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Basler Problem und Integrallog

Verfasst: 21. Dez 2013, 15:34
von monarch87
Hey Leutz!

Ich bin wieder zurück. Hoffe man hat mich vermisst :)

Es geht direkt los:

[ Nebenbei: wenn ich "Harmonische Reihe" sage, dann mein ich nicht die Form, wo der Exponent 1 ist sondern allgemein die Form mit Exponent= "x" ]

Und zwar hab ich mir ja das ein oder andere Buch über Zahlentheorie gegönnt und in der Uni haben wir auch unendlich Reihen durch genommen.

Es lag halt die Frage im Raum, wie die Lösung der Harmonischen Reihe aussehen könnte (Konvergenz/Divergenz)`?
Sie divergiert ja

Ich hab mich dann wieder mal gefragt, wie die Lösungen der Harmonischen Reihe mit steigenden Exponenten aussehen könnten (Konvergenz/Divergenz)`?

Bsp 1 + (2-^3) + (3^-3) + (4^-3) ......

Unter anderem hab ich den Ansatz von Euler entdeckt, der die Lösung des Basler-Problems ( Exponent = 2) liefert.

Habs versucht zu verstehen. Er ist über den Weg gegangen, die sin(x)/x Funktion gleich zusetzten mit der Harmonischen Reihe. Das einzige was ich da verstanden hatte, dass er die für die Nullstellen, Pi und dessen Vielfache einsetzt (und dann umformt und schließlich auflöst?)
Also ab da komm ich nicht mehr weiter

Wieso aufeinmal (pi^2)/6? Wieso bleibt " 1/3! " stehen?

Naja und natürlich, wie er auf die allgemeine form für gerade Exponenten x=2n kommt.

Und schließlich meine wichtigste Frage

Wie ich gelesen hab, gibt es bisher für ungerade Exponenten ( außer 1) weder eine allgemeine Lösung noch eine Lösung zu irgendeiner HR mit ungeradem Exponenten.
Deswegen hab ich die letzen paar Wochen rum gerechnet. Ich hab was gefunden, aber ich glaub, dass das schon jemand anderes Entdeckt hat.
Vorher wollt ich noch fragen, obs hier einen Formeleditor gibt, damit ich meine Formel besser formulieren kann :beer:


mfg monarch

Re: Basler Problem und Integrallog

Verfasst: 22. Dez 2013, 10:45
von seeker
Hallo monarch87, natürlich hat man dich vermisst! :beer:

Ich hab leider (wie du siehst) im Moment keine Zeit mich damit zu beschäftigen, hoffe aber, dass das jemand anderes hier im Forum tun wird (s'gibt hier eh Leute, die in sowas viel firmer sind als ich, die das 'aus dem Ärmel schütteln' können...).

Viele Grüße
seeker

Re: Basler Problem und Integrallog

Verfasst: 23. Dez 2013, 14:17
von breaker
Hallo monarch,

Die Reihe, die du untersuchst, heißt nicht "harmonische Reihe", sondern "Riemann'sche Zetafunktion".
DASS die Reihe konvergiert, sieht man leicht mit dem Majorantenkriterium:
Man kann sie durch die Reihe abschätzen und diese mit einer Partialbruchzerlegung umschreiben.

Interessiert dich nur, OB die Reihe konvergiert, oder ist es wichtig, gegen welchen Wert sie konvergiert?

Man kann LaTeX-Formeln einbetten. Rechts oben gibt es einen Button mit der Aufschrift "tex".


Ein besserer Ort für derart technische Fragen wäre übrigens dieses Forum hier gewesen: http://matheplanet.com

Re: Basler Problem und Integrallog

Verfasst: 23. Dez 2013, 16:58
von Skeltek
Bist du mit Reihenentwicklung vertraut?

Re: Basler Problem und Integrallog

Verfasst: 25. Dez 2013, 17:25
von monarch87
Frohe Weihnachten erstma !!

Ja ich kenn das Majoraner-Kriterium, aber würd gern auf den/die Exakten Werte kommen.
Hab jetzt zwei Semester höhere Mathe gehabt und kenn mich jetzt besser mit unendlichen Reihen, Integralen etc.. aus
Euler hats ja über die Sinusfunktion gemacht, die ihre Nullstellen bei Pi und Vielfache davon besitzt. Aber wie er da weiter vorgegangen ist, hab ich nicht verstanden.
Im Endeffekt hat er das für gerade Exponenten verallgemeinert. Für ungerade gibts aber bisher keine Lösungen.

Deswegen hat mich das nicht losgelassen und ich hab bisschen rumprobiert.
Einerseits will ich jetzt wissen, wie er das genau gelöst hat und anderseits will ich eine Rechnung für ungerade Exponenten ermitteln
Könnte mir jemand mal sagen, wie ich den Formeleditor benutze, damit meine Rechnung übersichtlich ist und jeder hier das alles nachvollziehen kann.

liebe grüße

Re: Basler Problem und Integrallog

Verfasst: 25. Dez 2013, 19:03
von seeker
monarch87 hat geschrieben:Könnte mir jemand mal sagen, wie ich den Formeleditor benutze, damit meine Rechnung übersichtlich ist und jeder hier das alles nachvollziehen kann.
Ja, das ist ein bißchen versteckt (und das sollten wir ändern, gravi)...
Schau hier rein:
http://abenteuer-universum.de/bb/viewto ... f=2&t=1973

Allgemein kannst du Formeln erstellen, indem du
[tex.] ..[./tex]
benutzt.
(Ohne die zwei Punkte in den eckigen Klammern. Ging nicht anders, sonst wäre die Klammer nicht anzgezeigt worden.)
Im Texteingabefenster gibt es oben rechts auch einen Button dazu (dort wo auch Quote, Fettschrift, usw. ist).
Zur Übung fand ich es auch hilfreich einfach irgendwelche Formeln von z.B. Wikipedia hier reinzukopieren und dan zu "texen" und zu manipulieren dann per Vorschau anzuschauen, wie das jeweils aussieht.

Grüße
seeker

Re: Basler Problem und Integrallog

Verfasst: 25. Dez 2013, 20:17
von monarch87
[tex.] S(x)= 1+x+x^2+x^3....x^n mit n =>unendlich; S(x) nenn ich hier mal S-Funktion

S(x)=1+x( S(x) ) -> S(x) = 1/(1-x) , das ist ja unsere Standardformel, die allgemein bzw. mir bekannt ist (wenn ich sie nochmal erläutern soll, dann schreib

Von hier aus hab ich halt entdeckt, dass das (bestimmte) Integral :

Integral von s(x) -> "-ln(1-x) " ist,

Nun hab ich gesehen ,dass das Integral an der Stelle " 1 " der harmonischen Reihe entspricht und divergiert.
Dann hatte ich mehrere Tage über die Formeln nachgedacht und nun den Wert der harmonische Reihe mit höhren Exponenten zu errechnen,sprich für die Riemansche-Zetafunktion (ohne Imaginärwerte)
Und auch halt einen Weg zu finden für ungerade Exponenten zu finden, wofür es bisher keine Lösung gibt.

Nun ist mir aufgefallen, dass wenn ich das Integral von der S-Funktion durch x Teile und diese gesamte funktion wiederrum integriere erhalte ich eine Kurzform für Rieman-Funktion mit Exponenten 2.
Teile ich diese durch x und intergrier wieder, erhalt ich die Form für Exponent =3, Teile ich diese Formel durch x und intergiere wieder erhalte ich eine Form für Exponenten =4 und Tada, wir haben einen Kurzform für eine unendliche Reihe mit Exponenten aus dem Bereich der natürlichen Zahlen.
Ich wollt wissen, ob das schon jemand entdeckt hat. Wenn ich die Rechnung bei Wolfram Alpha eingeben, spuck die Seite mir Li(1), Li(2) , Li(3)...also den Integralllogarithmus. Deswegen wollt ich wissen, obs das Konzept schon gibt.

Dann wollt ich noch wissen, wie ich die weiteren Integrale berechne und wie ich die Werte an der Stelle 1 Berechne, da in den Funktionen halt auch immer ln(1-x) auftaucht
und ob dies die Aufgabe irgendwie erleichtert die Werte für größere Exponenten der Zetafunktion auszurechnen



[./tex]

Ich habs grad mehrmals versucht mit dem Formeleditor, bin hier aber auch im Zeitdruck, da das Familienweihnachtsfest in meinem Rücken grad gefeiert wird und ich gefragt werde, was für verrückte sachen ich hier schreibe
:D

Ich werd das Programm die Tage nochmal, wenn ich Zeit hab studieren und euch die Formel dann in vernünftiger Mathematik darstellen

Hoffe ihr konntet was verstehen :p

Re: Basler Problem und Integrallog

Verfasst: 26. Dez 2013, 17:18
von gravi
seeker hat geschrieben:Ja, das ist ein bißchen versteckt (und das sollten wir ändern, gravi)...
Schau hier rein:
http://abenteuer-universum.de/bb/viewto ... f=2&t=1973
Okay, ich schreibe es mir mal auf den Merkzettel und erstelle dann eine einfachere Anleitung in deutsch.

Gruß
gravi

Re: Basler Problem und Integrallog

Verfasst: 28. Dez 2013, 16:41
von monarch87
So ich habs mal in ein Formel Editor reingeschrieben:

http://www.pic-upload.de/view-21763931/Basel-N.png.html

Wie wir sehen, sind an den Grenzen 0-1 dieser Integrale die Lösungen der Zetafunktionen für natürliche Exponenten ohne Imaginäranteil

Wenn ich diese Rechnung in Wolframalpha eintrage spuckt er mir einerseits das komplette Integral und andereseits Li(1), Li(2), Li(3) als Integrale aus
Also hab ich aufjedenfall eine Gleichung die nicht aus unendlichen Gliedern besteht auch für den ungeklärten Fall: "Exponent=3"
Meine Fragen sind jetzt:

Hat das schon jemand entdeckt?
Nützt mir das überhaupt etwas um das exakte Ergebnis zu berechnen?
Wie berechne ich diese Integrale genau?
Was mach ich an den stellen wo log(1-x) auftaucht an der Stelle 1, soll ich es als log(1-x)=unendlich aufnehmen?

greetz m87 :)