mittlerer Abstand Punkt->Kugelvolumen

[positronium]

Hallo,

ich habe eine Kugel mit Radius r und einen Punkt P mit Abstand R vom Kugelmittelpunkt. Gerne würde ich die mittlere Entfernung von P zu jedem Punkt des Kugelvolumens berechnen. Meine Formel dafür lautet:

Das kann ich numerisch integrieren, wobei sich für r=1 diese Kurve ergibt:

kugel.png (3.78 KiB) 13433 mal betrachtet

(Rot ist einfach der Abstand und Grün die richtige Funktion; bei grossem R nähern sich die beiden natürlich an)
Leider muss ich die Funktion oft aufrufen bzw. wo anders einsetzen, und die Integrale kann ich nicht lösen.
Gibt es eine einfache Formel dafür? Oder eine sehr gute Näherung?
Oder sollte ich besser gleich eine interpolierende Funktion auf Basis numerisch integrierter Werte verwenden?

Vielen Dank für jeden Hinweis!

Gruss

positronium

[breaker]

Hab nicht viel drüber nachgedacht, aber wie wärs mit Kugelkoordinaten? Da könnte es gut sein, dass ein einfacherer Ausdruck rauskommt.

[Skeltek]

Intuitiv würde ich sagen:
Bei Abstand des Punktes=0 vom Kugelmittelpunkt sagt uns die Pyramidenschwerpunktsgleichung, dass die Schwerpunkte aller Kegel mit Kegelspitze=Kugelmittelpunkt 3/4 des Kugelradius entfernt liegen.
Das r=1 ist, beträgt hier der durchschnittliche Abstand 3/4.
Die vertikalen Abstandskomponenten der Kugelpunkte mitteln sich paarweise auf die vertikale Komponente von s, also muss eine Veränderung von s sich solange man innerhalb der Kugel ist nur noch auf die dazu orthogonale Komponente der Abstände auswirken.
Intuitiv würde ich sagen der durschnittliche Abstand beträgt
sqrt( (3/4)² + (s²) ) Beim Kugelinneren bin ich mir nicht ganz sicher, aber sollte die Formel dafür gelten, kann man anhand diverser Konvergenzkriterien davon ausgehen, dass sich die Formel kontinent beim duchstoß durch die Oberfläche der Kugel verhält.

Vergleiche mal deine Formel numerisch mit
sqrt( (3/4)² + (s²) )
und schau mal ob sich die Formeln gleich verhalten.

[seeker]

Ist die mittlere Entfernung von P zu jedem Punkt des Kugelvolumens nicht einfach auszurechnen, wenn du in Schwerpunkten denkst?
Ich meine in x,y,z-Koordinaten ist doch der mittlere Abstand des Kugelmittelpunkts zu allen Punkten im Volumen der Kugel gleich Null.
Die Kugel ist symmetrisch. Wenn du einen Abstand s vom Mittelpunkt hast, kann man dann deinen gesuchten Wert nicht einfach dadurch ausrechnen, indem man die Kugel in zwei Kugelkalotten zerschneidet und die Differenz dieser beiden Volumina ausrechnet?

Also damit:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkalotte
... minus dem Volumenwert der restlichen Kugel.

Gut, wenn du r-Koordinaten oder den Betrag haben möchtest, dann sieht es anders aus...
In dem Fall könnte man überlegen, ob es nicht evtl. Sinn macht die Kugel in Scheiben zu schneiden und dann über diese Scheiben zu integrieren.

Grüße
seeker

[tomS]

Kugelkoordinaten sind sicher sinnvoll.

Noch eine Frage: muss es der mittlere Radius <R> sein? Oder wäre auch <R²> möglich, das ist sicher einfacher zu berechnen, da die Wurzel wegfällt.

[tomS]

In Kugelkoordinaten wählt man das Koordinatensystem so dass



Dann ist



Das Integral lautet



Damit verbleibt



wobei a = 1 bzw. a = 1/2 für den mittleren quadratischen bzw. für den mittleren Abstand stehen

[positronium]

Vielen Dank für Euere Antworten!

@breaker: Mit Kugelkoordinaten sieht das leider auch nicht besser aus. - Zumindest kann ich das auch nicht lösen:


@Skeltek: Mit dem Mittelpunkt hast Du Recht, für den ergibt sich 3/4. Die Formel stimmt aber leider nicht gut genug mit der richtigen überein. sqrt( (3/4)² + (s²) ) ist die blaue Linie.

kugel2.png (4.63 KiB) 13405 mal betrachtet

@seeker: Wenn man Vektoren addieren würde, dann wäre die Summe gleich Null, das stimmt, aber es sind ja deren Beträge zu addieren. Deine Idee mit den Scheiben läuft glaube ich auf das gleiche hinaus, was ich im ersten Posting als Formel angesetzt hatte. Das kann ich leider nicht lösen.

@tomS: Ich bin mir nicht sicher, ob ich da etwa "drehen" kann, so dass ich mit <R²> arbeiten könnte. Nennen wir die Abstandsfunktion f(K, P). K ist die Kugel und P der Punkt, welcher den Abstand R zum Kugelmittelpunkt defniert. Im nächsten Rechenschritt soll diese Kugel im Raum um einen Punkt gedreht werden - es entsteht sozusagen ein Torus mit nicht gleich verteilter Dichte. Über diesen "Torus" soll das integriert werden:

Die Kugel ist also abhängig von gamma und das ... steht für eine Verschiebung und Drehung des "Torus" und damit der Kugel im Raum.
Das heisst, dass ich schon das Quadrat des mittleren Abstandes brauche, aber nicht <R²>, aber vielleicht lässt sich da etwas konstruieren?

[breaker]

Mit Kugelkoordinaten kommt das raus, was Tom oben geschrieben hat. Das sieht deutlich einfacher aus als der ursprüngliche Ausdruck.

[positronium]

@tomS: Dein zweites Posting hatte ich vorhin leider übersehen, nur kann ich nicht recht folgen. Die erste Formel ist klar, aber bei der zweiten komme ich nicht weiter. Im Prinzip möchtest Du doch damit die Entfernung von P zu einem beliebigen Punkt in der Kugel in Abhängigkeit von R und theta darstellen. Über die Dreiecksformel berechnet, müsste es doch aber heissen:

Bei a=1/2 erhalte ich aber in beiden Fällen falsche Kurven. Lösbar sind die Integrale aber - wenn die auch ziemlich kompliziert aussehen.

[positronium]

Für a=1/2 erhalte ich für Deine Formel die blaue, für meine vermutete Veränderung dieser die schwarze Linie:

kugel3.png (4.82 KiB) 13398 mal betrachtet

[seeker]

Wofür brauchst du denn den Betrag?
(Ich hatte jetzt schon an das Newtonsche Schalentheorem gedacht...)

Ich weiß nicht... wenn man in Kugelkoordinaten rechnet, dann werden die Gleichungen vielleicht einfacher, aber man kommt doch dann schnell zu Termen, die im Prinzip wie "r*sin(r)" aussehen (da Alpha und Beta Funktionen von r sind), was dann ja i.d.R. auch nicht analytisch lösbar ist - oder?

Zu deinem 1. Ansatz positronium:

Du definierst eine Funktion f(x,y,z).
Nun ist es aber so, dass wir nur eine wirkliche Variable haben, nämlich r.
Daher muss es doch eine Funktion geben:

f(r) = g[x(r), y(r), z(r)], wobei x(r) = r

Hast du schon mal versucht x, y und z durch r auszudrücken?
Man könnte damit anfangen, indem man eine Gleichung aufstellt, die einem den durchschnittlichen Abstand der Punkte einer Kreisfläche zum Kreismittelpunkt liefert.
Der Radius R solcher Kreise ist dann eine Funktion vom r der Kugel.

Grüße
seeker

[positronium]

Halt! Der letzte Plot oben ist falsch - ich hatte mich vertippt. Trotzdem kommt etwas ganz anderes als erwartet heraus.

@seeker: Ich bastel ein bisschen an den Kräften herum, und will diese bei sehr kleinen Abständen berechnen. Deshalb muss ich die Singularität vermeiden. Sowas wie das Plummer-Potential kommt aber nicht in Frage, weil es nur ein künstliches Hilfsmittel ist. Deshalb versuche ich nach ein paar Ideen von mir etwas hoffentlich realistischeres zu konstruieren und davon ist das hier ein Teilproblem.

Kugelkoordinaten nehme ich schon auch öfter her, aber wie Du schon schreibst, hat man dann oft Winkelfunktionen zu behandeln. Naja, aber schlecht wäre es nicht, wenn zumindest ein Integral weniger wäre.

Ich wüsste jetzt keinen Weg, wie ich von x, y und z auf nur r kommen könnte. Dann bräuchte ich ja doch wieder Kugelkoordinaten, also zwei Winkel und r, wovon wie Tom oben zeigte, ein Winkel eliminiert werden kann.

[tomS]

Der zu betrachtende Punkt P sitzt bei R; ein beliebiger Punkt innerhalb der Kugel sitzt bei r; der Differenzvektor zwischen beiden ist



Diesen quadriere ich und erhalte



(binomische Formel)

Nun wähle ich für den betrachteten Punkt P bei R die z-Achse (Kugelkoordinaten) gerade so, dass



gilt, d.h. die z-Achse weist immer gerade vom Ursprung nach P

[positronium]

Hab' noch einen Fehler gefunden.
Und Tom's zweite Zeile ist doch richtig. *schäm*
Aber trotzdem stimmt es noch nicht.
Ich habe jetzt in Mathematica für den Kugelradius von 1 die Funktion
NIntegrate[r² NIntegrate[(R² + r² - 2 R r cost)^(1/2), {cost, -1, 1}], {r, 0, 1}]
und erhalte die blaue Linie.

kugel4.png (4.71 KiB) 13389 mal betrachtet

[positronium]

Gut, jetzt hat nur noch die Multiplikation mit 2pi und die Division durch das Kugelvolumen gefehlt. Das passt jetzt so. Mehr geht ohne zu integrieren nicht, oder? - Also, nicht-numerische Integration meine ich.

[tomS]

was liefert Mathematica denn als analytisches Ergebnis?

[positronium]

Mathematica rechnet nur ewig. Ich weiss nicht, ob jemals ein Ergebnis zurück geliefert würde, auch nicht wie lange man dafür warten müsste. Wenn ich für a=1 setze, bekomme ich blitzschnell 3/5+R².

[tomS]

hier ist das Ergebnis der d(cos theta) Integration

http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... ndom=false

[positronium]

gelöscht. Hat sich erübrigt.

[positronium]

Ich hatte das analytische Lösen im Hintergrund laufen. Jetzt habe ich ein Ergebnis!
Für R>=1
1/(5R)+R
sonst
1/20 (15+10R²-R^4)

Ich lasse jetzt noch für Radien != 1 rechnen - müsste ja dann vielleicht heute auch noch ein Ergebnis bringen.

[positronium]

Für Kugeln mit Radius r in der Entfernung R ergibt sich der mittlere Abstand A zu:



Die Formel sollte eigentlich auf Wikipedia stehen.

Allen, ganz besonders natürlich Tom, ein grosses Dankeschön!

[tomS]

Passt das jetzt so? Eigentlich müsste man das Integral auch in Tabellen nachschlagen können.

[positronium]

Ja, ich denke schon, dass es passt. Interessant ist die Zweiteilung der Funktion für innerhalb und ausserhalb der Kugel. Auf einem Plot zum Vergleichen konnte ich keine Unterschiede zur Berechnung über die Integrale feststellen. Auch hat Mathematica keine Warnung bzgl. eventueller Ungenauigkeiten etc. ausgegeben, nur hat halt die Berechnung etwas gedauert.

[tomS]

Die Unterscheidung zwischen Innen- und Außenraum ist typisch und auch in der Elektrodynamik bekannt. Ich hatte auch schon an eine Multpolentwnicklung der Wurzel nach Kugelflächenfunktionen gedacht.

[Skeltek]

Ich finde es schade, daß das Ergebniss ausserhalb der Kugel bereits gekürzt, reduziert und zusammen summiert wurde und wir keine einheitliche Formel für beides haben.