Aussagen- und Prädikatenlogik sowie der gute Gödel

[Pippen]

Eigentlich müsste ja die Aussagenlogik alles darstellen können, was sich mit jeder Art von Prädikatenlogik darstellen läßt, nur sehr viel aufwendiger, denn Computer arbeiten ja letztlich mit Aussagenlogik (Boolschen Schaltungen) und können offensichtlich prädikatenlogische Aussagen 1. bis x. Stufe bilden. Wenn das aber stimmt, dann müsste doch Gödel's Unvollständigkeitssatz, der für PL höherer Stufen gilt, auch für die Aussagenlogik gelten, oder? Tut er aber nicht. Weiß jmd., wie das zusammenhängt?

[Fuzzlix]

Wenn das aber stimmt, dann müsste doch Gödel's Unvollständigkeitssatz, der für PL höherer Stufen gilt, auch für die Aussagenlogik gelten, oder? Tut er aber nicht.

Wie kommst Du denn auf die Idee?

[Pippen]

Die Frage lautet: Ist die AL, zB in Form des KNS-Kalküls oder sonst eines angeblich vollständigen und korrekten Kalküls (theoretisch), in der Lage, alle Aussagen der PL in AL-Aussagenform zu konstruieren, d.h. man könnte jede PL-Aussage, wie zB "Für mind. ein x: E(x)", auch aussagenlogisch so formulieren, dass es dasgleiche bedeutet wie in PL?

Wenn das der Fall wäre, dann müßte Gödel's Unvollständigkeitssatz auch auf die AL anwendbar sein. Denn Gödel's Theorem ist auf alle PL höherer Stufen anwendbar, wenn also mit AL diese PL-Formen darstellbar sind, dann müßte auch Gödel darauf anwendbar sein, weil damit auch AL "über sich selbst reden könnte", nur eben nicht so einfach wie in PL, sondern komplizierter.

Bsp.:

1. PL-Aussage: "Für mind. ein x: E(x)"
2. Daraus machen wir zunächst "Für mind. ein x" = a, "E(x)" = b.
3. Jetzt können wir o.g. PL-Aussage darstellen als: a & b.
4. Nun können wir aber auch problemlos festlegen: "a & b" = c und dann mit c weiterkalkulieren und so kämen wir über kurz oder lang zu Formulierungen wie: "Ich bin unbeweisbar".

Versteht ihr, was ich meine? Die AL soll ja korrekt und vollständig sein. Wenn man damit aber PL darstellen kann, dann dürfte das eigentlich nicht sein. Eine weitere fixe Idee von mir, vllt. kennt ja jmd. eine gute Antwort.

[Fuzzlix]

Die AL soll ja korrekt und vollständig sein. Wenn man damit aber PL darstellen kann, dann dürfte das eigentlich nicht sein. Eine weitere fixe Idee von mir, vllt. kennt ja jmd. eine gute Antwort.

Ich vermute einmal mit korrekt meinst Du widerspruchsfrei.

Wenn das der Fall wäre, dann müßte Gödel's Unvollständigkeitssatz auch auf die AL anwendbar sein.

Jedes Aussagensystem der Aussagenlogik ist, wenn es als vollständig angesehen wird, nicht widerspruchsfrei. Das ist jedenfalls meine Ansicht.
Sehe ich es als unvollständig an, so kann es in sich wiederspruchsfrei sein. Dann müssen aber die gegebenen Randbedingungen (Postulate, usw.) angreifbar sein.
Das trifft meine Ansicht nach auf jede Aussage bzw jedes Aussagensystem zu, egal wie ich die Aussage formuliere.

Insofern denke ich dass Deine Vermutung begründet ist.

Fuzzlix.