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Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Mathematische Fragestellungen
Pippen
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Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Pippen » 13. Apr 2013, 19:20

Ich verstehe Cantor's 2. Diagonalargument nicht und warum N und R nicht gleichmächtig sind.

Zunächst ein einfacher Gedanke, dann ein etwas ausführlicherer Widerlegungsversuch.

Cantor geht ganz allgemein von einer Liste mit allen denkbaren Ziffernfolgen der reellen Zahlen im Intervall {0,1} aus. Dann muss Cantor's Diagonalzahl darunter sein, denn es ist 1. eine reelle Zahl im Intervall {0,1} und sie ist 2. denkbar. Ich kann es auch so beweisen: Nehmen wir an, Cantor hätte Recht und es gäbe eine reelle Zahl im Intervall {0,1}, die nicht zu einer Liste mit allen denkbaren - also unendlich vielen - reellen Zahlen gehört. Dann gäbe es also eine Zahl, die nicht zu dieser Liste gehört, obwohl sie denkbar ist. Das ist ein Widerspruch und damit ist die Annahme falsch. So oder so kann es nicht sein, dass Cantor's Diagonalzahlen nicht in der Liste sind. Das ergibt sich aus deren unendlichem Charakter.

So und jetzt noch ein Beweisversuch, wobei ich als Laie auf wohlwollendes Lesen angewiesen bin!

1. Sind R und N gleichmächtig und abzählbar?

2. Die zwei Mengen N und R sind gleichmächtig und abzählbar, wenn sie sich bijektiv abbilden lassen. Das ist der Fall, wenn jedem Element von N genau ein Element von R und wenn jedem Element von R genau ein Element von N zuzuordnen sind (4.1.), Mehrfachzuordnungen ausgeschlossen sind (4.2.) und wenn diese Zuordnung alle Elemente von N und R erfasst (4.3.).

3. Es gilt folgende Funktion:

3.1. Schreibe in Zeile n die natürliche Zahl n und ordne dieser Zeile eine einzige beliebige reelle Zahl zu, es sei denn die Zahl ist bereits zugeordnet.
3.2. Gehe zurück zu 1. und schreibe in Zeile n+1 die natürliche Zahl n+1 und ordne dieser Zeile eine einzige beliebige reelle Zahl zu, es sei denn die Zahl ist bereits zugeordnet.
3.2. Für den Anfangswert von n gilt: n=0.

4. Diese Funktion ist bijektiv, wenn die Voraussetzungen aus 2., d.h. 4.1., 4.2. und 4.3. gegeben sind.

4.1. Jedem Element von N wird genau ein Element von R zugeordnet und umgekehrt. Das dürfte mE nicht streitig sein.

4.2. Mehrfachzuordnungen untereinander sind ausgeschlossen. Auch das dürfte nicht streitig sein.

4.3. Die einzig problematische Frage ist, ob nach o.g. Funktion mind. eine reelle Zahl nicht zur aufsteigenden Liste aus natürlichen Zahlen zugeordnet werden kann. Das ist nicht der Fall und das beweise ich via reductio ad absurdum:

4.3.1. Ich nehme das Gegenteil meiner o.g. Behauptung an, d.h. dass mind. eine reelle Zahl durch meine Funktion nicht zu N zugeordnet werden kann.

4.3.2. Meine Funktion ordnet beliebige reelle Zahlen (per Zufall) einer aufsteigenden Liste von nat. Zahlen zu und zwar unendlich iterativ. Weil die zufällige iterative Zuordnung nie endet, kann es auch keine reelle Zahl geben, die nicht zugeordnet wird oder werden kann, denn gäbe es sie, dann gäbe es auch immer noch weitere unendlich viele Möglichkeiten der Zuordnung und die Wahrscheinlichkeit einer Zuordnung näherte sich grenzwertig an 1, was sichere Zuordnung bedeutet (so verstehe ich letztlich Grenzwertberechnung, wenn etwas "gegen 1 läuft", man schaue sich dazu auf wiki das infinite monkey theorem an). Die Annahme aus 4.3.1. widerspricht daher der definitorischen (Grenzwert-) Eigenschaft der unendlich iterativen Zuordnung der reellen Zahlen bei meiner Funktion; sie muss daher falsch sein.

4.3.3. Aus der Falschheit der Annahme kann auf die Wahrheit des Gegenteils geschlossen werden. Damit gilt: Keine reelle Zahl wird durch meine Funktion nicht zu N zugeordnet.

4.4. Damit ist bewiesen, dass meine Funktion die beiden Mengen N und R bijektiv abbildet.

5. Damit sind R und N gleichmächtig.

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 13. Apr 2013, 20:16

Pippen hat geschrieben: ...dann muss Cantor's Diagonalzahl darunter sein, denn es ist 1. eine reele Zahl im Intervall {0,1} und sie ist 2. denkbar.
Er geht von den rationalen(Elemente aus Q), transzendenten(aus T) & algebraischen(aus A) Zahlen aus und schließt auch alle endlichen Zahlen, die man darstellen oder denken kann mit ein.
Rationale Zahlen sind in A auch enthalten.

Meine persönliche Interpretation:
Reele endliche Zahlen, die nicht in A oder T enthalten sind, existieren nicht.
Kantor hat nicht bewiesen, daß es tatsächlich Zahlen gibt, die nicht in A oder T enthalten sind, sondern dass die Liste unvollständig ist.
Das bedeutet konkret, daß nicht die Zahlenmengen A und T (beide abzählbar) unvollständig sind und es deshalb noch andere Zahlen gibt, sondern dass der Zahlenraum in dem A und T enthalten sind unvollständig ist.

Es hat viel mit dem Auswahlaxiom zu tun.
Cantor sagt, daß es unmöglich ist, die Menge aller existierenden Zahlen so zu ordnen, daß alle beliebigen Zahlenintervalle vollständig in dieser Liste enthalten sind. Um ein endliches Intervall aus dem Zahlenraum A oder T darzustellen benötigst du unendlich viele natürliche Zahlen.
Egal wie der Sortieralgorythmus ist, du kannst keine noch so kleine Umgebung eines Punktes in z.B. Q so darstellen, daß sie vollständig aufgelistet wird.


Ich versuche es mal mit einer Skizze:
Reele Zahlen.jpg
Reele Zahlen.jpg (15.22 KiB) 7815 mal betrachtet
Du hast einen 1 Meter langen Baum. Nach 1/2 Meter verzweigt sich der Baum in zwei Äste. Nach der Hälfte der Reststrecke teilen sich die Äste wiederholt bis zur rechten roten Linie.
Du hast an der rechten roten Linie unendlich viele "Astspitzen".

Die Anzahl der Knoten bzw Verzweigungen ist abzählbar; diese stellen hier alle in endlicher Zeit denkbaren und in endlichen Konstruktionsvorschriften darstellbaren Zahlen dar.
Die rote Linie stellt den "überabzählbaren" Anteil aller Zahlen dar; sie ist selbst nicht in der Menge der darstellbaren Zahlen enthalten.
Die Menge aller existierenden Zahlen ist im übertragenen Sinne der schwarze Bereich also das halboffene Intervall [0,1[
Die Menge der reelen Zahlen ist der schwarze Bereich plus die rote Linie also das abgeschlossene Intervall [0,1]
Die rote Linie existiert eigentlich nicht, da sie zu ihrer vollständigen Darstellung unendlich viele Konstruktionsvorschriften mit jeweils unendlich vielen Konstruktionsschritten erfordert.
Trotzdem ist der schwarze Bereich unvollständig bzw nicht abgeschlossen und nach rechts hin offen, da er das Intervall [0,1] niemals vollständig fassen kann.

Es wird niemals einen Sortieralgorythmus geben, der einen Teilausschnitt der roten Linie(sei er auch noch so klein) vollständig aufzählen kann(Sie ist ohnehin nicht im endlichen Existent).
Es gibt auch keine Auswahlfunktion, die alle Zahlen auf einem bestimmten Ausschnitt der roten Linie erfassen kann.
Deshalb kann man auch nicht wirklich eine zufällige Zahl aus R auswählen, da jede Zahl die wir wählen endlich und ein Teil des schwarzen Bereiches ist.
Es ist deshalb auch nicht wirklich sinnvoll sich zu fragen, ob die rote Linie oder die schwarzen Verzweigungen mehr Elemente besitzen.

Ich hoffe meine Paint-Skizze ist halbwegs hilfreich und verständlich.
Interessant ist auch, dass man nicht entscheiden kann, ob sich an der roten Linie Astspitzen oder Verzweigungen befinden ^^

Übrigens sind die Nummern nicht die Koordinaten von 0 bis 1 sondern die Reststrecke bis 1.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 13. Apr 2013, 20:37

Cantors zweites Diagonalelement ist übrigens ein schwachsinniger Beweis, da die Bildungsvorschrift seiner Zahl so rekursiv auf unsere Listenbildungsvorschrift zugreift, daß sie sich zuerst unsere Liste anschaut und danach erst ein Element aus der noch nicht aufgeschriebenen Restmenge auswählt.
Geschickt umkonstruiert kann man seinen Beweis auch so modelieren, dass sein Algorythmus genau Null komma Periode Null gefolgt von einer Eins oder sogar 0,99999... ausspuckt; das wäre dann sozusagen die Null bzw 1.
Man kann auch einen Algorythmus für die Liste erstellen, der als Grenzwert seine Zahl besitzt.

Das heißt man hat zwei reele Zielwerte auf der roten Linie auf die dein Algorythmus zusteuert und Cantor wählt dann immer automatisch die nächstfolgende Zahl auf dem gerade anderen Ast aus.
Während sowohl meine Liste bzw Zahlenfolge als auch seine Konstruktionsvorschrift auf dieselben Grenzwerte zusteuern, wird weder seine Zahl noch meine Zahlenfolge diesen Grenzwert niemals erreichen.
Wenn man es auf die Spitze treibt hat uns Cantor lediglich gezeit, daß eine Nullfolge niemals ihren Grenzwert annimmt und damit unvollständig ist.
Wenn du von
ausgehst, versuch mal folgende Liste aus:
0,5
0,45
0,445
0,4445
0,44445
...

Cantor´s Algorythmus spuckt dir genau den Grenzwert 0,44444444... aus während dein Algorythmus diesen nur als Grenzwert hat.

Cantor hat später nochmal einen weiteren Beweis zur Überabzähbarkeit von R erbracht, aber den habe ich aus Desinteresse leider nie gelesen.
Gruss
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von breaker » 14. Apr 2013, 10:37

Cantors zweites Diagonalelement ist übrigens ein schwachsinniger Beweis...
Ich weiß nicht, was ihr habt, der Beweis ist einwandfrei.
Cantor geht ganz allgemein von einer Liste mit allen denkbaren Ziffernfolgen der reellen Zahlen im Intervall {0,1} aus. Dann muss Cantor's Diagonalzahl darunter sein, denn es ist 1. eine reelle Zahl im Intervall {0,1} und sie ist 2. denkbar.
Das ist nicht richtig. Cantors Diagonalzahl ist ja nicht eine feste Zahl, sondern sie hängt von der gewählten Folge ab. Zu jeder Folge gibt es eine reelle Zahl, die nicht unter den Folgengliedern vorkommt. Das zeigt er. Und damit kann es keine Folge geben, die alle reellen Zahlen trifft.
4.1. Jedem Element von N wird genau ein Element von R zugeordnet und umgekehrt. Das dürfte mE nicht streitig sein...
Doch, das ist sehr wohl streitig. Es ist überhaupt nicht klar, warum man mit diesem Verfahren alle reellen Zahlen bekommen sollte.

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 14. Apr 2013, 19:16

breaker hat geschrieben:
4.1. Jedem Element von N wird genau ein Element von R zugeordnet und umgekehrt. Das dürfte mE nicht streitig sein...
Doch, das ist sehr wohl streitig. Es ist überhaupt nicht klar, warum man mit diesem Verfahren alle reellen Zahlen bekommen sollte.
R hat keine Elemente, die nicht bijektiv auf N abgebildet werden können. Bei R handelt es sich um eine Vervollständigung abzählbarer Mengen um die Restmenge.
Man kann nur endliche Potenzmengen von N bilden. Man kann einfach keine Bijektion einer unendlichen Menge auf ihre Potenzmenge konstruieren, weil die Komplexität des Algorytmus für eine Menge mit n Elementen um n^2 steigt. Da N unendlich viele Elemente hat, ist der Algprythmus dafür nicht wirklich existent/endlich.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von breaker » 14. Apr 2013, 19:45

R hat keine Elemente, die nicht bijektiv auf N abgebildet werden können.
Die Aussage ergibt keinen Sinn. Es können nur zwei Mengen bijektiv aufeinander abgebildet werden, aber nicht einzelne Elemente. Und die Mengen R und N können nunmal nicht bijektiv aufeinander abgebildet werden. Das ist alles, was der Satz von Cantor sagt.
Man kann nur endliche Potenzmengen von N bilden.
Die Aussage verstehe ich auch nicht. Es gibt zu jeder Menge eine Potenzmenge (d.h. die Menge aller Teilmengen). Aber was hat das mit der Gleichmächtigkeit von N und R zu tun?

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 15. Apr 2013, 02:51

breaker hat geschrieben:
R hat keine Elemente, die nicht bijektiv auf N abgebildet werden können.
Die Aussage ergibt keinen Sinn. Es können nur zwei Mengen bijektiv aufeinander abgebildet werden, aber nicht einzelne Elemente. Und die Mengen R und N können nunmal nicht bijektiv aufeinander abgebildet werden.
Die Abbildung bzw Funktion ist höchstens bijektiv. Die Abbildung ordnet Elemente einer Menge M auf eine andere Menge N ab und nicht die Mengen als ganzes. Aber das sind nun wirklich Spitzfindigkeiten der Formulierung.

Meines Wissens nach ist die Existenz der Potenzmenge der Menge der natürlichen Zahlen strittig und lediglich ein widerspruchsfreies Axiom, dessen Richtigkeit weder bewiesen noch widerlegt werden kann? Aber ich kann es gerne nochmal recherchieren falls nötig.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 15. Apr 2013, 08:18

Pippen hat geschrieben:Cantor geht ganz allgemein von einer Liste mit allen denkbaren Ziffernfolgen der reellen Zahlen im Intervall {0,1} aus. Dann muss Cantor's Diagonalzahl darunter sein, denn es ist 1. eine reelle Zahl im Intervall {0,1} und sie ist 2. denkbar. Ich kann es auch so beweisen: Nehmen wir an, Cantor hätte Recht und es gäbe eine reelle Zahl im Intervall {0,1}, die nicht zu einer Liste mit allen denkbaren - also unendlich vielen - reellen Zahlen gehört. Dann gäbe es also eine Zahl, die nicht zu dieser Liste gehört, obwohl sie denkbar ist. Das ist ein Widerspruch und damit ist die Annahme falsch. So oder so kann es nicht sein, dass Cantor's Diagonalzahlen nicht in der Liste sind. Das ergibt sich aus deren unendlichem.
Du begehst einen Denkfehler, in dem du das, was zu beweisen ist, zunächst voraussetzt, und dann den sich daraus ergebenden Widespruch an der falschen Stelle verortest.

Im Einzelnen:

Cantor geht nicht von einer Liste aller denkbaren Zahlen aus, sondern von einer abzählbaren Liste aller reellen Zahlen in (0,1).
Dass diese Liste existiert und abzählbar ist folgt nicht aus der unmathematischen Annahme, dass sie denkbar ist.
Stattdessen muss die Existenz und deren Widerspruchsfreiheit bewiesen bzw. widerlegt werden.

Damit darf auch nicht angenommen werden, dass alle Zahlen in dieser Liste vertreten sind, denn die Liste setzt Abzählbarkeit, also eine bestimmte Eigenschaft voraus.

Dass die Diagonalzahl für keine abzählbare Liste in dieser Liste vorhanden ist, folgt aus der Definition der Diagonalzahl.
Dass die Diagonalzahl denkbar ist, jedoch nicht in der Liste vorhanden, ist kein Widerspruch, da es sich nicht um eine denkbare Liste, sondern um eine Lise handelt.
Tasächlich ist die Diagonalzahl nicht in der Liste vorhanden - aber in einer geeignet erweitern Menge, nämlich den reellen Zahlen.
Pippen hat geschrieben:4.1. Jedem Element von N wird genau ein Element von R zugeordnet und umgekehrt. Das dürfte mE nicht streitig sein.
Doch, genau das ist es.

In Cantors Beweis ist das keine Voraussetzung, sondern eine Annahme. Genauer: Abzählbarkeit wird gerade durch die Existenz einer Bijektion definiert; ob sie in dem konkreten Fall für N und R tatsächlich gegeben ist muss untersucht werden.
(die Annahme der Abzählbarkeit bzw. die Annahme der Bijektion sind also letztlich zwei Seiten der selben Medaille)

Und die Untersuchung führt Cantors nun wie oben beschrieben: er zeigt, dass die Annahme einer derartigen Bijektion zwingend bedeutet, dass sie unvollständig ist, indem er eine Zahl angibt, die von der Bijektion nicht erfasst wird.




Skeltek hat geschrieben:Cantors zweites Diagonalelement ist übrigens ein schwachsinniger Beweis, da die Bildungsvorschrift seiner Zahl so rekursiv auf unsere Listenbildungsvorschrift zugreift, daß sie sich zuerst unsere Liste anschaut und danach erst ein Element aus der noch nicht aufgeschriebenen Restmenge auswählt.
Das ist gerade der Witz.

Cantor zeigt, dass eine abzählbare Liste von Dezimalzahlen nie vollständig sein kann, in dem er eine Bildungsvorschrift konstruiert, die zu einer neuen Zahl führt, die nicht in der ursprünglichen Liste enthalten ist. Damit haben wir einen Widerspruch zur Annahme, und den müssen wir verorten: es zeigt sich, dass Abzählbarkeit und Vollständigkeit nicht gleichzeitig gegeben sein können.

Fakt ist, dass du den Widerspruch zwar ebenfalls entdeckst, aber die falschen Schlüsse daraus ziehst.
Gruß
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von breaker » 15. Apr 2013, 14:32

Die Abbildung bzw Funktion ist höchstens bijektiv. Die Abbildung ordnet Elemente einer Menge M auf eine andere Menge N ab und nicht die Mengen als ganzes. Aber das sind nun wirklich Spitzfindigkeiten der Formulierung.
Nein, sind es nicht. Bijektivitaet ist eine Eigenschaft einer Funktion und nicht einzelner Elemente einer Menge. Und zwei Mengen heissen gleichmaechtig, wenn es eine bijektive Funktion von der einen in die andere gibt. Wenn man ueber die Gleichmaechtigkeit von N und R redet, ergibt es keinen Sinn, von einzelnen Elementen zu reden, die bijektiv auf irgendwas abgebildet werden koennen.

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 15. Apr 2013, 17:41

breaker hat geschrieben:
Die Abbildung bzw Funktion ist höchstens bijektiv. Die Abbildung ordnet Elemente einer Menge M auf eine andere Menge N ab und nicht die Mengen als ganzes. Aber das sind nun wirklich Spitzfindigkeiten der Formulierung.
Nein, sind es nicht. Bijektivitaet ist eine Eigenschaft einer Funktion und nicht einzelner Elemente einer Menge. Und zwei Mengen heissen gleichmaechtig, wenn es eine bijektive Funktion von der einen in die andere gibt. Wenn man ueber die Gleichmaechtigkeit von N und R redet, ergibt es keinen Sinn, von einzelnen Elementen zu reden, die bijektiv auf irgendwas abgebildet werden koennen.
Doch, und zwar wenn ich zum Ausdruck bringen möchte, daß eine Zuordnungsvorschrift/Abbildung/Funktion, die ein Element der Menge A genau einem Element der Menge B zuordnet bijektiv ist.
Zum Beispiel ordnet f(x)=3*x genau das Element 3 dem Element 1 zu. Obwohl ich meinen Satz nur auf eine Zuordnung eingeschränkt formuliert habe, ist die Abbildung trotzdem bijektiv.
Und ich habe eben gesagt, daß keine solche Abbildung zwischen N und R existiert.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 15. Apr 2013, 17:59

tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben: Cantors zweites Diagonalelement ist übrigens ein schwachsinniger Beweis, da die Bildungsvorschrift seiner Zahl so rekursiv auf unsere Listenbildungsvorschrift zugreift, daß sie sich zuerst unsere Liste anschaut und danach erst ein Element aus der noch nicht aufgeschriebenen Restmenge auswählt.
Das ist gerade der Witz.

Cantor zeigt, dass eine abzählbare Liste von Dezimalzahlen nie vollständig sein kann, in dem er eine Bildungsvorschrift konstruiert, die zu einer neuen Zahl führt, die nicht in der ursprünglichen Liste enthalten ist. Damit haben wir einen Widerspruch zur Annahme, und den müssen wir verorten: es zeigt sich, dass Abzählbarkeit und Vollständigkeit nicht gleichzeitig gegeben sein können.

Fakt ist, dass du den Widerspruch zwar ebenfalls entdeckst, aber die falschen Schlüsse daraus ziehst.
Cantor bemängelt, daß eine Liste aller reelen Zahlen, die man dezimal(!) mit einer endlichen Konstruktionsvorschrift aufschreiben kann, keine Zahlen enthält, die eine unendliche Konstruktionsvorschrift haben.
Trotz allem ist die völlig korrekte Formelsprache und Logik nicht in der Lage auszusagen, ob diese Zahlen bzw Werte überhaupt als existent aufgefasst werden können oder dürfen.
Ich zweifle nicht am Beweis der Unvollständigkeit, sondern an der fälschlichen Interpretation vieler Menschen, daß es neben den konstruierbaren Zahlen noch andere Elemente in R tatsächlich gibt.
Ich kenne keine komplexe oder transzendente Zahl, die nicht konstruierbar oder mit einem Symbol benennbar wäre.
Analog ist dies damit zu deuten, daß es keine Auswahlfunktion für einen beliebigen/zufälligen Punkt der roten Linie in meinem Schaubild gibt..
Es ist einfach eine Glaubensfrage, ob Zahlen für die es keine Auswahlfunktion gibt wirklich existieren.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von seeker » 15. Apr 2013, 18:10

Skeltek hat geschrieben:Es ist einfach eine Glaubensfrage, ob Zahlen für die es keine Auswahlfunktion gibt wirklich existieren.
Das ist eine philosophische Frage.

Vorschlag:
Generiere eine nicht-konstruierbare Zahl, indem du Zufallsziffern generierst.
Auf diese Weise würde man im Prinzip auch solche Zahlen bekommen, ohne natürlich im Voraus wissen zu können, welche Zahl da genau generiert wird.
Existiert eine auf diese Weise erhaltene Zahl oder ist es nicht möglich eine Ziffernfolge zufällig wählen zu lassen?

Grüße
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von breaker » 15. Apr 2013, 21:07

Skeltek hat geschrieben:Und ich habe eben gesagt, daß keine solche Abbildung zwischen N und R existiert.
Öhm... Nein, hast du nicht.

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 15. Apr 2013, 22:25

Skeltek hat geschrieben:Ich zweifle nicht am Beweis der Unvollständigkeit, sondern an der fälschlichen Interpretation vieler Menschen, daß es neben den konstruierbaren Zahlen noch andere Elemente in R tatsächlich gibt.
Ich kenne keine komplexe oder transzendente Zahl, die nicht konstruierbar oder mit ...
Du kannst auch keine derartige Zahl "kennen", wenn du kennen mit (endlich) konstruieren, berechnen o.ä. gleichsetzt.

Die Argumentation ist recht einfach:
- das Cantorsche Diagonalargument zusammen mit dem Konstrukt der Potenzmenge zeigt die Überabzählbarkeit von R
- die übliche Definition von "Algorithmus", "Konstruktion" oder Berechenbarkeit führt immer auf Abzählbarkeit Mengen
- daraus folgt, dass fast alle = überabzählbar viele Zahlen konstruierbar sind.
Gruß
Tom

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 15. Apr 2013, 22:26

Noch eine Anmerkung: für die Diskussion benötigen wir das Auswahlaxiom nicht!
Gruß
Tom

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 15. Apr 2013, 22:51

breaker hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Und ich habe eben gesagt, daß keine solche Abbildung zwischen N und R existiert.
Öhm... Nein, hast du nicht.
Du hast den Satz selbst zitiert.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 15. Apr 2013, 23:52

tomS hat geschrieben:Noch eine Anmerkung: für die Diskussion benötigen wir das Auswahlaxiom nicht!
Auf die Art des Beweises kann ich auch eine absolut rationale Zahl p/q konstruieren mit natürlichem p und q, die nicht in Q enthalten ist. Man muss lediglich die Faktorzerlegung der bereits generierten Zahl von den Faktoren der bereits aufgeschriebenen Zahlen abhängig machen.
Die wäre dann rational und trotzdem nicht in Q <.<

Zum lesen kann ich auch empfehlen:
http://en.wikipedia.org/wiki/Controvers ... 27s_theory
Hermann Weyl hat geschrieben: … classical logic was abstracted from the mathematics of finite sets and their subsets …. Forgetful of this limited origin, one afterwards mistook that logic for something above and prior to all mathematics, and finally applied it, without justification, to the mathematics of infinite sets. This is the Fall and original sin of [Cantor's] set theory …."[
Wie willst du die Potenzmenge einer nicht abgeschlossenen unendlichen Menge N bilden? Es ist die Annahme, daß N als abgeschlossene Menge tatsächlich existiert, die dich dazu befähigt festzustellen, daß sie dann nicht bijektiv zu ihrer Potenzmenge oder R wäre.
Der Beweis A=>B kann logisch widerspruchsfrei und völlig korrekt sein; sagt aber nichts darüber aus, ob A auch tatsächlich gilt.
Wir nehmen einfach die Richtigkeit von A an, da die daraus resultierenden und durchführbaren Implikationen richtig sind und uns mächtige Werkzeuge für die Mathematik zur Verfügung stellen.
wikipedia hat geschrieben: Many mathematicians agreed with Kronecker that the completed infinite may be part of philosophy or theology, but that it has no proper place in mathematics.

Before Cantor, the notion of infinity was often taken as a useful abstraction which helped mathematicians reason about the finite world, for example the use of infinite limit cases in calculus. The infinite was deemed to have at most a potential existence, rather than an actual existence.[3] "Actual infinity does not exist.
Was ich auch lustig finde ist Hilberts Totschlagargument:
"No one will drive us from the paradise which Cantor created for us".

Um meine Aussage zusammenzufassen:
R ist mächtiger als N, enthält aber nicht "mehr" Elemente. R ist eine Erweiterung von N bzw Q bzw A um um nicht existente Elemente. Man füllt lediglich die "Lücken" in A aus.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 16. Apr 2013, 11:56

Ich nehme das mal zur Kenntnis, aber ich habe damit Probleme.

Zur Wikipedia-Seite http://en.wikipedia.org/wiki/Controvers ... 27s_theory
Wikipedia hat geschrieben:The set N of natural numbers exists (by the axiom of infinity), and so does the set R of all its subsets (by the power set axiom). By Cantor's theorem, R cannot be one-to-one correlated with N, and by Cantor's definition of number or "power", it follows that R has a different number than N.
OK
Wikipedia hat geschrieben:It does not prove, however, that the number of elements in R is in fact greater than the number of elements in N, for only the notion of two sets having different power has been specified; given two sets of different power, nothing so far has specified which of the two is greater.
Für mich nicht OK - s.u.
Wikipedia hat geschrieben:Cantor presented a well-ordered sequence of cardinal numbers, the alephs, and attempted to prove that the power of every well-defined set ("consistent multiplicity") is an aleph; and therefore that the ordering relation among alephs determines an order among the sizes of sets.[2] However this proof was flawed, ...
Ja, das wissen wir, das das nicht stimmt.
Wikipedia hat geschrieben:The assumption of the axiom of choice was later shown unnecessary by the Cantor-Bernstein-Schröder theorem, which makes use of the notion of injective functions from one set to another—a correlation which associates different elements of the former set with different elements of the latter set. The theorem shows that if there is an injective function from set A to set B, and another one from B to A, then there is a bijective function from A to B, and so the sets are equipollent, by the definition we have adopted. Thus it makes sense to say that the power of one set is at least as large as another if there is an injection from the latter to the former, and this will be consistent with our definition of having the same power. Since the set of natural numbers can be embedded in its power set, but the two sets are not of the same power, as shown, we can therefore say the set of natural numbers is of lesser power than its power set.
Genau! Damit ist die Welt für mich wieder in Ordnung!!
Wikipedia hat geschrieben:However, despite its avoidance of the axiom of choice, the proof of the Cantor-Bernstein-Schröder theorem is still not constructive, in that it does not produce a concrete bijection in general.
Ja, das ist bekannt, aber das ist nun eine Philosophiefrage. Die Mehrzahl der Mathematiker fordert nicht zwingend ausschließlich konstruktive Beweise. Zumindest folgt damit nicht, dass die Aussage |N| < |R| falsch ist; es folgt lediglich, dass sie nicht konstruktiv-beweisbar wahr ist.
Gruß
Tom

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Pippen » 16. Apr 2013, 18:52

tomS hat geschrieben: Dass die Diagonalzahl für keine abzählbare Liste in dieser Liste vorhanden ist, folgt aus der Definition der Diagonalzahl.
Die Liste ist doch aber unendlich lang. Wenn wir annähmen, es gäbe eine reelle Zahl, die nicht in dieser Liste ist, dann ist das ein Widerspruch zur unendlichen Länge der Liste. Wenn ich unendlich viele Löcher gegraben habe (nat. Zahlen) und dann unendlich viele Eier (reelle Zahlen) in jedes Loch stecke, dann kann Cantor noch so viele Eier postulieren, die anders gefärbt oder sonstwas sind, solange es Eier sind, wird es ein Loch geben, wo ich sie verschwinden lassen kann.
Und die Untersuchung führt Cantors nun wie oben beschrieben: er zeigt, dass die Annahme einer derartigen Bijektion zwingend bedeutet, dass sie unvollständig ist, indem er eine Zahl angibt, die von der Bijektion nicht erfasst wird.
Meine Funktion ordnet jeder nat. Zahl genau eine reelle Zahl zu und zwar durch ein unendliches Wiederholen des Zuordnens von reeller Zahl zu nat. Zahl nach Zufallsprinzip (und unter Ausschluss von Mehrfachzuordnungen). Da MUSS doch auch Cantor's Zahl irgendwann auftauchen, oder? Und mehr verlangt eben eine bijektive Abbildung nicht.

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 16. Apr 2013, 19:03

Also
0,444444444.....44445!=0,4444444.....
Cantors Diagonalzahl != 4/9 bzw dem Grenzwert meiner Folge
Analog:
9,999999.... !=10
Natürlich bleibt die Periode ausgeschrieben unvollständig.
[0,1[ != [0,1]

Jede Liste mit Zahlen im offenen Intervall ]0,1[ , die nur die Ziffer 9 enthalten ist unvollständig, da "Null Komma Periode Neun" nicht enthalten ist <- Das trifft die Analogie wohl am ehesten.
(analog zu Cantors Diagonalzahl "Null Komma Periode Vier Mit Einer Fünf Hinter Der Letzten Vier).

Jede Liste, die alle natürlichen Zahlen aufzählt ist unvollständig(man kann immer eine Zahl konstruieren, die nicht in der Folge enthalten ist indem man sicherstellt, daß sie mindestens um einen beliebig vergrößerbaren Betrag größer ist als alle vorhergehenden Zahlen). Man muss nur rekursiv sicherstellen, daß sie in der nicht aufzählbaren Restmenge von N liegt.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 16. Apr 2013, 20:08

tomS hat geschrieben:
Wikipedia hat geschrieben:It does not prove, however, that the number of elements in R is in fact greater than the number of elements in N, for only the notion of two sets having different power has been specified; given two sets of different power, nothing so far has specified which of the two is greater.
Für mich nicht OK - s.u.
Das war eben leider meine Kernaussage. Es existieren keine Elemente in R, die nicht bijektiv auf N abgebildet werden können(für diese existiert schon der Definition wegen keine Auswahlfunktion). Die Menge ist mächtiger, enthält aber nicht zusätzliche Elemente.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von tomS » 16. Apr 2013, 23:30

Pippen hat geschrieben:
tomS hat geschrieben: Dass die Diagonalzahl für keine abzählbare Liste in dieser Liste vorhanden ist, folgt aus der Definition der Diagonalzahl.
Die Liste ist doch aber unendlich lang. Wenn wir annähmen, es gäbe eine reelle Zahl, die nicht in dieser Liste ist, dann ist das ein Widerspruch zur unendlichen Länge der Liste.
Nein, ist es nicht. Die unendliche Länge garantiert eben noch nicht, dass alle Zahlen aus R enthalten sind (die unendliche Länge der Liste gerader Zahlen garantiert auch nicht, dass ungerade Zahlen enthalten sind).

Das Cantorsche Diagonalelement ist doch ganz einfach: man betrachte eine Liste von Dezimalzahlen; Dann konstruiere man eine Diagonalzahl Z, in dem man ihre n-te Stelle gleich der n-ten Dezimalstelle der n-ten Zahl aus der Liste setzt. Nun ändere man die Diagonalzahl Z nach Z* ab, in dem man jede ihrer Stellen abändert. Damit stimmt Z* mit keiner der in der Liste enthaltenen Zahlen überein, da (für beliebiges n) für die n-te Zahl der Liste eine Abweichung an der n-ten Stelle vorliegt.

Es existiert also tatsächlich ein Widerspruch: die Annahme, dass eine abzählbare Liste von Dezimalzahlen vollständig sei, ist widersprüchlich, da offensichtlich zu jeder derartigen Liste eine Diagonalzahl Z* existiert, die nicht in der Liste existiert.
Gruß
Tom

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Skeltek » 17. Apr 2013, 02:31

Tom trifft es auf den Punkt und sehr gut zusammengefasst.

Meine Meinung bezüglich der Interpretation mag zwar abweichen, aber vielleicht hilft es dir die Standardinterpretation zu verstehen die Sache mal aus einer anderen Perspektive/anderen Analogien zu betrachten:
Pippen hat geschrieben:
Und die Untersuchung führt Cantors nun wie oben beschrieben: er zeigt, dass die Annahme einer derartigen Bijektion zwingend bedeutet, dass sie unvollständig ist, indem er eine Zahl angibt, die von der Bijektion nicht erfasst wird.
Meine Funktion ordnet jeder nat. Zahl genau eine reelle Zahl zu und zwar durch ein unendliches Wiederholen des Zuordnens von reeller Zahl zu nat. Zahl nach Zufallsprinzip (und unter Ausschluss von Mehrfachzuordnungen). Da MUSS doch auch Cantor's Zahl irgendwann auftauchen, oder? Und mehr verlangt eben eine bijektive Abbildung nicht.

Ich versuch mal die gängige Meinung zu erklären:
Du hast zum Beispiel zwischen 0 und 1 unendlich viele rationale Zahlen. Egal wieviele man davon jedoch aufzählt, wird man nie alle Lücken stopfen können.

So, wie es unendlich viele irrationale Zahlen zwischen jedem paar rationaler Zahlen gibt(und umgekehrt),
so gibt es zwischen jedem Wert der in Cantors Liste auftaucht unendlich viele Lücken.

Bei rationalen und irrationalen Zahlen ist es halbwegs nachvollziehbar, daß sie sich gegenseitig ihre Lücken ausfüllen(Lücken ist eigentlich ein wirklich ecklig falsches Wort dafür).
Bei einer Liste reeler Zahlen jedoch, gibt es nur Lücken, die man niemals wird ausfüllen können, egal wie lange die Liste wird.
Der Grund für die Unanschaulichkeit ist der, daß diese Lücken "unbewohnt" sind, da man diese Zahlen nicht wirklich fassen kann.

Es ist so, als würdest du eine zufällige Zahl aus N auswählen: Eine zufällig aus N ausgewählte Zahl ist niemals endlich(wenn die Chance gezogen zu werden für alle Zahlen gleich ist ist es unmöglich eine endliche Zahl zu ziehen). So ist es auch mit den "Lücken" in der unendlich langen Liste an reelen "Dezimalzahlen". Du wirst diese Lücken niemals vollständig aufschreiben bzw fassen können.
Die Wahrscheinlichkeit dass eine zufällige reele Zahl aus diesen "Lücken" in deiner Liste auftaucht ist Null, da die Menge der Lücken mächtiger ist als die Menge aller in der Liste auftauchenden Zahlen selbst.
Das bedeutet nicht, daß in diesen "Lücken" tatsächlich Elemente existieren müssen die in deiner Liste nicht vorkommen, sondern lediglich, daß in deiner Liste Lücken sind.
Cantors Diagonalzahl verweist auf eine dieser "Lücken". Man kann sich nun um die Existenz dieser Diagonalzahl streiten, sie beweist jedoch trotzdem, daß deine Liste in jedem Fall lückenhaft und unvollständig bleibt, egal wie lang sie wird.
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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von breaker » 17. Apr 2013, 10:55

Pippen hat geschrieben: Meine Funktion ordnet jeder nat. Zahl genau eine reelle Zahl zu und zwar durch ein unendliches Wiederholen des Zuordnens von reeller Zahl zu nat. Zahl nach Zufallsprinzip (und unter Ausschluss von Mehrfachzuordnungen). Da MUSS doch auch Cantor's Zahl irgendwann auftauchen, oder?
Nochmal: Die Diagonalzahl haengt von der Liste ab!
Solange du die Liste nicht vollstaendig angegeben hast, GIBT es noch keine Diagonalzahl, also kann sie auch nicht darunter sein. Die Diagonalzahl ist erst vollstaendig festgelegt, sobald die Liste vollstaendig engegeben ist. Und diese Diagonalzahl liegt dann nicht in der Liste.

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Re: Gleichmächtigkeit von N und R?!?

Beitrag von Pippen » 17. Apr 2013, 11:53

Vielleicht nochmal so herum meine Perspektive erklärt:

1. Wir haben die unendlichen Mengen R und N, wobei insbesondere R auch Cantor's Diagonalzahlen beinhaltet, weil sie nunmal reelle Zahlen sind.

2. Nun schreiben wir alle Elemente von N in eine Liste, beginnend mit n=1 und fortführend mit jeweils n+1. Wir bekommen eine Liste mit unendlich vielen natürlichen Zahlen.

3. Nun ordnen wir jeder nat. Zahl völlig beliebig genau eine reelle Zahl zu. Weil diese Zuordnung unendlich lange dauert, werden auch unendlich viele reelle Zahlen zugeordnet und die Wahrscheinlichkeit, dass auch nur eine Zahl nicht zugeordnet wird, geht gegen 0 und ist damit 0 (so wird ja auch "0,9~=1" gesagt, obwohl 0,9~ auch nur grenzwertig gg.1 läuft). Damit werden allen Voraussetzungen einer Bijektion erfüllt: jede nat. Zahl bekommt eine reelle Zahl und alle Elemente von N und R werden so zugeordnet bzw. kein Element bleibt unzugeordnet. Das Unterstrichene ist entscheidend und da bin ich mir zugegebenermaßen unsicher. Ich gehe dabei von einem Urnenmodell aus, in dem unendlich viele durchnummerierte Kugeln liegen und in unendlich vielen Versuchen gezogen wird und dann gefragt ist, wie hoch P(Ziehung) für eine bestimmte Kugel x ist. Wenn P gegen 1 läuft, dann kann man also sagen, dass jede Kugel irgendwann gezogen wird und das würde beweisen, dass irgendwann jede reelle Zahl gezogen und zu einer nat. Zahl gelegt werden könnte.

Versteht ihr, was mein Gedankengang ist?

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