Hinweis auf die DSGVO: Auf unserer Seite werden keine Dritt-Anbieter-Cookies verwendet und nur Daten erfasst, welche für das Minimum an Board-Funktionalität notwendig sind.
Bevor Sie sich registrieren oder das Board verwenden, lesen Sie bitte zusätzlich die DSGVO-Erklärung, welche in der Navigationsleiste verlinkt ist.

Kurzfassung der unserer Meinung nach wichtigsten DSGVO-Punkte:
Es kann vorkommen, dass Benutzer eigenverantwortlich Videos oder sonstige Medien in ihren Beiträgen verlinken, welche beim Aufruf der Forenseite als Teil der Seite samt zugehörigem Material mitgeladen werden. Sollten Sie dies nicht wünschen, verwenden Sie beim Benutzen des Forums einen Blocker wie z.B. uMatrix, welcher das Laden von Inhaltsblöcken von Fremd-URLs effektiv unterbinden kann.
Wir blenden keine Werbung ein und schränken die Inhalte in keinster Weise bei Benutzung von Addblockern ein. Dadurch ist die Grundfunktionalität des Forums auch bei vollständigem Blockieren von Drittanbieter-Inhalten stets gegeben.

Cookies werden unsererseits nur verwendet um das Einloggen des Benutzers für die Dauer der Forenbenutzung zu speichern. Es steht dem Benutzer frei die Option 'Angemeldet bleiben' zu verwenden, damit der Cookie dauerhaft gespeichert bleibt und beim nächsten Besuch kein erneutes Einloggen mehr notwendig ist.
EMail-Adressen werden für Kontakt bei wichtigen Mitteilungen und zur Widerherstellung des Passwortes verwendet. Die verwendeten IPs können von uns ohne externe Hilfsmittel mit keiner realen Person in Verbindung gebracht werden und werden nach spätestens 7 Tagen gelöscht. Diese IPs werden höchstens verwendet um Neuanmeldungen unerwünschter oder gesperrter Nutzer zu identfizieren und zu unterbinden. Wir behalten uns daher vor bei Verdacht, die Frist für die IP-Löschung auf maximal 14 Tage zu verlängern.
Unsere Webseite läuft auf einem virtuellen Linux-Server, welcher von einem externen Anbieter gehostet wird. Etwaige Verstöße der DSGVO-Auflagen seitens dieses deutschen Hosters können wir nicht feststellen und somit auch nicht verfolgen.
Wir halten Backups unserer Datenbanken, welche in regelmäßigen Abständen als Schutz vor Katastrophen, Hackerangriffen und sonstigen Ausfällen erstellt werden. Sollte ein Nutzer die Löschung seiner Daten wünschen, betrachten wir es als Unzumutbar die Backups auch von den Daten zu befreien, da es sich hierbei um eine mehrtägiges Unterfangen handelt - dies ist für eine Einzelperson beim Betrieb eines privaten Forums nicht zumutbar möglich ohne das Backup komplett zu löschen.
Sollten Sie etwas gegen die dauerhafte anonyme Speicherung ihrer EMail-Adresse, ihres Pseudonyms und ihrer Beiträge in einem Backup haben, sehen Sie von der Registrierung in diesem Forum ab. Für Mitglieder, welche vor dem 25.05.2018 registriert waren steht jedoch das Recht im Raum, eine Löschung der Datenbank-Backups zu beantragen.



Wenn dies Ihr erster Besuch hier ist, lesen Sie bitte zunächst die FAQs sowie die wesentlichen Regeln zur Benutzung des Forums.
Um an den Diskussionen teilnehmen zu können, müssen Sie sich zunächst registrieren.

Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Mathematische Fragestellungen
rick
übernimmt bald das Forum
übernimmt bald das Forum
Beiträge: 279
Registriert: 19. Mai 2011, 22:06

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von rick » 4. Jun 2013, 10:42

Ok, hab das vollständig missverstanden.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10129
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 4. Jun 2013, 11:50

Nun, die Frage ist, was man unter Aussagensystem versteht.

Versteht man darunter die beweisbaren = ableitbaren Aussagen, dann ist das natürlich korrekt.

Versteht man darunter die für ein Axiomensystem wahren Aussagen, dann schlägt der Gödelsche Unvollständigkeitssatz zu. Dieser besagt, dass es wahre, jedoch nicht beweisbare Theoreme für ein Axiomensystem gibt, wobei der Beweis des Satzes selbst sozusagen einer Metaebene bedarf.

Man sollte das jedoch nicht überbewerten, die Alltags-Mathematik wird davon nicht tangiert.

Allerdings gibt es eine weitere, wesentlich schlimmere Erkenntnis (ebenfalls von Gödel): diese besagt, dass die Widerspruchsfreiheit von Axiomensystemen i.A. nicht bewiesen werden kann. Dies trifft z.B. auf ZF sowie die Prädikatenlogik zu. Damit besteht die theoretische Möglichkeit, dass die Alltagsmathematik inkonsistent ist, ohne dass wir dies wissen können.

Aber das führt jetzt eigtl. zu weit vom ursprünglichen Thema weg.
Gruß
Tom

«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3723
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 4. Jun 2013, 22:29

ZFM ist lediglich nicht aus den Axiomen(Grundannahmen) ableitbar. Es hat eigentlich nichts mit dem aus dem Axiomen konstruierten Grundgerüst zu tun.
Ungefähr so, wie rationale und irrationale Zahlen bezüglich der Multiplikation. Jede der beiden Mengen für sich existiert wunderbar nebeneinander und funktioniert sowohl mit als auch ohne den anderen Part.
Daß das bei ZFM nicht beweisbar oder widerlegbar ist, ist lediglich ein kleiner Zusatz(oder womöglich genau das?).
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10129
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 5. Jun 2013, 07:05

Was ist ZFM?
Gruß
Tom

«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

rick
übernimmt bald das Forum
übernimmt bald das Forum
Beiträge: 279
Registriert: 19. Mai 2011, 22:06

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von rick » 5. Jun 2013, 10:10

Hier gibts ein paar Beispiele für Sätze, welche nicht hergeleitet werden können in der Peano-Arithmetik : http://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del ... S.C3.A4tze

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3723
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 5. Jun 2013, 18:16

tomS hat geschrieben:Was ist ZFM?
Verschreiber. Sollte eigentlich ZFC heissen und auf mit bzw ohne das C anspielen; war/bin müde.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

rick
übernimmt bald das Forum
übernimmt bald das Forum
Beiträge: 279
Registriert: 19. Mai 2011, 22:06

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von rick » 6. Jun 2013, 12:31

Skeltek hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Was ist ZFM?
Verschreiber. Sollte eigentlich ZFC heissen und auf mit bzw ohne das C anspielen; war/bin müde.
Dann versteh ich dein Posting:
Skeltek hat geschrieben:ZFM ist lediglich nicht aus den Axiomen(Grundannahmen) ableitbar. Es hat eigentlich nichts mit dem aus dem Axiomen konstruierten Grundgerüst zu tun.
Ungefähr so, wie rationale und irrationale Zahlen bezüglich der Multiplikation. Jede der beiden Mengen für sich existiert wunderbar nebeneinander und funktioniert sowohl mit als auch ohne den anderen Part.
Daß das bei ZFM nicht beweisbar oder widerlegbar ist, ist lediglich ein kleiner Zusatz(oder womöglich genau das?).
nicht.
Zermelo-Fraenkel selbst ist doch ein Axiom-System, warum sollte es dann wiederum aus Axiomen ableitbar sein und welche Axiome sollen das sein. Das ist doch gerade der Witz an der Sache, das man mit Axiomen Dinge hat, welche man als gegeben annimmt.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10129
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 6. Jun 2013, 21:34

geht mir genauso wie rick
Gruß
Tom

«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1805
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Pippen » 27. Feb 2014, 03:25

Mein Problem mit Cantor's Diagonalargument lautet wie folgt:

Cantor nimmt eine Liste unendlich vieler reeller Zahlen und konstruiert daraus durch Diagonalisierung eine Zahl, die an jeder Stelle anders ist als eine Zahl auf der Liste. Für mich kommt es dann zu einem unentscheidbaren Wettlauf der Unendlichkeiten: die Liste mit unendlich vielen reellen Zahlen vs. Cantor's Diagonalzahl mit unendlich vielen diagonal-zur-Liste-definierten Stellen. Wenn Cantor nun sagt: Seht, meine Zahl kommt in der Liste nicht vor, dann frage ich mich, woher er das wissen will, wenn die Liste mit den reellen Zahlen NIE ENDET?

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3723
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 27. Feb 2014, 05:25

tomS hat geschrieben:geht mir genauso wie rick
Wie ich weiter oben sagte war das verschrieben. Das Auswahlaxiom der ZFC ist nicht aus den anderen Axiomen von ZF ableitbar.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3723
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 27. Feb 2014, 06:33

Pippen hat geschrieben:Mein Problem mit Cantor's Diagonalargument lautet wie folgt:

Cantor nimmt eine Liste unendlich vieler reeller Zahlen und konstruiert daraus durch Diagonalisierung eine Zahl, die an jeder Stelle anders ist als eine Zahl auf der Liste. Für mich kommt es dann zu einem unentscheidbaren Wettlauf der Unendlichkeiten: die Liste mit unendlich vielen reellen Zahlen vs. Cantor's Diagonalzahl mit unendlich vielen diagonal-zur-Liste-definierten Stellen. Wenn Cantor nun sagt: Seht, meine Zahl kommt in der Liste nicht vor, dann frage ich mich, woher er das wissen will, wenn die Liste mit den reellen Zahlen NIE ENDET?
Menge aller Zahlen M
Deine Liste L
Liste aller nicht in L enthaltener Zahlen L'

L sei am Anfang leer L0={}
L0' sei Komplement zu L0

Du erweiterst L, indem du Zahlen einzeln von L' nach L ziehst.
z.B.
L2={Zahl1,Zahl2}
L2'={unendlich, Zahl3, Zahl4, ...}
Ln'={unendlich, Zahln+1, Zahln+2,...}

Cantor hat bewiesen, daß L' niemals komplett leer wird. Seine "Diagonalzahl"(eigentlich keine Zahl sondern eine "Restklasse") dreht,biegt und windet sich, damit man sie nicht zu fassen bekommt.
Sie zeigt dank geschickt gewähter rekursiver Definition/Konstruktion immer ins Innere von Ln', das ja nie verschwindet bzw leer wird.
Cantor hat somit bewiesen, daß Ln' niemals leer wird, weil Ln niemals fertig wird.
Andererseits wird Cantors "Diagonalzahl" erst existent, wenn Ln fertig wird(als nie), da vorher der Algorithmus um sie auszuwählen nicht fertig wird.

Egal welche Zahl man aus L' auswählt, ist Cantors Algorithmus dank rekursiver Definition immer genau einen Schritt voraus.
So gesehen hast du recht, daß "unsere Unendlichkeit" immer genau einen Schritt hinter "Cantors Unendlichkeit" hinterherjagt(wenn ich das jetzt in deiner Terminologie ausdrücke).

Die Liste der reelen Zahlen ist sozusagen "offen", da ihr Komplement(oben angedeutet mit "unendlich"; auch als leere Menge beschreibbar) nicht in ihr enthalten ist.
So wie die natürlichen Zahlen N als Komplement bzw Grenzwert unendlich haben, haben die reelen Zahlen auch einen nicht erreichbaren "Rest" auf den Cantors Diagonalzahlalgorithmus verweist.

Hoffe ich habs gut rüber bringen können.

Gruß, Skel
ps: Hatte einen echt guten Beitrag verfasst bevor mein Browser abgeschmiert ist, deshalb oben nur die unstrukturierte Kurzfassung. *genervt*
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10129
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 27. Feb 2014, 07:20

Pippen hat geschrieben:Mein Problem mit Cantor's Diagonalargument lautet wie folgt:

Cantor nimmt eine Liste unendlich vieler reeller Zahlen und konstruiert daraus durch Diagonalisierung eine Zahl, die an jeder Stelle anders ist als eine Zahl auf der Liste. Für mich kommt es dann zu einem unentscheidbaren Wettlauf der Unendlichkeiten: die Liste mit unendlich vielen reellen Zahlen vs. Cantor's Diagonalzahl mit unendlich vielen diagonal-zur-Liste-definierten Stellen. Wenn Cantor nun sagt: Seht, meine Zahl kommt in der Liste nicht vor, dann frage ich mich, woher er das wissen will, wenn die Liste mit den reellen Zahlen NIE ENDET?
Cantor zeigt, dass bereits die Annahme einer abzählbar unendlichen, vollständigen Liste L aller reellen Zahlen R inkonsistent ist.
Konkret nimmt Cantor folgende Eigenschaften der Liste L an:
- abzählbar, d.h. L und N sind bijektiv aufeinander abbildbar
- vollständig, d.h. L = R
Dann zeigt er, dass diese Eigenschaften zusammen inkonsistent sind, d.h. er muss eine von beiden Annahmen fallen lassen.

Wenn er abzählbar fallen lässt, also durch über-abzählbatr ersetzt, dann hat er genau den berühmten Beweis. Wenn er vollständig fallen liese, dann bringt ihn das nicht weiter, denn er will den Beweis ja für ganz R erbringen (nicht für eine unvollständige Untermenge, und das wäre ja der Fall, wenn er unvollständige Listen betrachten würde). Es gibt also keinen Wettlauf (denn wenn es einen gäbe, dann würden wir nicht mehr von einer vollständigen Liste sprechen).
Gruß
Tom

«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3723
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 27. Feb 2014, 21:13

Ich denke er meint die Mächtigkeit n der endlichen Menge und die Mächtigkeit ihrer Potenzmenge für n->unendlich,
die sich im Verhältniss der steigenden Zeilennummer m und der Mächtigkeit der m-stelligen Ziffernfolgen widerspiegelt.
Beide streben Richtung unendlich, dabei hat die Mächtigkeit der Potenzmenge einen Vorsprung.

Habe ich das so richtig widergegeben?
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1805
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Pippen » 28. Feb 2014, 00:43

tomS hat geschrieben: Cantor zeigt, dass bereits die Annahme einer abzählbar unendlichen, vollständigen Liste L aller reellen Zahlen R inkonsistent ist.
Konkret nimmt Cantor folgende Eigenschaften der Liste L an:
- abzählbar, d.h. L und N sind bijektiv aufeinander abbildbar
- vollständig, d.h. L = R
Dann zeigt er, dass diese Eigenschaften zusammen inkonsistent sind, d.h. er muss eine von beiden Annahmen fallen lassen.
Ja, aber wie beweist er, dass diese Eigenschaften zusammen inkonsistent sind? Doch durch seine Diagonalzahl!

Dazu schreibt Skeltek:
Egal welche Zahl man aus L' auswählt, ist Cantors Algorithmus dank rekursiver Definition immer genau einen Schritt voraus.
So gesehen hast du recht, daß "unsere Unendlichkeit" immer genau einen Schritt hinter "Cantors Unendlichkeit" hinterherjagt(wenn ich das jetzt in deiner Terminologie ausdrücke).
Und genau das ist mein Problem, denn beim Wettlauf zweier unendlicher Sequenzen (Liste vs. Diagonalzahl) spielt es keine Rolle, wer einen Schritt voraus ist (solange der andere im nächsten Schritt immer gleichzieht), weil niemals der logische Punkt erreicht wird, wo man urteilen kann: Die Diagonalzahl kommt in der Liste nicht vor. Das ist eine spekulative Aussage, weil ja die Liste nie endet. Cantor entwirft eine rekursive Definition/Algorithmus der Diagonalzahl und nimmt einfach als gegeben an, dass diese Definition auf unendlich viele Zahlen in der Liste anwendbar ist. Das kann aber niemand je überprüfen - und damit beweisen. Das ist einfach "faith from Georg"^^.

Ich hoffe, damit wird zumindest klar, wo mein Problem liegt. Ich akzeptiere Cantor's Beweis zwar als plausibel, aber nicht als wasserdicht...und ich muss sagen: je mehr ich mich in die moderne Mathematik vorkämpfe, desto enttäuschter werde ich. Ich hatte Gewissheiten erwartet, wie 1+1=2, aber je tiefer man vordringt, desto "empirischer" wird Mathematik. Wenn die strengen Finisten Recht haben, dann wird man in 1000 Jahren gleich nach dem ptolem. Weltbild zB die reellen Zahlen als Irrtum der Menschheit aufführen^^.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10129
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 28. Feb 2014, 02:09

Pippen hat geschrieben:
tomS hat geschrieben: Cantor zeigt, dass bereits die Annahme einer abzählbar unendlichen, vollständigen Liste L aller reellen Zahlen R inkonsistent ist.
Konkret nimmt Cantor folgende Eigenschaften der Liste L an:
- abzählbar, d.h. L und N sind bijektiv aufeinander abbildbar
- vollständig, d.h. L = R
Dann zeigt er, dass diese Eigenschaften zusammen inkonsistent sind, d.h. er muss eine von beiden Annahmen fallen lassen.
Ja, aber wie beweist er, dass diese Eigenschaften zusammen inkonsistent sind? Doch durch seine Diagonalzahl!
Ja.
Pippen hat geschrieben:Dazu schreibt Skeltek:
Egal welche Zahl man aus L' auswählt, ist Cantors Algorithmus dank rekursiver Definition immer genau einen Schritt voraus.
So gesehen hast du recht, daß "unsere Unendlichkeit" immer genau einen Schritt hinter "Cantors Unendlichkeit" hinterherjagt(wenn ich das jetzt in deiner Terminologie ausdrücke).
Und genau das ist mein Problem, denn beim Wettlauf zweier unendlicher Sequenzen (Liste vs. Diagonalzahl) spielt es keine Rolle, wer einen Schritt voraus ist (solange der andere im nächsten Schritt immer gleichzieht), ...
Ich halte die Argumentation für ungeschickt; es gibt keinen Wettlauf, da man (mit Cantor) annehmen kann, die Liste sei bereits vollständig.

So habe ich das oben auch geschrieben: die Annahmen, L sei vollständig UND bijektiv zu N sind widersprüchlich.
Pippen hat geschrieben:... weil niemals der logische Punkt erreicht wird, wo man urteilen kann: Die Diagonalzahl kommt in der Liste nicht vor. Das ist eine spekulative Aussage, weil ja die Liste nie endet.
Du bist auf der Suche nach einer konstruktivistischen Methode des Diagonalargumentes. Das wird nicht klappen. Konstruktivisten lehnen bereits die Existenz nicht-rekursiv definierbarer, unendlicher Mengen (wie z.B. R) ab.
Pippen hat geschrieben:Cantor entwirft eine rekursive Definition/Algorithmus der Diagonalzahl und nimmt einfach als gegeben an, dass diese Definition auf unendlich viele Zahlen in der Liste anwendbar ist. Das kann aber niemand je überprüfen - und damit beweisen.
Doch! Aber nur, wenn er das von dir kritisierte Beweismuster akzeptiert.
Gruß
Tom

«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3723
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 28. Feb 2014, 02:49

Versuche einfach R als die Hülle der Konstruierbaren Zahlen zu betrachten. N^N sozusagen. Sie wird nie ausgefüllt.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10129
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 28. Feb 2014, 07:05

Aber das wird für das Argument nicht benötigt.

Wobei du natürlich auch benutzen kannst, dass |P(M)| > |M|, wobei das auch für unendliche Mengen gilt. Aber den Satz wird Pippen erst recht nicht akzeptieren.
Gruß
Tom

«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3723
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 28. Feb 2014, 10:07

Da geht man kurz zum Bäcker und Windows update vernichtet nicht abgesendeten Beitrag, hab langsam Nase voll das ich lange Beiträge umsonst verfasse...

Nunja, "unendlich" als nicht erreichbarer Grenzwert der natürlichen Zahlenfolge wird normalerweise durch allgemeines Einvernehmen als Grenzwert ausgeschlossen. So wie "unendlich" nicht im Inneren von N enthalten ist, sind auch die Diagonalzahlen nicht in der Liste der reelen Zahlen enthalten.
Die Gesammtheit der Diagonalzahlen ist sozusagen die Hülle aller konstruierbaren Zahlen ohne ihren Inhalt.
Das was "unendlich" für die natürlichen Zahlen ist, sind die nicht algorithmisch darstellbaren Zahlen im Reelen; hier kann man denke ich durchaus eine Paralelle ziehen.
Man kann "unendlich" nicht als Produkt aller Primzahlen(wäre ja eine ganze Zahl) noch sonstwie darstellen, es symbolisiert nur, daß die Menge in dieser Richtung "offen" ist und zwar
in dem Sinn, daß ihr Grenzwert nicht darin enthalten ist.

Wäre unsere Liste vollständig, würden sich die Diagonalzahlen am "unteren Ende" der Liste befinden; da diese unendlich lang ist sind sie somit im Inneren der Liste nicht existent.
Es reicht denke ich zu zeigen, daß die Hülle von N vollständig im Inneren der Hülle von R enthalten ist, damit man erkennt, daß R porös ist und N auch durch bijektive Umformung immer eine echte Teilmenge von R bleibt.
Hier setzt denke ich das Argument an, daß die Mächtigkeit von R für N nicht erreichbar ist.

Sorry, mein erster Beitrag war besser strukturiert/nachvollziehbar, aber ich setz mich nicht nochmal 30 Minuten hin ^^
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10129
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 28. Feb 2014, 12:53

Man muss es nicht so kompliziert machen. Es geht um die prinzipielle Unmöglichkeit einer irgendwie gearteten Bijektion, nicht um eine konkrete Konstruktion.
Gruß
Tom

«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1805
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Pippen » 9. Mär 2014, 14:45

tomS hat geschrieben:
Pippen hat geschrieben:Cantor entwirft eine rekursive Definition/Algorithmus der Diagonalzahl und nimmt einfach als gegeben an, dass diese Definition auf unendlich viele Zahlen in der Liste anwendbar ist. Das kann aber niemand je überprüfen - und damit beweisen.
Doch! Aber nur, wenn er das von dir kritisierte Beweismuster akzeptiert.
Aber dieses "Beweismuster" ist doch inakzeptabel.

Er [Cantor] nimmt eine - wegen mir auch vollständige - Liste mit UNENDLICH vielen reellen Zahlen an, also:

Nr. 1: 0,a1,a2,...
Nr. 2: 0,b1,b2,...
Nr. 3: 0,c1,c2,...

und konstruiert nun durch Diagonalisierung eine Zahl, die zu JEDER Nr. X der Liste verschieden sein soll. Aber wenn diese Liste unendlich viele Nummern hat, dann kann man arbiträr auch sagen: deine Diagonalzahl wird nie von allen Listennummern (Zahlen) verschieden sein, weil es keine Ende dieser Liste gibt und wo kein Ende, da kein "es gibt nicht/es gibt"-Urteil! Cantor nimmt einen unendlich starken Angreifer an und konstruiert dann einen unendlich starken Verteidiger und woher nimmt er die Gewissheit, dass auf einmal der Verteidiger den Angreifer abwehren kann? Bei Unendlichkeit vs. Unendlichkeit gibt es keinen Sieger!

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3723
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 9. Mär 2014, 19:20

Cantor konstruiert ja keine Zahl, die nicht in der Liste der konstruierbaren Zahlen enthalten ist sondern zeigt die Offenheit der Liste(nach unten hin).
Es handelt sich ja nicht um eine (bestimmte) Zahl sondern eine rekursiv definierte Verknüpfung zum komplementär der aufgezählten Zahlen.
Cantor sagt nicht, es gäbe/existiere tatsächlich eine Zahl die nicht aufzählbar ist, sondern zeigt, daß die Liste der Zahlen nie vollständig wird in dem Sinn, daß sie ihren Rand nicht beinhaltet.

Das ist wie ein Quadrat, das man langsam vom linken oberen Eck aufzufüllen beginnt. Cantor sagt, daß nicht nur der untere Rand(symbolisiert hier unendlich) sondern auch der rechte Rand(symbolhaft für endliche nicht konstruierbare Grenzwerte) nicht Teil des Inhaltes der Umrandung ist.
Die konstruierbaren Zahlen stellen sozusagen lediglich das Innere der reelen Zahlen dar und nicht die Gesammtheit der reelen Zahlen.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1805
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Pippen » 9. Mär 2014, 19:35

Skeltek hat geschrieben:Cantor konstruiert ja keine Zahl, die nicht in der Liste der konstruierbaren Zahlen enthalten ist sondern zeigt die Offenheit der Liste(nach unten hin).
Es handelt sich ja nicht um eine (bestimmte) Zahl sondern eine rekursiv definierte Verknüpfung zum komplementär der aufgezählten Zahlen.
Cantor sagt nicht, es gäbe/existiere tatsächlich eine Zahl die nicht aufzählbar ist, sondern zeigt, daß die Liste der Zahlen nie vollständig wird in dem Sinn, daß sie ihren Rand nicht beinhaltet.
Er sagt mE schon, dass die rekursiv def. Diagonalzahl nicht in der Liste ist und sein kann! Denn wäre sie es, dann wäre R abzählbar.

Antworten