Verständnisfrage zu komplexen Zahlen

[Pippen]

Bekanntlich ist die Gleichung "x²+1=0" mit dem normalen Zahlenkörper (N, Q, Z, R) unlösbar und damt falsch. Dafür hat man die komplexen Zahlen definiert, bei denen gilt: "i²=-1", womit die Gleichung lösbar und wahr wird. Mir scheint das ein recht plumper Umgehungsversuch von logischen Unmöglichkeiten. Nehmen wir die Gleichung "0+x=y". Jetzt könnte man eine imaginäre Zahl i definieren, für die gilt: "i=0+x" und schon wäre die o.g. Gleichung wahr. Nehmen wir als nächstes die Ungleichung "x²+1 > x2+1" und legen fest, dass für solch eine Ungleichung i dergestalt gilt, dass im ersten Teil der Ungleichung gilt: i=2 und im zweiten Teil: i=1 und schon ist die Ungleichung wieder wahr. Das kann man immer so weiter treiben und daher jede math. Aussage "wahrmachen", ja, man könnte noch weiter gehen und eine "göttliche" Zahl G definieren, für die gilt: Jede Gleichung der Form x [=/</>] y ist wahr, wenn G auf einer Seite als x oder y steht. Sind daher komplexe Zahlen nicht Ausdruck einer Inkonsistenz, mit der "verkapselt" weitergerechnet wird?

[breaker]

Nein, sind sie nicht.

Meiner Meinung nach sind deine Gegenbeispiele keine Gegenbeispiele.
Die Gleichung 0+x=y ist lösbar und hat die Lösung x=y.
Wenn man in der Ungleichung x²+1>x²+1 von irgendeinem i erfüllt werden könnte, würde man wahrscheinlich irgendwann in einen Widerspruch laufen. (Kommt drauf an, wie man i genau definiert). Bei den Komplexen Zahlen landet man nie bei einem Widerspruch.

Vielleicht sollte man auch dazusagen, dass komplexe Zahlen in der Mathematik nicht als irgendwelche ominösen Objekte eingeführt werden, die die Gleichung x²+1=0 erfüllen können, sondern sie werden klar aus bekannten Größen konstruiert.

[tomS]

Die Einführung der komplexen Zahlen C ist eine Zahlbereichserweiterung, genau wie von Q zu R; es gibt weitere Zahlbereichserweiterungen von C zu den Quaternionen (und Oktonionen, ...). Ich denke das Grundproblem ist, dass man eben immer in mit diesen Zahlbereichserweiterungen argumentiert. Formal können die komplexen Zahlen durch einige Axiome und Definitionen eingeführt werden, wie dies in der Mathematik an hundert anderen Stellen auch passiert. Dabei kann man dann umgekehrt die reellen Zahlen als Untermenge (Spezialfall) der komplexen Zahlen betrachten.

Eine logische Inkonsistenz ergibt sich innerhalb der komplexen Zahlen nicht, man muss nur eben ALLE Axiome und Definitionen in ihrer Gesamtheit betrachten. Zu jeder Gleichung in der Mathematik gehört die Angabe ihrer Definitionsmenge. Nun gibt es Gleichungen, die für eine bestimmte Definitionsmnege D eine leere Ergebnismenge haben, für eine größere Definitionsmenge D* dagegen nicht. Ein einfaches Beispiel ist x² = 2, das für Q nicht lösbar ist, d.h. die Ergebnismenge (als Untermenge von Q) ist leer. Das bedeutet aber nicht, dass die Gleichung selbst wahr oder falsch wäre, denn sie enthält eine Variable!! Eine logische Aussage, die eine Variable x enthält, muss per se noch keinen Wahrheitsgehalt haben, erst wenn man die Variable x mit konkreten Werten belegt. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten
a) für eine spezielle Zahl: dann wird die Gleichung entweder wahr oder falsch
b) für ALLE Zahlen der Definitionsmenge: dann muss man die Aussage "x² = -1" jedoch umformen, z.B. zu "es gibt kein reelles x, so dass x² = -1 eine Lösung hat"; oder "es gibt ein komplexes z, so dass z² = -1 eine Lösung hat"; beide Aussagen sind wahr!!
Damit liegt kein logischer Widerspruch vor

[Pippen]

Nehmen wir nochmal eine Gleichung: "0+x=x²".

1. Könnte man dafür ebenfalls eine komplexe Zahl einführen, welche die Gleichung löst? (zB i=x², so dass letztlich gilt: "0+x=x²" und dann "i" für "x" einsetzen -> "0+i=x²" und das ergibt: "0+x²=x², was sicherlich wahr ist)

2. Wäre das ein anderer Zahlenkörper als C?

[tomS]

nun, man schreibt die Gleichung um zu x = x*x; dann wird man wohl mindestens annehmen, dass die Struktur einer Divisionsalgebra mit Nullteilerfreiheit vorliegt, dass also ein inverses Element vorliegt und man kürzen darf, somit x = 1

ohne dieses Argument sehe ich nicht, dass überhaupt ein Zahlkörper folgt, z.B. gilt die Gleichung für alle N*N Matrizen mit n Einträgen = 1 auf der Hauptdiagonalen und Nullen sonst; die Gleichung alleine hilft wenig

[Skeltek]

i ist keine Zahl sondern eine Einheit. Du könntest es als eine Art Extraeigenschaft oder Dimension eines Dinges ansehen, die erst in Kombination mit einem anderen einen Sinn ergibt.

Etwas falsch formuliert aber einfacher vorzustellen:
Zum Beispiel ein 4 dimensionaler Stab, der sich im 4diemensionalen dreht und desse Länge ständig in eine nich sichtbare Achse verschwindet. Wir sehen nur das 3dimensionale Bild, während ein Teil des Stabes ständig in die vierte Dimension verschwindet und damit imaginär wird und bei weiterem Drehen wieder auftaucht.