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Abzählbarkeiten und Überabzählbarkeiten

Mathematische Fragestellungen
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Abzählbarkeiten und Überabzählbarkeiten

Beitrag von Skeltek » 20. Nov 2012, 02:16

Ich habe aus dem Thread "Warum expandiert und expandierte das Universum?" (inzwischen heißt der Thread "Grund der Expansion, SL, Hawkingstrahlung") diesen Beitrag von Skeltek hierher kopiert und die drei folgenden Beiträge hierher verschoben, wegen der Ordnung...
Grüße
seeker


Vor ein paar Jahren noch kam der Spruch aus der trivialsten aller Wissenschaften(Mathematik): "Erst als wir anfingen, die einfachsten und trivialsten Dinge zu beweisen, stellte man bei den meisten fest, dass sie falsch waren."

Ja, die Hawkin-Strahlung, falls sie existiert, verhält sich die Verdampfungsgeschwindigkeit für ausreichend große isolierte Löcher vermutlich wie in der Formel.
Zu den vorher erwähnten Querdenkern würde ich gerne noch hinzufügen, dass es Beurteilungsrecht der Mehrheit ist, diese für Querdenker, Querulanten, Besserwisser oder Spinner zu halten.
Welche Gemeinschaft für die Spezialisten auf einem Gebiet gehalten wird, ist zum Großteil von der Größe und Mangel an Konkurenzgemeinschaften abhängig; meist sind sie vom Großteil der gesellschaft als solche anerkannt.

Ich messe dem Mini-SL Experiment kein großes Restrisiko zu und würde es vermutlich unterstützen falls ich die Fähigkeit hätte alles selbst nachzuprüfen. Allerdings habe ich zu oft die Mehrheit der "Profis" sich kollektiv irren sehen, als dass ich dem kein Restrisiko zuordnen würde.

Wenn ich bedenke, dass sogar Studenten in höheren Semestern nicht begreifen, daß eine überabzählbare Menge keine Elemente enthält, die nicht abzählbar sind, sondern die Überabzählbarkeit lediglich eine Eigenschaft der Menge als ganzes ist(lässt sich nicht ordnen).
Viele glauben, daß es im reelen Elemente gibt, die nicht zu der Menge der Abzählbaren Zahlen gehören.
Einfachster Sachverhalt, zu schwer zu begreifen...
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Re: Warum expandiert und expandierte das Universum?

Beitrag von tomS » 20. Nov 2012, 08:20

OT
Skeltek hat geschrieben:Wenn ich bedenke, dass sogar Studenten in höheren Semestern nicht begreifen, daß eine überabzählbare Menge keine Elemente enthält, die nicht abzählbar sind, sondern die Überabzählbarkeit lediglich eine Eigenschaft der Menge als ganzes ist(lässt sich nicht ordnen).
???
Skeltek hat geschrieben:Viele glauben, daß es im reelen Elemente gibt, die nicht zu der Menge der Abzählbaren Zahlen gehören.
???

Natürliche, ganze, rationale und algebraische Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen sind abzählbar; transzendente Zahlen (der Rest) sind überabzählbar.

Was willst du damit sagen?
Gruß
Tom

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Re: Warum expandiert und expandierte das Universum?

Beitrag von Skeltek » 20. Nov 2012, 17:41

Genau das meinte ich. Zu der Menge der abzählbaren Zahlen gehören auch transzendente Zahlen dazu.
Man kann nicht sagen, daß transzendente Zahlen grundsätzlich nicht in der Menge der abzählbaren Zahlen enthalten sind.
So wie du Wurzeln rationaler oder algebraischer Zahlen abzählen kannst, so kannst du auch alle darstellbaren transzendenten Zahlen aufzählen(alle, die man in irgendeiner Form aufschreiben oder deren Berechnungsvorschrift endlich ist z.B. e^Pi usw). Es dauert zum Teil unendlich lange, solche Zahlen auszurechnen, aber die Berechnungsvorschrift ist endlich.

Transzendent bedeutet nur, daß die Zahl nicht algebraisch darstellbar ist. Natürlich ist R \ A überabzählbar(A ist Menge der algebraischen Zahlen), allerdings ist A auch nur eine Teilmenge der abzählbaren Zahlen(zu der auch transzentende Zahlen dazugehören; Pi, e usw kann man zählen).
Mann kann zeigen, daß jede Liste, in denen alle Elemente von A aufgelistet sind, unvollständig ist. Früher war die Menge der in der Liste fehlenden Zahlen Das Komplementär von A in R, das überabzählbar war.
Genauso kann man zeigen, daß jede Liste transzendenter Zahlen genauso unvollständig ist.

Die Begriffe transzendente, irrationale und positive Zahlen haben alle gleichermaßen wenig mit Überabzählbarkeit zu tun. Natürlich ist die überabzählbare Teilmenge der Zahlen in R+ positiv, irrational und transzendent;

-> allerdings wäre es sinnlos die positiven Zahlen oder die transzendenten Zahlen mit der Menge der überabzählbaren Zahlen gleichzusetzen.

Sorry, back to topic
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Re: Warum expandiert und expandierte das Universum?

Beitrag von rick » 20. Nov 2012, 20:24

@ Skeltek - da verwendest du schon einen sehr langen Beitrag um eine Spitzfindigkeit auszudrücken und vergisst dabei (absichtlich?) wichtige Worte.

Du willst im Prinzip nur sagen, das eine abzählbare Teilmenge der transzendenten Zahlen abzählbar ist. Vergisst aber überall zu erwähnen, das du eben nur eine Teilmenge davon meinst.
Skeltek hat geschrieben:Genau das meinte ich. Zu der Menge der abzählbaren Zahlen gehören auch transzendente Zahlen dazu.
Man kann nicht sagen, daß transzendente Zahlen grundsätzlich nicht in der Menge der abzählbaren Zahlen enthalten sind.
Edit 3 : Abzählbare Zahlen ist in meinen Augen kein Mengen Begriff. (Siehe unten)
Skeltek hat geschrieben: So wie du Wurzeln rationaler oder algebraischer Zahlen abzählen kannst, so kannst du auch alle darstellbaren transzendenten Zahlen aufzählen(alle, die man in irgendeiner Form aufschreiben oder deren Berechnungsvorschrift endlich ist z.B. e^Pi usw). Es dauert zum Teil unendlich lange, solche Zahlen auszurechnen, aber die Berechnungsvorschrift ist endlich.
Du kannst eben nicht alle auf einmal abzählen, dafür gibt es genügend Beweise. (Darstellbar nach deiner Definition- nach meiner Definition wären transzendente Zahlen nicht darstellbar.)
Skeltek hat geschrieben: Transzendent bedeutet nur, daß die Zahl nicht algebraisch darstellbar ist. Natürlich ist R \ A überabzählbar(A ist Menge der algebraischen Zahlen), allerdings ist A auch nur eine Teilmenge der abzählbaren Zahlen(zu der auch transzentende Zahlen dazugehören; Pi, e usw kann man zählen).
Edit 3 (wegen abzählbare Zahlen, siehe Kommentar unten:)
Die Kardinalität von A ist abzählbar unendlich. Tanzendente Zahlen gehören nicht zu A, aber wahrscheinlich meinst du hier wieder, das man EINZELNE transzendente Zahlen abzählen kann.
Skeltek hat geschrieben: Mann kann zeigen, daß jede Liste, in denen alle Elemente von A aufgelistet sind, unvollständig ist. Früher war die Menge der in der Liste fehlenden Zahlen Das Komplementär von A in R, das überabzählbar war.
Genauso kann man zeigen, daß jede Liste transzendenter Zahlen genauso unvollständig ist.
A ist gleichmächtig zu N also kann man es in einer unendlich langen Liste aufzählen. Bei den transzendenten Zahlen ist das aber nicht so -> überabzählbar eben.
Skeltek hat geschrieben: Die Begriffe transzendente, irrationale und positive Zahlen haben alle gleichermaßen wenig mit Überabzählbarkeit zu tun. Natürlich ist die überabzählbare Teilmenge der Zahlen in R+ positiv, irrational und transzendent;
Auf die gesamte Menge bezogen eben doch.

*Edit1*
Ich denke das Problem ist hier, das abzählbare Zahlen als eine Menge angesehen wird. Wenn nun abzählbar rein als Eigenschaft gesehen wird, dann sieht das ganze viel besser aus. Dann kann man wiederum Mengen konstruieren, z.B. die Menge aus Pi und 3 z.b , welche sogar endlich ist ;).

*Edit2*
Umso mehr ich darüber nachdenke, denke ich, das die "Menge der abzählbaren Zahlen" keine Menge ist, da keine Eigenschaft der Elemente genannt wird, sondern nur die Anzahl der möglichen Elemente. Erst wenn man sich bestimmte Zahlen (1-x) raus pickt, wird es zu einer Menge. Dann lautet die Menge aber nicht: "Menge der Abzählbaren Zahlen" sondern eben Menge bestehend aus 1-x (so fern sie keine andere Eigenschaft ein eindeutig verbindet). Diese Menge wiederum ist abzählbar.

Nun können wir gerne B2T :P

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Re: Warum expandiert und expandierte das Universum?

Beitrag von Skeltek » 21. Nov 2012, 03:31

rick hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben: Mann kann zeigen, daß jede Liste, in denen alle Elemente von A aufgelistet sind, unvollständig ist. Früher war die Menge der in der Liste fehlenden Zahlen Das Komplementär von A in R, das überabzählbar war.
Genauso kann man zeigen, daß jede Liste transzendenter Zahlen genauso unvollständig ist.
A ist gleichmächtig zu N also kann man es in einer unendlich langen Liste aufzählen. Bei den transzendenten Zahlen ist das aber nicht so -> überabzählbar eben.
Ich sagte, daß in der unendlich langen Liste ALLE Elemente von A vorkommen. Die Unvollständigkeit bezieht sich darauf, daß der Rest von R fehlt und nicht darin vorkommt.
Das fehlen des Restes ist darauf zurückzuführen, daß in der Liste lediglich Lösungen algebraischer Gleichungen ENDLICHEN Grades vorkommen.
...
Das heißt analog: Der überabzählbare Teil der reelen Zahlen ist die Gesammtmenge aller Zahlen, die keinem existierenden(endlichen) Algorythmus gehorchen.


Sehr schönes Anschauungsbeispiel:
Stelle dir vor, du hast einen Ast der Länge 1 Meter, der sich immer bei 1-(1/2)^n Metern teilt.
Die Verzweigungen symbolisieren die Menge der abzählbaren Zahlen.
Die Astspitzen symbolisiert das nicht abzählbare Komplementär in R, die Astspitzen sind nicht abzählbar.

Es gibt:
positive Verzweigungen, positive Astspitzen.
transzendente Verzweigungen, transzendente Astspitzen.
negative Verzweigungen, Negative Astspitzen.
reele Verzweigungen, reele Astspitzen.

rationale Verzweigungen, keine rationalen Astspitzen (Trugschluss anzunehmen, dass die Menge der rationalen Zahlen die Gesammtheit aller abzählbaren Zahlen ist)
transzendente Astspitzen, keine nicht transzendenten Astspitzen (Genauso Trugschluss, dass die Menge der transzendenten Zahlen die ausschließlich Astenden enthält)

Hoffe das macht meine Anschauung etwas klarer.
Nun kann man sich darüber streiten, ob die Astspitzen überhaupt existieren.
Die Mehrheit der Mathematiker glaubt, dass die Fläche bei 1 Meter und die Astenden tatsächlich existieren.
Konstruktivisten glauben, daß Astspitzen nicht wirklich existieren bzw
->wenn die Äste hohl wären, man durch hindurchkrabbeln je ein Astende wird erreichen können.
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Re: Abzählbarkeiten und Überabzählbarkeiten

Beitrag von Skeltek » 21. Nov 2012, 03:47

Es geht mir eigentlich nur darum, dass viele glauben, daß die Fläche nach 1 Meter(die Gesammtheit aller Astspitzen) tatsächlich existierende Elemente enthält.
Für diese versagt das Auswahlaxiom, da die Auswahlfunktion f(x) die ein Element daraus auswählt, als Argument ein Element benötigen würde, das nicht zur Menge abzählbaren Zahlen gehört(also auf der Fläche liegt).
Die Auswahlfunktion(die benötigt wird um die Existenz von Elementen auf der Fläche zu beweisen), funktioniert nur, wenn man bereits vorher die Existenz eines Flächenelementes schon annimmt um sie in die Auswahlfunktion einzusetzen.

Natürlich gibt es die Fläche, sie ist nur nicht existent(oder meine ich hier, ihre Elemente existieren nur als Kollektiv?). Das mag spitzfindig klingen, ist aber von größter Relevanz, da fast unsere gesammte moderne Mathematik auf genau diesem Detail aufgebaut ist.
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Re: Abzählbarkeiten und Überabzählbarkeiten

Beitrag von rick » 21. Nov 2012, 07:34

Stimmst du mir nun zu das es "die Menge der abzählbaren Zahlen" nicht gibt? Wenn nicht, dann definiere bitte genau, welche Elemente deiner Meinung nach in dieser Menge sind.
(Du benutzt diesen Begriff nämlich weiterhin...)

Zum Rest: Ich werd hier nicht über die Gültigkeit des Auswahlaxioms diskutieren, das führt zu nichts.

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Re: Abzählbarkeiten und Überabzählbarkeiten

Beitrag von Skeltek » 21. Nov 2012, 12:38

rick hat geschrieben:Stimmst du mir nun zu das es "die Menge der abzählbaren Zahlen" nicht gibt? Wenn nicht, dann definiere bitte genau, welche Elemente deiner Meinung nach in dieser Menge sind.
(Du benutzt diesen Begriff nämlich weiterhin...)

Zum Rest: Ich werd hier nicht über die Gültigkeit des Auswahlaxioms diskutieren, das führt zu nichts.
Ja, das ist semantisch nicht ganz korrekt formuliert die Überabzählbarkeit den Elementen statt der Menge zuzuordnen(hatte gehofft es fällt nicht auf ^^). Es müsste größte abzählbare Menge aller Zahlen heißen. Ich weiß nur nicht, wie ich es formulieren soll, ohne die Existenz des Restes a priori abzustreiten. Alle Zahlen die existieren kann man sortieren & zählen.
Mit der Menge meinte ich die Gesammtheit aller Zahlen, die man mit Hilfe einer endlichen Vorschrift berechnen oder aufschreiben kann.
Die Menge aller endlichen Darstellunsvorschriften ist abzählbar.
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Re: Abzählbarkeiten und Überabzählbarkeiten

Beitrag von rick » 21. Nov 2012, 19:43

Skeltek hat geschrieben: Mit der Menge meinte ich die Gesammtheit aller Zahlen, die man mit Hilfe einer endlichen Vorschrift berechnen oder aufschreiben kann.
Die Menge aller endlichen Darstellunsvorschriften ist abzählbar.
Das sind doch aber wieder die algebraischen Zahlen. Oder hast du gerade ein Beispiel parat, für eine transzendente Zahl, für die es eine endliche Berechnungsvorschrift gibt? Bei Pi und e geht das jedenfalls nicht, AFAIK, da sind immer Grenzwertprozesse notwendig. (Sprich der schnellste Rechner der Welt/Universum könnte nicht die letzte Stelle ausrechnen).

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Re: Abzählbarkeiten und Überabzählbarkeiten

Beitrag von Skeltek » 21. Nov 2012, 21:15

rick hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben: Mit der Menge meinte ich die Gesammtheit aller Zahlen, die man mit Hilfe einer endlichen Vorschrift berechnen oder aufschreiben kann.
Die Menge aller endlichen Darstellunsvorschriften ist abzählbar.
Das sind doch aber wieder die algebraischen Zahlen. Oder hast du gerade ein Beispiel parat, für eine transzendente Zahl, für die es eine endliche Berechnungsvorschrift gibt? Bei Pi und e geht das jedenfalls nicht, AFAIK, da sind immer Grenzwertprozesse notwendig. (Sprich der schnellste Rechner der Welt/Universum könnte nicht die letzte Stelle ausrechnen).
Meinst du die letzte ZIFFER von Pi ausrechnen? Ist vermutlich eine 0 oder eine 1 wie man an folgender Darstellung sieht:
pi = 11,001001000011111101101010100010001000010110100110000.. (hab jetzt keine Lust das fertig zu schreiben; das Muster ist denke ich völlig ersichtlich)
Es reicht die Zahl und die rekursive(&endliche) Berechnungsvorschrift angeben zu können, ein Ausrechnen ist nicht notwendig, um eine Bijektion zu einem Element der ganzen Zahlen zu ermöglichen.


Habe keine Ahnung, wie man Pi berechnet, aber ich versuchs mal:

Pi = lim,n->unendlich von [3 * Produkt aus [(2*sin(@ * 1/2^i) / sin(@ * 1/2^(i-1))] |mit i von 1 bis n; @=30°]

Es spielt keine Rolle, ob der Rechner jemals fertig wird mit der Berechnung der Dezimalschreibweise, das Programm das den Algorithmus angibt hat eine endliche Länge.
Die Anzahl an möglichen Befehlen oder Argumenten, die ein solches Programm ausmachen ist endlich, daher haben die Gesammtheit aller in endlicher Zeit formulierbaren Programme oder Vorschriften eine transzendente Zahl zu berechnen oder zu benennen eine Bijektion zu N.

weitere transzendente Zahlen wären:
e^Pi
Pi^e
Pi^Pi
e^e
sqrt(Pi)
sin(1)
ln(q) |q€Q+ \{1}

Alle diese Ausdrücke haben eine endliche Länge, können also einem Element aus N zugordnet werden.
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Re: Abzählbarkeiten und Überabzählbarkeiten

Beitrag von rick » 21. Nov 2012, 21:33

Die Ziffer der letzten Stelle, genau (hatten wir es nicht mal von Spitzfindigkeiten? ;)).
Skeltek hat geschrieben: Meinst du die letzte ZIFFER von Pi ausrechnen? Ist vermutlich eine 0 oder eine 1 wie man an folgender Darstellung sieht:
pi = 11,001001000011111101101010100010001000010110100110000.. (hab jetzt keine Lust das fertig zu schreiben; das Muster ist denke ich völlig ersichtlich)
Es reicht die Zahl und die rekursive(&endliche) Berechnungsvorschrift angeben zu können, ein Ausrechnen ist nicht notwendig, um eine Bijektion zu einem Element der ganzen Zahlen zu ermöglichen.
Es gibt zu Pi aber keine endliche Berechnungsvorschrift, oder willst du mir sagen, das deine Zahlenreihe dort irgendwann aufhört? Wenn ja, kannst du mir ja die Stelle sagen. Und zu sagen, das es in Binärdarstellung entweder 0 oder 1 ist, ist genauso gut zu sagen, oh es ist eine 0,...,8 oder 9. Das Problem ist halt, das du es nicht fertig schreiben kannst. Für eine Bijektion würde es auch reichen Pi einfach als Buchstaben Kombination "Pi" darzustellen...-hiermit wollte ich nur zeigen, das die Definition deiner "Menge" nicht exakt ist.
Skeltek hat geschrieben: Habe keine Ahnung, wie man Pi berechnet, aber ich versuchs mal:

Pi = lim,n->unendlich von [3 * Produkt aus [(2*sin(@ * 1/2^i) / sin(@ * 1/2^(i-1))] |mit i von 1 bis n; @=30°]
Wieder ein Grenzwertprozess...
Skeltek hat geschrieben: Es spielt keine Rolle, ob der Rechner jemals fertig wird mit der Berechnung der Dezimalschreibweise, das Programm das den Algorithmus angibt hat eine endliche Länge.
Die Anzahl an möglichen Befehlen oder Argumenten, die ein solches Programm ausmachen ist endlich, daher haben die Gesammtheit aller in endlicher Zeit formulierbaren Programme oder Vorschriften eine transzendente Zahl zu berechnen oder zu benennen eine Bijektion zu N.

weitere transzendente Zahlen wären:
e^Pi
Pi^e
Pi^Pi
e^e
sqrt(Pi)
sin(1)
ln(q) |q€Q+ \{1}

Alle diese Ausdrücke haben eine endliche Länge, können also einem Element aus N zugordnet werden.
Für sich genommen schon, nur eben die ganze Menge der transzendenten Zahlen nicht. Weil es zu viele sind.

Wie ich schon weiter oben sagte:
"Du willst im Prinzip nur sagen, das eine abzählbare Teilmenge der transzendenten Zahlen abzählbar ist. "

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Re: Abzählbarkeiten und Überabzählbarkeiten

Beitrag von tomS » 21. Nov 2012, 23:04

Ob die Menge aller reellen Zahlen R "existiert" ist weniger eine Frage der Eigenschaften der reellen Zahlen R als eine Frage der Bedeutung von "existieren".

R existiert nicht, wenn man darunter eine endliche Konstruktionsvorschrift jedes Elementes versteht. R existiert, wenn man unendliche Konstruktionsvorschriften zulässt.
Gruß
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Re: Abzählbarkeiten und Überabzählbarkeiten

Beitrag von Skeltek » 22. Nov 2012, 02:37

rick hat geschrieben: Es reicht die Zahl und die rekursive(&endliche) Berechnungsvorschrift angeben zu können, ein Ausrechnen ist nicht notwendig, um eine Bijektion zu einem Element der ganzen Zahlen zu ermöglichen.
Es gibt zu Pi aber keine endliche Berechnungsvorschrift, oder willst du mir sagen, das deine Zahlenreihe dort irgendwann aufhört?
[/quote]

"Addiere alle ganzen Zahlen von 1 bis unendlich" ist eine endliche Berechnungsvorschrift. Nicht die Rechnung muss endlich sein, sondern nur die Vorschrift.
rick hat geschrieben: Wie ich schon weiter oben sagte:
"Du willst im Prinzip nur sagen, das eine abzählbare Teilmenge der transzendenten Zahlen abzählbar ist. "
Muss überlesen haben, daß du das so geschrieben hast. Ja, das will ich samit sagen. Fraglich ist nur, ob es eine Teilmenge oder eine echte Teilmenge ist.

tomS hat geschrieben:Ob die Menge aller reellen Zahlen R "existiert" ist weniger eine Frage der Eigenschaften der reellen Zahlen R als eine Frage der Bedeutung von "existieren".

R existiert nicht, wenn man darunter eine endliche Konstruktionsvorschrift jedes Elementes versteht. R existiert, wenn man unendliche Konstruktionsvorschriften zulässt.
Genau so habe ich es gemeint und kann selbst wenn ich mich anstrengen würde eigentlich nichts mehr hinzufügen.
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Re: Abzählbarkeiten und Überabzählbarkeiten

Beitrag von Skeltek » 23. Nov 2012, 17:53

Das oben beschriebene Schaubild könnte übrigens einen Hinweis darauf geben, ob Koordinaten im Universum reel sind(Universum existierte schon immer, wir befinden uns auf der Endfläche)
oder Koordinaten aller Teilchen im Universum sind durch endliche Terme beschreibbar sind(Es gab einen Anfang, Zeit läuft in Schritten ab; wir befinden uns irgendwo vor der überabzählbaren Fläche/Punktansammlung).
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Re: Abzählbarkeiten und Überabzählbarkeiten

Beitrag von rick » 23. Nov 2012, 23:48

Skeltek hat geschrieben:
rick hat geschrieben: Wie ich schon weiter oben sagte:
"Du willst im Prinzip nur sagen, das eine abzählbare Teilmenge der transzendenten Zahlen abzählbar ist. "
Muss überlesen haben, daß du das so geschrieben hast. Ja, das will ich samit sagen. Fraglich ist nur, ob es eine Teilmenge oder eine echte Teilmenge ist.
Diese Zahlen haben übrigens nen Namen: berechenbare Zahlen ;). Und da sie abzählbar sind, müssen sie wohl eine echte Teilmenge der transzendenten Zahlen sein, ob sie nun existieren oder nicht ;).

Der Rest wird mir zu philosophisch :).

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