Inkonsequenter Gödel?

[Pippen]

Gödel konstruiert ein System, aus dem der Satz (S) "Ich bin unbeweisbar" abgeleitet werden kann. Dadurch kann Gödel sagen: Entweder ist dieses System unvollständig - wenn S tatsächlich unbeweisbar ist - oder es ist inkonsistent - wenn (der unbeweisbare) S beweisbar wäre. Soweit so gut. Jetzt komme ich und sage: Ok, Gödel, es gibt aber noch andere math. Sätze in deinem System, die du gödelisieren und dann ableiten kannst, zB den Satz: S ist beweisbar. Das wäre keine Widerspruch, denn: "'Ich bin unbeweisbar' ist beweisbar" handelt von zwei verschiedenen Beweisebenen. Wieso stoppt Gödel seine Gödelisierung und Diagonalisierung bei einfachen Termen und Beweisaussagen und nimmt nicht auch noch weitere Ebenen hinzu - genug Zahlen für's chiffrieren hätte er ja gehabt^^. Dadurch kann Gödel seine Unvollständigkeitssätz natürlich vergessen. War das der Grund? Denn dann wäre (wg. der unendlichen Metaebenen) unentscheidbar, ob S beweisbar oder unbeweisbar wäre und damit könnte Gödel kein Beweisergebnis präsentieren....

ME ist Gödel's Verhalten inkonsequent. Das ist als wenn man statt aller nat. Zahlen nur die ersten 1000 nimmt, um etwas für N zu beweisen. Er hätte wirklich alle möglichen Aussagen des System gödelisieren müssen...dann aber kann er keine Aussage der Form "Ich bin unbeweisbar" ableiten, weil schon feststeht, dass es auf einer höheren Ebene die Aussage "Ich bin unbeweisbar ist beweisbar" geben muss...da das dann unendlich so weitergeht, wäre seinem Beweisversuch "die Luft ausgegangen"....

[tomS]

ME ist Gödel's Verhalten inkonsequent. ... Er hätte wirklich alle möglichen Aussagen des System gödelisieren müssen

Gödel hat ein Verfahren konstruiert, das alle wohlgeformten Sätze gödelisieren kann innerhalb eines gegebenen Systems. Das ist ausreichend.

... dann aber kann er keine Aussage der Form "Ich bin unbeweisbar" ableiten, weil schon feststeht, dass es auf einer höheren Ebene die Aussage "Ich bin unbeweisbar ist beweisbar" geben muss...

Aber die "höhere Ebene" entspricht einer Systemerweiterung, erfordert ein neues Gödelisierungsverfahren, und liefert damit einen neuen Gödelsatz.

Die wesentliche Erkenntnis ist, dass ein Gödelisierungsverfahren auf genau ein System bezogen ist und nicht aus diesem heraustreten kann. Du kannst das sehr wohl, d.h. du erkennst diese Beschränkung, du weißt, dass auf einer höheren Ebene neue Aussagen ins Spiel kommen.

Gödel war das natürlich bewusst, er war also nicht inkonsequent. Seine Methode gilt für ein beliebiges formales System (auf jeder beliebigen Ebene), aber eben immer für genau ein System. D.h. auch, dass ein Gödelsatz immer nur der der Gödelsatz des gerade betrachteten Systems ist, nicht zwingend auch der eines anderen.

[Skeltek]

Soweit ich es verstanden habe (es gibt ja sicherlich mehrere Anschauungsarten desselben Konstruktes), ist sowohl ein formales Aussagensystem als auch sein Komplementär widerspruchsfrei.
Man muss zwischen Wahrheitsgehalt/Widerspruchsfreiheit der Aussagen und dem damit verbundenen System an Implikationen trennen.
Ich versuche mal ultrakurz zu fassen wie ich es vertsanden habe:

1.Ebene:
"A ist wahr" <-elementare Aussage
"Dieser Satz ist wahr" kann z.B. sowohl wahr als auch falsch sein.
"Dieser Satz ist falsch" ist widersprüchlich
2.Ebene:
"Wenn Satz A, dann Satz B" <- ist eine Implikation, also keine elementare Aussage.
"Dieser Satz impliziert seinen eigenen Wahrheitsgehalt" <- Aussage wie oben auf 1.Ebene, nur auf einer höheren Stufe
"Dieser Satz impliziert sich nicht selbst" <- Widerspruch wie oben, nur auf höherer Stufe

Wie man sieht führt weder die elementare Selbstrefferenz einer Aussage noch die höherwertige Selbstrefferenz einer Implikation zu einem Widerspruch, wenn man ihnen Wahrheitsgehalt zuordnet oder abstreitet.
Gödel hat gezeigt, daß nicht nur Axiome eines Systems sondern auch der Wahrheitsgehalt eines Teils der Menge der überabzählbar vielen möglichen rekursiv konstruierbaren Implikationen nicht beweisbar sind.

Kann man diese Erklärung so stehen lassen?

[tomS]

Gödel hat gezeigt, daß nicht nur Axiome eines Systems sondern auch der Wahrheitsgehalt eines Teils der Menge der überabzählbar vielen möglichen rekursiv konstruierbaren Implikationen nicht beweisbar sind.

Ich würde das gerne etwas modifizieren.

Gödel hat gezeigt, daß nicht nur Axiome eines Systems sondern auch der Wahrheitsgehalt eines Teils der Menge der prinzipiell aufzählbaren Aussagen nicht beweisbar sind.

Was habe ich geändert?
- es geht nicht um konstruierbare Implikationen (dies wären im Sinne von Göldel beweisbare Sätze; zumindest könnte man es so verstehen)
- sondern es geht um rein formal (also syntaktisch / grammatikalisch) gültige Aussagen
- diese Menge ist m.E. abzählbar (da die Gödelnummern abzählbar sind)

Kurz: die Menge der wahren Sätze ist echt größer als die der beweisbaren Sätze (wobei es zu dieser Erkenntnisse einer Metabene bedarf).

[Fuzzlix]

Gödel hat gezeigt, daß nicht nur Axiome eines Systems sondern auch der Wahrheitsgehalt eines Teils der Menge der prinzipiell aufzählbaren Aussagen nicht beweisbar sind.

Und da das ganze Aussagensystem auch nur ein Teilsystem eines noch größeren Aussagensystemes ist, ist es auch nicht beweisbar.
Oder anders: Keine Aussage ist in sich beweisbar. Ich brauche immer einen externen Bezug.
Damit ist jede Aussage (mindestens ein kleines Quäntchen) widersprüchlich.

[tomS]

Keine Aussage ist in sich beweisbar. Ich brauche immer einen externen Bezug.

Nein, du brauchst keinen externen Bezug, sondern nur ein Axiomensystem (das ist aber kein externer Bezug). Die Aussage 2*3 = 6 ist auf Basis der Peano-Axiome beweisbar.

[Fuzzlix]

Keine Aussage ist in sich beweisbar. Ich brauche immer einen externen Bezug.

Nein, du brauchst keinen externen Bezug, sondern nur ein Axiomensystem (das ist aber kein externer Bezug). Die Aussage 2*3 = 6 ist auf Basis der Peano-Axiome beweisbar.

Ich habe mit Absicht nur Bezug und nicht Bezugs-Punkt oder -Objekt oder Beobachter geschrieben. All diese Begriffe (und anscheinend auch der Begriff "Bezug") sind zu speziell. Das zu Grunde liegende Prinzip ist meiner Ansicht nach viel allgemeiner und grundlegender. Du brauchst die Peano-Axiome damit Deine Formel als gültig geprüft werden kann. Zur Beschreibung irgendwelcher Objekte brauchst Du allgemein anerkannte externe Normale. usw. Und wenn Du nur eine Beziehung zwischen zwei irgendwas inmitten von nichts hast, so musst Du dieser Beziehung eine zeitartige Dimension einschreiben, nur damit die erstgenannte Beziehung irgendwas hat, an dem sie sich "festhalten" kann, sprich: zu dem sie in Relation gesetzt werden kann.
Genau deswegen habe ich als erstes geschrieben: "Zu allem benötigt es zwei."
Was das Zweite ist, hängt dann vom jeweiligen Einzelfall ab.
Kannst Du eine Fachfrage eines Deiner Kollegen nicht beantworten so sagst Du vielleicht: "Das kommt auf die Randbedingungen an." oder "Dazu fehlt mir noch dieunddie Information."

Insofern hat Gödel (nur) bewiesen, was wir tagtäglich und nicht nur in der Mathematik beobachten können.

viele Grüße.
Fuzzlix.

[Skeltek]

Kurz: die Menge der wahren Sätze ist echt größer als die der beweisbaren Sätze (wobei es zu dieser Erkenntnisse einer Metabene bedarf).

Oh Gott nein(Glaube ich jetzt jedenfalls stark).
Die Sätze um die es geht haben gar keinen Wahrheitsgehalt(weder wahr noch falsch beweisbar)

"Dieser Satz ist nicht herleitbar" ist soweit ich verstanden habe ein "abgekoppeltes" selbstimplikatives Aussagensystem.
Der Kniff an der Sache ist:
Es gibt glaube ich im "Gödeluniversum" mehrere syntaktisch unterschiedliche Sätze mit derselben Semantik.

Vereinfacht:
"Ich bin wahr" <- syntaktische Formulierung A
"Ich bin wahr" <- syntaktische Formulierung B
haben dieselbe Semantik aber anderen Syntax.
Es gibt überabzählbar viele "Äste" in denen selbstbezügliche Aussagen mit derselben Semantik stehen, die alle weder wahr noch falsch sind.

Man muss auch trennen zwischen sematischer und syntaktischer Herleitbarkeit; sollte diese nicht verwechseln.
"Ich bin beweisbar" <- Wahrheitsgehalt nicht beweisbar, Syntax eideutig
"Ich bin nicht formulierbar" <- syntaktisch nicht beweisbar, Wahrheitsgehalt eindeutig
"Ich bin herleitbar" ist eine Entkopplung von semantischer und syntaktischer Konstruier- bzw Herleitbarkeit, die durch den Trick mit dem Rekursionsprinzip mithilfe eines symbolischen Platzhalters für die eigene Gödelnummer ermöglicht wurde.
Hierdurch werden Sätze syntaktisch konstruierbar, die semantisch nicht konstruierbar/herleitbar/beweisbar sind.
Die Graphen von syntaktisch und semantisch konstruierbaren Aussagensystemen werden entkoppelt, wodurch der syntaktische "Baum" durch Rekursionsmöglichkeit mächtiger wird als der semantisch konstruierte.
Es ist nun ein Fehler des Menschen, syntaktisch konstruierbaren Sätzen ohne Wahrheitsgehalt(weder wahr noch falsch aber widerspruchsfrei) einen Sinn zuordnen zu wollen.

Insoweit schließt sich der Kreis indem man nun erkennt, daß die "Äste" unbeweisbarer Aussagen sich wie Axiome verhalten, die ihr eigenes Aussagensystem aufspannen und in sich selbst nicht beweisbar sind(genauso wie eine Elementare Annahme über ein Axiom "A ist wahr").

Hoffe das ist halbwegs verständlich und übernehme auch keine Garantie daß meine Interpretation nun richtig ist.

Schönen Gruß, Skel

[tomS]

So ist das nicht.

Es ist zwar richtig, dass zunächst nur formal (syntaktisch) gültige Aussagen betrachtet werden und diese nicht beweisbar bzw. nicht wahr sein müssen.

Aber speziell mit dem Gödelsatz selbst ist das anders:

Zum ersten ist der Gödelsatz unbeweisbar, vorausgesetzt das Axiomensystem ist nicht widerspruchsfrei.
Zum zweiten ist der Gödelsatz ein formal gültiger Satz, d.h. er ist Bestandteil des Systems.
Da der Gödelsatz seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet, besteht die einzige Möglichkeit für Widerspruchsfreiheit darin, dass er wahr ist. Und da er wahr ist, und seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet, muss er unbeweisbar sein.

D.h. wir haben explizit einen wahren, unbeweisbaren Satz. Um das zu erkennen, müssen wir aber aus dem gödelisieren System heraustreten.

Kurz: die Menge der wahren Sätze ist echt größer als die der beweisbaren Sätze (wobei es zu dieser Erkenntnisse einer Metabene bedarf).

[Skeltek]

Kurz: die Menge der wahren Sätze ist echt größer als die der beweisbaren Sätze (wobei es zu dieser Erkenntnisse einer Metabene bedarf).

Muss es nicht heißen "die Menge der unentscheidbaren Sätze ist echt größer als die der beweisbaren Sätze"?

Der Satz und der Zusatz auf sich selbst anwendbar zu sein sind zwei Aussagen; vielleicht ergibt auch nur die Verknüpfung keinen Sinn, nur die beiden Aussagen getrennt.

"Ich bin nicht beweisbar" heißt ja übersetzt:
"Ich bin weder wahr noch falsch" ist auch kein boolscher Ausdruck. Dem kannst du mit brechen und biegen weder wahr noch falsch zuordnen >.>
Und "Ich bin sowohl wahr als auch falsch" ist widersprüchlich.

"Zum ersten ist der Gödelsatz unbeweisbar, vorausgesetzt das Axiomensystem ist nicht widerspruchsfrei."
Anders formuliert sagst du: "Wenn Axiomensystem widersprüchlich, ist er unbeweisbar"?
Es wäre kein Widerspruch, wenn beweisbar wäre, der Gödelsatz sei falsch; du hast den Punkt weggelassen.
Ordnet man analog dem Satz "Ich bin wahr" einen falschen Wahrheitsgehalt zu ist das noch lange kein Widerspruch!
Es geht um die Widerspruchsfreiheit des übergeordneten Implikationensystems, nicht der Aussage.

Da der Gödelsatz seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet, besteht die einzige Möglichkeit für Widerspruchsfreiheit darin, dass er wahr ist.

Glaube du meintest hier eher:
Da der Gödelsatz seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet, besteht die einzige Möglichkeit für Wahrheitsgehalt darin, dass er widerspruchsfrei ist.

Es ist keine Kunst zu beweisen, daß für etwas kein Beweis existiert.
Die Unmöglichkeit kommt erst wenn man versucht zu beweisen, daß eine wahre Aussage nicht beweisbar ist.

[tomS]

Nee, ich denke, da geht einiges durcheinander.

Der Gödelsatz ist innerhalb des Axiomensystems unbeweisbar. Von außerhalb betrachtet, und unter Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit des Axiomensystems muss der Gödelsatz jedoch wahr sein. Insofern ist er wahr, jedoch ist diese Wahrheit innerhalb des Axiomensystems nicht ableitbar bzw. beweisbar.

Und dann muss ich mich für ein falsches "nicht" entschuldigen. Richtig muss es heißen:

Zum ersten ist der Gödelsatz unbeweisbar, vorausgesetzt das Axiomensystem ist widerspruchsfrei ["nicht" gelöscht].
Zum zweiten ist der Gödelsatz ein formal gültiger Satz, d.h. er ist Bestandteil des Systems.
Da der Gödelsatz seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet, besteht die einzige Möglichkeit für Widerspruchsfreiheit darin, dass er wahr ist [externe Perspektive]. Und da er wahr ist, und seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet, muss er unbeweisbar sein [interne Perspektive].

Es tut mir leid, dass ich da zwischen den Ebenen springe, aber nur dadurch kommt der eigtl. Witz der Aussage zustande.

[Skeltek]

Hatte einen sehr lange Text gelösch und ersetze nun mit Java:

public boolean nichtBerechenbar(){
if (nichtBerechenbar()==true) return false;
else return true;
}
Wie zum Henker willst du da die Rekursion anfangen? Das ist völlig schwachsinnig rekursiv.
Der Satz mag ja mathematisch perfekt ausformuliert sein, allerdings stellt sich die Frage ob es sinnvoll ist eine Aussage etwas über sich selbst aussagen zu lassen.
Es sollte ja denke ich bereits etwas da sein auf das man sich bezieht. Bei selbstimplizierenden Aussagen ist das nicht der Fall.
Zwei Personen können auch nicht behaupten daß der jeweils andere lügt wenn dieser noch nicht einmal den Mund aufgemacht hat.

Das kommt mir vor, als würde man bei der Konstruktion der ganzen Zahlen anstelle bei "1" stattdessen "in der Mitte" anfangen und dann versuchen zu zeigen, daß die Zahl größer 0 sei.
Das mag wahr sein, aber man kommt rekursiv 1 subtrahierend kleinere Zahlen konstruierend nie bei der Null an, man weiss ja nicht einmal wo man angefangen hat.

[Fuzzlix]

public boolean nichtBerechenbar(){
if (nichtBerechenbar()==true) return false;
else return true;
}

Ich denke, Du hast den Trick gefunden. Genau so funktioniert es. Du hast einfach keine Möglichkeit die Falschheit der zu überprüfenden Aussage nachzuweisen. Dieser Nachweis bräuchte einfach zu lange und ist damit (zumindest kurzzeitig) nicht durchführbar.

Fuzzlix.

[tomS]

Gödel konstruiert eine Aussage mit einer freien Variablen, wobei er für diese freien Variablen dann die Gödelnummer der Aussage einsetzt.

[Skeltek]

Das ist klar.
Man kennt ja die Phrase
n € N
so auch
b € B; mit B={(false),(true)}

Gödels Formulierung entspricht einer Funktion herleitbar(b)
Er setzt herleitbar(b):=false, wobei er der Variablen b einen Wahrheitsgehalt zuordnet und nicht dem Element aus B, für das diese steht.
Somit ist bei ihm nicht B={(false),(true)} sondern B={(b]}, wobei das b € B zwar Sinn ergibt, aber die Formel herleitbar(b) keinen Sinn ergibt, da diese nur auf (true) oder (false) anwendbar bleibt...
Implikativ richtig, syntaktisch falsch, semantisch ohne Wertigkeit.

Möchte hier jetzt nicht missverstanden werden.
Ich behaupte nicht daß der Unvollständigkeitssatz falsch ist sondern lediglich, daß es genauso wie beim Auswahlaxiom in R eine philosophische Frage ist, ob man Selbstimplizierende Strukturen für sinnig erachtet oder nicht.

[Pippen]

Gödel hat ein Verfahren konstruiert, das alle wohlgeformten Sätze gödelisieren kann innerhalb eines gegebenen Systems. Das ist ausreichend.

Dann kann Gödel aber nicht über formale Systeme im Allgemeinen urteilen. Gegeben ein (offenes) formales System mit unendlichen Beweisebenen, wo man also quasi zB formalisieren kann: 1+1=2, (1+1=2) ist beweisbar, ((1+1=2) ist bewiesbar) ist beweisbar,... wäre Gödel's Unvollständigkeitsaussage unanwendbar. So ein System ist analog mit einer Art Induktionsprinzip leicht auf die Beine zu stellen....

[Pippen]

Vllt. nochml konkret zu meinem Vorwurf an Gödel:

Kurt konstruiert folgenden Satz (Gödelsatz): "p1: ~BEWEIS(p1)". Es ist nun nicht einzusehen, warum (unter der Annahme des Konsistenz des Systems) nicht auch folgender Satz (Übergödelsatz) konstruierbar wäre: "p2: BEWEIS (~BEWEIS(p1)". In einem rein formalen System wie der PM wären beide Satze ohnehin nur Formeln aus Zeichen und Zahlenreihen, es gäbe da keine Beschränkungen nach dem Motto: über den Beweis eines Beweises lässt sich nicht sprechen. Wieso soll gerade der Gödelsatz konstruierbar sein, der Übergödelsatz aber nicht mehr? Das erscheint mir als willkürliches Aufhören....

[tomS]

Ich habe nicht gesagt, dass Gödel Sätze konstruiert hat, sondern ein Verfahren.

Und ich habe auch nicht gesagt, das er Sätze konstruiert, ableitet, beweist, sondern dass sein Verfahren wohlgeformte Sätze (also syntaktisch korrekte jedoch nicht unbedingt logisch richtige Sätze) gödelisieren bzw. formulieren kann. Das Gödelisierungsverfahren liefert jeweils eine Gödelnummer für die Sätze "1+1=2" sowie "1+1=3", jedoch nicht für "08€&@:€3678". Über Wahrheit oder Beweisbarkeit wird da noch nichts gesagt.

[Skeltek]

Eine konstruierte Arithmetik über einem nicht konstruierbaren Körper also?
Ja, die kann logisch, widerspruchsfrei sein. Mich störte nur die die Anwendung des Wahrheitsbegriffs darauf, da hier nicht anwendbar.
Eine Existenz- oder Nichtexistenzaussage über ein x hat ja auch nur Sinn wenn man vorher eine Menge festlegt "in die man sich danach umsieht" bevor man entscheiden kann ob es existiert.

[tomS]

verstehe ich nicht

[Skeltek]

Ich meinte du hast normalerweise eine Menge mit darauf definierten Relationen, die sich normal aus der Konstruktionsvorschrift ergeben.
Die daraus ableitbaren Aussagen in Form von Implikationen bilden eine mächtigere überabzählbare Menge.

Die Grundmenge die Gödel jedoch verwendet besteht aus einer konstruierbaren Grundmenge und einer Menge aus nicht herleitbaren Implikationen.
Wendet man letztere auf sich selbst an, hat man einen ganzen "Ast" an Aussagen die weder wahr noch falsch sind.
Daß "falsch" zu einem Widerspruch führen würde, bedeutet nicht, daß "wahr" gegeben ist.
Es gibt bei der Auswertung des Wahrheitsgehaltes als Lösungsmenge M={ wahr,falsch,{ } }
Da falsch einen Widerspruch herbeiführt, bleiben leere Menge und wahr als Möglichkeiten übrig.

(wahr)=>(nicht falsch) und (falsch)=>(nicht wahr) kann man verwenden.
Was ich sagen wollte ist, daß die Verwendung der Implikation (nicht falsch) => (wahr) hier falsch ist, da es sich in der oberen Zeile um Implikationen und nicht uzm Äquivalenzpfeile handelt.

Die Bewertung (nicht falsch) => (wahr) erfolgt aus einem übergeordneten System, womit man das eigentliche Problem unbemerkt(!) auslagert und tut als wäre es keins.
Das "Prinzip der Zweiwertigkeit" ist hier nicht anwendbar, der "Satz vom ausgeschlossenen Dritten" andererseits wird hier durch das übergeordnete System(also durch uns) einfach illegal als Axiom hineininterpretiert.
Es handelt sich beim Aussagensystem von Gödel über seiner Menge nicht um eine zweiwertige Logig, was er ja selbst gezeigt aber nicht explizit gesagt hat.

Man muss sich bewusst machen, daß das Prinzip der Zweiwertigkeit und der Satz vom ausgeschlossenen Dritten grundsätzlich nicht dasselbe aussagen.