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Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Mathematische Fragestellungen
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von seeker » 17. Mai 2013, 19:18

Skeltek hat geschrieben:Es ist nicht dasselbe wie im Zehnersystem gezeigte.
Das kann nicht sein. Verschiedene Zahlensysteme sind doch nur verschiedene Schreibweisen für dieselben Zahlen.
Wandel doch mal dein Argument im Binärsystem ins Dezinalsystem um und schau was dabei herauskommt.
Skeltek hat geschrieben:Die Sache die mir gerade einfällt ist, ob man womöglich einen rekursiven Algorithmus erstellen kann, der jede Form von Cantors Widerspruchsbeweis systematisch zunichte macht ^^
Das wäre natürlich :devil: , aber ich gehe jetzt nicht davon aus, dass wir beide schlauer sind als alle Mathematiker der letzten 100 Jahre... :wink:
Von daher kann es eigentlich nur darum gehen den Beweis genauer zu verstehen, was er eigentlich genau meint und aussagt.

Wie schon gesagt, der Knackpunkt (auch an deiner Argumentation) ist:

Ist z.B. 0,01111111... = 0,1 oder nicht?
Bei Cantor kann es nicht dasselbe sein. Das ist es, was du eigentlich gezeigt hast.

Was auch wichtig ist, ist dass du nur Zahlen annähern kannst, zu der du auch eine endliche Konstruktionsvorschrift erstellen kannst. Das sind allesamt abzählbare Zahlen.
0,1 kann man auch als Bruch schreiben. Das erscheint mir wichtig.
Wie willst du eine transzendente Zahl annähern, wenn du sie nicht konstruieren, also nicht kennen kannst?

Was ich aber immer noch glaube ist, dass das 2. Diagonalargument ein Zirkelschluss ist:

1. Jede Liste, auf der eine Diagonalzahl gebildet werden kann, ist abzählbar!
2. Auf jeder abzählbaren Liste kann eine Diagonalzahl gebildet werden!
Das ist ein Zirkel.

Man muss zunächst, unabhängig davon, ob die Diagonalzahl neue Zahlen liefert oder nicht, betrachten, ob sie überhaupt auf einer Liste gebildet werden kann.
Probier mal auf den reellen Zahlen eine Diagonalzahl zu bilden! Das geht nicht, WEIL diese Menge überabzählbar ist. Die Diagonalzahl selbst muss ja immer abzählbar bleiben!
Deshalb kann sie nur auf abzählbaren Listen überhaupt gebildet werden.

Also braucht schon der Anfang des Beweises "Ich bilde eine Diagonalzahl auf einer Liste" die Voraussetzung, dass diese Liste auch abzählbar ist und zeigt hernach durch das Bilden neuer Zahlen, dass das auch so ist, was vorausgesetzt wurde.

Ergo:
Cantors Argument ist eigentlich weniger ein Beweis, als vielmehr das offensichtlich machen dessen, was bei der axiomatischen Konstruktion der betrachteten Zahlenmenge schon implizit geschaffen wurde.

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 17. Mai 2013, 21:50

seeker hat geschrieben: Ergo:
Cantors Argument ist eigentlich weniger ein Beweis, als vielmehr das offensichtlich machen dessen, was bei der axiomatischen Konstruktion der betrachteten Zahlenmenge schon implizit geschaffen wurde.
Endlich jemand, der versteht was ich vor Monaten mal sagen wollte ^^
Cantors Beweis mag vielleicht das richtige zeigen, bringt aber lediglich den bereits per Definition festgestellten Umstand zur Diskussion, dass die Liste der Konstruierbaren Zahlen abzählbar ist und man beim zählen der Vorschriften sich per Diagonalverfahren von 1 den unendlichen Konstruktionsvorschriften nur annähren kann, also die Liste der Konstruktionsvorschriften mit (Länge element N) dadurch offen ist, daß N kein abgeschlossenes Intervall ist.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 18. Mai 2013, 15:37

Neue Idee meinerseits:
Eine Menge Zahlen auf dem Intervall [0,1] ist genau dann gleich mächtig zu N, wenn es eine Aufzählungsreihenfolge ihrer Elemente Ai gibt, sodaß die Summe der Differenzen zweier aufeinanderfolgender Elemente A(i)+A(i+1) über der gesammten Aufzählung log(n) nicht überschreitet.

Aufgabe:
Wir zählen alle ratonalen Zahlen aus [0,1] auf und addieren die Differenzen aller aufeinanderfolgenden Zahlen.
Fragen:
Gibt es eine Aufzählreihenfolge, sodaß die Summe endlich ist?
Welchen Wert hat die kleinste mögliche Summe solch einer Aufzählung?
Wie verhält sich die notwendige minimale Länge des Sortieralgorithmus wenn man versucht die Summe zu minimieren?
Was kann man im Vergleich zum Zählen der reelen Zahlen innerhalb dieses Intervalls ziehen?
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von seeker » 19. Mai 2013, 11:58

Liebe positive, ich habe doch dazu schon Stellung genommen.
Irgendwie scheint mir aber, dass du darauf gar nicht eingehst...

Nochmal:
Obwohl mir dein Argument nicht sauber ausformuliert scheint, sehe ich es genauso:
WENN du alle Zahlen der Art 9769889..... zu den natürlichen Zahlen hinzurechnest, DANN ist diese Menge überabzählbar.
Wenn nicht nicht!

Tust du das aber, dann verzichtest du unumgänglich darauf, dass gewisse Rechenregeln für alle Elemente deiner Menge gleichermaßen gelten.
Diese Regeln gelten NUR für ALLE Elemente deiner Menge, WENN du auf Zahlen der Art 9769889..... verzichtest, wenn diese NICHT Element deiner Menge sind.

Also: Wähle, was dir lieber ist! Es geht nicht darum was IST, sondern darum, was du WILLST und was dann daraus ENTSTEHT.

Wichtig ist noch:

Wenn du Zahlen der Art 9769889..... verwendest, dann kannst du diese Zahlen nicht komplett aufschreiben.
Wenn man Zahlen nicht komplett aufschreiben kann, dann muss man wenigstens eine Bildungsvorschrift angeben können, wie diese Zahlen zu generieren sind, denn sonst bleibt unklar, um welche Zahl es sich jeweils konkret handelt. Man muss dann sagen: Diese Zahl ist undefiniert!*

Beispiel:

Für 12345678910111213... kann ich eine (endliche) Bildungsvorschrift angeben: Beginne mit "1" als erster Ziffer und setze dann fortlaufend die Ziffern "2, 3, 4, 5, ..,10,11,12,13,14, ..." hintendran.
Es gibt aber auch Zahlen, wo ich das nicht kann. Diese Zahlen entsprechen einer Teilmange der Transzendenten Zahlen.

Solche Zahlen sehen dann so aus: 9769889?????????????????????????????????????????????????...
Das "?" ist hier im Gegensatz zum "." so zu verstehen, dass ich nicht aufschreiben, nicht wissen und auch nicht ausrechnen kann, um WELCHE Ziffer es sich handelt.
Die "?" in der Zahl gehen nach hinten unendlich weiter (angedeutet durch "...").

Wenn ich jetzt zwei Zahlen "9769889????????????....." habe, dann kann ich diese Zahlen nicht miteinader verrechen.
Ich kann diese Zahlen auch nicht mit endlichen Zahlen wie "1,2,3,4,.." verrechen. Das ist das Problem.

Ich erhalte eine Menge mit den Elementen {1,2,3,4,..., ???..., ???..., ???..., ..., 11111..., ???..., ???..., ???..., ..., 2222..., ???..., ... }
Ich kann den Teil mit den "?" nicht einmal mehr vollständig ordnen, denn ich weiß nicht in jedem Fall, welche der "?"-Zahlen die größere ist.

Bei den reellen Zahlen passiert zwar im Prinzip dasselbe, nur ist es da ganz hinten, in den Nachkommastellen.

Deshalb kann ich z.B. wissen, dass 10,8675889... > 1,976487654879...
Im Gegensatz dazu weiß ich aber nicht, ob 108675889... > 1976487654879.. ist.

*
Bei den reellen Zahlen hat man dieses Problem auch. Man löst es, indem man sagt, die unbekannte Zahl liegt "dicht" an einer bekannten Zahl (wie z.B. 0,3333...) dran, ist also quasi ihr direkter Vorläufer oder Nachfolger, je nach dem. Die "bekannten" Zahlen bilden sich aus Q (den Brüchen) und allen Zahlen, die durch ein Polynom mit endlich vielen Gliedern errechnet werden können plus die Zahlen, für die man eine endliche Konstruktionsvorschrift angeben kann (wie z.B. Pi und e).
(So habe ich das jedenfalls inzwischen verstanden.)

Bei ganzen positiven Zahlen mit unendlich vielen Vorkommastellen könnte man nun etwas ähnliches versuchen. Wie gesagt handelt man sich dabei aber einen "Bruch" (zwischen den endlichen Zahlen und den unendlichen Zahlen) bei der zu konstruierenden Zahlenmenge ein, weil irgendeine ganze Zahl nur "dicht" (relativ gesehen -> rel. Lücke = 0: (b-a)/b=0, mit a = direkte Vorläuferzahl von b) an einer anderen Zahl mit unendlich vielen Vorkommastellen liegen kann, nicht aber an einer anderen Zahl mit endlich vielen Vorkommastellen (es bleibt hier relativ gesehen immer eine endliche Lücke: (b-a)/b>0).
D.h.: Für Zahlen mit unendlich vielen Vorkommastellen gelten dann andere Regeln als für Zahlen mit endlich vielen Vorkommastellen.
Das ist der Preis, den man bezahlen muss, wenn man Zahlen mit unendlich vielen Vorkommastellen zusammen mit endlichen Zahlen verwenden will.

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von seeker » 19. Mai 2013, 12:24

Skeltek hat geschrieben:Neue Idee meinerseits:
Eine Menge Zahlen auf dem Intervall [0,1] ist genau dann gleich mächtig zu N, wenn es eine Aufzählungsreihenfolge ihrer Elemente Ai gibt, sodaß die Summe der Differenzen zweier aufeinanderfolgender Elemente A(i)+A(i+1) über der gesammten Aufzählung log(n) nicht überschreitet.
Jetzt denkst du über die Kontinuumshypothese nach? :)

Ich denke so: Voraussetzung für die Überabzählbarkeit einer Menge ist, dass ihre Elemente "dicht" aneinanderliegen müssen.
Daraus folgt, dass jede Menge, wo die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Elementen = Null ist überabzählbar ist und jede Menge, wo diese DIfferenz > Null ist, abzählbar ist.

Nun müsste diese Differenz ja aber nicht unbedingt konstant sein...

Um das zu erreichen, was du scheinbar willst, müsste eine solche Differenzfolge aber im Endlichen den Sprung von D>0 zu D=0 machen.

Mit harmonischen Reihen kommt man da nicht weiter:
Als allgemeine harmonische Reihe bezeichnet man



,sie divergiert für und konvergiert für (siehe Cauchysches Verdichtungskriterium).
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe

Zwischen a<=1 und a>1 werden wir auch keinen weiteren Wert mehr finden können...

Es ginge vielleicht mit Funktionen der Form f(D) = 1/(1-x)?
Wir erhalten dann für x = 1 eine Unstetigkeit, die ja die Verdichtung an dieser Stelle bewirkt.

Wäre eine Zahlenmenge mit dieser Eigenschaft nicht in der Nähe von x=1 überabzähbar und in allen Intervallen, die x=1 nicht enthalten, abzählbar?
Insgesamt wäre die Menge aber dennoch überabzählbar, denn (salopp) gilt doch: "abzählbar + überabzählbar = überabzählbar".
"Ein bißchen schwanger" geht wohl nicht...


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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Fuzzlix » 19. Mai 2013, 13:27

Die Kontinuumshypothese kam mir beim Mitlesen Eurer Diskussion auch in den Sinn.

Fakt ist, Dass irgendwann im letzten Jahrhundert ein amerikanischer Mathematiker sowohl den Beweis erbracht hat, dass |N| = |R| UND dass |N| < |R| !

Na dass nenne ich einen klassischen Widerspruch :)

Es gibt also eine Grenzmenge von Zahlen, die sowohl, die Ansprüche erfüllen, welche die Axiome an die Natürlichen Zahlen stellen als auch die Ansprüche erfüllt, die die Axiome als Ausschlusskriterium für natürliche Zahlen werten. Ich würde nun versuchen diese "Zwischen-Menge" zu beschreiben. Die Mathematik sagt nun dass diese Aussage nicht innerhalb des Aussagensystemes der Mathematik gebildet werden kann.

So, und nun noch 3x nachdenken und Ihr habt die Lösung :)

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von seeker » 19. Mai 2013, 16:08

Fuzzlix hat geschrieben:Die Mathematik sagt nun dass diese Aussage nicht innerhalb des Aussagensystemes der Mathematik gebildet werden kann.
Nicht ganz. Die Mathematik sagt nun dass diese Aussage nicht innerhalb des Aussagensystemes der ZFC-Mengenlehre gebildet werden kann.
Es könnte daher vielleicht andere Mengenlehren geben, wo es doch geht?
Von daher kann man ja mal kurz drüber nachdenken und die Sache untersuchen und sehen, was vielleicht möglich wäre.

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Fuzzlix » 19. Mai 2013, 16:38

seeker hat geschrieben:
Fuzzlix hat geschrieben:Die Mathematik sagt nun dass diese Aussage nicht innerhalb des Aussagensystemes der Mathematik gebildet werden kann.
Nicht ganz. Die Mathematik sagt nun dass diese Aussage nicht innerhalb des Aussagensystemes der ZFC-Mengenlehre gebildet werden kann.
Es könnte daher vielleicht andere Mengenlehren geben, wo es doch geht?
Ja das ist präziser. Für einen Nichtmathematiker war ich aber schon dicht dran oder? ;)
Jetzt müssen wir uns nur noch fragen, wie das Aussagensystem aussehen soll, mit dem wir alle möglichen Zahlen bilden wollen.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 19. Mai 2013, 18:51

Denke es hat etwas mit der Sortierung der Liste zu tun. Es wird lediglich gezeigt, daß es vermutlich einfach keinen endlichen Aufzählungsalgorithmus gibt, in dem alle abzählbaren transzendenten Zahlen enthalten sind.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 20. Mai 2013, 06:05

Versuche mich zur Zeit daran eine Sortierung zu finden, zu dem kein endlicher Diagonalzahlalgorithmus existiert. Falls erfolgreich meld ich mich nochmal ^^
Ziel wird scheint wohl zu sein, daß jede mögliche Zahl die nicht in der Liste vorkommt lediglich eine andere Notation zu einer bereits oder später aufgezählten Zahl ist.
Messe dem ganzen wenig Erfolg bei, aber dürfte wohl lehrreich sein einfach mal darüber nachgedacht zu haben ^^

Das fettgedruckte hab ich grad nacheditiert ^^
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 30. Mai 2013, 17:34

Fuzzlix hat geschrieben:Fakt ist, Dass irgendwann im letzten Jahrhundert ein amerikanischer Mathematiker sowohl den Beweis erbracht hat, dass |N| = |R| UND dass |N| < |R| !

Na dass nenne ich einen klassischen Widerspruch :)

...

Fuzzlix.
Das ist leider falsch.

Cohen hat gezeigt, dass unter der Annahme der Widerspruchsfreiheit von ZFC sowohl die Kontinuumshypothese als auch deren Negation widerspruchsfrei als neues Axiom hinzugefügt werden kann. In beiden Fällen ist jedoch |N| < |R|.

Die Kontinuumshypothese (angewandt auf Mengen - das ist nicht die kanonische Formulierung!) besagt, dass keine Menge X existiert, für die |N| < |X| < |R| gilt. Die Negation besagt, dass ein derartiges X existiert.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Fuzzlix » 1. Jun 2013, 10:30

tomS hat geschrieben:Cohen hat gezeigt, dass unter der Annahme der Widerspruchsfreiheit von ZFC sowohl die Kontinuumshypothese als auch deren Negation widerspruchsfrei als neues Axiom hinzugefügt werden kann. In beiden Fällen ist jedoch |N| < |R|.
Was auch immer. Ich sage nur dass es, wie Du hier selbst schreibst, 2 Aussagen gibt, die sich widersprechen, die aber innerhalb des angewandten Ausagensystemes nicht widerlegt werden können. Das ist der Sachverhalt, auf den ich mein Augenmerk gerichtet habe. Dieser Widerspruch kann innerhalb des Ausagensystemes der Mathematik nicht gelöst werden.
Alles was ich vorschlage ist, in einem Aussagensystem ausserhalb und vor der Mathematik die Entstehung dieses Widerspruches zu erklären.

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 1. Jun 2013, 11:51

Nein, die Aussagen (K für Kontinuumshypothese sowie ~K für deren Verneinung) widersprechen sich nur, wenn sie BEIDE zu ZFC hinzugefügt werden. Jede einzelne Aussage K oder ~K ist mit ZFC verträglich, natürlich nicht beide gleichzeitig. D.h. die Aussagen K und ~K sind in ZFC jeweils unentscheidbar.

Eine Entscheidung von K ist in ZFC nicht möglich, jedoch in geeigneten Erweiterungen ZFC+X mit einem noch zu identifizierbaren neuen Axiom X, das zum einen widerspruchsfrei zu ZFC sein muss, sowie zum anderen "natürlich" sein soll. Die mir bekannten Kandidaten für X sind jedoch alles andere als einfach oder natürlich, sondern deutlich seltsamer als C.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Fuzzlix » 1. Jun 2013, 19:21

tomS hat geschrieben:Nein, die Aussagen (K für Kontinuumshypothese sowie ~K für deren Verneinung) widersprechen sich nur, wenn sie BEIDE zu ZFC hinzugefügt werden. Jede einzelne Aussage K oder ~K ist mit ZFC verträglich, natürlich nicht beide gleichzeitig. D.h. die Aussagen K und ~K sind in ZFC jeweils unentscheidbar.
Da sind wir uns ja einig. Nur um mich hier wirklich verständlich zu machen, worauf ich hinaus will, muss ich jetzt ein bischen spitz werden: Damit, dass Du hier zwei sich widersprechende Aussagen hast, macht Dir nichts aus? Damit kannst Du ruhig schlafen/weiterrechnen?
tomS hat geschrieben:Eine Entscheidung von K ist in ZFC nicht möglich, jedoch in geeigneten Erweiterungen ZFC+X mit einem noch zu identifizierbaren neuen Axiom X, das zum einen widerspruchsfrei zu ZFC sein muss, sowie zum anderen "natürlich" sein soll.
Da kann ich Dir nur zustimmen. Eine Idee wie das funktionieren könnte hätte ich da schon, aber es ist nur eine Idee. Ausformulieren müsste es ein Mathematiker. Und Halbgares poste ich nicht hier im Forum. Wer also Lust auf das Thema hat, kann mich gerne direkt kontakten.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 1. Jun 2013, 23:09

Fuzzlix hat geschrieben: Damit, dass Du hier zwei sich widersprechende Aussagen hast, macht Dir nichts aus? Damit kannst Du ruhig schlafen/weiterrechnen?
Ja, damit muss man seit Gödel ruhig schlafen: man weiß, dass in ZFC prinzipiell unentscheidbare Aussagen formulierbar sind. Offensichtlich ist K (sowie zu K äquivalente Aussagen) ein Beispiel dafür. Es ist spannend, dass man dieses Beispiel kennt, es ist interessant, aber es tangiert nicht die alltägliche Mathematik
Gruß
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 2. Jun 2013, 12:30

Wie wäre eine "Mächtigkeit" zwischen der von N und R überhaupt definiert? Halb abzählbar? halb algebraisch? "Nicht konstruierbar aber abzählbar" wird wohl kaum eine sinnvolle Eigenschaft sein...
Früher dachte ich immer, daß allein der Definition her nach dazwischen gar nichts geben kann?

Achja, was setzt Cantor bei
http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zw ... alargument
ein, wenn er als Dezimalstelle 3,99..; 4,0; 4,99..; 5,0; 5,99.. oder 6,0 bekommt?
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 2. Jun 2013, 14:37

Wie gesagt, das ist zunächst alles nicht-konstruktiv.

Die Mächtigkeit zwischen |N| und |R| bzw. die entsprechende Menge M wäre so definiert, so sowohl zwischen M und N als auch zwischen M und R eine Bijektion prinzipiell ausgeschlossen ist.

Mittels eines zusätzlichen Axioms X zu ZFC sollte natürlich ein Konstruktionsprinzip für M abfallen. In ZFC gibt es das natürlich nicht.
Gruß
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 2. Jun 2013, 17:39

Skeltek hat geschrieben: Achja, was setzt Cantor bei
http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zw ... alargument
ein, wenn er als Dezimalstelle 3,99..; 4,0; 4,99..; 5,0; 5,99.. oder 6,0 bekommt?
Letztlich gehst es doch darum, ob die Ziffer "A" oder "nicht A". Da die Notation zweideutig ist, ist es möglich dass die Diagonalzahlen an irgendeiner Stelle vorkommen (z.B. 0,periode 45 and erster Stelle und 0,periode 54 an zweiter Stelle), während man an anderen Stellen durch die zweideutige Notation eine Ziffer wie z.B. 4 oder 5 erzwingt, die bereits vergeben ist.

Die Implikation "Eine Ziffer unterscheidet sich=> Zahl unterscheidet sich" ist so direkt nicht durchführbar, da fehlt meiner Meinung nach ein Zwischenschritt.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 2. Jun 2013, 23:24

positive hat geschrieben:Da wird es aber kein Axiom geben, weil der Bereich hochspekulativ ist, wir wissen wie richtiges Wissen aussieht im Sinne von real-umsetzbar.
Ich denke, die Mathematik hat einen anderen Begriff von "richtigem Wissen" als du ;-)

http://www.ams.org/notices/200106/fea-woodin.pdf
http://www.ams.org/notices/200107/fea-woodin.pdf

(leider habe ich noch keine neueren Artikel gefunden)

positive hat geschrieben:Das ist dann halt noch mehr "strange" und alles was sich nicht auch unmittelbar in der Realität umsetzen lässt, ist erstmal auch nur exotisch da.
Nö, das ist eben Mathematik.

Schau doch mal im Internet nach, was das Auswahlaxiom so für Konsequenzen hat (u.a. Banach-Tarski Paradoxon) und was es mit "exotic smootheness" auf sich hat.
Gruß
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 4. Jun 2013, 03:46

In der Mathematik gibt es kein Wissen, nur die elementare Annahme der Richtigkeit des Konzeptes der Implikation.
A=>B

Der ganze Rest baut lediglich darauf auf wie ein sich verzweigender Baum. Die Gültigkeit von A muss nicht sichergestellt sein, Mathematik sagt nur "wenn A, dann B".
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 4. Jun 2013, 08:24

Ganz so einfach ist es nicht. Dein A steht ja nicht für ein Axiom sondern für ein Axiomensystem, und B daher für die Menge beweisbarer Sätze. A muss widerspruchsfrei sein, was nicht unbedingt beweisbar sein muss. Z.B. ist ZF nicht beweisbar widerspruchsfrei. Und nach Gödel ist die Menge der wahren Sätze echt größer als die Menge der beweisbaren Sätze.
Gruß
Tom

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Fuzzlix » 4. Jun 2013, 09:07

Skeltek hat geschrieben:In der Mathematik gibt es kein Wissen, nur die elementare Annahme der Richtigkeit des Konzeptes der Implikation.A=>B
Der ganze Rest baut lediglich darauf auf wie ein sich verzweigender Baum. Die Gültigkeit von A muss nicht sichergestellt sein, Mathematik sagt nur "wenn A, dann B".
TomS hat geschrieben:Ganz so einfach ist es nicht. Dein A steht ja nicht für ein Axiom sondern für ein Axiomensystem, und B daher für die Menge beweisbarer Sätze. A muss widerspruchsfrei sein, was nicht unbedingt beweisbar sein muss. Z.B. ist ZF nicht beweisbar widerspruchsfrei. Und nach Gödel ist die Menge der wahren Sätze echt größer als die Menge der beweisbaren Sätze.
Das würde ja bedeuten, dass ein Aussagensystem (zB das der Mathematik) sich vollständig nur aus den Anfangsbedingungen/Axiomen konstruieren lässt.

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von seeker » 4. Jun 2013, 10:07

Skeltek hat geschrieben:Wie wäre eine "Mächtigkeit" zwischen der von N und R überhaupt definiert? Halb abzählbar? halb algebraisch? "Nicht konstruierbar aber abzählbar" wird wohl kaum eine sinnvolle Eigenschaft sein...
Früher dachte ich immer, daß allein der Definition her nach dazwischen gar nichts geben kann?

Achja, was setzt Cantor bei
http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zw ... alargument
ein, wenn er als Dezimalstelle 3,99..; 4,0; 4,99..; 5,0; 5,99.. oder 6,0 bekommt?
Auch dort erhälst du eine Diagonalzahl, die nicht in deiner Liste ist, nämlich einfach 5,555555...

Es ist doch so:

Wenn meine Liste eine abzählbar unendliche Liste wie z.B. Q ist, dann muss die Menge aus allen Elementen dieser Liste Q plus alle möglichen Diagonalzahlen (ich muss mich ja nicht auf die Ziffern 4 und 5 beschränken) eine Menge, die gleichmächtig R ist, genauer: Es IST die Menge R.
D.h.: Die Menge aller Diagonalzahlen muss überabzählbar sein. Das wiederum bedeutet, dass keine endliche Konstruktionsvorschrift (oder endliche Menge an endlichen Konstruktuionsvorschriften) existiert, die mir explizit alle Diagonalzahlen einzeln ausspuckt.

"Abzählbar" bedeutet doch dies: Ich kann alle Zahlen der Menge explizit und einzeln angeben, indem ich sie direkt durch eine endliche, also aufschreibbare Ziffernfolge aufschreibe oder durch einen anderen Platzhalter konkretisiere, wobei diese Platzhalter aufschreibbare, also endliche Konstruktionsvorschriften wie z.b. endliche Polynome sind.
"Überabzählbar" bedeutet dann, dass ich gerade das o.g. nicht kann.
Demzufolge bedeutet "abzählbar" einfach "aufschreibbar".

Das Grundproblem bei der ganzen Geschichte ist doch dies:

Wir haben einerseits diskrete Zahlen und andererseits ein Kontinuum. Nun wollen wir aus "viel Diskretem" (Zahlen) etwas "Kontinuierliches" (R) machen, was ja eigentlich unmöglich ist.
Allein daraus ergibt sich der verwirrende Umstand, dass unsere Menge (R) "überabzählbar" sein muss, eben weil "diskrete" Zahlen in R "dicht" aneinanderliegen sollen.
Darin könnte man einen Widerspruch sehen, was man -glaube ich- vor 100 Jahren auch noch getan hat.
Fuzzlix hat geschrieben:Damit, dass Du hier zwei sich widersprechende Aussagen hast, macht Dir nichts aus? Damit kannst Du ruhig schlafen/weiterrechnen?
Die Sache ist die, dass ich normalerweise keine der beiden Aussagen überhaupt treffen muss.
Dass in jedem genügend mächtigen System widersprüchliche Aussagen formulierbar sind ist ja seit Gödel bekannt. Das heißt ja nicht, dass man sie auch formulieren muss.
In aller Regel funktioniert die Mathematik auch dann sehr gut, wenn man eben das nicht tut. Es ist ja auch nicht so, dass es nur diese hier genannte Unsicherheit gibt, es sind beliebig viele nicht-beweisbare/nicht-widerlegbare Aussagen möglich. "Nicht-beweisbar" bedeutet aber nicht "Widerspruch" sondern "Unentscheidbarkeit".
Ein echter Widerspruch müsste aus Konsistenzgründen (durch Änderungen am Axiomensystem) unbedingt aufgelöst werden, eine Unentscheidbarkeit kann man als eine Grenze des möglichen Wissens (vom System) einfach so stehen lassen.

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von rick » 4. Jun 2013, 10:11

Fuzzlix hat geschrieben: Das würde ja bedeuten, dass ein Aussagensystem (zB das der Mathematik) sich vollständig nur aus den Anfangsbedingungen/Axiomen konstruieren lässt.

Fuzzlix.
In einer typischen Analysis Vorlesung z.B. wird der gesamte Stoff auf den Peanoaxiomen aufbauend hergeleitet.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 4. Jun 2013, 10:30

Einschränkung: Der zweite Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, dass nicht alle wahren Sätze auch ableitbar sind.
Gruß
Tom

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