flach = unendlich + unbegrenzt

[tomS]

Hier ein Beispiel

T2.png

[seeker]

Ich hab's mir aufgemalt.
Man sieht, dass es das linke obere B ist.
Der Wert 0,20 nach 1) ist daher nach meiner Meinung der Richtige. Der Betrag des Vektors ist 0,447.
Irgend etwas an 2) scheint m.E. nicht zu stimmen!?

Ich schau mir 2) nochmal an...

Grüße
seeker

[seeker]

Man muss nur die k-Werte 0 und -1 berücksichtigen, da A im Nullpunkt liegt.
Es gibt 4 Kombinationen daraus: 0/0, -1/0, -1/-1, 0/-1.

So wie du nach 2) gerechnet hast berücksichtigst du aber nur zwei dieser Kombinationen: 0/0 und -1/-1.
Das B mit dem kleinsten Abstand liegt aber im Feld -1/0.

Grüße
seeker

[positronium]

Dein Weg 2 ist in dieser Berechnung falsch. Du rechnest nämlich k[down]x[/down]=k[down]y[/down]. Du musst aber für jede Dimension ein eigenes k, also k[down]d[/down] für die d-te Dimension verwenden. Dann musst Du alle Kombinationen von k[down]x[/down], k[down]y[/down]... usw. kombinieren. Dann kommt das gleiche wie bei 1 heraus.

[tomS]

ich glaube ihr habt recht

[tomS]

so, hab' das jetzt nochmal nachvollzogen; ja, ich habe sozusagen mein 1) nicht mehr korrekt interpretiert; so muss es wohl sein (wann bekommen wir denn schönes LaTeX hier im Forum?)

T2.png

ich definieren zuerst die Menge aller "Basisvektoren", die eine "Gitterzelle" aufspannen (man kann das auf nicht-orthogonale Gitter verallgemeinern);
dann definiere ich die Gittervektoren mittels der k-Tupel-Indizes (hier brauche ich nur die benachbarten Gitterzellen, mittels aller k's kann ich aber o.B.d.A. die gesamte Ebene betrachten
dann definiere ich für einen Punkt B alle B', B'', ... in den mit k-Tupeln numerierten Gitterzellen;
dann definiere ich den euklidischen Abstand mittels des Satzes des Pythagoras;
zuletzt definiere ich den entsprechendne Abstand auf dem kompaktifizierten n-dim. Torus;

mein Denkfehler war, dass ich die einzelnen Koordinatenrichtungen für einen Vektor L nicht unabhängig variieren darf (darf ich auch nicht), dass ich aber das selbe Ergebnis bekomme, wenn ich die enstprechenden k's unabhängig variiere (und das darf ich ;-)

[seeker]

Schön!
Weißt du, es freut uns sehr, wenn auch wir mal dem "großen Tom" ein klein wenig weiterhelfen können...

Bleibt die Frage nach dem Beweis:

Mir ist irgendwie anschaulich klar, dass die beiden Methoden zum selben Ergebnis führen ... aber wie beweise ich das?

Dass 2) zum richtigen Ergebnis führt (wenn richtig ausgeführt) ist m. E. klar.
Warum führt aber auch 1) zum richtigen Ergebnis?
Diese Frage ist gleichbedeutend mit der Frage:

Warum muss der kürzeste Differenzvektor (A,B) ausschließlich aus kürzesten Komponenten (dx, dy, dz,...) bestehen?
(Denn genau dazu führt Methode 1).)

Vorschlag zum Vorgehen:

Wenn man einen beliebigen Punkt A hat, so ist dieser von genau 2[up]n[/up] relevanten (nächsten) Punkten B, B', ... umgeben. (n = Anzahl der Dimensionen)
Diese Punkte B bilden zusammen einen n-dimensionalen Würfel; der Punkt A befindet sich irgendwo in diesem Würfel.

In einem solchen Würfel ist aber genau das gegeben: Der Punkt B mit dem kürzesten Abstand zu A besteht ausschließlich aus kürzesten Komponenten (dx, dy,...).


Noch eine Frage, Tom:
An was arbeitest du da eigentlich? Wohin willst du?

Grüße
seeker

[tomS]

Freut mich, dass ich euch erfreuen konnte



Ich will auf gar nix weiter hinaus; ich wollte erklären, dass man einen flachen Torus durch entsprechende Kompaktifizierung bekommt, d.h. durch Identifizieren gegenüberliegender Kanten des Rechtecks. Aber das reicht noch nicht, dann damit hat man nur topologisch einen Torus, noch keinen flachen Torus, denn "flach" ist eine geometrische Eigenschaft. Dazu benötige ich einen Abstandsbegriff (gut, lokal bzw. infinitesimal ist das trivialerweise der Pythagoras) und den wollte ich exakt konstruieren.

[tomS]

Die Äquivalenz ist m.E. trivial - wie immer, wenn man's mal verstanden hat ;-)

Das Minimum in 2) wird über alle k-Tupel gebildet. Man betrachtet also bei 2) alle k-Tupel, bei 1) dagegen nur spezielle k-Tupel: man wählt je Koordinate das k, das die Komponente von d² in dieser Koordinate minimiert. Daraus ergibt sich eben ein ganz spezielles k-Tupel, für das dann der gesamte Abstand berechnet wird. Aber bei 2) ist natürlich dieses eine ganz spezielle k-Tupel ebenfalls enthalten. Da bei 2) alle k-Tupel betrachtet werden, ist zunächst klar, dass bei 1) nicht irgend etwas betrachtet wird, was bei 2) gar nicht enthalten ist. Also ist die Lösung gemäß 1) zumindest in der bei 2) betrachteten Menge mit enthalten.

Jetzt muss man noch verstehen, warum die spezielle Lösung bei 1) auch der allgemeine Lösung bei 2) entspricht. Das ist deswegen klar, weil man um andere Möglichkeiten in 2) zu konstruieren, an einer oder meherern Koordinaten etwas ändern muss. Die Lösung bei 1) ist aber so konstruiert, dass jede Änderung je Koordinate immer zu einem grö0ßeren Abstand führen würde. Damit ist 1) sicher die kleinstmögliche Lösung und daher die gesuchte Definition des Abstandes.

Letzteres war mir von Beginn an klar.

Was mir nicht klar war, war folgednes: ich hatte Sorge, dass ich sozusagen ein zu kleines Ergebnis produziere; dass 1) nichts größeres als 2) liefern kann habe ich oben erläutert. Meine Befürchtung war wie folgt: ich dachte, dass ich eine Menge von Gittervektoren habe und dass ich die Koordinaten verschiedener Punkte mische, dass ich also den x-Abstand bzgl. B' und den y-Abstand bzgl. B'' berechne. Das ist natürlich nicht ohne weiteres erlaubt. Nehmen wir zwei Punkte B' und B''; bauen wir uns daraus einen neuen Vektor für den Punkt B''', in dem die x-Komponente von B' aber die y-Komponenten von B'' enthalten ist. Meine Befürchtrung war, dass ich genau einen derartigen Blödsinn konstruiere. Aber in unserem Fall ist das kein Blödsinn, da es sicher irgendein k-Tupel gibt, aus dem genau dieses B''' folgt.

[seeker]

Was mir nicht klar war, war folgednes: ich hatte Sorge, dass ich sozusagen ein zu kleines Ergebnis produziere; dass 1) nichts größeres als 2) liefern kann habe ich oben erläutert.

Ach so! Ich verstehe.

Ich hatte Anfangs eher die Befürchtung, dass 1) u.U. zu große Ergebnisse liefern könnte.
Bei komplizierteren, nicht-flachen Metriken kann das nämlich der Fall sein (wie auch positronium schon angedeutet hat) - da bin ich mir recht sicher (sobald die relevanten/nächsten B um A herum keinen n-dimensionalen Quader mehr bilden).

Bei einem solchen Gebilde kann das Ergebnis bei 1) davon abhängen in welcher Reihenfolge man die einzelnen Koordinaten abarbeitet (dx -> dy -> dz,...), was m. E. zur Folge hat, dass man dann auch bei 1) alle Kombinationen durchgehen muss und dann nichts mehr gegenüber 2) gewinnt.

Grüße
seeker

[Pippen]

Hm...meines Erachtens ist ein flacher Raum IMMER unendlich und unbegrenzt, es sei denn man begrenzt ihn künstlich & willkürlich, zB kann man ja ein Rechteck zeichnen und dessen Inhalt wäre ein begrenzter flacher Raum oder man schneidet einen Torus auf, auch da entstehen begrenzte Flächen. Ich hoffe es wird klar, was ich meine. Ein (kugelartig) gekrümmter Raum ist bereits aufgrund seiner intrinsischen Eigenschaften begrenzt, ein flacher Raum dagegen nie, so ist meine Behauptung. Die Frage ist daher nicht, ob flache Räume immer unendlich und unbegrenzt sind, sondern ob flache Räume OHNE WEITERE MANIPULATIONEN UNSERERSEITS immer unendlich und unbegrenzt sind? Und die Antwort lautet - anders als zB beim kugelförmig gekrümmten Raum - immer: ja. Seht ihr das auch so?

[tomS]

Nein, das sehe ich nicht so.

Du kannst nun behaupten, meine obige Konstruktion des Torus aus der Ebene wäre in deinem Sinne 'künstlich'. Das ist nicht so. Die Mathematik ist da sehr klar:

Zunächst betrachte ich keinen Raum sondern eine Mannigfaltigkeit (nur dass die Begriffe präzisiert sind)
Eine n-dim. Mannigfaltigkeit ist lokal immer isomorph zu einem n-dim. Euklischen Raum (per definitionem)
Auf bestimmten n-dim. Mannigfakltigkeit kann ich eine Metrik definieren; dadurch erhalte ich eine Riemannsche Mannigfaltigkeit; diese ist auch ein metrischer Raum
Aus der Riemannschen Metrik kann ich die Riemannsche Krümmung ableiten

Nun gibt es für den n-Torus zwei äquivalent Konstruktionsmöglichkeiten
1) ich starte mit einem n-dim. Euklischen Raum, also der n-dim. Verallgemeinerung einer Ebene (flach, ungekrümmt, unendlich) und führe im obigen Sinne ein periodisches Gitter ein
2) ich starte mit einem n-dim. Quader (flach, ungekrümmt, endlich) und identifizieren gegenüberliegende Berandungen

Beide Vorgehensweisen sind äquivalent.

Möglicherweise widerspricht das deiner Intuition, weil du zu sehr daran festhältst, dir Krümmung als Krümmung einer Fläche eingebettet in einem Raum vorzustellen. Das ist mathematisch unnötig; Krümmung kann als intrinsische Eigenschaft der Fläche ohne einbettenden Raum aufgefasst werden. Man benötigt (wie das obige Beispiel zeigt) keine Einbettung. Sie ist sogar kontraproduktiv, da die Einbettung des Torus einen gekrümmten Torus produziert, während meine Konstruktion einen flachen Torus liefert.

[positronium]

Ich habe noch etwas nachgedacht: Weil der Torus flach und die Koordinaten des Raumes in jede Dimension periodisch unendlich sind, kann man die Norm recht kompakt und schnell berechenbar formulieren:

[tomS]

stimmt - aber man sieht nicht mehr, was passiert, oder?

[positronium]

Auf den ersten Blick nicht, das stimmt, aber wenn man sich überlegt, was das round in Verbindung mit dem L[down]d[/down] macht, kommt man schon drauf, denke ich.

[tomS]

ja, man kommt drauf; du bist ja auch drauf gekommen ;-)

mir gefällt meine besser, weil
a) sie von mir ist ;-)
b) sie wohl auf andere zugrundeliegende geometrische Objekte (reguläre n-dim. Polyeder) verallgemeinerbar ist

(b wiegt schwerer als a)

[positronium]

b) sie wohl auf andere zugrundeliegende geometrische Objekte (reguläre n-dim. Polyeder) verallgemeinerbar ist

Du meinst, statt Quadrat, Würfel...: gleichs. Dreieck, Tetraeder..., und höhere? Das ist aber gar nicht einfach. Für den Fall des Dreiecks kann man unter Transformationen vermutlich den n-dimensionalen Raum vollständig abdecken. Mit dem Quadrat natürlich auch. Beim 5er dürfte gar nichts gehen, und beim 6er kommt man gerademal zum 2D-Raum. Wenn ich so auf die Schnelle nichts übersehen habe, erhält man bei allen anderen Objekten einen lückenhaften Raum.

[tomS]

Im Falle n-dim. Polyeder darf man sich nicht den n-dim. Raum lückenlos ausgefüllt denken, sondern man muss "lokal" argumentieren. Dazu klebt man sozusagen paarweise die (n-1)-dim. Berandungen = (n-1)-dim. Polyeder zusammen. Das globale Bild der lückenlos überdeckten Ebene ist dann ggf. irreführend, es genügt, einen einzigen Polyeder zu betrachten. Die einzige Bedingung die bleibt ist, dass Berandungen paarweise identifiziert werden und dass zwei so identifizierte Berandungen exakt passen. Das ist m.W.n. wiederum mit (nicht-orthogonalen) Gittervektoren beschreibbar.

[positronium]

OK, ich verstehe, was Du meinst. Dann sollte aber der Begriff Dimension seine übliche Bedeutung verlieren; wir würden in einem Knoten leben .

[tomS]

Nein, der Dimensionsbegriff (und damit der der Mannigfaltigkeit) bleibt intakt. Denn lokal sieht der Raum weiterhin aus wie ein n-dim. flacher, euklidscher Raum. Nur die globale topologische Struktur ist unterschiedlich.

[positronium]

Wenn man Aussenflächen paarweise einander zuordnet, bedeutet das nur, dass es eine gerade Zahl Aussenflächen geben muss, aber das heisst doch nicht, dass es immer zwei zueinander parallele Aussenseiten geben muss. Jetzt kann es doch sein, dass zwei nicht-parallele Flächen einander zugeordnet werden müssen. Dann könnte ich vorwärts losfliegen, und käme nicht von hinten wieder an meine Startposition, sondern ich käme aus irgend einer im Winkel versetzten Richtung daher. So würden die Dimensionen ineinander übergehen, oder wo irre ich mich?

[tomS]

die Außenflächen müssen natürlich nicht parallel sein, denn dieser Begriff wird ja durch das Zusammenkleben erst wieder sinnvoll; danach sind sie parallel, da zusammengeklebt; aber sie müssen kongruent sein!

[positronium]

Das ist mir schon klar. Mit der Parallelität meinte ich die Randflächen der ursprünglichen Zelle. Als schematische Darstellung, das Dreieck. Wenn die cyanfarbene Verbindung das Zusammenkleben darstellt, sind die Flächen, durch welche die beiden Pfeile gehen, in der Zelle nicht parallel; d.h. ein senkrecht aus der Zelle gehender Pfeil (rot), tritt zwar wieder senkrecht ein (grün), aber sie sind nicht mehr parallel.

dt.gif (2.54 KiB) 9401 mal betrachtet

[tomS]

Doch, wenn du sie zusammengeklebt hast, sind sie parallel; dir spielt die Drehung oder Spiegelung einen Streich. Stell dir um die beiden Kanten einen schmalen Bereich vor, in dem du alle Punkte paarweise identifizierst. Dann erzeugst du auch Geraden ohne Knick

[positronium]

Ich bin mir ziemlich sicher, dass wir aneinander vorbei schreiben, aber ich weiss nicht so recht, wie ich es anders formulieren kann... Die Pfeile sind natürlich beim "Aus- und Eintreten" relativ zu ihre(n/r) Kante(n) identisch, aber die Koordinatensysteme sind zueinander gedreht. Bei der Graphik oben kann man den roten Pfeil als X-Achse definieren; die beiden Kanten, welche am hellblauen Bereich angrenzen, sind identisch; aus dem roten Pfeil wird der grüne, der noch immer der X-Dimension entspricht, aber durch den Übertritt ist X[down]grün[/down] nicht mehr identisch mit X[down]rot[/down]. Das könnte man ja zur Veranschaulichung auch so weit treiben, dass die beiden Kanten senkrecht zueinander stehen. Dann wird durch Übertritt, sagen wir, bei einem Quadrat mit 10x10, bei x=11/y=0 (nach rechts raus) z.B. x=0/y=9 (von oben rein).