Widerlegung der Beweisbarkeit von unendlichen Mengen

[seeker]

Was ist eigentlich eine Beweisführung?

Bewiesen werden müssen ja nur Dinge/Eigenschaften, die zu kompliziert sind, als dass wir sie direkt durchschauen würden; denn sonst wären sie ja eben evident/direkt einsichtig und ein Beweis wäre unnötig.
"Beweisen" hat also auch mit unserer begrenzten Denkkapazität und der Art unseres Denkens zu tun:
Es wird beim Beweis ein Zusammenhang in einer gegebenen Struktur, der ja schon von vorne herein verborgen darin enthalten ist, soweit vereinfacht und heruntergebrochen, dass wir es dann (selbst mit unseren geringen Fähgigkeiten) direkt sehen und verstehen können.

Die Dinge sind so wie sie sind oder so wie wir sie gemacht haben - unabhängig von irgendwelchen Beweisen. Beim Beweisen in der Mathematik geht es allein darum zu kapieren, was man gemacht hat bzw. ob man das erhalten hat, was man wollte. Es ist ein Hochsteigen auf einer selbstgebauten Leiter in einem dunklen Raum, wo jede einzelne Sprosse erst ertastet ("bewiesen") werden muss.

Was bitte ist an meinem angegebenen Beispielprogrämmchen nicht direkt einsichtig?
Man sollte sich auch nicht zu sehr in formalen Details verlieren. Das hilft auch nicht weiter.

Grüße
seeker

[breaker]

Würde ich so nicht sagen. Einen Beweis gibt es zunächst mal nur innerhalb eines formalen Systems. Ein formales System besteht aus einer Menge von Objekten und Regeln, wie man diese Objekte manipulieren darf. Ein Beweis in einem solchen System ist eine Kette von Anwendungen dieser Regeln, die bei einem Element startet und bei einem anderen Element endet.
Die Aussagenlogik ist ein solches System und beim Beweisen muss man sich eben an die Regeln halten. Das gibt dir die Schrittweite von logischen Schlussfolgerungen vor.

[seeker]

Schon richtig. Das ist die rein technische Seite.
Du darfst aber nicht die andere Seite vergessen, die der eigentliche Ausgangspunkt aller tatsächlich betriebenen Mathematik ist: Deine Intention!
Du hast ein formales System und möchtest wissen, ob es die Eigenschaft x hat. Das ist eine Entscheidung, deine Entscheidung!
Nun bist du aber nicht klug genug um direkt zu sehen, ob das System die Eigenschaft x hat oder nicht hat.
Deshalb behilfst du dir mit technischen Formalien, die (wenn sie gelingen) zu Darstellungen/Ergebnissen führen, die du übersehen/verstehen kannst.

Grüße
seeker

[Pippen]

Und "n+1" hat einen Nachfolger, das folgt trivialerweise auch aus dem Axiom. Demzufolge hat nämlich JEDE natürliche Zahl einen Nachfolger, also auch n+1.

Nein, da überinterpretierst du - so wie mE alle Mathematiker - das Axiom. Das Axiom "∀n: n ∈ N -> n+1 ∈ N" sagt nur: Für alle n gilt: Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist n+1 eine natürliche Zahl. Es sagt nichts, aber auch gar nichts, über den Nachfolger von n+1, weil nunmal im Antezedens des Axioms nur ein n steht. Und n+1 ist kein n und damit folgt für n+1 nichts. Das ist banal und es wundert mich, mit welcher Leichtigkeit die Mathematik diesen Umstand "übergeht".

Nachdem die Mathematiker das Axiom erfunden haben, haben sie auch die Deutungshoheit. Und sie haben sich entschieden, dass n ein freies Symbol ist, das für eine beliebige, unbestimmte natürliche Zahl steht.

Es bringt nichts, dass du diese Deutung ändern möchtest.

Ich will diese Deutung nicht ändern, ich will ihr gerade Gehör verschaffen und bemerken, dass es die Mathematiker sind, die dieser Deutung Unrecht tun! Denn "n" ist ein Symbol für ein Ding (Zahl) und "n+1" ist ein Symbol für ein Ding (Zahl) und beide Symbole sind ungleich und referieren auf Verschiedenes. Wenn also etwas für "n" bewiesen wurde, dann nicht für "n+1", und umgekehrt.

Noch einmal und in aller Klarheit: Aus einem Postulat der Form "∀n: n ∈ X -> n' ∈ X" kann nur geschlussfolgert werden, dass jedem n einen n' folgt. Für den Fall n' gibt das Postulat keine Auskunft, denn n und n' sind verschiedene Teilmengen von X und daher kann n' nicht in n (wieder) eingesetzt werden. Dazu bedürfte es eines weiteren Schrittes, in dem n und n' "sychronisiert" werden, so dass an Stelle von n nunmehr auch n' eingesetzt werden könnte. Doch damit begänne eine verhängnisvolle Reihe, denn was wäre nun mit dem "neuen" n' (ehemals n'') usw. usf. Was ich also sagen will ist: So wie die nat. Zahlen oder andere angeblich unendlich Mengen definiert sind, läßt sich ihre Unendlichkeit weder direkt noch indirekt beweisen. Das geht nur, wenn man "alle Fünfe gerade sein läßt". Das mag menschlich sein, aber es ist nicht mathematisch!

[Pippen]

Wir können daher nur Elemente betrachten, die tatschlich auch in endlichen Schritten erreichbar(also endlich) sind.

Dann kann man nicht so tun, als ob man mehr kann. Mann kann dann nur sagen: für die Elemente, die wir kennen, gibt es kein Letztelement. Damit wäre freilich Mathematik fallibel und vom Thron gestoßen^^.

Deshalb ist ein Widerspruchsbeweis völlig ausreichend:
Es muss ein Element n+1 als Nachfolger von n geben, für das die Implikation [n natürliche Zahl]=>[n+1 natürliche Zahl] nicht gilt.
Dies ist aber für kein einziges endliches n gegeben.

Das bestreite ich auch nicht. Aber was ist mit n+1? Dein Beweis gilt nur für n, nicht aber für n+1 und beide sind verschiedene Teilmengen (von N). Um formal korrekt zu sein, müsstest du deinen Beweis für die Variable n+1 wiederholen und dann für n+1+1 usw. usf. Dein Widerspruchsbeweis wird zum Infinitisemalbeweis, die nie zum Stillstand kommt und damit nie etwas (endgültig) beweist.

[positronium]

Zu solchen Themen schreibe ich ja fast nie etwas, weil ich nur wenig Ahnung von mathematischen "Internas" habe, aber ich lese mit, und verstehe nicht, was daran unklar ist.
Wenn man ein n hat, und man definiert, dass dieses n Element von N ist, und wenn man dann für n etwas mit mathematischen Methoden beweist, die für ganz N gültig sind, dann hat man das für n e N bewiesen. Und n e N kann man halt rekursiv definieren, also mit ...n+1.
Das ist doch alles, was es zu sagen gibt, denke ich.

[Pippen]

Wenn man ein n hat, und man definiert, dass dieses n Element von N ist, und wenn man dann für n etwas mit mathematischen Methoden beweist, die für ganz N gültig sind, dann hat man das für n e N bewiesen.

Genau.

Und n e N kann man halt rekursiv definieren, also mit ...n+1.

Was meinst du damit?

n<n+1, d.h. was auch immer n sei, es ist nicht n+1, d.h. wenn du etwas für n beweist, dann gilt dieser Beweis strengformal nicht für n+1. Man kann natürlich - NACHDEM man etwas für n e N bewiesen hat - rekursiv definieren, dass nun auch n+1=n sein solle, und dann n+1+1=n usw. Diese Rekursivdefinition käme aber nie zum Ende und damit hätte man nie alles (rekursiv und endgültig) unter n gebracht! Und damit wäre jeder Beweis für n nur vorläufig. Das wäre genau mein Einwand.

[positronium]

Und n e N kann man halt rekursiv definieren, also mit ...n+1.

Was meinst du damit?

Für N gilt: {...-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5...}
Jetzt kann man doch jedem Element dieser Menge einen Index i zuweisen, und die Funktion n zu n(i):=n(i+1)-1 oder n(i):=n(i-1)+1 definieren.
Dann braucht man nur noch einen Startwert, nämlich n(0):=0.
Als Ergebnis erhält man
n(0) -> 0 (Definition des Startwerts)
Für negative Parameter:
n(-1)=n(-1+1)-1=n(0)-1 -> -1
n(-2)=n(-2+1)-1=n(-1)-1 -> -2
Für positive Parameter:
n(1)=n(1-1)+1=n(0)+1 -> 1
n(2)=n(2-1)+1=n(1)+1 -> 2

Das ist doch die Definition von N.

n<n+1, d.h. was auch immer n sei, es ist nicht n+1, d.h. wenn du etwas für n beweist, dann gilt dieser Beweis strengformal nicht für n+1.

Finde ich schon, weil man es für die Menge N getan hat; man könnte auch sagen, der Beweise erfolgt für die oben definierte Funktion n(i)... mit n(0)=0.

[Pippen]

Für N gilt: {...-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5...}
Jetzt kann man doch jedem Element dieser Menge einen Index i zuweisen, und die Funktion n zu n(i):=n(i+1)-1 oder n(i):=n(i-1)+1 definieren.
Dann braucht man nur noch einen Startwert, nämlich n(0):=0.
Als Ergebnis erhält man
n(0) -> 0 (Definition des Startwerts)
Für negative Parameter:
n(-1)=n(-1+1)-1=n(0)-1 -> -1
n(-2)=n(-2+1)-1=n(-1)-1 -> -2
Für positive Parameter:
n(1)=n(1-1)+1=n(0)+1 -> 1
n(2)=n(2-1)+1=n(1)+1 -> 2

Damit hast du aber keine Variable mehr, sondern einfach die nat. Zahlen konstruiert, die nunmehr lauten: n_i und i gibt die konkrete Zahl an. Schlimmer noch: Letztlich willst du ja definieren (ich drücke das mal laienhaft aus): Unter die Variable n mögen auch fallen: n+1, n+1+1, n+1+1+1,.... Das Problem daran ist: Wenn es wirklich unendlich viele nat. Zahlen gäbe, dann wäre diese Definition unvollständig, denn es würde sich immer ein n+1+1...+x finden lassen, was noch nicht in der Definitionsliste wäre und was dann eben auch nicht unter n fallen würde und damit den Beweis (wegen ebenjenem n+1+1...+x) unvollständig machen würde. Da kann man auch nicht einfach sagen: Ach, was. Es mögen eben alle n+1+... unter n fallen. Denn das verstieße gg. die o.g. Konstruktion, nach der die Zahlen oder sonstige math. Mengen wie Dominosteine konstruiert werden, wo jeder von seinem Vordermann abhängt. Wer Objekte so konstruiert, der kann bei unendlich vielen dieser Objekten nie das Wort "alle" in den Mund nehmen, ohne sich zu widersprechen; der muss vielmehr Schritt für Schritt vorgehen und wenn wir dann tatsächlich eine (potentiell oder aktuell) unendliche Mengen vor uns hätten, würde ein solcher Beweis nie enden und damit nie beweisen.

[positronium]

Damit hast du aber keine Variable mehr, sondern einfach die nat. Zahlen konstruiert, die nunmehr lauten: n_i und i gibt die konkrete Zahl an.

Doch. n(i), geschrieben als n ist dann die Variable, welche jede konkrete Zahl enthalten kann. Man hat damit ein Symbol, das für alle natürlichen Zahlen gilt. Wenn man auf dieses im Beweis nur die Operationen anwendet, welche für N erlaubt sind, hat man was man will.

Schlimmer noch: Letztlich willst du ja definieren (ich drücke das mal laienhaft aus): Unter die Variable n mögen auch fallen: n+1, n+1+1, n+1+1+1,.... Das Problem daran ist: Wenn es wirklich unendlich viele nat. Zahlen gäbe, dann wäre diese Definition unvollständig, denn es würde sich immer ein n+1+1...+x finden lassen, was noch nicht in der Definitionsliste wäre und was dann eben auch nicht unter n fallen würde...

Nein. Man kann ja jedes n(i)+x auch durch n(i+x) ersetzen. - Die Rekursionsvorschrift erzeugt alle Elemente aus N.

[seeker]

Pippen, sag uns doch mal, was du unter "unendlich" bzw. hier konkret unter "die Menge N hat enthält unendlich viele Elemente" verstehst?
Insbesondere habe ich immer noch keinen Plan, ob du die ganze Zeit von einer aktualen oder einer potentiellen Unendlichkeit von N sprichst.
So lange das nicht geklärt ist, drehen wir uns im Kreis und wiederholen uns hier nur fortwährend, denn es ist nicht klar, was überhaupt genau zu beweisen wäre (bzw. was/welches Ding du genau bemängelst). Ich bin mir auch immer noch nicht im Klaren darüber, ob dir das selbst völlig klar ist.

Grüße
seeker

[Skeltek]

Jede existente Zahl ist endlich. Jede endliche Zahl ist rekursiv von der "1" ausgehend konstruierbar. Jede durch endliche Schritte mit der "1" verbundene Zahl ist also durch beide Axiome "erreichbar".
Die Frage ist ja nicht, ob es "irgendwo" eine Zahl gibt, für die es zutreffen könnte, sondern ob diese Zahl tatsächtlich existiert, also in endlichen Schritten von der "1" ausgehend erreichbar ist.

[tomS]

Pippen, du wehrst dich gegen die Bedeutung von n als freier Variable. Das ist aber gerade die Bedeutung, die die Mathematiker dem n zuschreiben.

Es bringt nichts, das weiter zu diskutieren.

[Pippen]

Pippen, du wehrst dich gegen die Bedeutung von n als freier Variable. Das ist aber gerade die Bedeutung, die die Mathematiker dem n zuschreiben.

Was bedeutet denn 'freie Variable'? Wenn man annimmt, n sei eine freie Variable im Bereich N, dann kann man dort jede natürliche Zahl für n einsetzen? Das bestreite ich nicht. Ich bestreite, dass was aus n folgt auch für n' folgt, weil das syntaktisch und semantisch unterschiedliche Symbole mit unterschiedlichen Werten sind. Wenn also Peano sagt: ∀n: n ∈ X -> n' ∈ X, dann folgt daraus nur, dass jedes n einen Nachfolger hat (per mp), es folgt nicht, dass wiederum n' einen Nachfolger hat! Dazu müsste man so umdefinieren, dass n' zu n wird, aber dann taucht das "neue" n' auf und das Problem beginnt wieder. Daher scheitern letztlich alle Unendlichkeitsbeweise: Weil man zwar für n beweisen kann, dass es nicht die maximale Zahl sein kann, aber nur durch Konstruktion von n' - auch einer natürliche Zahl, aber eben von n verschieden - die außen vor bleibt und ihrerseits eines neuen Beweises oder einer Umdefinition bedürfte.

@seeker: Es geht mir um die potentielle und aktuelle Unendlichkeit, d.h. ich behaupte, dass man beide Arten nicht beweisen kann, wenn man man Zahlen/Mengen wie Peano oder ZF/ZFC axiomatisiert. Die Mathematik ist in diesem Bereich für mich also schlicht religiös und irrational.

@positroium: Eine Rekursion kann im Falle eine unendlichen Menge niemals alle Elemente erzeugen. Ich kann dir immer ein Element nennen, welches deine Rekursion noch nicht erzeugt hätte (und dann erzeugst du es und dann beginnt ein Wettlauf der Unendlichkeiten, d.h. ich kann immer behaupten, dass ein Element noch nicht erzeugt wurde und du tust es usw. usf., aber es bleibt letztlich offen, wer "gewinnt").

[seeker]

@seeker: Es geht mir um die potentielle und aktuelle Unendlichkeit, d.h. ich behaupte, dass man beide Arten nicht beweisen kann, wenn man man Zahlen/Mengen wie Peano oder ZF/ZFC axiomatisiert. Die Mathematik ist in diesem Bereich für mich also schlicht religiös und irrational.

Die aktuale Unendlichkeit ist ein eigenes Thema, aber Pippen, ich sehe nicht, dass du mit deiner Argumentation irgendetwas gegen potentielle Unendlichkeiten einwenden kannst.
Für "potentiell Unendlich" muss ich ja gerade keinen Beweis führen, der alle Elemente erfasst, denn das ist nicht die Bedeutung von "potentiell".
Es reicht hier, wenn man nachweist, dass einem Prozess bzw. einer Konstruktionsvorschift die Eigenschaft "zu enden" fehlt.
Nicht einmal das muss man hier groß "beweisen", weil es evident, direkt einsichtig ist:

10 Goto 20
20 Goto 10

Willst du ernsthaft anzweifeln, dass da kein Ende eingebaut ist?

Genauso ist es, wenn du im Kreis gehst. Wie lange musst du laufen, bis du das Ende der Kreislinie erreichst?

Genauso ist es bei 1, 2, 3, 4, ...
Ich muss kein n+1 oder n+2 extra behandeln. Das ist egal, wenn es nur um "potentiell" geht: Ich darf mein n endlos immer wieder neu, um +1 vergrößert wählen, ich darf das als Prozess sehen, weil ich gar nicht von einer tatsächlichen a priori Existenz aller Zahlen in N ausgehen muss.
Zweifellos ist N daher potentiell unendlich. Da brauche ich nicht alle Zahlen zu fassen kriegen, es gibt in dem Fall gar kein "alle Zahlen", es gibt nur "kein Ende"!
Ich glaube auch, das muss bei N genaugenommen gar nicht bewiesen werden, das wird so konstruiert!

Ob's auch aktual unendlich ist, bzw. ob auch diese Zuordnung für bestimmte Strukturen sinnvoll ist, darüber kann man streiten.
Die Existenz der aktualen Unendlichkeit als seiendes Ding lässt sich m.E. tatsächlich nicht beweisen, sie lässt sich nur festlegen, definieren, wie ein Axiom, es ist ein Axiom.

Davon abgesehen lässt sich ganz genau genommen überhaupt nichts "beweisen", im Sinne von "unumstößlich sicher", schon deshalb nicht, weil du immer unbeweisbare Voraussetzungen brauchst um überhaupt logisch vorgehen zu können und weil du nicht beweisen kannst, dass Logik auch logisch bzw. wahr ist. (Womit auch? Die Logik kann sich nicht selbst beweisen.)

Und: Wenn du deine ganze Argumentation nochmal durchleuchtest, dann solltest du eigentlich zu dem Schluss kommen, dass du damit (angenommen, dass sie tatsächlich stichhaltig ist) gar nicht die Nicht-Endlichkeit von N selbst angreifen kannst, sondern nur die Möglichkeit einer völlig zweifelsfreien, vollständigen und schlussendlichen Axiomatisierung von N!
Das ist ein Unterschied!

Ich gebe dir aber Recht, dass die hier schon durchgekaute Beweisführung der Unendlichkeit von N (mit n, n+1, per Widerspruch) im Grunde nach nem Zirkelschluss aussieht:
Was in der Konstruktion von N schon vorausgesetzt wurde (die Nicht-Endlichkeit) wird dann hinterher, darauf zirkelnd, im Beweis dann "bewiesen".

Wie auch immer... Mal ne ganz andere Frage: Worauf willst du eigentlich hinaus? Warum ist das Ganze überhaupt wichtig? Was ist deine Motivation?
Sollen wir aufhören mit den natürlichen Zahlen zu rechnen?

Grüße
seeker

[Pippen]

Es reicht hier, wenn man nachweist, dass einem Prozess bzw. einer Konstruktionsvorschift die Eigenschaft "zu enden" fehlt.

Aber genau das kann man nicht, meines Erachtens. Das ist mein Einwand.

Nicht einmal das muss man hier groß "beweisen", weil es evident, direkt einsichtig ist:

10 Goto 20
20 Goto 10

Willst du ernsthaft anzweifeln, dass da kein Ende eingebaut ist?

Ja, ich sage einfach: Beweise!!! mir, dass diese Schleife endlos weitergehen könnte, ich sehe da nur 2 Zeilen und die sind endlich...und das kannst du nicht. Du wirst nur immer und immer wieder an meine Intuition appellieren und das reicht für die Mathematik nicht.

Genauso ist es bei 1, 2, 3, 4, ...
Ich muss kein n+1 oder n+2 extra behandeln. Das ist egal, wenn es nur um "potentiell" geht: Ich darf mein n endlos immer wieder neu, um +1 vergrößert wählen, ich darf das als Prozess sehen, weil ich gar nicht von einer tatsächlichen a priori Existenz aller Zahlen in N ausgehen muss.
Zweifellos ist N daher potentiell unendlich. Da brauche ich nicht alle Zahlen zu fassen kriegen, es gibt in dem Fall gar kein "alle Zahlen", es gibt nur "kein Ende"!
Ich glaube auch, das muss bei N genaugenommen gar nicht bewiesen werden, das wird so konstruiert!

Das wird eben nicht so konstruiert. N wird so konstruiert: Wir setzen die 0 als nat. Zahl und dann gilt: ∀n: n ∈ N -> n' ∈ N. In dieser Konstruktion spielt das "Ende" überhaupt keine Rolle und deshalb kann man es auch nicht beweisen, es bleibt offen und unbeweisbar. Man kann man schön beweisen, dass eine Zahl x nicht die größte sein kann, denn x' wäre größer. Aber was ist mit x'? Das musst du extra behandeln, denn x' ist nicht x und dein Beweis sagt eben nur etwas über x aus und nicht über x'. Wenn du das willst, dann brauchst du einen neuen Beweis für x', die natürlich ebenfalls nicht die größte ist wegen x'' usw. usf. Du kannst nicht einfach "irgendwas machen", denn sonst gilt nicht mehr: x<x'<x'' und da hast du sofort Widersprüche. Das ist ein syntaktisches Problem: Wenn du mit zwei Variablen arbeitest, die nicht für gleiche Werte stehen und du beweist etwas für eine Variable, dann kann es nicht sein, dass damit die zweite Variable "mitbewiesen" wird. Man kann zwar sowas wie positron versuchen und rekursiv definieren, aber solche Versuche scheitern bei unendlichen Mengen, denn wo es kein Ende gibt, da gibt es auch keine "fertige Rekursion" und damit bleibt ein ominöser Rest und das ist Gift für einen math. Beweis.

Wie auch immer... Mal ne ganz andere Frage: Worauf willst du eigentlich hinaus? Warum ist das Ganze überhaupt wichtig? Was ist deine Motivation?
Sollen wir aufhören mit den natürlichen Zahlen zu rechnen?

Grüße
seeker

Ich sehe keinen Beweis für die Unendlichkeit der Zahlen oder sonstwas (zB auch von Geraden) und will erforschen, ob ich da was missverstehe oder ob die Mathematik hier unlauter arbeitet, in dem sie mehr verspricht als sie halten kann. Ich will nicht die Zahlen verteufeln, ob es nun endlich oder unendlich viele Zahlen gibt, ist doch egal, das hat keine Auswirkung auf das Rechnen noch auf sonstwas. Es ist aber ein interessantes Fundamentalproblem: Können wir Unendlichkeit korrekt konstruieren (und dann auch beweisen) oder können wir nur große Mengen konstruieren, deren (potentielle/aktuelle) Größe offenbleibt. Es gibt übrigens schonmal einen Weg, nämlich per Axiom "Die Menge N hat unendlich viele Elemente". Aus diesem Axiom kann man die Unendlichkeit der nat. Zahlen ableiten. Es geht also, nur fragt sich: geht es noch anders, noch formaler....

[Skeltek]

Pippen, du wehrst dich gegen die Bedeutung von n als freier Variable. Das ist aber gerade die Bedeutung, die die Mathematiker dem n zuschreiben.

Was bedeutet denn 'freie Variable'? Wenn man annimmt, n sei eine freie Variable im Bereich N, dann kann man dort jede natürliche Zahl für n einsetzen?

@positroium: Eine Rekursion kann im Falle eine unendlichen Menge niemals alle Elemente erzeugen. Ich kann dir immer ein Element nennen, welches deine Rekursion noch nicht erzeugt hätte (und dann erzeugst du es und dann beginnt ein Wettlauf der Unendlichkeiten, d.h. ich kann immer behaupten, dass ein Element noch nicht erzeugt wurde und du tust es usw. usf., aber es bleibt letztlich offen, wer "gewinnt").

@1: Man kann für n nicht eine beliebige natürliche Zahl einsetzen, n ist eine beliebige Zahl.

@2: Natürlich kann man niemals alle Elemente erzeugen, da hast du auf jeden Fall recht. Man wird niemals sagen können "endlich bei der letzten Zahl angekommen". "endlich" kommt von "Ende"; und "unendlich" ist einfach das Gegenteil von endlich.
Vielleicht rührt die Schwierigkeit mit dem Begriff umzugehen daher, daß man diesen als ersten als abstrakten Begriff verinnerlicht und später die Wortbedeutung nicht mehr durch die axiomatisch hergeleitete Bedeutung in Verbindung bringen kann.
Wenn man sagt unendlich lange, bedeutet das tatsächlich "ohne Ende"/unaufhörlich.
Es ist schlicht so daß man überprüfen muss:
"Gibt es eine natürliche Zahl n'
für die gilt: [n existiert => n' existiert]
für die aber nicht gilt: [f(n) existiert f(n') existiert nicht], wobei boolean f() aussagt, ob die Eigenschaft erfüllt ist.
Die erste Aussage postuliert für jede natürliche Zahl eine nachfolgende natürliche Zahl.
Die zweite Aussage postuliert, daß die erste Zahl natürlich ist aber die ihr Nachfolger nicht natürlich wäre.
Widerspricht sich das nicht schon selbst?

[tomS]

Pippen, du wehrst dich gegen die Bedeutung von n als freier Variable. Das ist aber gerade die Bedeutung, die die Mathematiker dem n zuschreiben.

Was bedeutet denn 'freie Variable'? Wenn man annimmt, n sei eine freie Variable im Bereich N, dann kann man dort jede natürliche Zahl für n einsetzen? Das bestreite ich nicht. Ich bestreite, dass was aus n folgt auch für n' folgt, weil das syntaktisch und semantisch unterschiedliche Symbole mit unterschiedlichen Werten sind. Wenn also Peano sagt: ∀n: n ∈ X -> n' ∈ X, dann folgt daraus nur, dass jedes n einen Nachfolger hat (per mp), es folgt nicht, dass wiederum n' einen Nachfolger hat! Dazu müsste man so umdefinieren, dass n' zu n wird, aber dann taucht das "neue" n' auf und das Problem beginnt wieder.

Natürlich kannst du sofort n' einsetzen. Die Aussage gilt für alle natürlichen Zahlen, also n, n', ... völlig unabhängig von dem Symbol, das man für ihre Bezeichnung verwendet.

Schau dir mal die umgangssprachliche Formulierung an: "Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger".

Damit ist alles gesagt.

Du konstruierst ein Scheinproblem.

[positronium]

@positroium: Eine Rekursion kann im Falle eine unendlichen Menge niemals alle Elemente erzeugen.

Die Rekursion kann nicht alle Elemente erzeugen, ja, aber sie kann alle definieren. Und das ist doch der Punkt. Wenn man etwas für n e N bewiesen hat, gilt das auch für m e N. Der Beweis erfolgt ja nicht für n=8, sondern für n={...-2;-1;0;1;2;3;...}.
Ich sehe einfach kein Problem. Wenn ich für das Objekt Apfel (n) beweise, dass dieser eher rund als eckig ist, dann gilt das (ich spicke auf Wikipedia) für Adams Parmäne (n=1), Adersleber Kalvill (n=2), Alantapfel (n=3), Alkmene (n=4) usw.. Schliesslich hat man durch den Beweis für Apfel=n alle Apfelsorten abgedeckt.

[seeker]

Das wird eben nicht so konstruiert. N wird so konstruiert: Wir setzen die 0 als nat. Zahl und dann gilt: ∀n: n ∈ N -> n' ∈ N. In dieser Konstruktion spielt das "Ende" überhaupt keine Rolle und deshalb kann man es auch nicht beweisen, es bleibt offen und unbeweisbar. Man kann man schön beweisen, dass eine Zahl x nicht die größte sein kann, denn x' wäre größer. Aber was ist mit x'? Das musst du extra behandeln, denn x' ist nicht x und dein Beweis sagt eben nur etwas über x aus und nicht über x'. Wenn du das willst, dann brauchst du einen neuen Beweis für x', die natürlich ebenfalls nicht die größte ist wegen x'' usw. usf.

Ich habe von vorne herein x' genommen, nein es war x'', usw.!
Und nein, in dieser Konstruktion spielt das "Ende" überhaupt keine Rolle und deshalb muss man es auch nicht beweisen.

Ich denke du sprichst das Induktionsproblem an.
Wenn ich das mal konkret durchgehen darf, dann müsste ich -so wie du das siehst- so vorgehen:
...
n sei 10
Ist 10 größtes Element von N?
Nein, denn 11 (10+1) ist größer.
Ist 11 größtes Element von N?
Nein, denn 12 (11+1) ist größer.
usw., usf.
...ein endloser Prozess, dessen Endlosigkeit ich voraussetzen muss und der daher nicht geeignet ist die Endlosigkeit von etwas anderem zu beweisen.

Du kannst nicht einfach "irgendwas machen", denn sonst gilt nicht mehr: x<x'<x'' und da hast du sofort Widersprüche. Das ist ein syntaktisches Problem: Wenn du mit zwei Variablen arbeitest, die nicht für gleiche Werte stehen und du beweist etwas für eine Variable, dann kann es nicht sein, dass damit die zweite Variable "mitbewiesen" wird. Man kann zwar sowas wie positron versuchen und rekursiv definieren, aber solche Versuche scheitern bei unendlichen Mengen, denn wo es kein Ende gibt, da gibt es auch keine "fertige Rekursion" und damit bleibt ein ominöser Rest und das ist Gift für einen math. Beweis.

Das stimmt eben nicht, denn es ist sichergestellt, dass alle x wohlgeordnet sind.

Aber wie ist denn jetzt nun?

Die Existenz jeder einzelnen natürlichen Zahl ist mengentheoretisch schon durch recht schwache Forderungen gesichert. Für die Existenz der Menge aller natürlichen Zahlen \N sowie \N_0 benötigt man jedoch in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ein eigenes Axiom, das sogenannte Unendlichkeitsaxiom.

http://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl

AHA! Die Endlosigkeit von N wird per Axiom vorausgesetzt, wird daher so definiert und muss daher nicht bewiesen werden!
Was nur gezeigt werden muss ist, dass sich daraus nicht etwas ergibt, das man nicht haben will!
Ich brauche also z.B. die Peano-Axiome um N zu definieren.
http://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome
Ich brauche u.a. das Unendlichkeitsaxiom bzw. das Induktionsaxiom.

Was du eigentlich angreifst ist die vollständige Induktion:
http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3% ... _Induktion

...ich würde mir das an deiner Stelle genau anschauen.

Man kann und muss das alles nicht beweisen. Man muss nur zusehen, dass das was dabei herauskommt sinnvoll und brauchbar und nicht widersprüchlich ist - und inwieweit das zutrifft.
Das gilt insbesondere für die vollständige Induktion.

Die Mathematik ist ein Baukasten, wo du alles machen darfst, was du willst. Du musst nur stets auch mit den sich daraus ergebenden Folgen leben.
Es geht da nicht um "letztendliche, einzig seligmachende Wahrheit".


Grüße
seeker

[tomS]

Konkret für die Axiomatisierung der natürlichen Zahlen ist von Neumanns "konstruktive", mengentheoretische Methode evtl. besser und anschaulicher als die nicht-konstruktive Methode von Peano.

Und ansonsten ist es wohl wirklich so, dass die hier diskutierte Problematik nicht ein Axiom an sich, sondern die Anwendung eines Prinzips auf dieses Axiom ist, d.h. Induktionsprinzip oder Generalisierungsprinzip.

[Pippen]

Ich bestreite, dass was aus n folgt auch für n' folgt, weil das syntaktisch und semantisch unterschiedliche Symbole mit unterschiedlichen Werten sind. Wenn also Peano sagt: ∀n: n ∈ X -> n' ∈ X, dann folgt daraus nur, dass jedes n einen Nachfolger hat (per mp), es folgt nicht, dass wiederum n' einen Nachfolger hat! Dazu müsste man so umdefinieren, dass n' zu n wird, aber dann taucht das "neue" n' auf und das Problem beginnt wieder.

Natürlich kannst du sofort n' einsetzen. Die Aussage gilt für alle natürlichen Zahlen, also n, n', ... völlig unabhängig von dem Symbol, das man für ihre Bezeichnung verwendet.

Das ginge nur, wenn das Axiom lautete: ∀n: n ∈ N <-> n' ∈ N. Das Axiom lautet aber: ∀n: n ∈ N -> n' ∈ N. Dann könntest du nur dann n' in n einsetzen, wenn zusätzlich gelten würde: n = n' und das ist gerade nicht der Fall, weil wir wissen, dass n < n'. Das Axiom sagt also über den Nachfolger von n nur aus, dass auch er eine natürliche Zahl ist, aber nicht, ob er wiederum einen Nachfolger hat. Wir bekommen so natürliche Zahlen (n), die einen Nachfolger haben und welche (n'), bei denen das offen bleibt.

@seeker: Ja, es ist richtig, ich verstehe damit auch die vollständige Induktion nicht so richtig. Die vollständige Induktion wird so definiert: 0 ∈ X & ∀n ∈ N: (n ∈ X -> n' ∈ X) -> N ∈ X. Auch hier ist das Problem, wie oben, ein formales: Wenn du dir die Formel anschaust, dann wirst du feststellen, dass im Falle von n ∈ X auch n' ∈ X. Aber was gilt sonst für n' ? Nichts! MaW: Wir wissen nun, dass neben n auch n' zu X gehört, aber wir wissen nicht, ob n' wiederum einen Nachfolger hat, der ebenfalls Element von X ist. Das ist aber wichtig, denn wenn n' keinen Nachfolger hätte, dann wären N und X endliche Mengen.

@positronium: Bei unendlichen Mengen kann eine Rekursion weder alle Elemente erzeugen noch definieren. Nimm eine Rekursion wie "n: n+1" zur Generierung natürlicher Zahlen. Wie beweist du jetzt, dass alle Zahlen definiert sind? Doch wieder durch Verweis auf: "wenn n definiert ist, dann auch n+1" und darauf hin komme ich wieder und sage: "und was ist mit n+1? Beweise, dass auch n+1 definiert ist, denn du kannst n+1 eben nicht einfach in n einsetzen" Daraufhin muss du etwas anpassen und kannst das zeigen, aber nur auf Kosten einer neuen Variable, für die du es nun nicht zeigst und so geht dann ein Spielchen los, bei dem du dann irgendwann meinst: Mein Gott, das geht jetzt halt immer so weiter und ich sage: Beweise ebendiese Behauptung, dass es immer so weitergeht!

[tomS]

Sorry Pippen, das ist einfach Quatsch. Das Axiom sagt etwas über ALLE natürlichen Zahlen. Es ist egal, wie du sie bezeichnest.

[Pippen]

Sorry Pippen, das ist einfach Quatsch. Das Axiom sagt etwas über ALLE natürlichen Zahlen. Es ist egal, wie du sie bezeichnest.

Hm...das leuchtet mir einfach nicht ein.

∀n: n ∈ N -> n' ∈ N. Dieses Axiom sagt doch: Für alle n gilt: Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist es auch n'. Wenn also gilt: "n ∈ N", dann folgt daraus mit mp, dass "n' ∈ N". Damit wüssten wir, dass neben n auch n' eine natürliche Zahl ist. Wir können nun aber nicht weitermachen und n' als n in unsere o.g. Axiomformel einsetzen, denn n' ist nicht n. Wir müssen schlicht aufhören und konstatieren: Es gibt eine natürliche Zahl ohne Nachfolger. Dies ist der Nachfolger einer beliebigen natürlichen Zahl.

p.s. Es scheint mir nochmal sehr wichtig darauf hinzuweisen, dass Variablen keine Mengen sind, d.h. hinter n verbergen sich nicht alle natürlichen Zahlen, hinter n verbirgt sich genau eine einzige Zahl, die aber beliebig wählbar ist und hinter n' verbirgt sich die Zahl, die sich hinter n verbirgt, aber ums eins erhöht (also eine andere Zahl). Das ist mE der Trick der Mathematik: Sie behandelt Variablen unlauter wie Mengen.

[seeker]

Ja, es ist richtig, ich verstehe damit auch die vollständige Induktion nicht so richtig. Die vollständige Induktion wird so definiert: 0 ∈ X & ∀n ∈ N: (n ∈ X -> n' ∈ X) -> N ∈ X. Auch hier ist das Problem, wie oben, ein formales: Wenn du dir die Formel anschaust, dann wirst du feststellen, dass im Falle von n ∈ X auch n' ∈ X. Aber was gilt sonst für n' ? Nichts! MaW: Wir wissen nun, dass neben n auch n' zu X gehört, aber wir wissen nicht, ob n' wiederum einen Nachfolger hat, der ebenfalls Element von X ist. Das ist aber wichtig, denn wenn n' keinen Nachfolger hätte, dann wären N und X endliche Mengen.

Wichtig ist doch nur, dass das zu keinen Widersprüchen führt.
Man kann damit ausschließen, dass es sich um eine endliche Menge handelt, denn wenn n'=b das letzte Element ist, dann kann ich einsetzen: n=b! ... und finde so heraus, dass es sich um eine endliche Menge handelt (da dann kein n+1 mehr gefunden werden kann). Kann ich das nicht erhalte ich keinen Widerspruch und habe dann per Def. eine unendliche Menge.
Nochmal: Das ist ein Axiom bzw. ein Prinzip und muss nicht bewiesen werden. Es muss nur sinnvoll und brauchbar sein.
Die vollständige Induktion sagt eben, dass man das so machen darf, dass man kein n'+1=n'' (usw.) mehr extra betrachten muss... und das hat sich als sehr brauchbar herausgestellt.

Ich glaube immer noch, dass dein Denkfehler u.a. darin besteht, dass du annimmst, man dürfe in n nur eine Zahl einsetzen.
Dem ist nicht so. n ist ja nur ein Platzhalter, der stellvertretend für alle Zahlen steht, die man im Prinzip einsetzen könnte.
Daher unterschiedet sich n im Prinzip gar nicht von n' (in der Reichweite, welche Zahlen dort eingesetzt werden dürfen).
Diese Betrachtungsweise, dass das so verstanden bzw. gelesen werden muss, wurde eben so vereinbart bzw. definiert.
Da kannst du jetzt nicht einfach daherkommen und sagen, dass man das anders lesen müsse.
Da hat Tom schon Recht...

Grüße
seeker