Gleichmächtigkeit von N und R?!?

[seeker]

Ich würde gerne diesen Gedanken aus dem anderen Thread "Kann es eine nat. Zahl mit unendlich vielen Ziffern geben?" weiterspinnen:

Die Zahlen, nach denen du fragst, haben sehr viel Ähnlichkeit mit den reellen Zahlen - bis auf das Komma.
Das Komma ist aber nur eine Frage der Skalierung: Jede dieser Zahlen mit unendlich vielen Ziffern entspräche einer Zahl aus R!

Nehmen wir eine beliebige Zahl r mit 10>r>=0 aus R mit den Ziffern a[down]i[/down]:



Ich konstruiere daraus nun eine neue Zahl n durch folgende Reihenbildung:





Beispiel:



Daraus wird mein n:



Nun meine erste Frage: Ist diese Zahl n Element der natürlichen Zahlen N?
Ich meine ja.

Nun kann ich doch aber im Prinzip jede Zahl aus dem Intervall [0,10[ aus R auf N abbilden?

Wenn ich jede Zahl daraus abbilden kann und daher das Intervall [0,10[ gleichmächtig zu N wäre und das Intervall gleichzeitig gleichmächtig zu gesamt R ist, dann würde gelten, dass N und R gleichmächtig sind...

Wo liegt der Fehler?

Liegt es an den transzendenten Zahlen? Ich meine, sie allein sind doch der Grund dafür, dass R überabzählbar ist.
Liegt es, wie Skeltek meinte, daran, dass ich diese Zahlen gar nicht finden kann und somit auch nicht abbilden kann?

Grüße
seeker

[tomS]

Nun kann ich doch aber im Prinzip jede Zahl aus dem Intervall [0,10[ aus R auf N abbilden?

Wenn ich jede Zahl daraus abbilden kann und daher das Intervall [0,10[ gleichmächtig zu N wäre und das Intervall gleichzeitig gleichmächtig zu gesamt R ist, dann würde gelten, dass N und R gleichmächtig sind...

Wo liegt der Fehler?

Der Fehler liegt in dem "und".

Natürlich kannst du derartige Abbildungen konstruieren. Gleichmächtigkeit zeigst du aber nur dadurch, dass du explizit nachweist, dass Eine Abbildung auch eine Bijektion ist. Aus der Existenz verschiedener Abbildungen sowie ohne Untersuchung der Bijektivität folgt nichts.

[breaker]

Davon abgesehen konvergiert tatsächlich nicht jede Folge der Form gegen eine natürliche Zahl. Tatsächlich kann eine solche Folge nur konvergieren, wenn sie irgendwann abbricht.
Das bedeutet, Deine Abbildung lässt sich nicht mal definieren.

[seeker]

Davon abgesehen konvergiert tatsächlich nicht jede Folge der Form gegen eine natürliche Zahl. Tatsächlich kann eine solche Folge nur konvergieren, wenn sie irgendwann abbricht.
Das bedeutet, Deine Abbildung lässt sich nicht mal definieren.

Ich bin sicher dass die Folge in meinem Beispiel nicht konvergiert: Sie hat unendlich viele Ziffern.
Ich möchte verstehen, was das nun bedeutet? Bedeutet es, dass die Zahl n nicht Element N ist oder dass sie gar nicht existiert oder beides?
Falls sie nicht existiert, warum existiert dann die Ausgangszahl r, die ja ganz ähnliche Eigenschaften hat?

Nehmen wir an, dass sie existieren würde, dann hat sie seltsame Eigenschaften (das scheint schon einmal wichtig zu sein: Ich kann Eigenschaften finden!):

Meine Zahl n lässt sich nicht von n+1 unterscheiden. Es gilt: n = n+1
Andererseits lässt sich aber z.B. folgende Unterscheidung treffen: 2n > n; genuer: 2n = n+n

Beispiel:

Aus r(1) = 1/3 konstruiere ich die Zahl n(1) = 33333333333....
Aus r(2) = 2/3 konstruiere ich die Zahl n(2) = 66666666666....

Nun gilt offensichtlich: 2 x n(1) = n(2), zumindest für jede beliebige Anzahl von Ziffern i.

Gut ich habe mit meiner Konstruktion die Abfolge der Ziffern umgedreht. Es ließe sich aber bestimmt auch eine Vorschrift finden, die einfach nur das Komma jeder Zahl r aus R entfernt.
Was bedeutet das nun? Wenn etwas nicht existiert, dann sollte es auch keine Eigenschaften haben - oder?
(Ich muss allerdings mit führenden Nullen arbeiten, damit nach der Umformung nicht z.b. gilt: r(1)=10/3; r(2)=1/3 -> n(1) = n(2) = 33333..., das soll nicht sein.)

Der Fehler liegt in dem "und".

Natürlich kannst du derartige Abbildungen konstruieren. Gleichmächtigkeit zeigst du aber nur dadurch, dass du explizit nachweist, dass Eine Abbildung auch eine Bijektion ist. Aus der Existenz verschiedener Abbildungen sowie ohne Untersuchung der Bijektivität folgt nichts.

D.h., dass die Konstruierbarkeit einer endlichen Abbildungsvorschrift eine notwendige Bedingung für Gleichmächtigkeit ist, aber keine hinreichende?

Für den Nachweis der Bijektion durch eine Abbildung müsste ich dann noch zeigen, dass ich damit tatsächlich alle Elemente eindeutig-umkehrbar erwische?
Kann man das so sagen?

D.h. mein Problem ist dann tatsächlich, dass ich keine Vorschrift finden kann, die alle transzendenten Zahlen in R auswählen kann - oder?

Dennoch darf ich vermuten. Ich stelle folgende Vermutung auf:

Wenn ich die natürlichen Zahlen geeignet erweitere, dann ist diese Erweiterung gleichmächtig zu R, wenn ich eine Zuordnungsvorschrift angebe, die einfach nur das Komma aller Zahlen in R entfernt und diese Zahlen alle Element meines N(erw) sind - trivialerweise, denn es gilt ja auch: R ist gleichmächtig zu R.

Mein erweitertes N könnte dann so definiert werden:

N(erw) = N und W = {1,2,3,4,..., w, w+1, w+2, w+3, ...}

Alle irrationalen Zahlen, alle transzendenten Zahlen und alle nicht aufgehenden Brüche (z.B. 1/3) liegen dann nach der Zuordnung im Bereich ab w.

Ich glaube auch hier kann man nicht alle transzendenten Zahlen im w-Bereich finden, wohl aber z.B. die Brüche.
Ich weiß, die Existenz von w zu postulieren ist ein starkes Stück. Aber auch die transzendenten Zahlen sind nicht ganz ohne.
Warum soll eine existierende transzendente Zahl aufhören zu existieren, nur weil ich das Komma entferne?

Grüße
seeker

[Skeltek]

Aus r(1) = 1/3 konstruiere ich die Zahl n(1) = 33333333333....
Aus r(2) = 2/3 konstruiere ich die Zahl n(2) = 66666666666....

Moment mal, .....66666666,0 (nicht 66666666....) mag es vielleicht geben(man könnte auch eine neue "Rversenotation einführen, weil man ja mit dem kleinsten Wert anfängt), es handelt sich dabei aber weder um eine Zahl noch um einen Wert.
So wie man leichtfertig Gleichheitszeichen verwendet wo ein Äquivalenzzeichen oder besser "Entsprechungssymbol" angebracht wäre, handelt es sich bei deinem "Konstrukt" nicht um eine Zahl sondern um einen algorythmischen Prozess wenn man das so sagen kann. Man darf diese Schreib und Denkmethoden nur verwenden, wenn einem bewusst ist, dass sie eigentlich nicht richtig sind.
Summe[1,3,7] entspricht 11 ist aber nicht das gleiche. Es "ergibt" lediglich 11.
Wenn ich auf einer Wage einen Kohlkopf mit einem Stück Alteisen abwiege, ist links und rechts auch nicht das gleiche.

Summe[1,3,7] und 11 sind nicht das gleiche, sie haben lediglich denselben "Wert".

[breaker]

Ich bin sicher dass die Folge in meinem Beispiel nicht konvergiert: Sie hat unendlich viele Ziffern.
Ich möchte verstehen, was das nun bedeutet? Bedeutet es, dass die Zahl n nicht Element N ist oder dass sie gar nicht existiert oder beides?
Falls sie nicht existiert, warum existiert dann die Ausgangszahl r, die ja ganz ähnliche Eigenschaften hat?

Nehmen wir an, dass sie existieren würde, dann hat sie seltsame Eigenschaften (das scheint schon einmal wichtig zu sein: Ich kann Eigenschaften finden!)...

Die Folge konvergiert definitiv nicht. Damit gibt es auch kein N, das man auf irgendwelche Eigenschaften untersuchen könnte. Konvergenz ist gleichbedeutend mit der Existenz eines Grenzwertes.

Für den Nachweis der Bijektion durch eine Abbildung müsste ich dann noch zeigen, dass ich damit tatsächlich alle Elemente eindeutig-umkehrbar erwische?
Kann man das so sagen?

Ja.

Wenn ich die natürlichen Zahlen geeignet erweitere, dann ist diese Erweiterung gleichmächtig zu R, wenn ich eine Zuordnungsvorschrift angebe, die einfach nur das Komma aller Zahlen in R entfernt und diese Zahlen alle Element meines N(erw) sind - trivialerweise, denn es gilt ja auch: R ist gleichmächtig zu R.

Das ist leider nicht bijektiv. Zum Beispiel werden 1234 und 0,1234 auf die gleiche Zahl geschickt.



Das hat sich jetzt vielleicht alles ein bisschen pessimistisch angehört. Ich denke aber, dass es einen Weg gibt, das was du machen willst (also eine Erweiterung von N, die sich bijektiv auf R abbilden lässt), sinnvoll zu definieren. Die Elemente, die man hierbei zu N hinzunimmt, sind dann zwar keine natürlichen Zahlen mehr, aber es kommt schon mehr oder weniger genau das heraus, was du dir vorstellst.
Allerdings weiß ich nicht, ob ich das jetzt ausführlich erklären sollte, weil das langweilig werden könnte. Sind halt eigentlich nur technische Details, damit das rauskommt, was du schon heuristisch beschrieben hast.

[breaker]

Der Beweis von Cantor ist falsch. Wenn ich Cantor's Diagonalverfahren auf die natürlichen Zahlen anwende, dann sind die natürlichen Zahlen bzw. diese Liste ebenfalls unvollständig, daher sind die Menge der reellen Zahlen und die der natürlichen Zahlen gleichmächtig. Rechnet das doch selber aus, man braucht ebenfalls nur eine Rechenvorschrift wie bei den reelen Zahlen, um sicherzustellen, dass die Diagonalzahl nicht in der Liste ist.

Du bist ganz schön von dir delbst überzeugt, oder?

[seeker]

Danke, breaker! Mathe ist schön...

Allerdings weiß ich nicht, ob ich das jetzt ausführlich erklären sollte, weil das langweilig werden könnte.

Könntest du einen Link angeben, wo man das nachlesen kann? Interessieren würde es mich nun schon...

Schöne Grüße
seeker

[breaker]

Hm nö, ich wüsste nicht, wo man das nachlesen kann. Ich denke auch, dass die meisten Mathematiker das nicht sooo inetressant finden.
Meine Idee kurz zusammengefasst:
Man bildet eine reelle Zahl ab auf die Folge (a[down]1[/down],a[down]2[/down],a[down]3[/down],a[down]4[/down]...) und nimmt dann alle solchen Folgen zu N hinzu (d.h. die ganze Folge ist dann ein einziges Element von N(erw) ).
Die Folgen könnte man dann (wenn man will) als unendlich lange natürliche Zahlen interpretieren, aber die Frage ist, wieviel Sinn das macht. Für die so definierte Menge kann man dann z.B. nicht mehr unbedingt eine sinnvolle Addition definieren und so weiter.

So wie ich die erweiterte Menge oben definiert habe, gibt es auch noch das Problem, dass 1,234 und 0,1234 auf die gleiche Folge geschickt werden; das müsste man noch irgendwie umgehen, aber das wird man auch irgendwie hinbekommen.

[breaker]

Der Beweis von Cantor ist falsch. Wenn ich Cantor's Diagonalverfahren auf die natürlichen Zahlen anwende, dann sind die natürlichen Zahlen bzw. diese Liste ebenfalls unvollständig, daher sind die Menge der reellen Zahlen und die der natürlichen Zahlen gleichmächtig. Rechnet das doch selber aus, man braucht ebenfalls nur eine Rechenvorschrift wie bei den reelen Zahlen, um sicherzustellen, dass die Diagonalzahl nicht in der Liste ist.

Du bist ganz schön von dir delbst überzeugt, oder?

Du scheinst mir Cantor eher nachzuplappern, vielleicht erklärst du mal den Sinn der Diagonalzahl, woher kommt sie, warum verläuft sie nicht von links unten nach rechts oben und warum soll diese Vorschrift der Beweis dafür sein. Bestreitest du, dass ich mit dem Diagonalverfahren eine neue natürliche Zahl angeben kann und damit die Liste, bzw. die entsprechende Tabelle unvollständig ist?

gruß
positive

Ja, das bestreite ich.
Und vielleicht bist du mal etwas höflicher, dann erklär ich auch gerne den Beweis.

[Skeltek]

Der Beweis von Cantor ist falsch. Wenn ich Cantor's Diagonalverfahren auf die natürlichen Zahlen anwende, dann sind die natürlichen Zahlen bzw. diese Liste ebenfalls unvollständig, daher sind die Menge der reellen Zahlen und die der natürlichen Zahlen gleichmächtig. Rechnet das doch selber aus, man braucht ebenfalls nur eine Rechenvorschrift wie bei den reelen Zahlen, um sicherzustellen, dass die Diagonalzahl nicht in der Liste ist.

Du bist ganz schön von dir delbst überzeugt, oder?

Natürlich ist jede Liste natürlicher Zahlen unvollständig(man braucht nur eine Zahl mit sich von allen bisherigen unterscheidenden Primzahlzerlegung zu konstruieren, die in der nicht-aufgezählten Restmenge liegt; daß sie von vorneherein nicht abgeschlossen ist ist ja anderes Thema).
Du hast daraus jetzt aber nur den falschen Rückschluss gezogen. Die Überabzählbarkeit kommt erst dadurch zustande, daß es keinen "flächendeckenden" Algorithmus gibt; also in der bereits aufgezählten Liste Lücken entstehen, die durch einen endlichen Algorythmus nicht abgedeckt werden können.
So wäre eine Liste aller rationalen Zahlen innerhalb [0,1] auch unvollständig(blödes Wort), trotzdem sind sie abzählbar;
Was bedeutet eigentlich "unvollständig" genau?

[seeker]

... und nimmt dann alle solchen Folgen zu N hinzu (d.h. die ganze Folge ist dann ein einziges Element von N(erw) ).

Stimmt ja! So kann man es machen.

So wie ich die erweiterte Menge oben definiert habe, gibt es auch noch das Problem, dass 1,234 und 0,1234 auf die gleiche Folge geschickt werden; das müsste man noch irgendwie umgehen, aber das wird man auch irgendwie hinbekommen.

Da denke ich noch drüber nach. Ich bin mir noch nicht sicher, ob das überhaupt sinnvoll geht. Ganz leicht scheint das jedenfalls nicht zu sein.

Grüße
seeker

[breaker]

So wie ich die erweiterte Menge oben definiert habe, gibt es auch noch das Problem, dass 1,234 und 0,1234 auf die gleiche Folge geschickt werden; das müsste man noch irgendwie umgehen, aber das wird man auch irgendwie hinbekommen.

Da denke ich noch drüber nach. Ich bin mir noch nicht sicher, ob das überhaupt sinnvoll geht. Ganz leicht scheint das jedenfalls nicht zu sein.

Naja, man kann ja praktisch alles machen, was man will. Ein Ausweg wäre z.B. die Zahl a,bcd... auf die Folge abzubilden. Damit merkt man sich quasi, wo das Komma war. Ist nur die Frage, ob man das schön findet.

[tomS]

... Die Überabzählbarkeit kommt ... aufgrund einer endlichen Liste zustande und deshalb wird unendlich unendlicher, es gibt ein unendlich und ein unendlicher. Hoffentlich habe ich es jetzt verstanden.

Die Liste ist nicht endlich sondern abzählbar.

Und wir verstehen das vielleicht deswegen nicht, weil dein Sprachgebrauch ungewöhnlich bzw. nicht definiert ist. Was möchtest du uns eigtl. sagen?

[tomS]

... Abzählbar bedeutet, dass diese Liste gleichmächtig mit der Menge der natürlichen Zahlen ist. Die Liste ist also unendlich, abzählbar unendlich. D. h. diese Tabelle von Cantor ist nach rechts und nach unten unendlich, abzählbar unendlich. Oder ist ein endlicher Ausschnitt der Liste ausreichend?

Die Liste ist nach rechts abzählbar, da hier die Dezimalstellen aufgelistet werden. Und sie ist nach unten abzählbar, denn das ist die Annahme.

Davon unabhängig, musste der Mann nur ein Verfahren aufzeigen, das einen Widerspruch erzeugt, seine Diagonalisierung hat keinen tieferen Sinn sozusagen und kann willkürlich ausgewählt werden.

Ja, es geht 'nur' um den Widerspruch. Aber das ist schon sehr tiefsinnig.

[tomS]

Er zeigt, dass eine als abzählbar und vollständig angenommene Liste widersprüchlich ist.

[Skeltek]

... Die Überabzählbarkeit kommt ... aufgrund einer endlichen Liste zustande und deshalb wird unendlich unendlicher, es gibt ein unendlich und ein unendlicher. Hoffentlich habe ich es jetzt verstanden.

Die Liste ist nicht endlich sondern abzählbar.

Und wir verstehen das vielleicht deswegen nicht, weil dein Sprachgebrauch ungewöhnlich bzw. nicht definiert ist. Was möchtest du uns eigtl. sagen?

N ist unendlich abzählbar.
N^n (mit n element aus N) ist auch abzählbar(Diagonalisierungsverfahren z.B.; Menge aller n-Tupel(a1,a2,...an) mit einem endlichen n)
N^N entspricht von der Mächtigkeit her R soweit ich weiß(Das würde der Menge aller n-Tupel entsprechen, die unendlich viele Einträge haben(a1,a2,a3,...)).
Letzteres entspräche dann sozusagen einem unendlichdimensionalen Vektor über Q.

[tomS]

Warum wird überhaupt N als Maßstab für abzählbar angenommen und nicht R?

Weil N die kleinste bekannte unendliche Mächtigkeit aufweist. Und weil N per Konstruktion (Axiom) abzählbar ist bzw. "Zählen definiert": zu jeden natürlichen Zahl n aus N existiert ein Nachfolger n' = n+1. Das ist gerade "Zählen", so ist N definiert. Etwas analoges existiert für R nicht, es gibt keine einfache Vorschrift, alle Zahlen r aus R explizit zu konstruieren.

Und nach den neuen Erkenntnissen zur Unbeweisbarkeit der Cantorschen Kontinuumshypothese kann man nicht sagen, ob R bzgl. N die nächsthöhere Mächtigkeit ist (d.h. zwar kann R aus N mittels der Potenzmenge konstruiert werden, allerdings könnte es ja sein, dass es eine Menge X gibt, für deren Mächtigkeit |X| gilt: |N| < |X| < |R|). Die Struktur von R ist also im Vergleich zu N bereits extrem kompliziert.

[seeker]

Naja, man kann ja praktisch alles machen, was man will. Ein Ausweg wäre z.B. die Zahl a,bcd... auf die Folge abzubilden. Damit merkt man sich quasi, wo das Komma war. Ist nur die Frage, ob man das schön findet.

Nee, schön ist das nicht.
Was ich suche ist eine überabzählbar-unendliche Menge, in der keine Kommazahlen vorhanden sind.

Das geht mit dem Verfahren hier...

ab auf die Folge (a[down]1[/down],a[down]2[/down],a[down]3[/down],a[down]4[/down]...) und nimmt dann alle solchen Folgen zu N hinzu (d.h. die ganze Folge ist dann ein einziges Element von N(erw) ).

... m. E. nur dann, wenn man eine Teilmange aus R wählt, wenn z.B. r e ]1,0] ist.

Sonst müsste man das 10^0 bei der ersten Vorkommastelle aller r hinsetzen. Da es aber beliebig viele Vorkommastellen gibt, geht das nicht, bzw. würden wir beim Komma quasi schon bei 10^unendlich landen.

Das Intervall ]1,0] abzubilden würde ja aber zunächst schon reichen.

In dem Intervall würde das hier auch nicht auftreten:

So wie ich die erweiterte Menge oben definiert habe, gibt es auch noch das Problem, dass 1,234 und 0,1234 auf die gleiche Folge geschickt werden

Es bliebe dann noch zu beweisen, dass eine Bijektion zwischen unserem N(erw) und dem Intervall ]1,0] existiert, womit schon gezeigt wäre, dass N(erw) überabzählbar unendlich ist.
Aber ist es nicht offensichtlich, dass das so ist? Ich meine, wo ist der Unterschied zum Beweis, dass R gleichmächtig zu R ist?

Bei der Zuordnungsvorschrift könnte man evtl. auch mit Primzahlen oder auch Tupeln (Vorkommastellen und Nachkommastellen getrennt behandeln) arbeiten.

Weitere Möglichkeit:

Was ich suche ist eine überabzählbar-unendliche Menge, in der keine Kommazahlen vorhanden sind.

Wie ich hier schon gehört habe, ist wohl die Menge N^N gleichmächtig zu R.
N^N würde auch meine Zielsetzung erfüllen, keine Kommazahlen zu beinhalten.
Nur: Wie geht das hier mit der Zuordnung?

Noch ein anderer Punkt bei der ganzen Geschichte:
Was mir nicht gefällt ist, dass in unserer Mathematik, bei einer Zahl, scheinbar unendlich viele Nachkommastellen akzeptierbar und definierbar (konvergent) sind, nicht jedoch unendlich viele Vorkommastellen.
Das sieht für mich nach einer Asymmetrie aus - und das stört mich.
Meine Kernfrage ist also: Ist das so? Warum ist das so? Wie könnte man diese Asymmetrie aufheben?

Grüße
seeker

[breaker]

Es bliebe dann noch zu beweisen, dass eine Bijektion zwischen unserem N(erw) und dem Intervall ]1,0] existiert, womit schon gezeigt wäre, dass N(erw) überabzählbar unendlich ist.
Aber ist es nicht offensichtlich, dass das so ist? Ich meine, wo ist der Unterschied zum Beweis, dass R gleichmächtig zu R ist?

Ich denke schon, dass das offensichtlich ist. Die definierende Abbildung ist die Bijektion.

Was mir nicht gefällt ist, dass in unserer Mathematik, bei einer Zahl, scheinbar unendlich viele Nachkommastellen akzeptierbar und definierbar (konvergent) sind, nicht jedoch unendlich viele Vorkommastellen.
Das sieht für mich nach einer Asymmetrie aus - und das stört mich.
Meine Kernfrage ist also: Ist das so? Warum ist das so? Wie könnte man diese Asymmetrie aufheben?

Ich würde schon sagen, dass die Asymmetrie einfach da ist. Jede reelle Zahl hat nunmal nur endlich viele Vorkommastellen, aber kann unendlich viele Nachkommastellen haben.

[tomS]

Das Argument lautet wie folgt:

Ich nehme an, die abzählbare Liste ist vollständig.
Dann konstruiere ich die Diagonalzahl D als 1. Nachkommastelle der 1. Zahl, 2. Nachkommastelle der 2. Zahl, usf.
Dann verändere ich die Diagonalzahl an jeder Stelle zu einer neuen Zahl D'.
Damit unterscheidet sich diese neue Diagonalzahl D' an jeder Stelle von jeder Zahl in der Liste, ist also selbst nicht Element der Liste.
Die Liste kann also nicht vollständig sein.
Widerspruch!

[Skeltek]

Noch ein anderer Punkt bei der ganzen Geschichte:
Was mir nicht gefällt ist, dass in unserer Mathematik, bei einer Zahl, scheinbar unendlich viele Nachkommastellen akzeptierbar und definierbar (konvergent) sind, nicht jedoch unendlich viele Vorkommastellen.
Das sieht für mich nach einer Asymmetrie aus - und das stört mich.
Meine Kernfrage ist also: Ist das so? Warum ist das so? Wie könnte man diese Asymmetrie aufheben?

Das hat nichts mit Vorkomma- oder Nachkomma-Stellen zu tun.
Jede existente Zahl ist endlich. Sie ist weder unenlich groß noch unendlich klein(also 0,000000....unendlich viele Nullen...... und dann wieder Ziffern gibt es nicht).
Daß eine Zahl unendlich viele Nachkommastellen haben kann ist lediglich der Notation im Dezimalsystem bzw der beschränkten Ziffernauswahl(nur ganze Zahlen erlaubt, keine Funktionen) geschuldet.

Man kann übrigens mit einer Abwandlung von Kantors zweitem Diagonalargument auch relativ leicht zeigen, daß es eine "rationale" Zahl mit unendlich vielen Primfaktoren zwischen 0 und 1 gibt, die nicht in Q enthalten ist. Trotzdem ist es keine rationale Zahl, da zwar sowohl Nenner und Zähler aus dem Produkt ganzer Zahlen bestehen, aber selbst keine Zahlen sind; es wäre einfach nur ein Grenzwert/Limes.
Wenn es also einen Algorithmus gibt, der einen unendlich großen Zähler bzw Nenner als Produkt oder Summe unendlich vieler Faktoren bzw Summanden nimmt und durcheinander teilt, dann ist das keine Zahl sondern ein Limes. Sollte jemand jemals behaupten dieser Limes sei tatsächlich eine Zahl, dann sind auch Nenner und Zähler Zahlen(mit unendlich vielen Vorkommastellen).

Die Kernfrage des gesammten Kantorschen Beweises bezieht sich doch lediglich darauf, ob man Grenzwerte tatsächlich Zahlen nennen möchte oder nicht. Problem ist größtenteils, daß die Abstraktion "Zahl" etwas ist, das die meisten hier wohl in der Grundschule als gegeben einfach gelernt haben und hier eine Art Axiom gesetzt wurde ohne dass man sich als Kind überhaupt klar macht, ob Zahlen Verhältnisse, Volumina, Größen oder Anzahlen von Dingen darstellen sollen.

[tomS]

Auf Basis der Zermalo-Fraenkel Axiomensystems inkl. Auswahlaxiom (ZFC, c = choice) kann die Existenz eines X weder bewiesen noch widerlegt werden (Gödel & Cohen). Man kann bzw. darf |X| = |R| also widerspruchsfrei annehmen, die sog. Kontinuumshypothese, wenn ZFC widerspruchsfrei ist, und damit ist |R| die nächste Kardinalzahl nach |N|. Man darf aber auch |X| < |R| annehmen, d.h. es gibt dann echt kleinere Mengen als R, die jedoch echt größer sind als N. Dabei wird X nicht zwingend als Teilmenge von R aufgefasst. Die Annahme der Existenz eines solchen X bedeutet noch nicht, dass man X kennt bzw. konstruieren kann. Es ist sogar sicher so, dass man X mittels ZFC nicht konstruieren kann, denn sonst wäre der Satz von Gödel und Cohen falsch. Man müsste also noch ein "vernünftiges" Axiom zu ZFC mit hinzunehmen.

D.h. man kann mit Kardinalzahlen rechnen, die zwischen den bekannten und konstruierbaren Mächtigkeiten von Mengen liegen, ohne diese Mengen als Teilmengen von R mittels ZFC konstruieren zu können.

Man versucht nun, Axiome für sogenannte große Kardinalzahlen zu finden, die einerseits "natürlich" erscheinen, und anderseits die Rolle von X, d.h. die Kontinuumshypothese klären. Große Kardinalzahlen sind aber alles andere als natürlich. Es handelt sich um so große Unendlichkeiten, dass sie prinzipiell nicht mittels der Potenzmengenkonstruktion (oder irgendwie anders) erreicht werden können (aber Beweise kann man damit führen ;-)

Interessanterweise gibt es einige recht einfache, endliche (!) mathematische Strukturen, deren Eigenschaften nur mittels dieser großen Kardinalzahlen verstanden werden können. Ein Beispiel handelt von einer Folge von Zahlen, die anscheinend divergiert, die jedoch (nur mittels großer Kardinalzahlen) beweisbar in endlichen vielen Schritten gegen Null konvergiert.

[tomS]

Kurz zum Auswahlaxiom: nimm an, du hast eine (unendliche) Familie F von (unendlichen Mengen f). Dann sei a eine Auswahlmenge, d.h. eine Menge, die aus jedem f in F genau ein Element enthält.

Bsp.: f={a,b,c} und g={x,y}; eine Auswahlmenge a wäre dann z.B. {a,x}

Für endliche Mengen, die explizit bekannt sind, ist die Existenz von (mindestens einem) a trivial. Für eine unendliche Familie F von unendlichen, abstrakten Mengen f, deren Elemente evtl. nicht konkret angegeben werden können, ist die Existenz von a jedoch nicht gesichert, insbs. kann a i.A. nicht konstruiert werden.

Das Auswahlaxiom c stellt nun (per Axiom) sicher, dass a für beliebige F und f existiert (auch wenn es nicht konstruiert werden kann).

Man kann beweisen, dass C mit ZF konsistent ist, wenn ZF selbst konsistent ist.

[seeker]

Was mir nicht gefällt ist, dass in unserer Mathematik, bei einer Zahl, scheinbar unendlich viele Nachkommastellen akzeptierbar und definierbar (konvergent) sind, nicht jedoch unendlich viele Vorkommastellen.
Das sieht für mich nach einer Asymmetrie aus - und das stört mich.
Meine Kernfrage ist also: Ist das so? Warum ist das so? Wie könnte man diese Asymmetrie aufheben?

Ich möchte mal mit Beispielen verdeutlichen, was ich meine.

Nemen wir die Folge hier:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

Wir haben hier eine unschöne Asymmetrie vorliegen: Weder groß/klein noch plus/minus werden symmetrisch behandelt.
Die Zahlen "kleben" an der Null: Die Null ist immer erreichbar, die Unendlichkeit nie. Minus existiert nicht.

Nun diese Folge:

..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

Hier haben wir eine schöne Symmetrie bezgl. plus/minus, nicht jedoch bezüglich klein/groß (die Zahlen "kleben" auch hier an der Null).
Der Symmetriepunkt ist die Null.

Nun diese hier:

..., 10[up]-3[/up], 10[up]-2[/up], 10[up]-1[/up], 10[up]0[/up], 10[up]1[/up], 10[up]2[/up], 10[up]3[/up], ...
bzw.
..., 0,001; 0,01; 0,1; 1; 10; 100; 1000; ...

Hier haben wir eine sehr schöne Symmetrie zwischen klein/groß vorliegen, nicht jedoch zwischen plus/minus.
Der Symmetriepunkt ist die Eins.
Was hier auch schön ist: Null ist hier von der Eins genauso weit entfernt wie Unendlich von der Eins.
Unendlich und Null verhalten sich hier also symmetrisch. Die Zahlen kleben weder an der Null noch an der Unendlichkeit.

Gesucht ist nun eine Folge, die beide Symmetrien (groß/klein UND plus/minus) erfüllt.

Recht nahe würde dieser Forderung diese Folge kommen:

... ,-10[up]3[/up], -10[up]2[/up], -10[up]1[/up], -10[up]0[/up], -10[up]-1[/up], -10[up]-2[/up], -10[up]-3[/up], ..., 0, ..., 10[up]-3[/up], 10[up]-2[/up], 10[up]-1[/up], 10[up]0[/up], 10[up]1[/up], 10[up]2[/up], 10[up]3[/up], ...

Bzw., wenn schon:

-unendlich, ... ,-10[up]3[/up], -10[up]2[/up], -10[up]1[/up], -10[up]0[/up], -10[up]-1[/up], -10[up]-2[/up], -10[up]-3[/up], ..., 0, ..., 10[up]-3[/up], 10[up]-2[/up], 10[up]-1[/up], 10[up]0[/up], 10[up]1[/up], 10[up]2[/up], 10[up]3[/up], ..., +unendlich

Jetzt gibt es nur noch die Asymmetrie zwischen +unendlich und -unendlich.
Wenn ich daher noch definiere, dass gilt: +unendlich = -unendlich (genauso, wie +0 = -0) und "unendlich" auch genauso viel oder wenig wie die Null als Zahl oder zahlenartiges Objekt verstehe dann wäre die perfekte Symmetrie hergestellt. Es würde sich eine Art Kreis mit wunderschöner doppelter Symmetrie bilden:

..., 0, ..., 10[up]-3[/up], 10[up]-2[/up], 10[up]-1[/up], 1, 10[up]1[/up], 10[up]2[/up], 10[up]3[/up], ..., unendlich, ... ,-10[up]3[/up], -10[up]2[/up], -10[up]1[/up], -1, -10[up]-1[/up], -10[up]-2[/up], -10[up]-3[/up], ..., 0, ..., 10[up]-3[/up], 10[up]-2[/up], 10[up]-1[/up], 1, 10[up]1[/up], 10[up]2[/up], 10[up]3[/up], ..., unendlich, ...

Die Symmetriepunkte wären +1, -1 (bez. groß/klein) und Null, Unendlich (bez. plus/minus) mit den sechs Symmetriepaaren +1/-1, Null/Unendlich, +1/Null, -1/Null, +1/Unendlich und -1/Unendlich.

Noch schöner ginge es hier wohl höchstens noch, wenn man eine entsprechende Folge finden könnte, die nur zwei statt vier Symmetriepunkte hat, wo je zwei Symmetriepunkte zusammenfallen.

P.S.: Hab die Klammern vergessen. Z.B. -10[up]-3[/up] muss natürlich -(10[up]-3[/up]) heißen.


Grüße
seeker