Gleichmächtigkeit von N und R?!?

[breaker]

Wenn du dir die reellen Zahlen als durchnummerierte Kugeln vorstellst, nimmst du schon faelschlicherweise an, dass sie abzaehlbar sind. Die Nummerierung waere ja eine Bijektion zwischen N und R. Deshalb ist dieses Bild nicht gerechtfertigt.
Grenzwerte und Wahrscheinlichkeiten sind hier unnoetig und haben eigentlich gar nichts mit dem Thema zu tun.

[Skeltek]

Vielleicht nochmal so herum meine Perspektive erklärt:

1. Wir haben die unendlichen Mengen R und N, wobei insbesondere R auch Cantor's Diagonalzahlen beinhaltet, weil sie nunmal reelle Zahlen sind.

Cantors Diagonalzahl ist keine reele Zahl sondern eine von den Dezimalstellen n abhängige Restklasse die nicht in deiner Liste vorkommt. Die Anzahl der Elemente dieser Restklasse ist für jedes n unendlich. Die Anzahl ist keine klassische Nullfolge. Ob sie für n=unendlich nun ein oder kein Element hat ist strittig

[tomS]

Nun ordnen wir jeder nat. Zahl völlig beliebig genau eine reelle Zahl zu. Weil diese Zuordnung unendlich lange dauert, werden auch unendlich viele reelle Zahlen zugeordnet ... Damit werden allen Voraussetzungen einer Bijektion erfüllt: jede nat. Zahl bekommt eine reelle Zahl und alle Elemente von N und R werden so zugeordnet bzw. kein Element bleibt unzugeordnet.

Das Cantorsche Diagonalelement zeigt, dass genau das nicht funktioniert: Voraussetzung bzw. Annahme des Argumentes ist gerade die Bijektion; und die wird zu einem Widerspruch geführt, weil (unter der Annahme der Existenz einer solchen Bijektion) eine Zahl konstruiert wird, die gerade nicht in der Bijektion enthalten sein kann.

[Pippen]

ME scheitert mein Argument, weil die Wahrscheinlichkeit einer Zuordnung einer reellen Zahl x aus der Menge der unendlich vielen reellen Zahlen schlicht 0 beträgt und damit nach meinen eigenen Annahmen schon mind. eine reelle Zahl x nicht zugeordnet werden kann. Wenn ich eine Urne mit unendlich vielen Kugeln habe und nach der Wahrscheinlichkeit für die Ziehung der Kugel 13 frage, dann beträgt diese 0...und dann "nützt" es mir auch nichts, wenn ich unendlich viele Ziehungen hätten, denn 0 mal unendlich bleibt unendlich. So jedenfalls klingt es für mich plausibel.

[breaker]

Es hat NICHTS mit Wahrscheinlichkeiten zu tun! Nach deiner Argumentation könnte es dann auch keine bijektive Abbildung von N nach N geben, aber die gibts nunmal.

[Pippen]

1. Wir haben die unendlichen Mengen R und N.

2. Nun schreiben wir alle Elemente von N in eine Liste, beginnend mit n=1 und fortführend mit jeweils n+1. Wir bekommen eine Liste mit unendlich vielen natürlichen Zahlen.

3. Nun ordnen wir jeder nat. Zahl völlig beliebig genau eine reelle Zahl zu und zwar nach folgendem Verfahren:

a) Vorgegeben ist "0,...".
b) Die Ziffern nach der 0, die letztlich die reelle Zahl bilden, wird zufällig aus dem Pool der Zahlen "0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, keine Zahl" ausgewählt. ("Keine Zahl, damit zB eine reelle Zahl wie "0,12" ausgewählt und zugeordnet werden kann.)
c) Das Vorgehen von b) wird unendlich oft durchgeführt, nach jedem output wird die reelle Zahl zu einer nat. Zahl zugeordent, sofern sie nicht bereits zugeordnet wurde.

4. Ist nicht nach o.g. Verfahren die Wahrscheinlichkeit dafür, dass irgendeine reelle Zahl x nicht generiert (und damit dann immer einer nat. Zahl zugeordnet) werden kann gegen 0 laufend (und damit das Gegenereignis "reelle Zahl x wird generiert" gegen 1 laufend)? Wenn das nämlich so ist - und ich glaube, dass das so ist - dann kann ich beweisen, dass nach o.g. Verfahren alle reellen Zahlen allen nat. Zahlen zugeordnet werden können und damit wären N und R bijektiv und damit abzählbar und damit gleichmächtig! Oder? (Sorry, ich versuche durch meine "Beweise" mehr vom Thema zu verstehen, als wirklich zu beweisen.)

[Skeltek]

Indirekt schon. Er kann keine reele Zahl auswählen, die nicht ohnehin bereits im konstruierbaren Zahlenraum ist(und dieser ist abzählbar).
Die reelen Zahlen sind nicht überabzählbar, weil sie mehr Elemente haben(das ist das was die Analogie ihm zeigen sollte), sondern weil sie sich nicht als Perlenkette sortieren lassen(es existiert einfach kein Algorithmus dafür).

3. Nun ordnen wir jeder nat. Zahl völlig beliebig genau eine reelle Zahl zu und zwar nach folgendem Verfahren:

a) Vorgegeben ist "0,...".
b) Die Ziffern nach der 0, die letztlich die reelle Zahl bilden, wird zufällig aus dem Pool der Zahlen "0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, keine Zahl" ausgewählt. ("Keine Zahl, damit zB eine reelle Zahl wie "0,12" ausgewählt und zugeordnet werden kann.)
c) Das Vorgehen von b) wird unendlich oft durchgeführt, nach jedem output wird die reelle Zahl zu einer nat. Zahl zugeordent, sofern sie nicht bereits zugeordnet wurde.

Zu 3: Muss man genau anders herum machen.

Kleine Frage die du dir stellen kannst, um dir der Sachlage klarer zu werden:
Wenn du deine Liste erstellst, fängt du mit den Zahlen an, die nur eine endliche Anzahl Dezimalstellen haben oder fängt du mit denen an, die unendlich viele Nachkommastellen haben?
Die Sache ist die: Selbst wenn du abwechseln würdest, gibt es es "unendlich mal mehr*" Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, als Zahlen mit endlichen Nachkommastellen.
Es existiert kein Algorithmus, der abwechselnd genau eine abbrechende Nachkommazahl und unendlich viele nichtabbrechende Nachkommazahlen immer abwechselnd in einer Reihe aufzählt("nach" unendlich vielen nichtabbrechenden Zahlen müsste die nächste abbrechende Zahl kommen).
Problem ist, daß es numerisch gesehen nicht möglich ist die Reihenfolge/Sortierung der Aufzählung so zu gestalten, daß alle reelen Zahlen wirklich drankommen.
Wenn du N^2 oder N^13 hast, ist das auch aufzählbar(Diagonalisierungsverfahren).
Wenn du jedoch "N^unendlich" hast, also einen unendlichdimensionalen Vektorraum, existiert ähnlich auch keine Diagonalisierungsverfahren dafür das den gesammten Raum vollständig erfasst.

zu *: "unendlich mal mehr" ist mathematisch völlig falsch/sinnfrei formuliert, es hilft aber vielleicht die Gedankenfetzen grob zu sortieren

[tomS]

3. Nun ordnen wir jeder nat. Zahl völlig beliebig genau eine reelle Zahl zu und zwar nach folgendem Verfahren ...

Löse dich von der Konstruktion eines bestimmten Verfahrens. Das Cantorsche Diagonalelement zeigt, dass die Annahme der Existenz eines beliebigen Verfahrens zu einem Widerspruch führt, d.h. dass kein Verfahren existieren kann, das eine Bijektion liefert.

[Pippen]

3. Nun ordnen wir jeder nat. Zahl völlig beliebig genau eine reelle Zahl zu und zwar nach folgendem Verfahren ...

Löse dich von der Konstruktion eines bestimmten Verfahrens. Das Cantorsche Diagonalelement zeigt, dass die Annahme der Existenz eines beliebigen Verfahrens zu einem Widerspruch führt, d.h. dass kein Verfahren existieren kann, das eine Bijektion liefert.

Wenn man aber eins finden würde, dann wäre damit Cantor widerlegt, es bringt also nicht viel, seinen Beweis hier als Argument zu benutzen, wobei ich glaube, dass auch in meinem neuen Argument die Wahrscheinlichkeit, Zahlen wie 1/3 zu generieren gegen 0 läuft. Vielleicht kann das jmd. bestätigen: In Mengen mit unendlichen vielen Elementen ist die Wahrscheinlichkeit bei unendlich vielen Versuchen jedes Element "herauszugreifen" immer gegen 0 laufend. Damit scheitert jede Widerlegung von Cantor über diese Schiene...und dann versteht man auch, warum Cantor mit seinen komischen Listen kommt und dort dann Diagonalverfahren anwendet.

[tomS]

Löse dich von der Konstruktion eines bestimmten Verfahrens. ...

Wenn man aber eins finden würde, dann wäre damit Cantor widerlegt, ...

Ja!

Wahrscheinlichkeiten helfen da sicher nichts. Und eine Gleichverteilung von Wahrscheinlichkeiten auf N bzw. R kannst du nicht konstruieren!!

[breaker]

Genau das sage ich die ganze Zeit schon...

[Skeltek]

In Mengen mit unendlichen vielen Elementen ist die Wahrscheinlichkeit bei unendlich vielen Versuchen jedes Element "herauszugreifen" immer gegen 0 laufend.

Das ist so gesagt nicht richtig.
Du kannst auf N einen Algorithmus erstellen, der jedem beliebigen Element eine endliche realistische Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden zuordnet. z.B. für die Elemente 1, 2, 3, 4 usw die Wahrscheinlichkeiten 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 usw. (Man könnte auf diese Weise sogar eine vollständige Liste der natürlichen Zahlen erstellen, indem man unendlich lange zufällige Zahlen zieht und aufschreibt)

Auf R gibt es so etwas nicht; wenn du dir jetzt noch überlegst, warum das so ist und mit welcher Zahl du in R anfangen würdest aufzuzählen, kommst du vielleicht auf den wirklichen Grund der Überabzählbarkeit.
Es liegt nicht daran, daß sie mehr Elemente haben, sondern dass man sie nicht ordnen kann.

Gruß Skel

ps: Die anderen haben natürlich recht, daß es nichts mit Wahrscheinlichkeit direkt zu tun hat. Ich hatte gehofft, daß dich die Suche nach dem Grund in die richtige Richtung lenkt. Sie ist indirekt durch die Überabzählbarkeit begründet.

[breaker]

Die Intuition, dass R "mehr" Elemente als N hat, ist schon richtig. Und R ist ein angeordneter Körper...

Der "wahre" Grund, warum R nicht abzählbar ist, ist der, dass es keine Bijektion von N nach R gibt, denn so ist Abzählbarkeit definiert und nicht anders. Mehr gibt es dazu einfach nicht zu sagen.

[Skeltek]

Vielleicht hilft es dir auch dir einmal diverse Darstellungen zum Halteproblem und der Überabzählbarkeit der berechenbaren Funktionen durchzulesen(man setzt als Argument in eine abzählbare unendliche Menge Funktionen hintereinander immer das Ergebniss aller bereits berechneten Funktionen(also das Ergebniss einer Funktion als Argument in die nächste Funktion einsetzen); man sieht dann relativ schnell, daß von den unendlich vielen Möglichen Pfaden/Reihenfolgen die man in der Tabelle beschreiten kann immer nur maximal ein "Pfad" aufgeschrieben werden kann). Es gibt überabzählbar viele Bijektionen von Q nach Q.

Das Material das man dazu im Netz findet ist prinzipiel fast derselbe Beweis aber anders dargestellt.
Ich hatte einst eine gute Seite dazu gefunden, vielleicht hab ich heute abend mal Zeit sie zu suchen.

[seeker]

Die Intuition, dass R "mehr" Elemente als N hat, ist schon richtig. Und R ist ein angeordneter Körper...

Der "wahre" Grund, warum R nicht abzählbar ist, ist der, dass es keine Bijektion von N nach R gibt, denn so ist Abzählbarkeit definiert und nicht anders. Mehr gibt es dazu einfach nicht zu sagen.

Man kann noch sagen, dass der Begriff "mehr Elemente" im Sinne von "größere Anzahl" einfach unsinnig ist, wenn man es mit Unendlichkeiten zu tun hat.
Eine unendliche Menge hat keine größere AnZAHL von Elementen als eine andere. Die Eigenschaft "Anzahl an Elementen" existiert dort nicht.

Das wäre nämlich genauso, wie wenn ich eine rote Kugel mit einer blauen Kugel vergleiche und dann frage, welche der Kugeln gelber ist? (Oder noch besser: Welche der Kugeln besser englisch spricht?)

Weil diese Eigenschaft dort nicht existiert hat man das Kriterium "Mächtigkeit" eingeführt, um dennoch vergleichen zu können. Das ist aber etwas anderes.
Ich denke, der Begriff "Mächtigkeit" ist weiter, umfassender als der Begriff "Anzahl", denn ich kann ihn sowohl auf endliche Mengen als auch auf unendliche Mengen anwenden.
Das ist der Fortschritt daran.

Grüße
seeker

[tomS]

Doch, die Frage der Mächtigkeiten hat Cantor geklärt. Es ist durchaus (exakt) möglich einen Größenvergleich einzuführen. Im Falle der Abbildung von R auf N ist klar, dass beim Versuch einer Bijektion immer Elemente aus R nicht zugeordnet werden, während umgekehrt N in R echt enthalten ist. D.h. die Aussage |R| > |N| im Sinne von Mächtigkeiten ist sinnvoll. Dies funktioniert ganz allgemein für die Konstruktion der Potenzmenge.

Genauso ist es (exakt) möglich, eine Anordnung der Alephs zu definieren. Auch das hat Cantor geklärt.

Was beweisbar (!) undefiniert bleibt ist der Zusammenhang zwischen den Alephs und der Potenzmengenkonstruktion im Rahmen des Zermalo-Fraenkel-Axiomensystems; Stichwort (verallgemeinerte) Kontinuumshypothese.

http://de.wikipedia.org/wiki/Kontinuumshypothese

[breaker]

Man kann noch sagen, dass der Begriff "mehr Elemente" im Sinne von "größere Anzahl" einfach unsinnig ist, wenn man es mit Unendlichkeiten zu tun hat.
Eine unendliche Menge hat keine größere AnZAHL von Elementen als eine andere. Die Eigenschaft "Anzahl an Elementen" existiert dort nicht.

Das wäre nämlich genauso, wie wenn ich eine rote Kugel mit einer blauen Kugel vergleiche und dann frage, welche der Kugeln gelber ist? (Oder noch besser: Welche der Kugeln besser englisch spricht?)

Weil diese Eigenschaft dort nicht existiert hat man das Kriterium "Mächtigkeit" eingeführt, um dennoch vergleichen zu können. Das ist aber etwas anderes.
Ich denke, der Begriff "Mächtigkeit" ist weiter, umfassender als der Begriff "Anzahl", denn ich kann ihn sowohl auf endliche Mengen als auch auf unendliche Mengen anwenden.
Das ist der Fortschritt daran.

Das ist alles richtig. Ich hab ja auch nur gemeint, die Intuition waere die richtige. R entsteht aus N, indem man nach und nach immer mehr Elemente dazunnimmt und ab einem gewissen Punkt gibt es keine Surjektive Abbildung mehr von N in seine Erweiterung. Auch wenn es keine feste Anzahl an Elementen gibt, klingt es schon einleuchtend, zu sagen, dass R groesser ist, als N.
Und so eine Intuition ist in der Mathematik definitiv hilfreich.

[seeker]

Ich meinte das ja auch nur als Ergänzung, breaker.

Und so eine Intuition ist in der Mathematik definitiv hilfreich.

Klingt einleuchtend.

Es ist durchaus (exakt) möglich einen Größenvergleich einzuführen.

Ich störe mich dabei ja auch nicht an der Mathematik, sondern an der sprachlichen Beschreibung bzw. an den sprachlichen Worten.
Das kann m. E. zu Verwirrungen führen und sollte daher auch sprachlich klar unterschieden werden.
Deshalb ist es für mich eben kein "Größenvergleich" sondern ein "Mächtigkeitsvergleich".

Noch zu den Alephs:
Wenn ich das noch recht weiß, hat man bisher nur zwei davon konstruieren können: Aleph 0 und Aleph 1. Ist das so?
Falls ja, dann sieht das für mich noch nicht eindeutig nach einer Zahlengeraden aus. Es könnte auch genausogut eine "schwarz/weiß-Eigenschaft" sein - oder?

Um nochmals mit dem Bild mit den Kugeln zu arbeiten:

Ich habe eine rote und eine blaue Kugel.
Statt nun sinnlos zu fragen, welche Kugel "gelber" ist, fragt Cantor sinnvoll, welche Kugel "dunkler" ist. Diese Frage lässt sich beantworten: Es ist die blaue Kugel!

Grüße
seeker

[tomS]

Der Zusammenhang zwischen den alephs und den bekannten Zahlensystemen ist unklar. Ob aleph-1 den reellen Zahlen entspricht ist Gegenstand der Kontinuumsvermutung.

[Pippen]

Eine weitere Frage in diesem Zusammenhang. Die Menge der reellen Zahlen soll doch bijektiv zur Menge der reellen Zahlen sein (R->R). Wieso eigentlich? Cantor beweist ja via seinen Diagonalzahlen, dass man eine abzählbare Liste aller reellen Zahlen nicht aufstellen kann. Damit müsste aber jede Bijektion "R->..." von vornherein scheitern, auch wenn es um "R->R" geht. Wieso kommt man bei R->R auf einmal doch wieder auf eine Bijektion?

[tomS]

Eine Bijektion zweier Mengen bedeutet, dass Elemente paarweise und vollständig zugeordnet werden können. Dabei ist keine spezielle Konstruktion mittels abzählbaren Listen notwendig. Für Elemente x aus einer Menge R ist eine Bijektion mit sich selbst trivial, da die Zuordnung x=x trivial ist.

Etwas interessanter ist die Bijektion von R mit dem offenen Intervall ]0,1[, die man z.B. mittels einer Funktion

f(x) = x / (x+1)(x-1)

konstruieren kann.

Ebenfalls interessant ist die Bijektion der Strecke ]0,1[ mit der [0,1[[up]n[/up] wobei n=1,2,3,... für Strecke, Quadrat, Würdel, ... steht.

[breaker]

Also zunächst mal gibt es zweifellos eine Bijektion von R nach R, z.B. durch f(x)=x.

Aber wenn ich deine Frage richtig verstanden habe, willst du wissen, warum der Beweis von Cantor schiefgeht, wenn man reelle Zahlen mit reellen Zahlen (anstelle von natürlichen Zahlen) durchnummeriert.
Gehen wir den Beweis einfach mal Schritt für Schritt durch (ich halte mich mal an die Wikipedia-Version):

Er fängt an mit "Sei irgendeine Folge reeller Zahlen...". Es wird also eine Familie von reellen Zahlen betrachtet, die durch natürliche Zahlen durchnummeriert sind.
Dies müssen wir für unseren Fall wie folgt abändern: Sei irgendeine Familie von reellen Zahlen, parametrisiert durch ...
Danach wird oBdA angenommen, dass alle z[down]x[/down] im Intervall (0,1) liegen; daran ändert sich nichts.
Danach kommt:
"Die Zahlen in dieser als gegeben vorausgesetzten Folge sehen in ihrer Dezimalbruch-Entwicklung so aus:




"

Wie ändern wir das auf reelle Zahlen ab? Ziemlich unklar, oder? Wir können die Familie nicht der Reihe nach aufschreiben, weil wir eben die Indizes x nicht abzählen können, weil diese nun aus R sind! Deshalb scheitert die Beweismethode an dieser Stelle und das Diagonalargument ist nicht durchführbar.

[Pippen]

Aha. Danke euch beiden, jetzt hab ich's kapiert.

[Skeltek]

Hat jemand zufällig die genaue Definition von (der Menge der/den) reelen Zahlen parat?
Auf Wikipedia ist es irgendwie schlaxig definiert.

[breaker]

Es gibt verschiedene Definitionen. Falls ich am Wochenende mal Zeit hab, kann ich hier vllt mal eine erklären.