Gleichmächtigkeit von N und R?!?

[seeker]

MIr ist gerade aufgefallen, dass Cantors 2. Diagonalargument (http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zw ... alargument) nur dann funktioniert, wenn die Anzahl der Nachkommastellen jeder Zahl in der Liste größer/gleich der Anzahl der Zahlen in der Liste ist. D.h. sein Argument funktioniert nur dann, wenn auch eine Diagonale existiert, die alle Zahlen erwischt:

Die Liste enthalte n Zahlen mit i Nachkommastellen, mit n <= i und n, i gegen Unendlich.
Woher weiß Cantor, dass n <= i gilt?

Ich mache eine andere Liste:

In meiner Liste gilt n = 2i, mit n, i gegen Unendlich.
In meiner Liste existiert keine Diagonale, die alle Zahlen in der Liste erwischt, weil es immer mehr Zahlen als Nachkommastellen gibt.
Daher kann man in meiner Liste mit dem Diagonalverfahren keine neuen Zahlen generieren, die nicht in meiner Liste vorkommen.
Meine Liste ist daher vollständig oder zumindest nicht beweisbar unvollständig.

Frage: Ist das Diagonalargument nicht evtl. ein Zirkel? Beweist es evtl. nur seine a-priori-Annahme, nämlich n=i ?

Beispiel im Endlichen, mit zwei Ziffern:
(Ich nehme das Binärsysten, dann muss man weniger schreiben.)

Ich generiere die folgende Liste:

00
01
10
11

Die Diagonale erwischt hier nur die Zahlen 00 und 01 und generiert daraus eine neue Zahl, die jedoch gleich einer der beiden nicht erwischten Zahlen ist (10 oder 11).
Ich kann die Anzahl der Ziffern schrittweise, beliebig erweitern und daraus stets eine neue vollständige Liste generieren, bis ins Unendliche, das Ergebnis bleibt immer dasselbe: Die Diagonale erwischt nicht alle Zahlen in der Liste, weil es in meiner Liste stets mehr Zahlen als Ziffern gibt (n>i). Es existiert also keine Diagonale.

Grüße
seeker

[tomS]

Es geht um eine abzählbar unendlich Liste von Zahlen mit abzählbar unendlich vielen Nachkommastellen (ggf. nach rechts mit Nullen auffüllen). Das Diagonalargument erzeugt für jede derartige Liste eine Zahl, die nicht in der Liste enthalten ist.

[seeker]

Ja, aber wie konstruiere ich die?
Mein Ansatz war, von einer endlichen Liste mit Zahlen mit endlicher Anzahl von Nachkommastellen auszugehen und beides dann schrittweise (endlos) zu erweitern, ne Art Grenzübergang zu machen.

Grüße
seeker

[tomS]

das kommt auf die Liste bzw. die Zahlen an; das kann man i.A. nicht sagen

generell benötigt man zur Erzeugung einer abzählbaren Liste einen Algorithmus, der in endlicher Zeit die N-te Ziffer in der Liste ausspuckt; das Iterieren über 1,2,...,m Zahlen mit 1,2,...,n Nachkommastellen würde ich entlang der Diagonalen wie im Beweis zur Abzählbarkeit von Q machen

[seeker]

Ich habe schon verstanden, wie Cantors Nachweis funktioniert.
Ich untersuche nur, welche Voraussetzungen er braucht.

Noch einmal meine Argumentation:

Ich erzeuge eine endliche Liste mit Zahlen der Form:
0,..
Ich bleibe dabei jetzt dual, weil da der Unterschied, den ich noch zeigen will, minimal ist, im Zehnersystem geht es analog.

Ich beginne mit einer Nachkommastelle und erhalte als Liste:

0,0
0,1

Diese Liste ist definitiv vollständig.
Ich mache weiter mit 2 Nachkommastellen:

0,00
0,01
0,10
0,11

Dann mit 3 Stellen, usw.
Meine Liste bleibt stets vollständig.

Ich erkenne folgenden Zusammenhang:

Bei n Nachkommastellen enthält meine Liste 2[up]n[/up] Elemente (Zahlen).

Nun bilde ich das Verhältnis zwischen Anzahl der Nachkommastellen und Anzahl der Elemente:

V = n/2[up]n[/up]

...und bilde den Limes davon:

lim(n->unendl.) n/2[up]n[/up] = 0 bzw. umgekehrt: lim(n->unendl.) 2[up]n[/up]/n = unendl.

D.h.: Die Anzahl der Elemente in meiner Liste wächst schneller als die Anzahl der Nachkommastellen. Die Anzahl der Elemente in der Liste wird im Verh. zur Anzahl der Nachkommastellen unendlich groß. Es gibt unendlich viel mehr Elemente in meiner vollständigen Liste als Nachkommastellen. Deshalb kann es aus dieser Sicht auch keine Diagonalzahl geben.

So weit so gut.

Ich denke der Dreh- und Angelpunkt bei der Geschichte ist die aktuale Unendlichkeit.
In meiner Argumentation verwende ich nur potentielle Unendlichkeiten (also Prozesse).
Damit Cantors Beweis funktioniert muss er m.E. aktuale Unendlichkeiten a priori annehmen, d.h. eine reelle Zahl muss von Anfang an, aktual, unendlich viele Nachkommastellen haben.

Lande ich mit meiner Untersuchung vielleicht auf der Argumentationslinie der damaligen Kritiker Cantors (ohne das jetzt nachgeschaut zu haben)?

Auf Kritik gestoßen ist Cantors Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen durch das zweite Diagonalverfahren bei Leopold Kronecker, Hermann Weyl, Luitzen Brouwer, Henri Poincaré und LudwigWittgenstein. Konstruktivisten deuten das Cantorsche Diagonalverfahren anders als Cantor. Es wird selbst als Zahlenkonstruktionsverfahren verstanden, in dem nicht irgendeine Ordnung gewählt wird, sondern eine konkrete Ordnung (eine bestimmte Folge) der abzählbaren Ausgangsmenge vorausgesetzt wird. Die durch das Diagonalverfahren entdeckte Eigenschaft wird von konstruktiven Mathematikern als Offenheit oder als Indefinitheit (Paul Lorenzen, Christian Thiel) der Mengen reeller Zahlen angesehen und nicht als die Überabzählbarkeit einer Menge. So wie man etwa die Menge der ganzen Zahlen zur Menge der rationalen Zahlen erweitern kann, so könne man auch die algebraischen Zahlen durch algebraische Hüllen über neue Diagonalzahlen oder transzendente Zahlen erweitern und erhält so immer größere abzählbare Mengen reeller Zahlen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zw ... alargument


Grüße
seeker

[tomS]

Ich denke, ich verstehe, was du tust.

Du konstruierst nur rationale Zahlen!

Du kommst nie zu den reellen Zahlen, deswegen ist es nicht so, dass Cantors Beweis nicht funktioniert, sondern lediglich, dass er nicht benötigt wird. Bzgl. der rationalen kannst du durch eine geeignete Reihenfolge auch immer sicherstellen, dass die Liste vollständig ist.

[Skeltek]

MIr ist gerade aufgefallen, dass Cantors 2. Diagonalargument (http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zw ... alargument) nur dann funktioniert, wenn die Anzahl der Nachkommastellen jeder Zahl in der Liste größer/gleich der Anzahl der Zahlen in der Liste ist. D.h. sein Argument funktioniert nur dann, wenn auch eine Diagonale existiert, die alle Zahlen erwischt:

1,00000000000.... ist auch eine Zahl
Ist eine Nachkommastelle Null zählt die auch als Ziffer.
Ausserdem würde ich ehh keine Dezimalzahlen verwenden; dann gibt es auch keinen endlichen Algorithmus zum Sicherstellen daß eine Diagonalzahl gebildet werden kann.

[seeker]

Du konstruierst nur rationale Zahlen!

Das glaube ich nicht. Jede meiner Listen ist definitiv vollständig. Wenn ich meine Listenfolge immer weiter fortsetze nähere ich mich den reellen Zahlen immer mehr an.
Ich kann ja nach und nach beliebig viele, unendlich viele Listen anfertigen. D.h. meine Listenfolge konvergiert mit den reellen Zahlen.
Vollziehe ich den Unedlichkeitsübergang erhalte ich daher definitiv eine vollständige Liste der reellen Zahlen (im Intervall (0,1)). Es kann keine Zahl fehlen.

Ich habe aber noch einmal nachgedacht:

Im Grunde bestätige ich doch nur Cantors Beweis!

Was Cantor nämlich tut ist:
Er nimmt eine unvollständige Liste und konstruiert darauf seine Diagonalzahl, die diese Liste vollständig abdecken kann.
Es wird zwar zu Anfang angenommen, dass diese Liste vollständig sei, das IST sie aber nicht, wie sein Diagonalargument zeigt.
Daran sieht man: Auf einer unvollständigen Liste kann eine Diagonalzahl konstruiert werden, die alle Zahlen auf der Liste abdeckt und Zahlen jenseits der Liste generiert - nur auf einer unvollständigen Liste, WEIL sie unvollständig ist!

Ich tue das Umgekehrte:
Ich nehme eine vollständige Liste (das heißt ja nicht, dass meine Liste auch abzählbar oder mir bekannt oder aufschreibbar ist!) und zeige dann, dass der Bereich der Liste, auf der eine Diagonalzahl konstruiert werden kann Zahlen auf meiner Liste erzeugt, die jenseits dieses Bereichs liegen.
D.h. der Bereich meiner Liste, der von der Diagonalzahl abgedeckt wird, entspricht genau Cantors unvollständiger Liste!
Weiterhin zeige ich sogar, dass der Bereich meiner Liste, der nicht von der Diagonalzahl abgedeckt wird, unendlich viel größer ist als der abgedeckte Bereich,
eben weil lim(n->unendl.) 2[up]n[/up]/n = unendlich.

Die Diagonalzahl kann meine Liste nicht vollständig abdecken, WEIL meine Liste vollständig ist.
Ich vermute, man kann sogar sagen: Wenn auf einer unendlichen Liste eine Diagonalzahl gebildet werden kann, die alle Elemente der Liste abdeckt, dann ist die Liste abzählbar, wenn nicht, ist sie überabzählbar.

Einverstanden?

Grüße
seeker

[Skeltek]

Logisch, er macht ja auch einen Widerspruchsbeweis. Alle Zahlen in R sind konstruierbar. Die Mächtigkeithat eher etwas mit deren Ordnung zu tun.

Die Sache ist die, daß alle Cantorschen Diagonalzahlen gebildet werden können, wenn man Konstrukte wie Wurzeln und Funktionen anstelle von Dezimalziffern zulässt.
Jede von Cantors Diagonalzahlen entspricht einem durch endlichen Algorithmus gebildeten Grenzwert, den das Verfahren abdecken könnte; bzw Cantors Verfahren wäre in diesem gar nicht rekursiv durchführbar, da die Wertstellung seiner Dezimalstelle durch einen weiter hinten liegenden Term doch noch beigesteuert werden könnte.
Das Problem wäre dann aber, daß Cantor sich theoretisch einen unendlich langen nichtperiodischen Algorithmus zur Diagonalzahlkonstruktion überlegen könnte. Hier beißt sich dann die Katze in den Schwanz.

[tomS]

Du konstruierst nur rationale Zahlen!

Das glaube ich nicht. Jede meiner Listen ist definitiv vollständig. Wenn ich meine Listenfolge immer weiter fortsetze nähere ich mich den reellen Zahlen immer mehr an.
Ich kann ja nach und nach beliebig viele, unendlich viele Listen anfertigen. D.h. meine Listenfolge konvergiert mit den reellen Zahlen.

...

Einverstanden?

Nein, nicht einverstanden. Die beschreibst einen aufzählbaren Algorithmus mit aufzählbar unendlich vielen Schritten. Die Ergebnismenge ist daher ebenfalls nur aufzählbar.

[seeker]

Ich erzeuge doch aber offensichtlich alle Zahlen, die mit einer unendlichen Ziffernfolge dargestellt werden können.
Es kann keine Lücken geben. Wie geht das zusammen?

Grüße
seeker

[Skeltek]

Also ich fand mein Schaubild auf der ersten Seite recht aufschlussreich.
Auf der y Achse sind alle rationalen Zahlen in [0,1] als schwarze Knoten dargestellt.
Die rote Linie symbolisiert den ganzen Rest in [0,1].(okay, hab die rote Linie fälschlicherweise zu weit nach unten weiter laufen lassen)

bzw die schwarzen Knoten kann man auch als die konstruierbaren Werte betrachten und die rote Linie die ganzen nicht in endlichen Schritten konstruierbaren. Die rote Linie hat überabzählbar viele "Astspitzen"/"Knoten". Die rote Linie existiert tatsächlich, sie bettet die konstruierbaren Zahlen lediglich ein.
Ob man die dortigen Werte als Zahlen oder existent betrachtet ist eher eine phylosophische Frage. Der schwarze Bereich ist ohne den roten in jedem Fall Lückenhaft, da er in einem offenen Intervall liegt. Die schwarze x Achse symbolisiert dabei die Länge der Konstruktionsvorschrift, sie ist im schwarzen Bereich endlich und geht bei der roten Linie in eine unendliche Länge über.

[seeker]

Nein, nicht einverstanden. Die beschreibst einen aufzählbaren Algorithmus mit aufzählbar unendlich vielen Schritten. Die Ergebnismenge ist daher ebenfalls nur aufzählbar.

Ich versteh's nicht.

Die Menge der generierten Zahlen in meiner Liste bildet doch die Potenzmenge zu der Menge der Anzahl der Nachkommastellen?
(Für n Nachkommastellen erhalte ich 2[up]n[/up] Zahlen in meiner Liste.)
Nach dem Satz von Cantor ist eine Potenzmenge immer mächtiger als die Ursprungsmenge.
Die Ursprungsmenge (Menge der Anzahl der Nachkommastellen) ist abzählbar.
Also müsste die Anzahl der Zahlen in meiner Liste überabzählbar sein.

Davon abgesehen nähere ich bei meinem Vorgehen jede beliebige reelle Zahl beliebig nahe an, ganz wie bei Cauchy-Folgen oder Intervallschachtelungen.

Wer kann mir weiterhelfen?

Grüße
seeker

[seeker]

Es ist immer noch endlich. Die Potenzmenge einer endlichen Menge hat eine höhere Mächtigkeit als die Menge selbst. Nämlich 2^n.

Ich weiß nicht. Entweder akzepiere ich Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen oder ich tue es nicht.
Ich höre ja mit meiner ENtwickung nicht auf, also sind die gererierten Zahlen am unendlich werden.

1/3 entwickle ich ja auch so, dass ich sage: 1/3 = 0,33333...
Und es gilt ja auch 0,999... = 1

Kommen wir zum Kern des Pudels. Lassen wir die abzählbare Liste nach rechts anstatt mit 0,… mit einer beliebigen unendlich langen natürlichen Zahl beginnen, welche am Anfang meinetwegen die 1 hat. Die erste Spate hat überall die 1.

Diese Zahlen haben, wie wir gesehen haben, keinen Grenzwert. Sie sind also nicht eindeutig bestimmt, haben keinen eindeutigen Wert.
Wenn du mit 1111.... anfängst, was ist dann die darauf nachfolgende Zahl? 1111...2 ? Die gibt es nicht, weil es keine letzte Ziffer "2" geben kann. Das ist ein Problem.
Man kann die Menge der Reihen der Form "1+10+100+..." bilden. Vermutlich hast du also recht. Lass uns doch aber bei den Zahlen der Form 0,... bleiben - dann haben wirs einfacher.

Ich habe nochmal nachgedacht und sehe jetzt ein, dass meine Vorschrift so wie es aussieht doch nur die rationalen Zahlen entwickelt:

Statt binär kann ich es ja auch mal im Zehnersystem darstellen:

1. Nachkommastelle:
0,0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; ...; 0,9

2. Füge eine Nachkommastelle hinzu und liste alle möglichen Kombinationen aufsteigend auf (= zähle alle Kombinationen ab!):
0,00 ; 0,01 ; 0,02 ; ... ; 0,99

3. Füge eine weitere NKS hinzu und ...

usw.

Der Punkt ist:
Ich kann das auch mit Brüchen machen. Ich kann all diese Zahlen auch als Bruch darstellen:

1.: 0/10, 1/10, 2/10, ..., 9/10
2.: 0/100, 1/100, 2/100, ..., 99/100
3.: 0/1000, 1/1000, ..., 999/1000
usw.

... ich erhalte tatsächlich eine abzählbare unendliche Menge.

Was mich aber völlig verwirrt:
Ich erwische doch damit aber dennoch ALLE Zahlen, die in Dezimalschreibweise (zwischen 0 und 1) dargestellt werden können, also auch eine transzendente Zahl wie Pi/10 = 0,31415... ?
Pi/10 ist aber NICHT e Q!

Wie kann das sein???
Bedeutet das, dass transzendente Zahlen auch mit einer Kommazahl mit unendlich vielen Nachkommastellen nicht dargestellt werden können?

Ich muss das jetzt wissen, denn sonst verstehe ich überhaupt nichts mehr.
Zu Not melde ich mich halt bei nem Matheboard an (ist vielleicht mit solchen Themen eh besser...).

Grüße
seeker

[Skeltek]

Nehmt doch Binärzahlen, die fangen alle mit einer 1 an ^^
Dort wäre 0,111111111111111... = 1,0
Ausserdem gehören die transzendenten(nicht algebraischen) Zahlen wie z.B. Pi zu A(sie sind konstruierbar/abzählbar); es gibt aber auch transzendente Zahlen in R \ A(die man aber weder errechnen noch benennen kann).

Algebraische Zahlen sind per Definition Lösung eines Polynoms endlichen Grades. Diese Einschränkung musste man vornehmen, weil es bei unendlichgradigen Polynomen schwachsinnig ist davon zu sprechen ob sie algebraisch sind oder nicht(analog kann man bei unendlichen Kommastellen nicht sagen, ob sie auf eine gerade oder ungerade Ziffer enden).
Analog muss man bei rationalen Zahlen endliche Zähler und Nenner nehmen, da jede transzendente Zahl der Limes eines Produktes von n rationalen Faktoren ist(für Anzahl Faktoren gegen unendlich).


Die Sache mit Cantors Beweis ist doch, daß als Beispiel:
Cantor liefert mir zu meiner Liste:
0,5
0,45
0,445
0,4445
0,44445
...
folgender Diagonalzahlen:
0,4
0,44
0,444
0,4444
0,44444
....
Wie man sieht liefert Cantor nicht eine Zahl sondern fantasievoll interpretiert eine Liste an Zahlen, deren Grenzwert die üblicherweise interpretierte Diagonalzahl ist.
Diese Zahlen unterscheiden sich jweiles von denen in meiner Liste in mindestens einer Ziffer und haben denselben Grenzwert wie meine Zahlen. Wobei sich unsere Grenzwerte letzten Endes in einer Differenz von (1,0-0,9999...) unterscheiden.
Was soviel heißt wie:
Cantor erzeugt lediglich eine Auswahlfunktion für eine nocht nicht aufgezählte Restklasse meiner Zahlen im einbettenden Raum; also zum Complementär von A in R.
Diese Restklasse wird immer kleiner, aber niemals die leere Menge. Von einer Nullfolge kann man da auch nicht sprechen, weil die Anzahl Elemente der Restklasse ohnehin immer unendlich bleibt.

Pi kann in dieser Liste auch vorkommen, da sie ein Konstrukt einer endlichen Rechenvorschrift ist; die Menge der endlichen Rechenvorschriften ist abzählbar, kommt also restlos wenn erwünscht in der Liste vor(Diagonalverfahren wie bei rationalen Zahlen).

Kurz ausgedrückt:
Cantor zeigt, daß das Intervall von [0,unendlich[ immer unvollständig bleibt, da für beliebiges endliches n die unendlich nicht enthalten ist.
Wenn die Mächtigkeit der Rechenvorschrift element aus N^n ist, ist sie endlich. Die Rechenvorschriften mit einer Mächtigkeit N^unendlich sind jedoch überabzählbar, da die Aufzählung dieser Rechenvorschriften durch das offene/nicht abgeschlossene "unendlich" für beliebig lange Rechenvorschriften immer unvollständig bleibt(es bleibt immer ein Komplementär der endlichen Rechenvorschriften in der Menge aller Rechenvorschriften, egal wieviele man aufzählt).
Es existiert aber keine Auswahlfunktion, um eine Rechenvorschrift von unendlicher Mächtigkeit auszuwählen.

[seeker]

Danke! Das hilft mir ein wenig.

Aber ist das nicht irgendwie widersinnig? Sind das nicht "halbe Sachen"?
Bei ein und derselben Untersuchung operiert man einerseits im Endlichen ("beliebig viel") und gleichzeitig andererseits im Unendlichen:

Algebraische Zahlen sind per Definition Lösung eines Polynoms endlichen Grades. Diese Einschränkung musste man vornehmen, weil es bei unendlichgradigen Polynomen schwachsinnig ist davon zu sprechen ob sie algebraisch sind oder nicht(analog kann man bei unendlichen Kommastellen nicht sagen, ob sie auf eine gerade oder ungerade Ziffer enden).
Analog muss man bei rationalen Zahlen endliche Zähler und Nenner nehmen, da jede transzendente Zahl der Limes eines Produktes von n rationalen Faktoren ist(für Anzahl Faktoren gegen unendlich).

Es wird gefordert, dass Zähler und Nenner endlich (="beliebig") sind. Gleichzeitig soll meine erzeugte Liste aber endlos sein -oder?
Das ist für mich schwer zu schlucken. Bin ich nun im Unendlichen oder bin ich es nicht?

Wobei sich unsere Grenzwerte letzten Endes in einer Differenz von (1,0-0,9999...) unterscheiden.

Eben! Und diese Differenz wird kleiner als jedes beliebige Epsilon. Die Differenz wird exakt Null. Dieses Spiel kann ich mit jeder beliebigen Zahl treiben, die ich a priori kenne. Ja, kennen muss ich sie! Das wird wohl des Pudels Kern sein: Es reicht nicht aus, dass ich weiß, dass sie in meiner Menge vorhanden ist (das ist mit meiner Konstruktion sichergestellt); ich muss sie zusätzlich auch noch aus dieser Menge herausfischen können (mit einer endlichen Vorschrift) - und das kann ich nicht in jedem Fall.

Ein weiterer Knackpunkt bei Cantors 2. Diagonalargument ist für mich immer noch, dass da zuerst gezeigt werden muss, dass die Diagonale überhaupt existiert - und zwar so, dass alle Elemente (Zahlen) der Liste von der Diagonale auch erwischt/überdeckt werden. Ohne diese Voraussetzung funktioniert das Argument nämlich nicht.

Wie geht das? Wie weist man das nach?

Grüße
seeker

[Skeltek]

Nunja, binär würden ich sagen:
Meine Liste an Binärzahlen:
0,01111111111111111111...
0,11000000
0,111000000
0,111100010000
0,11111000000
...
Cantors Algorithmus(an Binärzahlnotation angepasst) liefert mir nun die Zahl:
Cantors Diagonalzahl = erster Eintrag meiner Liste
0,100000000000000 =0,0111111111111...

Ich habe bewiesen, daß Cantors Algorithmus exakt die Zahl ausspuckt, die ich an erster Stelle stehen habe ^^
Cantors Beweis hat zwar recht, ist aber nur für das Dezimalsystem oder mehrwertige Zahlensysteme anwendbar.

[seeker]

Hast dich vertan, Skeltek.
Als Diagonalzahl kommt 0,000... heraus.
Oder incl. der 1. Zahl: 0,111110...

Nee, ich denke Cantors Beweis geht mit jedem Zahlensystem.

Ich weiß nicht, ob das ein Problem ist, dann lassen wir die Liste doch so aussehen:
111111...
222222...
333333...
444444...
usw...
Der Grenzwert konvergiert gegen unendlich. Durch eine Funktion kann man die Diagonalzahl ebenfalls erstellen.

Ja, aber deine Liste geht nur bis 99999... , sie ist also endlich -oder?

Grüße
seeker

[Skeltek]

Hast dich vertan, Skeltek.
Als Diagonalzahl kommt 0,000... heraus.
Oder incl. der 1. Zahl: 0,111110...

Ich habe extra damit auch du das raffst für dich die Diagonalelemente fett markiert, die seine Diagonalzahl in eine andere Ziffer ändert um sich von ihnen zu unterscheiden... ;P
Schönen Gruß, Skel

[seeker]

Sorry, die Diagonalzahl lautet dann: 0,111111.... = 1,0
Nicht 0,1. Und nu?

Gruß
seeker

[seeker]

N ist überabzählbar. Widerlegt das mal bitte.

Sagte ich doch sinngemäß auch schon. Aber nur, wenn man Zahlen mit unendlich vielen Ziffern zu N dazuzählt.
Das tut man halt nicht (per Definition).

Nach dem was ich bisher gelernt habe ist es doch so:

Du kannst alles mögliche konstruieren und definieren und tun in der Mathematik - wie es dir beliebt.
Am Ende kannst du deinem Konstrukt einen Namen geben, wie es dir gefällt, z.B. "Natürliche Zahlen".
Darum geht es aber gar nicht. Es geht darum, ob das was du zusammenbaust die Eigenschaften hat, die du haben möchtest - oder eben nicht.

Es gibt die tollsten Zahlen. Schon mal was von hyperreellen und surrealen Zahlen gehört?
Ich bis vor kurzem auch nicht!

Schau dir mal das an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl
http://de.wikipedia.org/wiki/Surreale_Zahl

Irgendwie schräg - oder?

Zu den Eigenschaften:
Sind deine Zahlen z.B. wohlgeordnet? Kannst du mit ihnen rechnen, so wie du das willst? Geht die Addition? Geht auch die Subtraktion, die Multiplikation, usw.?
Darfst du Zahlen vertauschen, ist also a+b = b+a, ist a*b = b*a? Gibt es neutrale Elemente bezüglich Addition (z.B.: ist a+0 = a ?), Multiplikation und Potenz? Ist a+1 > a?
Gilt wenn a > b dann a+c > b+c ?
Um solche Sachen geht es.

Wenn deine Zahlen diese oder jene Eigenschaften haben sollen, dann kannst du halt nicht mehr alles machen was du willst. Du musst dann Kompromisse eingehen.

Wenn man hier bei uns (bei den natürlichen Zahlen) auch Zahlen mit unendlich vielen Ziffern zulässt, dann bezahlt man das damit, dass dann nicht mehr immer gilt a+1>a. (Es gilt aber manchmal! Schön ist das nicht.)
Jetzt kann man sich entscheiden, was einem lieber bzw. wichtiger ist. Entweder unendlich viele Ziffern oder die Gültigkeit von a+1>a. Beides geht nicht.


Grüße
seeker

[Skeltek]

Sorry, die Diagonalzahl lautet dann: 0,111111.... = 1,0
Nicht 0,1. Und nu?

Gruß
seeker

Jetzt hatte ich mich deinetwegen beim auch editieren vertan <.<
Müsste nun endlich stimmen. Jetzt könnte ich mir noch einen Aufbau ausdenken, die nicht nur auf der Diagonale sondern auch auf anderen "Kurven" entsprechend Diagonalzahlen liefert die enthalten sind.
Auch wenn die Idee hinter dem Widerspruchsbeweis gut ist und das bewiesene richtig, ist der Beweis nicht auf jedes Zahlensystem anwendbar(was ich ursprünglich sagen wollte).

[seeker]

@Skeltek:
Ja, jetzt. Das hast du doch aber auch schon im Dezimalsystem gezeigt:

Die Sache mit Cantors Beweis ist doch, daß als Beispiel:
Cantor liefert mir zu meiner Liste:
0,5
0,45
0,445
0,4445
0,44445
...
folgender Diagonalzahlen:
0,4
0,44
0,444
0,4444
0,44444
....
Wie man sieht liefert Cantor nicht eine Zahl sondern fantasievoll interpretiert eine Liste an Zahlen, deren Grenzwert die üblicherweise interpretierte Diagonalzahl ist.
Diese Zahlen unterscheiden sich jweiles von denen in meiner Liste in mindestens einer Ziffer und haben denselben Grenzwert wie meine Zahlen. Wobei sich unsere Grenzwerte letzten Endes in einer Differenz von (1,0-0,9999...) unterscheiden.

Ich sehe den Unterschied zum Zeiersystem nicht. Das ist doch im Prinzip dasselbe? Ich meine: Ist doch egal, welcher Zahl meiner Liste sich die Diagonalzahl unendlich annähert?
Ist doch auch klar: So ein Beweis muss unabhängig davon sein in welchem Notationssystem man sich befindet, sonst ist er nicht viel wert.
Wenn ich vom Zweiersystem ins Zehnersystem wechsle, dann ändere ich ja nur etwas an der Schreibweise meiner Zahl, nichts aber an der Zahl selber.
Da sind wir uns doch sicher einig?

Aber das ist, wie ich auch schon gemeint habe ein Knackpunkt:

Ist 0,01111111111111.... = 0,1 (im Zweiersystem) oder ist es das nicht?
Ist im Zehnersystem 0,99999.... = 1 oder nicht?

Cantor sagt uns m. E., dass es das nicht ist!
... und genau da hänge ich noch.

Genauer:
Im Grunde läuft es doch auf folgendes hinaus (in salopper Formulierung):
Ist 0,89648962948825....1 = 0,89648962948825....2 oder gilt 0,89648962948825....1 <= 0,89648962948825....2 ?

Das verwirrt mich noch und das meinte ich oben mit "halbe Sachen".

N ist abzählbar unendlich. Es konvergiert gegen unendlich anstatt gegen 1 im offenen Intervall 0,1. Wenn N abzählbar ist, dann "gibt" es auch eine unendlich lange natürliche Zahl, wenn wir schon bei Unendlichkeiten sind. Eine reelle Zahl in der Liste hat ja auch unendlich viele Nachkommastellen.

Schau mal positive, von "Konvergenz" spricht man z.B., wenn sich die Glieder einer Folge oder die Summe einer Reihe bei ihrer endlosen Entwicklung einem eindeutigen Wert annähern.
Die Folge 1; 0,3; 0,33; 0,333; ... nähert sich z.B. dem eindeutig bestimmten, einzigen Wert 1/3 an. Man sagt: "Sie konvergiert gegen 1/3".
Die Folge 1, 2, 3, 4, ... tut das nicht: Es ergibt sich kein einziger, eindeutiger Wert. Deshalb sagt man: "Diese Folge ist divergent".

Anderes Beispiel:
Die Reihe 0,9 + 0,09 +0,009+ ... ist konvergent. Der Grenzwert ist 1.
Die Reihen 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... oder 1 + 2 + 3 + 4 + ... sind divergent. Es existiert kein Grenzwert. Die die Summe jeder dieser beiden Reihen wächst über alle Grenzen hinaus, wird unendlich groß.

Noch einmal:
Es ist nicht die Frage, ob es etwas "gibt" oder "nicht gibt". Es gibt alles, was du willst! Es ist nichts "verboten" in der Mathematik.
Ich kann sogar eine Folge erstelllen, wo für jede einzelne Zahl in der Folge andere (Rechen-)Regeln gelten.
Ich kann in einer Liste auch natürliche Zahlen mit negativen Wurzeln und imaginären Zahlen mischen und noch verschiedene Äpfel und Früchte hinzutun - wie ich will.
Ich muss das nur so definieren.

Die Frage ist:
Was erhalte ich, wenn ich etwas so und so konstruiere/definiere? Ist es das, was ich will oder nicht?
Hat mein Konstrukt die von mir gewünschten Eigenschaften oder hat es sie nicht?

Der Punkt ist:
Wenn ich eine Zahl der Art a= 0,08126865... zulasse, dann gilt für diese Zahl immer noch a+1 > a und a+1 = 1,08126865..., ganz wie es z.B. auch für ein b =3 gilt: b+1 > b und b+1 = 3+1 = 4.
Bei einer Zahl c = 769158975648... geht das nicht: c+1 = 769158975648... = c.
(Was ergibt weiterhin 769158975648... - 769158975648... ??? Null? Woher will man das wissen? Warum nicht 9742698724592457093478024780128745901257409367501084012709128659465 ?)

Es ist nun nur die Frage, ob ich das will oder nicht.
Will ich, dass a+1 > a für ALLE Zahlen in meiner Zahlenmenge gilt oder ist mir das egal?
Je nach meiner Wahl "gibt" es unendlich lange natürliche Zahlen in meiner Zahlenmenge oder eben nicht.

Grüße
seeker

[Skeltek]

Es ist nicht dasselbe wie im Zehnersystem gezeigte.
Ersteres hatte gezeigt, daß die Diagonalzahl und meine Liste auf denselben Grenzwert zustreben.
Das Binärsystemmodel zeigt eher, daß die Diagonalzahl auf jeden Fall in meiner Liste bereits enthalten ist.

[Skeltek]

Die Sache die mir gerade einfällt ist, ob man womöglich einen rekursiven Algorithmus erstellen kann, der jede Form von Cantors Widerspruchsbeweis systematisch zunichte macht ^^