Beweis für Minus mal Minus gleich Plus

[Pippen]

Mir ist klar, warum das wohl so sein muss. Mich interessiert, ob sich die Regel, dass -a * - b = c irgendwo axiomatisch ergibt oder herleitbar (beweisbar) ist. Da die Multiplikation letztlich eine Addition ist, müsste das sogar auch mit IN und Addition beweisbar sein.

[tomS]

Ohne den Beweis jemals selbst nachvollzogen zu haben sollte dies aus folgender Konstruktion ableitbar sein:

http://de.m.wikipedia.org/wiki/Ganze_Za ... hen_Zahlen

[breaker]

N enthält keine negativen Zahlen, von daher macht die Frage dort keinen Sinn.

Wenn Du glaubst, dass die reellen Zahlen einen Körper bilden, kann man es aus den Körperaxiomen herleiten.

[Pippen]

Ist ja interessant, dass es dafür keinen Standardbeweis gibt. Ich würde vermuten, dass man es aus den Ring/Körper oder wie das heißt, den die ganzen Zahlen bilden, beweisen kann.

[breaker]

Schauen wir mal, was man benötigt, um diese Aussage zu beweisen.

Ich kann dir die Aussage beweisen, wenn du mir folgende Dinge glaubst:
1. Es gibt eine Zahl 0, für die gilt 0+a=a für alle a.
2. Es gilt a*0=0 für alle a.
3. Es gibt eine Zahl 1 für die gilt 1*a=a für alle a.
4. Es gilt das Distributivgesetz a(b+c)=ab+ac.

Nun zum Beweis:
Die Zahl -1 ist per Definition diejenige Zahl, für die gilt: -1+1=0. Multiplikation dieser Gleichung mit -1 ergibt
(-1)*(-1+1)=(-1)*0.
Mit 2. und 4. von oben folgt
(-1)(-1)+(-1)=0
Jetzt noch auf beiden Seiten 1 addieren und man erhält
(-1)(-1)=1.

[Pippen]

Schauen wir mal, was man benötigt, um diese Aussage zu beweisen.

Ich kann dir die Aussage beweisen, wenn du mir folgende Dinge glaubst:
1. Es gibt eine Zahl 0, für die gilt 0+a=a für alle a.
2. Es gilt 0*a=0 für alle a.
3. Es gibt eine Zahl 1 für die gilt 1*a=a für alle a.
4. Es gilt das Distributivgesetz a(b+c)=ab+ac.

Nun zum Beweis:
Die Zahl -1 ist per Definition diejenige Zahl, für die gilt: -1+1=0. Multiplikation dieser Gleichung mit -1 ergibt
(-1)*(-1+1)=(-1)*0.
Mit 2. und 4. von oben folgt
(-1)(-1)+(-1)=0
Jetzt noch auf beiden Seiten 1 addieren und man erhält
(-1)(-1)=1.

Verdammte Sch...ist das geil, so ein Beweis! Danke! Statt '1' hätte man vllt. eine Variable wie 'a' nehmen sollten, damit er für alle Zahlen gilt, aber geschenkt. Die o.g. Voraussetzungen 1.-4. stammen von wo? Dem Ring von Z +,*?

[breaker]

Ja, alle diese Eigenschaften sind in einem Ring erfüllt. Wenn du also glaubst, dass (Z,+,*) einen Ring bildet, dann greift der obige Beweis.

[Pippen]

Wenn du den Beweis mit 'a' statt mit '1' machst, dann greift der Beweis aber wohl nicht. Wie geht das dann?

[tomS]

Du musst einfach überall 1 und -1 durch a und -a ersetzen. Zuletzt musst du jedoch a[up]2[/up] addieren.

[breaker]

Man benötigt noch die Tatsache, dass (-1)*a=-a ist, aber das lässt sich auch einfach beweisen.