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Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 13. Jan 2014, 23:55
von Maclane
Hallo Leute,

ich war schon lange nicht mehr hier (bin grad voll mit Studium ausgelastet) - sorry dafür.
Aber ich bin jüngst über etwas gestolpert, das mir wirklich den Kopf verdreht.
Und zwar hier:
http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww
Und hier:
http://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8FGk

Es behaupten (und beweisen) dort Leute, dass



Wow! ;?

Und das sind ja auch nicht irgendwelche Esoteriker sondern renommierte Physiker von der Nottingham University.

Können die Experten hier im Forum diese Aussage bestätigen?
Gibt es wirklich physikalische Anwendungen für diese Formel (abseits der String-Theorie)?
Und falls es wahr sein sollte, gibt es irgendeinen Weg, diese Aussage mit einem menschlichen Gehirn zu begreifen?
Mich haut das jedenfalls von den Socken.

Als ich meinen Kommilitonen davon erzählt habe, haben die mich erstmal alle ausgelacht. :lol:

Liebe Grüße

Mac

Re: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 14. Jan 2014, 00:17
von Skeltek
Ja klar, wenn man
S=1+2+3+4+5+6+...
umformt in:
S2=1-1+6+4+5+6+7+8+...
S3=1-1+1+9+5+6+7+8+...
S4=1-1+1-1+15+6+7+8+...
S6=1-1+1-1+1+20+7+8+...
S5=1-1+1-1+1-1+1-1+........+1098389489484948988585+...
Se=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+......+unendlich
hat man vorne ne Null und die Summe schiebt man ins unendliche weg.

Man hat ja auch keine Schulden wenn man sie nie zurückzahlen muss.
Das ist genauso wie einen Kredit mit 30% Sollzinsen aufnehmen und ihn nach unendlich langer Zeit erst zurückzahlen müssen(also niemals zurückzahlen müssen); dann hat man in der Praxis auch keine Schulden(keine Rückzahlungspflicht nach ehndlicher Zeit=keine Rückzahlungspflicht).
Das ist absoluter Quatsch und ich bin mir gar nicht mal so sicher ob das Video nicht als Aprilscherz oder als Veräppelung des gezeigten Buches dienen sollte...

Re: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 14. Jan 2014, 00:31
von tomS
Ganz so einfach ist es nicht. Wenn man die Summe so hinschreibt, dann ist die unendlich. Wenn man jedoch weiß, dass die eigentlich aus der Zetafunktion stammt, dann kann man folgern, dass sie eigtl. einen endlichen Wert haben sollte.

http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_funct ... larization

Re: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 14. Jan 2014, 00:53
von Skeltek
Was hat eine komplex alternierende Folge mit einer bestimmt divergierenden Folge zu tun?

Re: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 14. Jan 2014, 07:04
von tomS

Re: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 14. Jan 2014, 11:46
von breaker
TomS hat geschrieben:Wenn man jedoch weiß, dass die eigentlich aus der Zetafunktion stammt, dann kann man folgern, dass sie eigtl. einen endlichen Wert haben sollte.
Das ist aber SEHR verkürzt formuliert.

Die Summe ist unendlich. Punkt. Daran gibt es nichts zu rütteln. Daher ist streng genommen die Formel

falsch.

ABER:
Diese Formel ist nur eine verkürzte Schreibweise für einen Prozess, den die Physiker als Regularisierung bezeichnen. Grob gesagt bedeutet Regularisierung, etwas unendliches endlich zu machen. Die obige Formel hat speziell in der Stringtheorie eine Anwendung. Dort rechnet man (wie auch überall sonst in der theoretischen Physik) relativ sorglos mit unendlichen Reihen herum ohne sich wirklich dafür zu interessieren, ob sie konvergieren und irgendwann stößt man auf den Ausdruck
.
Und dann ärgert man sich, weil das unendlich ist, was bedeutet, dass man wahrscheinlich irgendwo zu schlampig war. Eine gründliche Analyse führt dann zu der Erkenntnis, dass man, wenn man sorgfältiger gerechnet hätte, nicht auf die obige divergente Reihe gekommen wäre, sondern auf
.
Hierbei bezeichnet die Riemann'sche Zetafunktion. Diese ist in der komplexen Ebene für Re(s)>1 definiert durch die Reihe
.
Formal (d.h. wenn die Zetafunktion auch für Re(s)<1 durch diese Reihe gegeben wäre) erhält man dann . Tatsächlich ist die Zetafunktion für Re(s)<1 aber nicht durch diese Reihe definiert (denn die divergiert ja), sondern als analytische Fortsetzung (http://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Fortsetzung). Der tatsächliche Wert der Zetafunktion bei -1 ist .

Physiker schreiben die Gleichung aber gerne formal als .

Re: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 14. Jan 2014, 13:02
von Maclane
Danke breaker, gute Antwort. Der kann ich sogar folgen. :)

Es ist also bei

1+2+3+4+5+... = -1/12

nicht die rechte Seite falsch, sondern die linke (...sozusagen).

Dann sollte man sich aber wirklich an die richtigere Schreibweise halten und nicht die Laien mit solchen Aussagen verwirren, oder?

Wenn man die Hintergründe nicht kennt, muss es ja zu Missverständnissen kommen. ;)

Nun gut, ich könnte mir vorstellen, dass Numberphile da demnächst noch ein Video nachschieben wird, um das für alle aufzuklären.

Hachja...die Physiker... sind schon lustig. :)

Gruß Mac

Re: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 14. Jan 2014, 19:03
von breaker
Ich hab mir grad eines der Videos angeschaut, die Du verlinkt hast. Die Leute darin lügen schamlos. Das sind irgendwelche Physiker, die wahrscheinlich nicht wirklich viel Ahnung von Mathe haben und einfach IRGENDWELCHE Manipulationen an unendlichen Reihen vornehmen, die mathematisch nicht erlaubt sind und tun dann noch so, als ob das etwas ganz tolles und geniales wäre.
Mit den Methoden, die diese Leute dort verwenden, kann man praktisch jeden Blödsinn beweisen, den man will.

Ich unterstelle, dass diese Videos nicht geeignet sind, um etwas über Mathematik zu lernen.

Re: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 14. Jan 2014, 20:15
von Maclane
Eben!
Mir kam das ja auch komisch vor.
Kennt doch jeder diese Youtube-Videos, wo Leute "beweisen", dass 1+1=3 ist oder sowas. Da finde sogar ich den Fehler (manchmal :D).

Aber die Kanäle vom Brady (Numberphile für Mathematik, Sixty Symbols für Physik, DeepSkyVideos für Astronomie, Periodic Table für Chemie und Computerphile für IT), die sind sonst eigentlich ziemlich gut und seriös. Die schau ich schon seit zwei Jahren. Vielleicht ging ihm ja das Geld aus, und er brauchte neue Klicks. :D

Ich glaub, letztlich ist das wie beim Herrn Prof. Lesch. Der hat auch viele Fans. Und gleichzeitig jede Menge Leute, die ihm vorwerfen, was er sagt sei oft sachlich und fachlich nicht korrekt.

Ich selbst werde mich jedenfalls in Zukunft zurückhalten, diese Summe mit -1/12 weiter zu verbreiten. ;)
Fachleute können darüber ihre Witze machen (so wie wir IT'ler auch unsere Insider-Jokes haben), aber vor laienhaftem Publikum ist das nur Effekthascherei. Sollte man vielleicht besser unterlassen.
Obwohl... andererseits.... den einen oder anderen regt es ja vielleicht zum Nachdenken und Recherchieren an. ;)

Ich sag jedenfalls nochmal Danke für die gute Erklärung. :beer:

Gruß

Mac

Re: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 14. Jan 2014, 22:33
von tomS
Man kann die Zetafunktionstegularisierung in bestimmten Fällen exakt definieren; und man verwendet das nicht nur im Rahmen der Stringtheorie.

Ob irgendwelche YouTube-Videos da relevant sind, mag ich nicht kommentieren.

Re: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 17. Apr 2014, 09:26
von deltaxp
so wie ich das sehe, hat breaker das exakt getroffen. das das in den youtube videos etwas vereinfacht gehandelt wird mag an der zielgruppe für dieses video leigen, denen funktionentheorie nicht soviel sagt (bei mir ist das auch schon sehr lange her^^).

aber der kern ist in der tat soweit ich weiss wirklich die regularisierung, die tritt in der physik häufiger auf.
im zusammenhang mit der stringtheorie, tritt dieser term glaub ich auf bei der betrachtung relativistischer strings. da sich die schlecht beschreiben lassen macht man nen trick: den sogenannten infinite momentum frame. man boostet den string mit unendlichen impuls in sagen eine richtung und betrachtet ihn aus dem ruhe frame. aufgrund der zeitdilation kann man dann sehen, dass sich die schwingungen des strings (senkrecht zur bewegungsachse) dann wieder mit dem klassischen formeln nichtrelativistischer strings beschreiben lassen (und die bewegungsrichtung ist sowieso zusammenkontrahiert mit der längenkontraktion). diesen infinite momentum frame begegnet man häufiger in der hochenergiephysik. aufgrund der nunmehr möglichen klassischen beschreibung der transversal schwingungen kriegtn man halt analytisch auch gut was raus, nur dummerweise bleibt da halt sowas wie diese s summe über n übrig und damit ein unendlicher energiebeitrag hängen, nämlich der von dem infinite momentum. das ist die von breaker genannte "schlamperei". diese künstlich eingeführte unendlichkeit muß man wieder loswerden, denn so wird argumentiert eine unendlicher konstanter energiebeitrag spielt keine rolle, weil nur energiedifferenzen eine rolle spielen. und da kommt dann diese umordnung der summe (oder präziser die analytische fortsetzung der zeta-funktion) ins renenn. eine umordnung ist natürlich wie oben erwähnt prinzipiell willkürlich, aber in diesem fall nicht, es gibt nur diesen offset energieterm, und der erzwingt eine konkrete umordnung. und das ist genau die , die zu dem ergebnis -1/12 führt (un damit letzlich auf die 26 dimensionen in der nichtsupersymmetrischen stringtheory). die schlamperei, um was rechnen zu können leigt halt in dem verwendeten infite momentrum frame.

derlei "schlampereien" macht man häufiger. die ganze quantenfeldtheorie ist voll von regularisierungen. wenn man bei der berechnung der streuquerschnette aus dem unendlich kommenden nicht wechselwirkende punktteilich annimmt. damit kann man was rechen, der hinkefuss: annahme punktteilchen und wechselwirkungsfrei stimmt natürlich nicht (ein elektron schleppt zb immer sein el-mag feld mit sich rum, egal wo und wann es sich befindet). aufgrund dieser "schlamperei" kommt es natürlich wieder zu unliebsamen unendlichkeiten bei hohen energien, die treten halt auf aufgund der vorher reingesteckten "unphysikalischen" bedingungen (punkte, wechselwirkungsfrei). man argumentiert dann mit der effektiven theorie: ich betrachte nur prozesse unterhalb einer gewissen energieskala (grösser als gewisser abstand), alles was kleiner ist seh ich nicht, das mittelt sich irgendwo hin und das ergebnis stecke ich in die "konstanten" parameter der theorie (masse , ladung). aber auch das kann man nicht beliebig machen, sondern nach einem ganz konkreten satz mathematischer vorschriften, der renormierung. wenns aufgeht, ist die qft-renormierbar (wie alle SU(N) basierten ynag-mills-theorien). und da die skale, die man festsetzt natürlich willkürlich ist, muss bei der mathematischen vorschrift der renormierung rauskommen, wie sch die parameter der theorie änderen, wenn man die skale verschiebt (also wenn man zb näher ans elektron rankommt). das heisst glaub ich renormierungs-gruppenfunktion. die das verhalten genau beschreibt. und das kann man messen und wurde gemessen und funktioniert supergut. und t'hooft hat für die renormierungsbeweis des standardmodells dann auch den nobelpreis bekommen

willkürlich ist das unendlichkeits geschiebe also nicht. aufgrund des gewählten vereinfachten ansatzes mit dem unendlichkeiten (manchmal ungesehen) eingeführt werden, tauchen später in den rechnungen irgendwo wieder welche auf, die man aber mit klar definierten vom ansatz herrührenden vorschriften beseitigen kann. und wenn nicht, sollte man besser nen neuen zettel nehmen und mit ner anderen idee erneut beginnen:P

ich hoffe das hab ich so in etwa richtig verstanden. sönst mögen mich echte experten berichtigen.

Re: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 17. Apr 2014, 12:23
von tomS
breaker hat das sehr gut formuliert

es gibt auch eine algebraische Struktur, die mit ausnahmslos endlichen Größen arbeitet und die der Renormierung entspricht (Connes); ich weiß aber nicht, ob sie in allen relevanten Fällen funktioniert

Re: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 20. Apr 2014, 13:25
von breaker
deltaxp hat geschrieben:aber der kern ist in der tat soweit ich weiss wirklich die regularisierung, die tritt in der physik häufiger auf.
im zusammenhang mit der stringtheorie, tritt dieser term glaub ich auf bei der betrachtung relativistischer strings. da sich die schlecht beschreiben lassen macht man nen trick: den sogenannten infinite momentum frame. man boostet den string mit unendlichen impuls in sagen eine richtung und betrachtet ihn aus dem ruhe frame. aufgrund der zeitdilation kann man dann sehen, dass sich die schwingungen des strings (senkrecht zur bewegungsachse) dann wieder mit dem klassischen formeln nichtrelativistischer strings beschreiben lassen (und die bewegungsrichtung ist sowieso zusammenkontrahiert mit der längenkontraktion). diesen infinite momentum frame begegnet man häufiger in der hochenergiephysik. aufgrund der nunmehr möglichen klassischen beschreibung der transversal schwingungen kriegtn man halt analytisch auch gut was raus, nur dummerweise bleibt da halt sowas wie diese s summe über n übrig und damit ein unendlicher energiebeitrag hängen, nämlich der von dem infinite momentum. das ist die von breaker genannte "schlamperei". diese künstlich eingeführte unendlichkeit muß man wieder loswerden, denn so wird argumentiert eine unendlicher konstanter energiebeitrag spielt keine rolle, weil nur energiedifferenzen eine rolle spielen. und da kommt dann diese umordnung der summe (oder präziser die analytische fortsetzung der zeta-funktion) ins renenn. eine umordnung ist natürlich wie oben erwähnt prinzipiell willkürlich, aber in diesem fall nicht, es gibt nur diesen offset energieterm, und der erzwingt eine konkrete umordnung. und das ist genau die , die zu dem ergebnis -1/12 führt (un damit letzlich auf die 26 dimensionen in der nichtsupersymmetrischen stringtheory). die schlamperei, um was rechnen zu können leigt halt in dem verwendeten infite momentrum frame.
Man korrigiere mich wenn ich falsch liege, aber soweit ich mit der Stringtheorie vertraut bin, kommt das -1/12 nicht von der Wahl eines bestimmten Bezugssystems. Die Aussage "Stringtheorie funktioniert nur in 26 Dimensionen" sollte unabhängig vom Bezugssystem sein.
Wenn es ein System gäbe, das 4 Dimensionen erlaubt, hätte man das schon längst ausprobiert...

Re: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus ein Zwölftel?

Verfasst: 21. Apr 2014, 09:18
von tomS
Diese sogenannte Zetafunktionsregularisierung hat nichts spezielles mit der Stringtheorie zu tun. Sie tritt immer wieder im Rahmen von Quantenfeldtheorien auf. Ich habe sie selbst schon in 1+1 dimensionalen Feldtheorien verwendet