drei Variablen in der Natur vorkommende Werte repräsentieren, dann gilt: x,y,z e N. Jetzt stellt sich die Frage nach der Bedeutung der Gleichung bzw. danach, welche Umstellung in der Natur realisiert ist:
- ist es z=x*y? Dem Wert z wird x*y gleichgesetzt/zugewiesen. Es können in x und y alle Werte aus N eingesetzt werden - funktioniert immer.
- ist es x=z/y? Hier sieht es ganz anders aus. Es dürfen nur z und y eingesetzt werden, bei denen y ein Teiler von z ist.

Nimmt man wie oben an, die Natur sei in einer nicht-kontinuierlichen Zahlenmenge "definiert", folgt doch zwangsläufig, dass wir uns Gedanken darüber machen müssen, welche Grössen (x, y oder z) fundamentaler sind, denn dann stellen wir je nach Formel und Umstellung der Formel Einschränkungen auf dieser Zahlenmenge fest. Es gilt dann nicht mehr in jedem Fall N.
Wenn nicht R oder C gilt, muss das Auswirkungen auf die Natur haben. Ist z.B. in den oben genannten beiden Fällen die linke Seite eine Energie, wissen wir in ersterem Fall, dass die "Entartungen" alle gleich häufig auftreten, und dass das in zweiterem Fall nicht so ist.

Aber auch wenn die Natur in R oder C funktioniert, sollte die "Natürlichkeit" der Variablen, und damit die korrekte Art eine Gleichung zu verstehen, eine Rolle spielen, also Auswirkung auf die möglichen Ergebnisse haben.

Der Punkt ist, dass wir es nicht wissen, ob ideale/perfekte Objekte bzw. Objekteigenschaften existieren. Und da bin ich dann halt zu sehr Agnostiker, um da einfach drüber wegzusehen: Wenn ich etwas nicht weiß, dann tue ich mich schwer damit, so zu tun als wüsste ich es bzw. ohne Weiteres zu glauben, dass es so sei und daraus dann ohne Unwohlsein konkrete Handlungen oder Schlussfolgerungen abzuleiten.

Ja, man weiss es nicht, und wird es wohl nie mit letzter Sicherheit wissen. Deinen Standpunkt kann ich nachvollziehen. Ich denke aber auch, dass man sich aus praktischen Gründen selbst von Dingen, die man nicht exakt weiss, Beschreibungen konstruieren muss. Solange diese ausreichen, und ihren Zweck erfüllen, ist meiner Meinung nach alles im grünen Bereich. Vergessen sollte man seine potentielle Unwissenheit aber nicht.

Wir haben m.E. keinerlei Grundlage für die Annahme der Existenz von perfekten Objekteigenschaften (= unendliche Genauigkeit bei realen Objekten)...

Nach der QM sogar gegen perfekte Eigenschaften.

Dieses Denken hat dann auch zu solchen Sachen wie dem Laplaceschen Dämon geführt und einem vollständig mechanistischen, kausalen Weltbild.
Aber was ist passiert? Vor ca. 100 Jahren hat sich langsam herausgestellt, dass solche Eigenschaften im Konkreten gar nicht existieren. Stichwort: Heißenbergsche Unschärfe.

Ich würde nicht sagen, dass das der Weisheit letzter Schluss ist. Aber das mag subjektiv sein.

Wie haben wir darauf reagiert? "Na gut!", haben wir gesagt, "Dann sind gewisse Eigenschaftspaare wie Ort und Impuls in der Natur halt nicht exakt existierend, aber die QM-Wahrscheinlichkeiten bzw. QM-Zustände, die dahinter stehen, werden es aber sicherlich sein!". Wie denn das? Hätten wir aus diesen Befund der Unschärfe nicht eher Grund anzunehmen, dass es nicht so sei? Wo ist da die Logik dahinter?

Der Zustand ist ja nur unmittelbar nach Messung exakt bekannt. Gleich danach weiss man wieder wenig - Wahrscheinlichkeiten halt.

[seeker]

Danke, jetzt verstehe ich dich besser.

Darauf wollte ich aber gar nicht hinaus. Vielmehr ging es mir darum zu sagen, dass alle Gleichungen nur deshalb so schön funktionieren, weil wir durch eine geeignete Zahlenmenge alle konstruierbaren Ergebnisse zulassen, also durch R bzw. C. Wenn die Natur aber beispielsweise in N funktioniert, ist das nicht mehr der Fall.
Wenn in z=x*y alle drei Variablen in der Natur vorkommende Werte repräsentieren, dann gilt: x,y,z e N. Jetzt stellt sich die Frage nach der Bedeutung der Gleichung bzw. danach, welche Umstellung in der Natur realisiert ist:
- ist es z=x*y? Dem Wert z wird x*y gleichgesetzt/zugewiesen. Es können in x und y alle Werte aus N eingesetzt werden - funktioniert immer.
- ist es x=z/y? Hier sieht es ganz anders aus. Es dürfen nur z und y eingesetzt werden, bei denen y ein Teiler von z ist.

Ja. Es sei denn die Natur rundet auch! Warum eigentlich nicht?

Ich glaube für alle praktischen Belange könnte man aber durchaus auch mit einer Menge mit Elementen mit endlich vielen Nachkommastellen rechnen, wenn es denn nur genügend viele wären (z.B. 10.000, in der Praxis tut man es ja sowieso schon). Alles was drunter läge, könnte man einfach runden. So eine Menge ließe sich dann auch auf N oder Z abbilden, falls gewünscht. Wie gesagt: Damit das aber einen Sinn ergibt wollte man doch wissen, warum gerade 10.000 NKS und nicht 9.999?

Nimmt man wie oben an, die Natur sei in einer nicht-kontinuierlichen Zahlenmenge "definiert", folgt doch zwangsläufig, dass wir uns Gedanken darüber machen müssen, welche Grössen (x, y oder z) fundamentaler sind, denn dann stellen wir je nach Formel und Umstellung der Formel Einschränkungen auf dieser Zahlenmenge fest. Es gilt dann nicht mehr in jedem Fall N.
Wenn nicht R oder C gilt, muss das Auswirkungen auf die Natur haben. Ist z.B. in den oben genannten beiden Fällen die linke Seite eine Energie, wissen wir in ersterem Fall, dass die "Entartungen" alle gleich häufig auftreten, und dass das in zweiterem Fall nicht so ist.

Interessanter Gedanke! Was aber, wenn die Natur hier tatsächlich runden würde? Könnte man das herausfinden?

Der Punkt ist, dass wir es nicht wissen, ob ideale/perfekte Objekte bzw. Objekteigenschaften existieren. Und da bin ich dann halt zu sehr Agnostiker, um da einfach drüber wegzusehen: Wenn ich etwas nicht weiß, dann tue ich mich schwer damit, so zu tun als wüsste ich es bzw. ohne Weiteres zu glauben, dass es so sei und daraus dann ohne Unwohlsein konkrete Handlungen oder Schlussfolgerungen abzuleiten.

Ja, man weiss es nicht, und wird es wohl nie mit letzter Sicherheit wissen. Deinen Standpunkt kann ich nachvollziehen. Ich denke aber auch, dass man sich aus praktischen Gründen selbst von Dingen, die man nicht exakt weiss, Beschreibungen konstruieren muss. Solange diese ausreichen, und ihren Zweck erfüllen, ist meiner Meinung nach alles im grünen Bereich. Vergessen sollte man seine potentielle Unwissenheit aber nicht.

Einverstanden, so lange man tatsächlich nur Beschreibungen erstellt, die dann auch zufriedenstellend funktionieren - und nicht mehr. Das Problem das ich habe liegt mehr darin, dass der Mensch dazu neigt mehr daraus machen zu wollen, auch wenn gebetsmühlenartig gesagt wird "Wir beschreiben doch nur!", so entstehen daraus doch gerne Weltbilder und Überzeugungen darüber, wie die Welt denn nun wirklich gestrickt sei... mit Folgen für unser Denken und Handeln. Hauptsächlich dagegen wehre ich mich.
Genau: Man soll nicht vergessen, dass man unwissend ist und nur beschreibt!
Eine Beschreibung der Welt IST nämlich nicht die Welt und es ist auch notorisch unklar, ob sie "fast wie die Welt" oder auch nur "wahrscheinlich fast wie die Welt" ist. Da kommen wir nicht raus, wenn wir Popper folgen. Auch dann nicht, wenn eine Theorie richtige Vorhersagen macht, denn was wir für dieses "mehr als Beschreibung" bräuchten wären unedlich viele richtige Vorhersagen, was unmöglich ist.


Beste Grüße
seeker

[positronium]

Es sei denn die Natur rundet auch! Warum eigentlich nicht?

Denkbar wäre das, glaube ich. Man muss aber bedenken, dass das Konsequenzen hat. Beispielsweise wäre die Energieerhaltung nur noch näherungsweise gegeben. Und es stellt sich die Frage, ob das nicht (evtl. erst irgendwann, nach vielen Prozessen) makroskopisch feststellbar sein müsste.

Ein verrückter Gedanke: Vielleicht sind alle Zahlen, die wir in der Natur erkennen, nur eine Illusion. - Ein vollkommen deterministisches Universum würde bereits bei seiner Entstehung "wissen", welche Zahlen während seiner gesamten Existenz irgendwie und irgendwo erscheinen. Mag sein, dass alle diese scheinbaren Zahlen einfach mit natürlichen Zahlen durchnummeriert, und für alle Ereignisse miteinander verlinkt sind. Dann ist kein Runden, und es sind auch keine periodischen, irrationalen und transzendenten Zahlen nötig.

Wenn nicht R oder C gilt, muss das Auswirkungen auf die Natur haben. Ist z.B. in den oben genannten beiden Fällen die linke Seite eine Energie, wissen wir in ersterem Fall, dass die "Entartungen" alle gleich häufig auftreten, und dass das in zweiterem Fall nicht so ist.

Interessanter Gedanke! Was aber, wenn die Natur hier tatsächlich runden würde? Könnte man das herausfinden?

Ich glaube, dass das in beiden Fällen theoretisch möglich sein könnte. Um das sicher, oder gar ein "wie" zu beantworten, müsste man aber mathematische Untersuchungen anstellen. Das dürfte hartes Brot sein.

Das Problem das ich habe liegt mehr darin, dass der Mensch dazu neigt mehr daraus machen zu wollen, auch wenn gebetsmühlenartig gesagt wird "Wir beschreiben doch nur!", so entstehen daraus doch gerne Weltbilder und Überzeugungen darüber, wie die Welt denn nun wirklich gestrickt sei... mit Folgen für unser Denken und Handeln. Hauptsächlich dagegen wehre ich mich.
Genau: Man soll nicht vergessen, dass man unwissend ist und nur beschreibt!

Du hast vollkommen Recht! Deshalb sehe ich es auch skeptisch, wenn immer durch mathematische Spielchen neues postuliert wird. So z.B. Tachyonen. Trotzdem ist es verblüffend, wie oft das zum Erfolg geführt hat.

[tomS]

Ist es eigentlich tatsächlich so, dass in einem begrenzten Raumvolumen mit einer begrenzten Teilchenzahl nur eine endliche Anzahl an Zuständen vorkommen kann?
Kann man das nachweisen?

Das kann man nicht nachweisen, weil es nicht stimmt ;-)

Bereits der Hilbertraum eines Systems mit einem einzigen Atom ist unendlich-dimensional. Dabei zählen wir die "inneren" Quantenzustände des Atoms (Wasserstoff: nlms) sowie seine "äußeren Zustände" (Schwerpunktsimpuls). Daran ändert auch ein endliches Volumen nichts.

Und wenn randbedingungenen gegeben sind, wie eine vorgegbene energie ?

Das wäre z.B. der Fall für das mikrokanonische Ensemble: http://de.wikipedia.org/wiki/Mikrokanonisches_Ensemble

Ja, in diesem Fall ist der "zulässige" Hilbertraum bei definierter Energie möglicherweise endlich-dimensional.

[tomS]

Du zeigst in dem Beispiel mit den Münzen vom Prinzip her, dass der Operator aus dem Gesamtzustand und nicht den Einzelzuständen errechnet wird. Soweit weiss ich das - sonst fallen Interferenzeffekte weg. Aber was hat das mit der Projektion auf Unterräume zu tun? Du hattest ja oben geschrieben:

Ein gemischter Zustand entspricht einer Summe über Projektoren auf mehrere eindimensionalen Unterräume, also z.B. a|A><A| + b|B><B| mit a² + b² = 1

Das sieht ja wie das klassische Beispiel aus.
Der gemischte Zustand ist doch eine Superposition mehrerer reiner Zustände mit Gewichtungsfaktoren. Deshalb hatte ich oben das "...ein gemischter z.B. |A>+|B>" geschrieben.
Ich bin irgendwie durcheinander.

Siehe dazu

Es ist einfach so, dass |A> + |B> einerseits und |A><A| + |B><B| andererseits eine völlig andere Bedeutung haben ...

*****

|Z> = |A>+|B> ist auch nur ein eindimensionaler Unterraum, und daher wieder ein reiner Zustand.

Gemischte Zustände werden durch Dichteoperatoren beschrieben.

Ein reiner Zustand entspricht einem Projektor auf den eindimensionalen Unterraum, also |Z><Z|

Ein gemischter Zustand entspricht einer Summe über Projektoren auf mehrere eindimensionalen Unterräume, also z.B. a|A><A| + b|B><B| mit a² + b² = 1

*****

Nehmen wir als einfaches Beispiel eine Münze und eine "Quantenmünze"; die beiden orthogalen Eigenzustände des "welche-Seite-liegt-oben-Operators" seien |K> für Kopf und |Z> für Zahl.

Im Falle der klassischen Münze wäre der verallgemeinerte, gemischte Zustand beim Münzewerfen durch den folgenden statistische Operator gegeben:

ρ = p[down]K[/down]|K><K| + p[down]Z[/down]|Z><Z|
p[down]K[/down][up]2[/up] + p[down]Z[/down][up]2[/up] = 1

Die Wahrscheinlichkeiten geben einfach unsere klassische Unkenntnis wieder; die Münze liegt entweder in einem Zustand oder im anderen vor, wir wissen nur nicht in welchem.


Im Falle der Quantenmünze kannst du aber einen kohärenten, reinen Zustand der Form

|ψ> = ψ[down]K[/down]|K> + ψ[down]Z[/down]|Z>
ψ[down]K[/down][up]2[/up] + ψ[down]Z[/down][up]2[/up] = 1

definieren. Dem entspricht sicher kein klassischer Zustand, denn jetzt liegt die Münze sowohl in einem Zustand als auch in einem anderen vor.

Der zugehörige statistische Operator lautet jetzt

ρ = |ψ><ψ|

Wenn du jetzt das gegebene |ψ> einsetzt und ausmultiplizierst, dann siehst du, dass sich die beiden Operatoren unterscheiden. Insbs. ist ρ = |ψ><ψ| ein Projektor, was unmittelbar aus der Eigenschaft ρ² = ρ folgt, während das zuerst genannte ρ für das klassische Gemisch gerade kein Projektor ist, da ρ² = ρ nicht gilt.

*****

Ist das noch ein Thema, das ich erklären soll?

[Job]

Ein verrückter Gedanke: Vielleicht sind alle Zahlen, die wir in der Natur erkennen, nur eine Illusion. - Ein vollkommen deterministisches Universum würde bereits bei seiner Entstehung "wissen", welche Zahlen während seiner gesamten Existenz irgendwie und irgendwo erscheinen. Mag sein, dass alle diese scheinbaren Zahlen einfach mit natürlichen Zahlen durchnummeriert, und für alle Ereignisse miteinander verlinkt sind. Dann ist kein Runden, und es sind auch keine periodischen, irrationalen und transzendenten Zahlen nötig.

Kronecker hat mal gesagt: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk". Ob er damit Recht hat, ist allerdings unklar . Solange wir nicht wissen, ob die grundlegenden Begriffe wie Energie, Masse, Raum und Zeit einen kontinuierlichen Charakter haben oder diskret sind, werden wir diese Frage wahrscheinlich auch nicht beantworten können. Solange bleibt die Frage wohl offen, ob ein diskreter Ansatz nur die Approximation einer kontinuierlichen Wirklichkeit wäre, oder ein kontinuierlicher eine Approximation einer diskreten Welt. In praktischer Hinsicht hat die kontinuierliche Sicht sicher große Vorteile. Wenn wir (nur) dadurch allerdings Unendlichkeiten bekommen (das kann auch die Null sein), fangen die Probleme an. Die Selbstenergie des Elektrons und die Singularitäten in der ART und sonst wo sind typische Beispiele dafür.

[seeker]

Ist das noch ein Thema, das ich erklären soll?

Die mathematischen Details sind mir pers. leider zu hoch bzw. wäre der Weg dorthin für mich zurzeit zu aufwändig.
(Für andere mag das natürlich anders aussehen.)
Es reicht mir meistens, wenn ich die prinzipiellen Hintergründe salopp verstehen kann.
Dadurch habe ich -glaube ich- auch schon ein gewisses Gefühl für einige Dinge in der QM entwickeln können, wenn auch begrenzt.
Wo der prinzipielle Unterschied zwischen einem klassischen Zustand und einem kohärenten QM-Zustand ist, ist mir soweit -glaube ich- klar.

Was ich noch nicht recht verstehe ist der prinzipielle Unterschied zwischen einem reinen und einem gemischten Zustand?

Das Problem bei QM-Zuständen ist doch auch -soweit ich das sehe- dass es sich hier nicht um konkrete klassische Zustände handelt, die der Beobachtung direkt zugänglich sind, sondern um Wahrscheinlichkeiten, auf die indirekt geschlossen werden muss.
Es ist also nicht ganz klar, ob und inwiefern und inwieweit diese Wahrscheinlichkeiten überhaupt als "reale Zustände" von "realen Objekten" bezeichnet werden können?
Mir scheinen halt aus meiner Perspektive konkrete, "anfassbare" Messwerte immer realer als irgendeine Theorie.
Aber das liegt vielleicht auch nur an mir, weil ich doch noch viel mit praktischer Arbeit und empirischer "Befragung" von Systemen zu tun habe, die nur recht begrenzt theoretisch abgebildet oder simuliert werden können.
Wäre ich Theoretiker, dann sähe es vielleicht umgekehrt aus?

Beispielsweise wäre die Energieerhaltung nur noch näherungsweise gegeben.

Mag sein. Die Energieerhaltung ergibt sich aus gewissen Symmetrieeigenschaften von Gleichungen in der theoretischen Beschreibung der Natur.
Für das expandierende Gesamtuniversum ist eine Gesantenergie -soweit ich mich erinnere- nicht definierbar.
Von daher ist es m.E. eh nicht ohne weiteres klar, ob die Energieerhaltung immer und überall und vor allen Dingen mit unendlicher Exaktheit gelten muss.

Ein verrückter Gedanke: Vielleicht sind alle Zahlen, die wir in der Natur erkennen, nur eine Illusion. - Ein vollkommen deterministisches Universum würde bereits bei seiner Entstehung "wissen", welche Zahlen während seiner gesamten Existenz irgendwie und irgendwo erscheinen. Mag sein, dass alle diese scheinbaren Zahlen einfach mit natürlichen Zahlen durchnummeriert, und für alle Ereignisse miteinander verlinkt sind. Dann ist kein Runden, und es sind auch keine periodischen, irrationalen und transzendenten Zahlen nötig.

Mag sein. In dem Fall könnte man das Universum auch völlig statisch erfassen: Es geschieht dort nichts. Gewissermaßen existiert alles von Anfang an schon.
Veränderung und Bewegung wären Illusion.
Ich pers. glaube nicht an solch ein vollkommen deterministisches Universum, also an Kausalität als Prinzip, das über allem und vor allem anderen stehen soll.
Ich glaube daran, dass nur das Bewegte, die Veränderung, die Dynamik in der Dynamik existiert - nicht aber das Statische: Ich galube nicht, dass etwas tatsächlich Statisches existieren kann.
Eher bin ich noch von dem Gedanken angetan, dass vielleicht Naturgesetze nur (evtl. emergente) "Gewohnheiten" des Universums sind, die selbststabilisierend waren, wenn erst einmal zufällig gewählt und denen es meistens/fast immer und endlich exakt folgt.

Deshalb sehe ich es auch skeptisch, wenn immer durch mathematische Spielchen neues postuliert wird. So z.B. Tachyonen. Trotzdem ist es verblüffend, wie oft das zum Erfolg geführt hat.

Ja, es ist verblüffend und es ist immer noch eines der größten Rätsel, warum das so ist. Es war auch bisher durchaus erfolgreich - deshalb soll man es auch weiter tun.
Dennoch gilt: Schuster bleib bei deinen Leisten! Denn dieser Erfolg beweist überhaupt gar nichts und sagt auch nicht aus, dass das immer so bleiben muss.
Es ist einfach ein Erfahrungswert der letzten Zeit. Ob es mehr ist wissen wir nicht und können wir nicht wissen.

@all: Ansonsten hoffe ich, dass unsere Spekulationen kein Unbill auslösen - ich/wir denken einfach gerne nach und quatschen gerade gerne etwas darüber - das ist alles.


Beste Grüße
seeker

[tomS]

Was ich noch nicht recht verstehe ist der prinzipielle Unterschied zwischen einem reinen und einem gemischten Zustand

In der Quantenmechanik betrachtet man sehr häufig nur reine Zustände: Superposition von „Spin-Up“ und „Spin-Down“, Schrödingers Katze, verschränkte Zustände, Photon geht sowohl durch den einen als auch durch den anderen Spalt, … Das sind nun intrinsisch quantenmechanische Eigenschaften, die durch ausschließlich quantenmechanische Zustände beschrieben werden und die kein Analogon in der klassischen Physik haben. Dabei handelt es sich um reine Zustände. Diese darf man sich vorstellen als Einheitsvektoren auf einer Einheitskugel – wobei letztere leider in einem unendlich-dimensionalen Raum existiert. Jeder reine Zustand entspricht genau einer solchen Vektor, wir nennen ihn z.B. |Z>; und als ein Vektor ist er eindimensional.

Nun haben wir aber noch eine ganz triviale klassische Unsicherheit bzgl. eines Systems.

Betrachten wir einige (viele) Teilchen in einem Hohlraum. Rein quantenmechanisch entspricht jedem Teilchenzustand ein unendlich-dimensionaler Raum im o.g. Sinn. Bei sehr vielen Teilchen wird das dann eben „sehr viel mal unendlich = unendlich“, was am Grundprinzip nichts ändert. Würden wir also den Zustand jedes einzelnen Teilchens (und damit des Gesamtsystems aller Teilchen) so exakt kennen, wie es die QM zulässt, so hätten wir einen reinen Zustand dieser Teilchen vorliegen. Das beste Beispiel ist ein „idealer LASER“, in dem jedes einzelne Photon in exakt dem selben Zustand exakt bekannter Energie mit exakt bekanntem Impuls vorliegt. Wir wissen alles, was wir gemäß der QM nur wissen können (für jedes Photon: Impuls exakt, Ort maximal unscharf).

Anstelle des LASERs könnte nun jedoch ein Photonengas mit einer bestimmten Temperatur vorliegen. Wir wissen nun nichts außer der Temperatur! Diese Unsicherheit ist genau die selbe wie in der klassischen Physik und hat nichts (na ja – wenig) mit Quantenmechanik zu tun. Dabei handelt es sich nun um einen sogenannten gemischten Zustand, speziell um einen thermischen Zustand.

Zu diesem gemischten Zustand tragen nun verschiedene (unendlich viele) reine Zustände bei: ein bisschen hiervon, ein bisschen davon, … wobei wir gar nicht sicher sind, dass diese einzelnen Zustände tatsächlich vorhanden sind, nur, dass sie mit einer bestimmten klassischen Wahrscheinlichkeit vorhanden sein könnten.

[seeker]

Danke! Das scheint meine bisherige Vermutung zu bestätigen.

Kann man dann folgendes sagen (?):

In der Natur existieren (laut QM) ausschließlich und immer nur reine Zustaände.
Die Beschreibung von gewissen Systemen durch gemischte Zustände ist ausschließlich dem geschuldet, dass wir nicht an alle Informationen herankommen, um dasselbe System als reinen Zustand zu beschreiben. D.h. die Beschreibung eines Systems als gemischter Zustand ist sozusagen eine Krücke, die unserem beschränkten Wissen über manche Systeme geschuldet ist.

Das beste Beispiel ist ein „idealer LASER“, in dem jedes einzelne Photon in exakt dem selben Zustand exakt bekannter Energie mit exakt bekanntem Impuls vorliegt. Wir wissen alles, was wir gemäß der QM nur wissen können (für jedes Photon: Impuls exakt, Ort maximal unscharf).

Ja, verstanden. Nur werden sich reale Laser so nicht verhalten, denn dafür müsste die Frequenzbreite des abgestrahlten Lichts Null sein. Reale Laser haben aber immer eine gewisse Frequenzbreite. Bei Spektrallinien haben wir denselben Effekt: Peakbreite > 0. U.a. Wärmeeffekte...
Heißt das nicht, dass Beschreibungen von realen Systemen mittel des Formalisus von reinen Zuständen immer eine Näherung sind, dass die Beschreibung per reinem Zustand also eine (so nicht präparierbare) Idealisierung darstellt?

Grüße
seeker

[tomS]

Kann man dann folgendes sagen (?):

In der Natur existieren (laut QM) ausschließlich und immer nur reine Zustaände.
Die Beschreibung von gewissen Systemen durch gemischte Zustände ist ausschließlich dem geschuldet, dass wir nicht an alle Informationen herankommen, um dasselbe System als reinen Zustand zu beschreiben. D.h. die Beschreibung eines Systems als gemischter Zustand ist sozusagen eine Krücke, die unserem beschränkten Wissen über manche Systeme geschuldet ist.

Ja.

Heißt das nicht, dass Beschreibungen von realen Systemen mittel des Formalisus von reinen Zuständen immer eine Näherung sind, dass die Beschreibung per reinem Zustand also eine (so nicht präparierbare) Idealisierung darstellt?

Jein.

Im Falle von Einteilchensystemen ist der reine Zustand, ggf. mit einer intrinsischen Unschärfe "a la Wellenpaket", die angemessene Beschreibung.

Im Falle von Vielteilchensystemen (Gasen, ...) ist häufig der gemischte Zustand die bessere Beschreibung. Im Falle von offenen Systemen (WW mit Umgebungsfreiheitsgraden, Dekohärenz, ...) läuft es auch auf den gemischten Zustand hinaus.

[positronium]

Ist das noch ein Thema, das ich erklären soll?

Ja, bitte.
Man muss doch grundsätzlich drei verschiedene Dinge unterscheiden:
1. statistisches Zustandsgemisch: Viele Teilchen, deren einzelne Zustände unbekannt sind, werden als ganzes beschrieben.
2. unbekannter Zustand: Ein Teilchen, dessen Zustand nicht gemessen wurde.
3. gemischter Zustand: Ein Teilchen, das gleichzeitig einen Überlagerungszustand mehrerer reiner Zustände einnimmt.
Ich glaube inzwischen, hier im Thread Bezüge auf alle drei Formen zu finden. Ich bin immer von Punkt 3 ausgegangen.

[positronium]

Kronecker hat mal gesagt: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk". Ob er damit Recht hat, ist allerdings unklar .

Eine mutige Wertung durch den Herrn Kronecker. Die Konsequenzen wären meiner Ansicht nach enorm. Aber was weiss man schon.

Das Problem bei QM-Zuständen ist doch auch -soweit ich das sehe- dass es sich hier nicht um konkrete klassische Zustände handelt, die der Beobachtung direkt zugänglich sind, sondern um Wahrscheinlichkeiten, auf die indirekt geschlossen werden muss.
Es ist also nicht ganz klar, ob und inwiefern und inwieweit diese Wahrscheinlichkeiten überhaupt als "reale Zustände" von "realen Objekten" bezeichnet werden können?

Ich glaube, das muss man aus einer anderen Perspektive betrachten: Wenn man nur einen Meterstab, aber kein Thermometer hat, und man muss die Temperatur eines zuerst kalten, dann heissen Stückes Eisen ermitteln, dann geht das mit dem entsprechenden Wissen auch. Vielleicht haben wir nur kein "QM-Thermometer", oder die Temperatur ist so hoch, dass jedes Thermometer schmelzen würde. Dann kann man auch nicht mit Sicherheit sagen, ob der Wärmezustand real oder irreal ist.

Beispielsweise wäre die Energieerhaltung nur noch näherungsweise gegeben.

Für das expandierende Gesamtuniversum ist eine Gesantenergie -soweit ich mich erinnere- nicht definierbar.
Von daher ist es m.E. eh nicht ohne weiteres klar, ob die Energieerhaltung immer und überall und vor allen Dingen mit unendlicher Exaktheit gelten muss.

Ich frage mich nur, wie viele Stellen Genauigkeit nötig wären, um nach 13 Mrd. Jahren Berechnungen im mikro-nano-was-weiss-ich-Takt noch keine Abweichungen feststellen zu können. - Vielleicht ist das aber auch prinzipbedingt nicht möglich?

Ich pers. glaube nicht an solch ein vollkommen deterministisches Universum, also an Kausalität als Prinzip, das über allem und vor allem anderen stehen soll.
Ich glaube daran, dass nur das Bewegte, die Veränderung, die Dynamik in der Dynamik existiert - nicht aber das Statische: Ich galube nicht, dass etwas tatsächlich Statisches existieren kann.

Darin sehe ich jetzt eigentlich nur einen Standpunktwechsel. - Wenn man beginnt, die statischen Photos eines Films abzuspielen, glaubt man Dynamik zu erkennen.

Eher bin ich noch von dem Gedanken angetan, dass vielleicht Naturgesetze nur (evtl. emergente) "Gewohnheiten" des Universums sind, die selbststabilisierend waren, wenn erst einmal zufällig gewählt und denen es meistens/fast immer und endlich exakt folgt.

Der Gedanke hat etwas. Für die wissenschaftliche Beschreibung dürfte das jedoch einem Todesstoss gleich kommen.

[tomS]

Ist das noch ein Thema, das ich erklären soll?

Ja, bitte.
Man muss doch grundsätzlich drei verschiedene Dinge unterscheiden:
1. statistisches Zustandsgemisch: Viele Teilchen, deren einzelne Zustände unbekannt sind, werden als ganzes beschrieben.
2. unbekannter Zustand: Ein Teilchen, dessen Zustand nicht gemessen wurde.
3. gemischter Zustand: Ein Teilchen, das gleichzeitig einen Überlagerungszustand mehrerer reiner Zustände einnimmt.
Ich glaube inzwischen, hier im Thread Bezüge auf alle drei Formen zu finden. Ich bin immer von Punkt 3 ausgegangen.

Ein gemischter Zustand entspricht (1), nicht (3) !!! Eine Überlagerung im Sinne von (3) wird nicht als gemischt bezeichnet; und er ist nach wie vor eindimensional!

[positronium]

Ein gemischter Zustand entspricht (1), nicht (3) !!! Eine Überlagerung im Sinne von (3) wird nicht als gemischt bezeichnet; und er ist nach wie vor eindimensional!

Gerade habe ich kurz nachgeschaut, wo ich das her haben könnte - erfolglos. Dann habe ich das offenbar falsch in Erinnerung.
Vielen Dank für die Aufklärung!

[seeker]

Ich pers. glaube nicht an solch ein vollkommen deterministisches Universum, also an Kausalität als Prinzip, das über allem und vor allem anderen stehen soll. Ich glaube daran, dass nur das Bewegte, die Veränderung, die Dynamik in der Dynamik existiert - nicht aber das Statische: Ich galube nicht, dass etwas tatsächlich Statisches existieren kann.

Darin sehe ich jetzt eigentlich nur einen Standpunktwechsel. - Wenn man beginnt, die statischen Photos eines Films abzuspielen, glaubt man Dynamik zu erkennen.

Aber in dem Fall bewegt sich auch etwas, nämlich die Filmrolle. Es bewegt sich immer etwas, zumindest im Hintergrund. Mir ist kein einziger Fall bekannt, wo irgendetwas völlig statisch wäre: Strahlung, Materie, selbst der leere Raum ist in steter fluktuierender Bewegung. Wenn hier im Universum ein Film abläuft, wer bewegt dann die Einzelbilder?
Aber vielleicht hast du Recht: Vielleicht vollziehe ich gerade wirklich einen Standpunktwechsel, denn ob das noch mit unserem Integer-Universum kompatibel wäre ist mir ungewiss.

Eher bin ich noch von dem Gedanken angetan, dass vielleicht Naturgesetze nur (evtl. emergente) "Gewohnheiten" des Universums sind, die selbststabilisierend waren, wenn erst einmal zufällig gewählt und denen es meistens/fast immer und endlich exakt folgt.

Der Gedanke hat etwas. Für die wissenschaftliche Beschreibung dürfte das jedoch einem Todesstoss gleich kommen.

Nö, warum denn? Es würde uns nur eine weitere Grenze aufzeigen, zusätzlich zu denen, die wir schon kennen. Es gäbe immer noch genügend viel zu tun. Grenzen zu kennen ist nichts Schlechtes.

Ich sehe das so:
Das Universum ist in seinem wesentlichen Kern Struktur. (Deshalb lässt es sich auch so schön mittels der Strukturwissenschaft "Mathematik" beschreiben.)
Woher soll diese Struktur ursprünglich hergekommen sein, wenn nicht aus der Strukturlosigkeit?
Strukturlosigkeit bedeutet aber völliges Chaos, Zufall, denn wäre dort irgendetwas Nicht-Zufälliges, so wäre sofort wieder Struktur vorhanden.
Ein solcher Zustand kann aber gar nicht stabil sein, weil im totalen Zufall irgendwann einmal auch zufällig etwas Nicht-Zufälliges entstehen muss, irgendwann auch einmal Struktureigenschaften, die u.a. auch die Eigenschaft haben stabil oder selbststabilisierend zu sein. Das muss so sein, weil im totalen Zufall willkürlich schlichtweg alles entstehen muss - sonst wäre er nicht total.
Die Struktur (damit sind u.a. auch die Naturgesetze gemeint), die wir heute vorfinden, kann also nur durch eine Einschränkung des ursprünglichen totalen Zufalls entstanden sein.
Wie weit diese Einschränkung/Strukturbildung in unserem Fall ging, um unser so wunderbar funktionierendes Universum zu generieren ist eine andere Frage.
Offenbar ging sie nicht so weit, dass aller Zufall in unserem Universum eliminiert wurde - deshalb gibt es die QM mit ihrer Unschärfe.

Leben wir in einem endlichen "Integer-Universum", dann muss diese Einschränkung aber weiter gegangen sein als wenn wir in einem unendlichen "Reelle-Zahlen-Universum" leben, denn die Elimination der unendlichen Genauigkeit (oder anderer Unendlichkeiten) bedeutet eine zusätzliche Einschränkung/Regel/Wahl.
Es ist aus dieser Sicht also zunächst beides möglich, wobei die R-Universen wahrscheinlicher bzw. häufiger sein müssten. Die Frage ist: Ist es für unsere Existenz notwendig, dass wir uns in einem Integer-Universum befinden oder nicht?

Grüße
seeker

[positronium]

Aber in dem Fall bewegt sich auch etwas, nämlich die Filmrolle. Es bewegt sich immer etwas, zumindest im Hintergrund. Mir ist kein einziger Fall bekannt, wo irgendetwas völlig statisch wäre: Strahlung, Materie, selbst der leere Raum ist in steter fluktuierender Bewegung. Wenn hier im Universum ein Film abläuft, wer bewegt dann die Einzelbilder?

Ja, es bewegt sich etwas. Im Endeffekt aber nur eine Variable. Durch Einführung dieser einen veränderlichen kann man aus allem dynamischen statisches machen. Allerdings braucht man vermutlich stets sowohl im statischen als auch im dynamischen Fall zumindest diese eine zusätzliche Variable, welche das Bild wechselt oder eben die Dynamik am Laufen hält - Zeit eben.

Der Gedanke hat etwas. Für die wissenschaftliche Beschreibung dürfte das jedoch einem Todesstoss gleich kommen.

Nö, warum denn? Es würde uns nur eine weitere Grenze aufzeigen, ...

Naja, diese Grenze würde bedeuten, dass man die Natur prinzipbedingt nie vollständig beschreiben können wird, und noch viel mehr würden wir auf immer komplexeres und unverständlicheres stossen. Gut, das kann man auch jetzt schon so sehen, aber ich glaube, dass in dem Fall das Fundament weit über die Statistik hinausgehend verschwommen wäre. Ich muss aber gestehen, dass ich mir darüber noch keine Gedanken gemacht habe. Diese Grundlage erscheint zumindest mir als ungreifbar - wo könnte man da mathematisch ansetzen?

Das Universum ist in seinem wesentlichen Kern Struktur. (Deshalb lässt es sich auch so schön mittels der Strukturwissenschaft "Mathematik" beschreiben.)
Woher soll diese Struktur ursprünglich hergekommen sein, wenn nicht aus der Strukturlosigkeit?

Ja, das dürfte als unbestreitbar gelten.

Strukturlosigkeit bedeutet aber völliges Chaos, Zufall, denn wäre dort irgendetwas Nicht-Zufälliges, so wäre sofort wieder Struktur vorhanden.

Das erscheint mir als die eine Alternative zum Nichts.

Ein solcher Zustand kann aber gar nicht stabil sein, ...

Das kann ich gut nachvollziehen!

Leben wir in einem endlichen "Integer-Universum", dann muss diese Einschränkung aber weiter gegangen sein als wenn wir in einem unendlichen "Reelle-Zahlen-Universum" leben, denn die Elimination der unendlichen Genauigkeit (oder anderer Unendlichkeiten) bedeutet eine zusätzliche Einschränkung/Regel/Wahl.

Das sehe ich anders: Es kann so sein, muss aber nicht. Vielleicht ist R wie in der Mathematik auch in der Natur das Produkt von Algorithmen.

Die Frage ist: Ist es für unsere Existenz notwendig, dass wir uns in einem Integer-Universum befinden oder nicht?

Das dürfte heute noch unbeantwortbar sein.

[seeker]

Na ja, jedenfalls bin ich im Moment recht zufrieden.

Nachdem ich nun also gerade die alte Frage „Warum ist überhaupt Etwas und nicht Nichts?“ gelöst habe – genauer: Nachdem ich eine für mich glaubwürdige Geschichte dazu gefunden habe, kann ich gleich noch eins draufsetzen und die andere große Frage beantworten, die damit zusammenhängt und die da lautet: „Warum ist Bewusstsein?“

Es stellt sich nach ersteren Überlegungen die Frage: Was ist eine selbststabilisierende Struktur?

Eine selbststabilisierende Struktur ist notwendig selbstbezüglich. Sie zieht sich damit also quasi am eigenen Schopf in die Existenz: Sie existiert nur für sich und relativ zu sich selbst. Damit muss die Möglichkeit zu dem, was wir „Bewusst-Sein“ nennen, das „kleine Sein“ schon im Universum, im „großen Sein“ angelegt worden sein, denn diese im totalen Chaos, in dem alles möglich war, zufällig entstandene Grundstruktur ermöglichte erst die Existenz des Universums.
D.h.: Dieselbe selbstbezügliche Grundstruktur, die das Universum ermöglichte, ermöglichte auch unsere Existenz als bewusste Wesen. Es IST dasselbe Prinzip auf unterschiedliche Größenordnungen angewendet: Was im großen Sein notwendig enthalten sein musste, musste auch als prinzipielle Möglichkeit im kleinen Sein enthalten sein. Der Rest sind Feinheiten, Chemie, Physik, Evolution und glückliche Umstände in einem passenden Universum, das oft genug würfeln konnte.

Prima! Ich geh mir jetzt zur Belohnung ein Eis kaufen und beschäftige mich dann wohl wieder mit Innenarchitektur (des Universums).

Das sehe ich anders: Es kann so sein, muss aber nicht. Vielleicht ist R wie in der Mathematik auch in der Natur das Produkt von Algorithmen.

Möglich. Aber wenn es so wäre, dann dann wird die Geschichte mit dem totalen Chaos nicht recht einleuchtend bzw. wahrscheinlich. Ein Algorithmus muss in diesem Szenario am Ende stehen (da er schon eine praktisch maximal geordnete Struktur darstellt und damit eine Struktur der fast maximalen Einschränkung), nicht am Anfang. Er wäre damit sehr sehr unwahrscheinlich für die Struktur-Basis eines Universums. Dieser Fall würde dennoch vorkommen, aber höchst selten.

Beste Grüße
seeker

[positronium]

Ich glaube nicht, dass Bewusstsein irgend etwas bedarf, was die bekannte Physik, ja sogar ein Computer nicht bereits bietet. Vielmehr stellt sich mir als ganz fundamental die Frage nach dem freien Willen.

Prima! Ich geh mir jetzt zur Belohnung ein Eis kaufen und beschäftige mich dann wohl wieder mit Innenarchitektur (des Universums).

Lass' es Dir schmecken!

Das sehe ich anders: Es kann so sein, muss aber nicht. Vielleicht ist R wie in der Mathematik auch in der Natur das Produkt von Algorithmen.

Möglich. Aber wenn es so wäre, dann dann wird die Geschichte mit dem totalen Chaos nicht recht einleuchtend bzw. wahrscheinlich.

Es käme ja darauf an, was die Essenz des Chaos wäre - mathematisch braucht es glaube ich gar nicht viel, um Algorithmen definierbar zu machen.
Wenn dieses Chaos allumfassend wäre, dann gäbe es uns zwangsläufig ja auch schon einmal oder oft, ohne selbststabilisierende Struktur.

Ein Algorithmus muss in diesem Szenario am Ende stehen (da er schon eine praktisch maximal geordnete Struktur darstellt und damit eine Struktur der fast maximalen Einschränkung), nicht am Anfang. Er wäre damit sehr sehr unwahrscheinlich für die Struktur-Basis eines Universums. Dieser Fall würde dennoch vorkommen, aber höchst selten.

Algorithmen (welche Form auch immer diese haben sollten) könnten ja gerade diese Selbststabilisierung sein - ich denke ein bisschen an DNA.

[seeker]

Ich glaube nicht, dass Bewusstsein irgend etwas bedarf, was die bekannte Physik, ja sogar ein Computer nicht bereits bietet.

Die Grundfrage die sich beim Bewusstsein stellt ist die, warum so etwas überhaupt möglich ist in unserem Universum, denn das ist die Grundvoraussetzung für alles weitere, das dagegen nur sekundäre Feinheiten darstellt. Gerne können wir davon ausgehen, dass die Physik das bietet, aber dann ist sie eben von vorne herein so gestaltet, dass das auch so ist.
Und dann fragt es sich, warum das so ist?
... und dafür habe ich hier eine Erklärung parat!

mathematisch braucht es glaube ich gar nicht viel, um Algorithmen definierbar zu machen.

Ich glaube da täuschst du dich. Denn um einen Alorithmus hinschreiben zu können muss zuvor eine ganz erhebliche Menge an Regeln/Definitionen festgelegt sein, die den Kontext festlegen, innerhalb dessen der Alorithmus überhaupt ein Alorithmus ist und funktionieren kann.
Du musst zuvor sozusagen zuerst eine fast vollständige Ordnung herstellen, bevor du überhaupt anfangen kannst.
Diese wäre aber von der Regellosigkeit maximal entfernt und daher viel unwahrscheinlicher bzw. seltener als das Auftauen einer einzigen einfachen Regel, zu der dann eine zweite Regel hinzukommt usw. Allerdings ist auch dieses Auftauchen von Alorithmen aus zuvor entstandener Ordnung hier möglich und wird daher genauso notwendig passieren.

Ich glaube, wir haben hier mit der völligen Regellosigkeit den maximal möglichen, überhaupt denkbaren Rahmen gefunden!
Und die wichtige Idee, dass dieser nicht immer und überall stabil sein kann führt zu allem weiteren. Alles Weitere ist dagegen nur sekundäre Feinheit.

Ich meine in diesem Rahmen kann schlicht alles gedacht werden(!):
Dein Vorschlag ist möglich, mein Vorschlag ist möglich und selbst Vorschläge, die zu einem zufällig erscheinenden gottähnlichen Wesen führen, das dann ein Universum erschafft sind möglich - und alles was möglich ist muss in diesem Rahmen sogar notwendig erscheinen.

Ich habe allerdings noch nicht erklärt, wie es zu dieser Selbststabilisierung kommt, weil ich das noch nicht kann.
Aber auch das ist im Prinzip nur Feinheit.
Ich kann im Moment ausführen, dass sie möglich sein muss - schon deshalb weil sie denkbar ist und auch deshalb, weil sie offenbar existiert - und das ist zunächst wichtiger.

Grüße
seeker

[positronium]

Ich glaube nicht, dass Bewusstsein irgend etwas bedarf, was die bekannte Physik, ja sogar ein Computer nicht bereits bietet.

Die Grundfrage die sich beim Bewusstsein stellt ist die, warum so etwas überhaupt möglich ist in unserem Universum, denn das ist die Grundvoraussetzung für alles weitere, das dagegen nur sekundäre Feinheiten darstellt. Gerne können wir davon ausgehen, dass die Physik das bietet, aber dann ist sie eben von vorne herein so gestaltet, dass das auch so ist.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass wir hier einer Meinung sind, nur schreibe ich das nicht dem Begriff Bewusstsein zu.
Bewusstsein ist für mich schlicht eine Rückkopplung. Ich behaupte einfach einmal, dass für eine Ameise gilt: in->A->out. Für den Menschen mit Bewusstsein sehe ich das so in+(bisherige in:out)->M->out. Das erzeugt meiner Meinung nach ein Bewusstsein für sich selbst, und bildet mit der (möglicherweise: Illusion einer) freien Entscheidungsfindung das Ich.

Und dann fragt es sich, warum das so ist?
... und dafür habe ich hier eine Erklärung parat!

Ja, wenn im vollständigen Chaos alles möglich ist, dann natürlich auch das.

mathematisch braucht es glaube ich gar nicht viel, um Algorithmen definierbar zu machen.

Ich glaube da täuschst du dich. Denn um einen Alorithmus hinschreiben zu können muss zuvor eine ganz erhebliche Menge an Regeln/Definitionen festgelegt sein, die den Kontext festlegen, innerhalb dessen der Alorithmus überhaupt ein Alorithmus ist und funktionieren kann.

Reicht vom Prinzip her nicht einfach ein Tütchen Transistoren?

Ich meine in diesem Rahmen kann schlicht alles gedacht werden(!):
...
Ich habe allerdings noch nicht erklärt, wie es zu dieser Selbststabilisierung kommt, weil ich das noch nicht kann.

Dafür muss man die Elemente des absoluten Chaos beschreiben. Ich frage mich, was los ist, wenn diese keinen Einschränkungen unterliegen. Dann wäre alles eine Dispersion unendlich vieler verschiedener Elemente, und folglich müssten die einfachen in der enormen Menge der komplexen untergehen.

[seeker]

Ok, ich denke wir sind teilweise einer Meinung.
Aber lass uns das Bewusstsein hier nicht weiter erörtern, sonst verzettelt sich das hier wirklich zu sehr.
Dafür hatten und haben wir andere Threads.

Reicht vom Prinzip her nicht einfach ein Tütchen Transistoren?

Wie viele Naturgesetze und Naturkonstanten und Anfangsbedingungen und Strukturbildungen in der darauffolgenden Entwicklung des Universums sind nötig um ein Tütchen Transistoren zu ermöglichen?
Und dann musst du sie auch noch bauen und sinnvoll zusammenfügen und also zusätzliche sekundäre Struktur erzeugen...
Da kommt eine ganze Menge an Struktur zusammen, bevor du überhaupt anfangen kannst - nicht?

Und wenn du das Problem rein theoretisch betrachtest, musst du eben erst die ganze Mathematik dahinter definieren (also auch jede Menge Struktur bilden), bevor du einen Algorithmus aufschreiben kannst, der auch ein Algorithmus ist.


Über das andere muss ich noch nachdenken.
Aber vielleicht liegst du auch in einem nicht falsch: Es ist möglich, dass selbststabilisierende Strukturen einen hohen Ordnungsgrad aufweisen müssen.
Es ist dabei vielleicht auch interessant zu sehen, dass das Universum in seiner Entstehung eine sehr niedrige Entropie, also eine hohe Ordnung gehabt haben muss.

Grüße
seeker

[positronium]

Reicht vom Prinzip her nicht einfach ein Tütchen Transistoren?

Wie viele Naturgesetze und Naturkonstanten und Anfangsbedingungen und Strukturbildungen in der darauffolgenden Entwicklung des Universums sind nötig um ein Tütchen Transistoren zu ermöglichen?
Und dann musst du sie auch noch bauen und sinnvoll zusammenfügen und also zusätzliche sekundäre Struktur erzeugen...
Da kommt eine ganze Menge an Struktur zusammen, bevor du überhaupt anfangen kannst - nicht?

Eigentlich dachte ich an die reine Logik des Transistors. Genau so gut hätte ich schreiben können, das einzige Element des Chaos könnte ein "out=in1 AND in2" sein. Oder so etwas wie ein binäres Neuron. Das Beispiel des Transistors zeigt aber angesichts unserer Computertechnik, dass wohl jede Logik damit konstruierbar ist.