Gleichmächtigkeit von N und R?!?
Verfasst: 13. Apr 2013, 19:20
Ich verstehe Cantor's 2. Diagonalargument nicht und warum N und R nicht gleichmächtig sind.
Zunächst ein einfacher Gedanke, dann ein etwas ausführlicherer Widerlegungsversuch.
Cantor geht ganz allgemein von einer Liste mit allen denkbaren Ziffernfolgen der reellen Zahlen im Intervall {0,1} aus. Dann muss Cantor's Diagonalzahl darunter sein, denn es ist 1. eine reelle Zahl im Intervall {0,1} und sie ist 2. denkbar. Ich kann es auch so beweisen: Nehmen wir an, Cantor hätte Recht und es gäbe eine reelle Zahl im Intervall {0,1}, die nicht zu einer Liste mit allen denkbaren - also unendlich vielen - reellen Zahlen gehört. Dann gäbe es also eine Zahl, die nicht zu dieser Liste gehört, obwohl sie denkbar ist. Das ist ein Widerspruch und damit ist die Annahme falsch. So oder so kann es nicht sein, dass Cantor's Diagonalzahlen nicht in der Liste sind. Das ergibt sich aus deren unendlichem Charakter.
So und jetzt noch ein Beweisversuch, wobei ich als Laie auf wohlwollendes Lesen angewiesen bin!
1. Sind R und N gleichmächtig und abzählbar?
2. Die zwei Mengen N und R sind gleichmächtig und abzählbar, wenn sie sich bijektiv abbilden lassen. Das ist der Fall, wenn jedem Element von N genau ein Element von R und wenn jedem Element von R genau ein Element von N zuzuordnen sind (4.1.), Mehrfachzuordnungen ausgeschlossen sind (4.2.) und wenn diese Zuordnung alle Elemente von N und R erfasst (4.3.).
3. Es gilt folgende Funktion:
3.1. Schreibe in Zeile n die natürliche Zahl n und ordne dieser Zeile eine einzige beliebige reelle Zahl zu, es sei denn die Zahl ist bereits zugeordnet.
3.2. Gehe zurück zu 1. und schreibe in Zeile n+1 die natürliche Zahl n+1 und ordne dieser Zeile eine einzige beliebige reelle Zahl zu, es sei denn die Zahl ist bereits zugeordnet.
3.2. Für den Anfangswert von n gilt: n=0.
4. Diese Funktion ist bijektiv, wenn die Voraussetzungen aus 2., d.h. 4.1., 4.2. und 4.3. gegeben sind.
4.1. Jedem Element von N wird genau ein Element von R zugeordnet und umgekehrt. Das dürfte mE nicht streitig sein.
4.2. Mehrfachzuordnungen untereinander sind ausgeschlossen. Auch das dürfte nicht streitig sein.
4.3. Die einzig problematische Frage ist, ob nach o.g. Funktion mind. eine reelle Zahl nicht zur aufsteigenden Liste aus natürlichen Zahlen zugeordnet werden kann. Das ist nicht der Fall und das beweise ich via reductio ad absurdum:
4.3.1. Ich nehme das Gegenteil meiner o.g. Behauptung an, d.h. dass mind. eine reelle Zahl durch meine Funktion nicht zu N zugeordnet werden kann.
4.3.2. Meine Funktion ordnet beliebige reelle Zahlen (per Zufall) einer aufsteigenden Liste von nat. Zahlen zu und zwar unendlich iterativ. Weil die zufällige iterative Zuordnung nie endet, kann es auch keine reelle Zahl geben, die nicht zugeordnet wird oder werden kann, denn gäbe es sie, dann gäbe es auch immer noch weitere unendlich viele Möglichkeiten der Zuordnung und die Wahrscheinlichkeit einer Zuordnung näherte sich grenzwertig an 1, was sichere Zuordnung bedeutet (so verstehe ich letztlich Grenzwertberechnung, wenn etwas "gegen 1 läuft", man schaue sich dazu auf wiki das infinite monkey theorem an). Die Annahme aus 4.3.1. widerspricht daher der definitorischen (Grenzwert-) Eigenschaft der unendlich iterativen Zuordnung der reellen Zahlen bei meiner Funktion; sie muss daher falsch sein.
4.3.3. Aus der Falschheit der Annahme kann auf die Wahrheit des Gegenteils geschlossen werden. Damit gilt: Keine reelle Zahl wird durch meine Funktion nicht zu N zugeordnet.
4.4. Damit ist bewiesen, dass meine Funktion die beiden Mengen N und R bijektiv abbildet.
5. Damit sind R und N gleichmächtig.
Zunächst ein einfacher Gedanke, dann ein etwas ausführlicherer Widerlegungsversuch.
Cantor geht ganz allgemein von einer Liste mit allen denkbaren Ziffernfolgen der reellen Zahlen im Intervall {0,1} aus. Dann muss Cantor's Diagonalzahl darunter sein, denn es ist 1. eine reelle Zahl im Intervall {0,1} und sie ist 2. denkbar. Ich kann es auch so beweisen: Nehmen wir an, Cantor hätte Recht und es gäbe eine reelle Zahl im Intervall {0,1}, die nicht zu einer Liste mit allen denkbaren - also unendlich vielen - reellen Zahlen gehört. Dann gäbe es also eine Zahl, die nicht zu dieser Liste gehört, obwohl sie denkbar ist. Das ist ein Widerspruch und damit ist die Annahme falsch. So oder so kann es nicht sein, dass Cantor's Diagonalzahlen nicht in der Liste sind. Das ergibt sich aus deren unendlichem Charakter.
So und jetzt noch ein Beweisversuch, wobei ich als Laie auf wohlwollendes Lesen angewiesen bin!
1. Sind R und N gleichmächtig und abzählbar?
2. Die zwei Mengen N und R sind gleichmächtig und abzählbar, wenn sie sich bijektiv abbilden lassen. Das ist der Fall, wenn jedem Element von N genau ein Element von R und wenn jedem Element von R genau ein Element von N zuzuordnen sind (4.1.), Mehrfachzuordnungen ausgeschlossen sind (4.2.) und wenn diese Zuordnung alle Elemente von N und R erfasst (4.3.).
3. Es gilt folgende Funktion:
3.1. Schreibe in Zeile n die natürliche Zahl n und ordne dieser Zeile eine einzige beliebige reelle Zahl zu, es sei denn die Zahl ist bereits zugeordnet.
3.2. Gehe zurück zu 1. und schreibe in Zeile n+1 die natürliche Zahl n+1 und ordne dieser Zeile eine einzige beliebige reelle Zahl zu, es sei denn die Zahl ist bereits zugeordnet.
3.2. Für den Anfangswert von n gilt: n=0.
4. Diese Funktion ist bijektiv, wenn die Voraussetzungen aus 2., d.h. 4.1., 4.2. und 4.3. gegeben sind.
4.1. Jedem Element von N wird genau ein Element von R zugeordnet und umgekehrt. Das dürfte mE nicht streitig sein.
4.2. Mehrfachzuordnungen untereinander sind ausgeschlossen. Auch das dürfte nicht streitig sein.
4.3. Die einzig problematische Frage ist, ob nach o.g. Funktion mind. eine reelle Zahl nicht zur aufsteigenden Liste aus natürlichen Zahlen zugeordnet werden kann. Das ist nicht der Fall und das beweise ich via reductio ad absurdum:
4.3.1. Ich nehme das Gegenteil meiner o.g. Behauptung an, d.h. dass mind. eine reelle Zahl durch meine Funktion nicht zu N zugeordnet werden kann.
4.3.2. Meine Funktion ordnet beliebige reelle Zahlen (per Zufall) einer aufsteigenden Liste von nat. Zahlen zu und zwar unendlich iterativ. Weil die zufällige iterative Zuordnung nie endet, kann es auch keine reelle Zahl geben, die nicht zugeordnet wird oder werden kann, denn gäbe es sie, dann gäbe es auch immer noch weitere unendlich viele Möglichkeiten der Zuordnung und die Wahrscheinlichkeit einer Zuordnung näherte sich grenzwertig an 1, was sichere Zuordnung bedeutet (so verstehe ich letztlich Grenzwertberechnung, wenn etwas "gegen 1 läuft", man schaue sich dazu auf wiki das infinite monkey theorem an). Die Annahme aus 4.3.1. widerspricht daher der definitorischen (Grenzwert-) Eigenschaft der unendlich iterativen Zuordnung der reellen Zahlen bei meiner Funktion; sie muss daher falsch sein.
4.3.3. Aus der Falschheit der Annahme kann auf die Wahrheit des Gegenteils geschlossen werden. Damit gilt: Keine reelle Zahl wird durch meine Funktion nicht zu N zugeordnet.
4.4. Damit ist bewiesen, dass meine Funktion die beiden Mengen N und R bijektiv abbildet.
5. Damit sind R und N gleichmächtig.