flach = unendlich + unbegrenzt

[tomS]

Du kannst keine gedrehten Koordinatensysteme zulassen. Andersherum - durch das Verkleben musst du um den Bereich der Kante herum ein nicht-singuläres Koordinatensystem konstruieren, das genau das ausschließt, was du möchtest.

EDIT:

Aber vielleicht verstehe ich wirklich nicht, was du vorhast

Nochmal zur Erklärung: Stell dir in der Umgebung jeder Kante einen schmalen rechteckigen Streifen mit kariertem Papier vor; Zusammenkleben bedeutet, dass du die Kanten und innerhalb des Streifens alle Karos exakt zur Deckung bringst. Ob das funktioniert, ohne global eine Krümmung zu erzeugen, steht auf einem anderen Blatt, aber lokal = in der Umgebung der Kante funktioniert das immer, du kannst das Papier sozusagen lokal glätten und Krümmung wo anders hinschieben.

[positronium]

Also, nur um noch einmal sicher zu gehen: Das ist falsch? Die Wiese=X-Dimension ist nicht gedreht? - Kapiere ich nicht.

bild.jpg (11.68 KiB) 6761 mal betrachtet

[tomS]

ich kapier das Bild nicht

[positronium]

...du kannst das Papier sozusagen lokal glätten und Krümmung wo anders hinschieben.

Lokal, ja, durch Einführung eines jeweils lokalen Koordinatensystems als Näherung, wie das ja bei Mannigfaltigkeiten gemacht wird. Aber man kann doch nicht mehr mit grossen Zahlen rechnen, die Kanten mehrfach schneiden. Bei der Entfernungsbestimmung zu Anfang des Threads ging es ja gerade darum, also egal wieviele mal k*L. Hier sehe ich eben eine Mischung der verschiedenen Dimensionen bei flachem Raum.

[positronium]

ich kapier das Bild nicht

Die Bewegung (z.B. Addition eines Vektors) über die Kante führt zu einer gedrehten Bewegung zurück. Aber vielleicht hat sich das durch Dein voriges Posting erledigt.

[tomS]

k.png

Bastel dir mal einen Papierstreifen wie auf der Zeichnung und kleb ihn zu einer Röhre zusammen; auch wenn es für nicht-parallele Kanten schwierig vorzustellen sein mag ist das Konstruktionsprinzip identisch; die Überdeckungen sind markiert durch Pfeile und Buchstaben, d.h. die entsprechenden Karos werden identifiziert.

[positronium]

Das kann ich mir vorstellen. In dem Beispiel funktioniert das ja auch problemlos. Aus meiner Sichtweise bringt mich jetzt nur, was Du oben geschrieben hast, bzgl. lokalem "Glätten". Näherungsweise kann man also lokal ohne Krümmung rechnen. Würde man aber ein globales Koordinatensystem (wie in Deinem einführenden Beispiel mit dem Rechteck) bei nicht-parallelen Kanten einführen wollen, müsste man mit Krümmung arbeiten. Ich glaube, so sind wird beisammen.

[tomS]

k.png

Du musst nur zum Zusammenkleben eine Parallelität der Kanten bzw. Streifen an den Kanten herstellen; dabei entsteht ggf. eine Krümmung (schattiert) aber in einem anderen Bereich der Mannigfaltigkeit. Der graue Bereich ist flach. Ob du nach dem Zusammenkleben die Krümmung global eliminieren kannst ist nicht a priori klar

[positronium]

Ja, Danke. Ich hatte das in zu engen Bezug zu der Entfernungsberechnung von vorne im Thread gesetzt.

Ob du nach dem Zusammenkleben die Krümmung global eliminieren kannst ist nicht a priori klar

Genau das ist es. Die Einfachheit der Norm im Fall des Rechtecks ist dann eben nicht mehr gegeben.

[tomS]

Nein, das klappt dann i.A. nicht mehr

[tomS]

Nach etwas googeln und rumfragen bin auch folgende Aussage gestoßen:

Bei vollständigen, einfach zusammenhängenden riemannschen Mannigfaltigkeiten mit konstanter Schnittkrümmung ist die Klassifikation verhältnismäßig einfach, denn es gibt nur drei Fälle zu betrachten ... Ist die Schnittkrümmung konstant null so nennt man die Mannigfaltigkeit flach und sie ist isometrisch zum euklidischen Raum ...

Betrachtet man nun nicht mehr nur die einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten, sondern alle vollständigen und zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten M mit konstanter Schnittkrümmung, so ist deren Klassifikation schon komplizierter. Die Fundamentalgruppe dieser Mannigfaltigkeiten verschwindet nicht mehr. Es lässt sich nun zeigen, dass solche Mannigfaltigkeiten isometrisch zu N/G sind. Wobei für einen der drei Räume aus dem obigen Abschnitt steht und G eine diskrete Untergruppe der Isometriegruppe I(N) von N ist, welche frei und eigentlich diskontinuierlich auf N operiert. Diese Gruppe G ist isomorph zur Fundamentalgruppe von M.

http://de.wikipedia.org/wiki/Schnittkr% ... C3.BCmmung

D.h. bis auf die Problematik der Fundamentalgruppe sind wir fertig; alle flachen Riemannschen Mannigfakltigkeiten könenn direkt aus dem euklidschen Raum gewonnen werden.

[tomS]

Vielleicht noch ein paar Sätze zur Erklärung: die Fundamentalgruppe einer Mannigfaltigkeit stellt eine Klassifizierung für geschlossene Kurven auf der Mannigfaltigkeit dar, die nicht zu einem Punkt zusammengezogen werden können, sich also um die Mannigfaltigkeit winden. Im Falle des 2-Torus gibt es zwei Windungsrichtungen, jeweils mit Windungszahl m (m ist ganze Zahl aus Z), demnach ist die Fundamentalgruppe gerade Z²; jeder geschlossenen Kurve kann man zwei Windungszahlen (m,n) zuordnen.

Die Isometriegruppe ist die kontinuierliche Gruppe, die die Abstände beliebiger Punkte auf der Mannigfaltigkeit konstant lässt. Im Falle der Ebene ist das die Gruppe der Bewegungen auf der Ebene, d.h. Rotationen und Translationen. Eine diskrete Untergruppe G wäre also die Translation generiert durch zwei verschiedene nicht-kollineare Vektoren, die die Länge und Richtung der Translation definieren. Dier entspricht genau den Gittervektoren.

N/G bedeutet nun, das Punkte "modulo G" identifiziert werden; ich meiner Graphik sind dies gerade die um die Gittervektoren versetzten Punkte. D.h. G definiert das Gitter auf der Ebenen und damit den Torus. G entspricht nun wieder der Fundamentalgruppe, wobei die beiden Zahlen (m,n) nun nicht als Windungszahlen interpretiert werden, sondern als Anzahl der ganzzahligen Translationen entlang der jeweiligen Gittervektoren.

Anmerkung: das funktioniert nach dem obigen Satz nicht für Drehungen, denn diese operieren nicht frei, es gibt immer einen Fixpunkt (eine Fixgerade, ...) um den (die ...) rotiert wird.

[positronium]

Danke für die weiteren Ausführungen!
Das Zusammenziehen hört sich fast schon niedlich an, erweist sich aber mitunter als sehr kompliziert. - Ich versuchte einmal ansatzweise (hab's aufgegeben), die Topologie von 3D-Modellen zu ermitteln, so dass der die Topologie definierende Graph im Modell liegt. Im Prinzip ist so etwas ja nichts anderes als eine Mannigfaltigkeit, deren gekrümmte Oberfläche schon durch flache Elemente angenähert ist...