Komplexe Zahlen

[breaker]

Hier der neue Thread zur Konstruktion und dem praktischen Nutzen von komplexen Zahlen.
Im Moment hab ich wenig Zeit, aber heute Abend oder morgen können wir versuchen, die Konstruktion zu besprechen.

Zum praktischen Nutzen fallen mir spontan zwei Beispiele ein:
1. In der Elektronik werden viele Rechnungen sehr viel einfacher, wenn man so tut, als ob die Widerstände in einer Schaltung komplex wären. Der ganze Kalkül ist aber natürlich so gemacht, dass man am Ende nur noch reelle Zahlen da stehen hat.

2. In der Quantenmechanik sind komplexe Zahlen nicht nur praktisch, sondern unvermeidbar. Tatsächlich zwingt die Schrödingergleichung die Wellenfunktion dazu, komplexe Werte anzunehmen. In diesem Sinne sind komplexe Zahlen also tatsächlich "in der Natur realisiert".

[tomS]

das ist nur ein aus der QFT bekannter Trick (Wick-Rotation), der aber in der QG eher spekulativer Natur ist, und zu dem heute niemand mehr viel sagt ...

[breaker]

Eine weitere, rein mathematische Anwendung, die mir gerade einfällt, besteht im Residuensatz. Das ist eine Formel, die einem erlaubt, manche Integrale auszurechnen, ohne integrieren zu müssen. Das ist aber ein eher fortgeschrittenes Thema.

Eine leichtere Anwendung, an der man den Nutzen von komplexen Zahlen besser sehen kann, sind die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus. Kennst du die? Es sind die beiden Formeln

sin(x+y) = sin(x)cos(y) + sin(y)cos(x)
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)

Aufgabe: Versuch mal, die beiden Formeln zu beweisen.

[tomS]

Eine berühmte Anwendung ist der Gaußsche Fundamentalsatz der Algebra, gemäß dem jedes Polynom p(z) vom Grad Eins oder höher mindestens eine Nullstelle hat. Ein eleganter Widerspruchsbeweis ohne explizite Berechnung verwendet die Windungszahl n[down]R[/down][p] der durch p(z) mit z=R*exp(it) definierten Kurvenschar C[down]R[/down].

http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamenta ... er_Algebra
http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamenta ... _Topologie
http://de.wikipedia.org/wiki/Windungszahl

[Hawkwind]

In diesem Sinne sind komplexe Zahlen also tatsächlich "in der Natur realisiert".

Die Anführungszeichen sind berechtigt: komplexe Zahlen sind wohl eher im "Modell der Quantenmechanik implementiert" als in der "Natur realisiert".
Nicht ohne Grund werden physikalische Observable in der QM durch hermitische Operatoren dargestellt. Was man misst, sind deren Eigenwerte und die hermitischer Operatoren sind reell.

[breaker]

Das ist natürlich richtig.
Theoretisch könnte es natürlich sein, dass irgendjemand irgendwann eine Theorie findet, die äquivalent zur Quantenmechanik ist und mit ausschließlich reellen Zahlen auskommt. Aber bisher hat das noch niemand geschafft.

[tomS]

Theoretisch könnte es natürlich sein, dass irgendjemand irgendwann eine Theorie findet, die äquivalent zur Quantenmechanik ist und mit ausschließlich reellen Zahlen auskommt. Aber bisher hat das noch niemand geschafft.

Das sehe ich anders. Ich könnte mit genügend Zeit sich die gesamte QM ausschließlich im R[up]2[/up] formulieren, aber das wäre nutzlose Zeitverschwendung.

[breaker]

Ohne die komplexe Multiplikation zu verwenden? Das glaub ich nicht.

[tomS]

Klar, es wird nur wahnsinnig aufwändig

(a+ib)(*(c+id) = (ac-bd)+i(ad+bc)

ist äquivalent zu

(a,b)*(c,d) = (ac-bd,ad+bc)

Keine imaginäre Einheit, ausschließlich reelle Zahlen, Schreibaufwand bis zum Abk...

[breaker]

Damit benutzt Du komplexe Zahlen.
Komplexe Zahlen unterscheiden sich von reellen Zahlenpaaren ausschließlich durch die Zusatzstruktur, die durch die komplexe Multiplikation gegeben ist. Ansonsten sind die beiden Mengen identisch!

[tomS]

Das siehst du so (und ich auch, weil die von mir definierte Struktur natürlich isomorph zu C ist)

Aber man vermeidet "i"

[breaker]

Nein, man benennt i um in (0,1). Ich kann auch i in Hans-Peter umbenennen. Hab ich dann komplexe Zahlen vermieden?

[tomS]

nach meiner Meinung nicht wg. der Isomorphie; aber evtl. kommt Pippen besser mit 2-dim. Vektoren klar

[breaker]

Wie sind denn die komplexen Zahlen Deiner Meinung nach definiert? Die übliche Definition ist + komplexe Multiplikation.
Dass man das Paar (0,1) dann i nennt, ist reine Notation. Als Vektorräume sind und nicht nur isomorph, sondern wörtlich gleich.

[tomS]

ich sag doch gar nichts ;-)

nein, es geht nur darum, die Definition der imaginären Einheit mittels Quadratwurzel zu vermeiden; ich stimme dir aber voll zu, dass es sich strukturell um komplexe Zahlen handelt, wenn auch in einer anderen Darstellung;

Pippen soll was sagen

[Hardy]

Eine leichtere Anwendung, an der man den Nutzen von komplexen Zahlen besser sehen kann, sind die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus. Kennst du die? Es sind die beiden Formeln

sin(x+y) = sin(x)cos(y) + sin(y)cos(x)
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)

Aufgabe: Versuch mal, die beiden Formeln zu beweisen.

Ich bin neu in diesem Forum und habe mich gleich mal dieser Aufgabe gestellt.

Die genannten Formeln sind mit der Eulerschen Formel
e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x)
leicht zu beweisen.

Aus dieser Formel folgt nämlich:
cos(x) = (e^(i*x) + e^(-i*x))/2
sin(x) = (e^(i*x) - e^(-i*x))/(2*i)

Zum Beispiel werden damit die Produkte cos(x)*cos(y) und sin(x)*sin(y) auf Summen von Exponentialfunktionen zurückgeführt. Mit etwas Rechnerei erhält man das gewünschte Additionstheorem für cos(x+y). Analog verfährt man bei sin(x+y).

[seeker]

Ja, schon.
Was breaker damit m.E. rüberbringen wollte: Er wollte die Nützlichkeit der imaginären Zahlen zeigen.
Versuch mal den Beweis ohne die Verwendung von imaginären Zahlen zu führen!
Ich hab's zwar nicht probiert, aber wahrscheinlich wird's dann ziemlich aufwendig...

Beste Grüße
seeker

[Hardy]

Versuch mal den Beweis ohne die Verwendung von imaginären Zahlen zu führen!
Ich hab's zwar nicht probiert, aber wahrscheinlich wird's dann ziemlich aufwendig...

Ich hab's auch nicht probiert, seeker, habe aber mal in einem "Grossen Handbuch der Mathematik" von 1968 nachgeschlagen.
Dort werden die erwähnten Additionstheoreme mittels geometrischer Überlegungen im Einheitskreis hergeleitet:
Cosinus und Sinus sind schliesslich Projektionen des Radiusvektors auf die x- bzw. die y-Achse.
Der Beweis ist nicht so kurz wie der analytische Beweis mittels der Eulerschen Formel, er ist aber auch nicht sehr aufwendig.
Nachteilig ist, dass man verschiedene Bereiche für die beiden Winkel betrachten muss.

Ich vermute, dass die erwähnten Additionstheoreme historisch wohl zuerst geometrisch hergeleitet wurden.
Aber wie so oft in der Mathematik findet man immer wieder elegantere Beweise für den gleichen Sachverhalt.

Gruss Hardy

[Skeltek]

Ich vermute, dass die erwähnten Additionstheoreme historisch wohl zuerst geometrisch hergeleitet wurden.
Aber wie so oft in der Mathematik findet man immer wieder elegantere Beweise für den gleichen Sachverhalt.

Gruss Hardy

Es ist nur eine Kurzschreibweise für den geomerischen Zusammenhang. ich sehe an r*(cos(phi);sin(phi))^T (Vektor; transponiert) nichts besonderes, nur daß man eben der zweiten Dimenison die Einheit Äpfel oder i gibt...
Das "i" sagt uns ja nur, daß es sich um die sekundäre/vesteckte/latente Komponente handelt...

[Pippen]

Kennt jmd. eine gute Einführung in die komplexen Zahlen für Laienmathematiker wie mich? Vllt. gibt's ja was auf YT oder im Internet....

[breaker]

Das hier ist für Mathematik-Erstsemester geschrieben:
http://books.google.de/books?id=Yf8CZ_R ... &q&f=false

kann aber sein, dass das immernoch zu technisch ist. Zwischen 'blabla' und 'harter Mathematik' gibt es in der Literatur leider nicht viel...

[Skeltek]

Kennt jmd. eine gute Einführung in die komplexen Zahlen für Laienmathematiker wie mich? Vllt. gibt's ja was auf YT oder im Internet....

Die meisten gehen von komplexen Zahlen aus und erklären deren Funktionsweise, dann wird in der Regel R als Teilmenge des komplexen Zahlenraums sichtlich gemacht und dann verschiedene verhaltensgleiche Darstellungsformen dieses Mechanismus(kommt von mechanisch ^^) gezeigt.
Darauf wie man auf die komplexen Zahlen kommt wird meist aus didaktischen Gründen nicht eingegangen.

Deshalb mal grob:
Wurzeln negativer Zahlen gibt es nicht.
Man versucht eine Symmetrie zur y-Achse einzuführen, damit man auf für die negativen Zahlen Wurzeln hat.
Die Frage ist ja, welche Zahl mit sich selbst quadriert -1 ergibt und nicht was die Wurzel von -1 sei.(selbes Problem von der anderen Seite angegangen)

Wenn es mit sich selbst multipliziert -1 ergibt, kann es nicht Teil der x Achse sein, sondern muss eine versteckte zumindest Komponente haben, die nicht Teil der x Achse ist.
So wird ein Element aus R also nicht von sich selbst auf ein Element in R abgebildet; also nicht von 1-dimensional nach 1-dimensional,
sondern R wird als Ergebniss/Norm eines zweidimensionalen Raumes bzw als Rechenergebniss einer Formel mit zwei Argumenten gesehen.
Also
K1: (a *1 + b *i) sei die Wurzel aus x; wobei a die echte Komponente des Vektors(Realteil, nicht! Reelteil) und b die versteckte Komponente des Vektors(Imaginärteil, nicht existent, nur gedacht) ist.
Nun sucht man:
K2: (a *1 + b *i)(a *1 + b *i)=x
K3: a*1*a*1 + a*1*b*i + b*i*a*1 + b*i*b*i =[Kommutativität ist zunächst nicht gegeben, setze das mal als gewollte Eigenschaft voraus]= a²+2a*bi+(b*i)²

Die komplexen Zahlen kann mal also als einen zweidimensionalen Vektor auffassen, dessen Achseneinheiten wir nicht mit Meter, Volt, oder Liter auffassen, sondern die Einheiten [1] und haben.(so wie [Äpfel] und [Birnen].
Eine Zahl kann man also hier als Vektor auffassen mit den Komponenten
K4: a*(1,0)^T+b*(0,i)^T ;T steht hier für transponiert, soll ein Spaltenvektor sein.

Durch K5: 1=a²+2ab+(bi)² und gewollten Symmetriegründen kommen wir auf K6: (+/-i)²=1. <-Sorry, hier hab ich etwas abgekürzt.

Wenn man das ganze aufzeichnet erkennt man:
(a+bi)*(c+di)= ac+adi+bci+bdi²=ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i

Es ist durch Rechnung schnell erkennbar, daß sich beim Multiplizieren zweier komplexer Zahlen die Beträge multiplizieren und die Winkel zur x-Achse addieren.

Habe leider net so die Zeit das ausführlicher mit Bildchen und so zu machen.
Schönen Gruß und ich hoffe es hilft eingeschränkt

[Pippen]

Breaker's Link hat mir glaube ich geholfen. Komplexe Zahlen sind also nichts anderes als ein Paar reeller Zahlen a, b. Durch die Multiplikationsregeln für so ein Paar kann man ausrechnen, dass für einen bestimmten Fall, nämlich a= (1,0) gilt: a*a= -1. Diesen speziellen Fall nennt man "i", d.h. i²= -1, und stellt dann die Zahl als "a+bi" dar. Jetzt frage ich mich aber: Warum macht man das überhaupt? Das verwirrt doch nur, es wäre mE viel einleuchtender, eine komplexe Zahl als reelles Zahlenpaar a,b aufzufassen, welches nach bestimmten Rechenregeln verknüpft werden kann...und basta. Da braucht man doch gar keine Imaginäranteil mehr.

[Skeltek]

Und wie willst du verhindern dass jemand a+b rechnet? Ein "i" geht viel einfacher als ständig nen Vektor aufzuschreiben.

[breaker]

Komplexe Zahlen sind also nichts anderes als ein Paar reeller Zahlen a, b. Durch die Multiplikationsregeln für so ein Paar kann man ausrechnen, dass für einen bestimmten Fall, nämlich a= (1,0) gilt: a*a= -1. Diesen speziellen Fall nennt man "i", d.h. i²= -1, und stellt dann die Zahl als "a+bi" dar.

Das ist genau 100% richtig.

Warum macht man das überhaupt?

Die Schreibweise "a+bi" ist in vielen Situationen übersichtlicher. Versuch mal, die Gleichung

nach aufzulösen. Das wird recht unübersichtlich, wenn man es mit Zahlenpaaren schreibt.
Und diese Gleichung ist noch sehr einfach...