Das Problem liegt eben darin, dass die Widerspruchsfreiheit der verwendeten Axiome sich nie!!! beweisen läßt. Es läßt sich auch nie beweisen, dass Zirkel nie widersprüchlich sind. Das liegt an der Natur des Beweises. Alle Beweise der Mathematik sind letztlich informal & pragmatisch. Man beweist zB die Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit der AL mit einem Beweissystem AL', welches man einfach selbst als vollständig und widerspruchsfrei ansieht ohne es - und das ist der Punkt - wiederum zu prüfen. Daher ist auch ein Beweis in der Mathematik nie etwas endgültiges, d.h. es kann durchaus sein, dass eine math. Aussage a wahr ist und bewiesen wurde, aber wir werden nie mit letzter Sicherheit wissen, dass das so ist und damit werden wir nie wissen, ob a nicht doch falsch und unbewiesen ist.seeker hat geschrieben:@rick: Genau!
@Pippen: Der Gödelsche Vollständigkeitssatz sagt was anderes.
Ich denke da solltest du vielleicht anfangen.
Grundsätzlich muss man zwei Fragen unterscheiden:
1. Sind die verwendeten Axiome wahr?
2. Widersprechen sich die verwendeten Axiome?
Bei 1. ist ja unbetritten, dass die Wahrheit der Axiome letztlich nicht bewiesen werden kann. Das reicht doch schon aus um die gesamte Mathematik zu relativieren.
Dass nun bei 2. ,bei den einen Systemen die Antwort "Nein" (unter der Voraussetzung der Wahrheit von 1.!) bewiesen werden kann und bei den anderen nicht, kommt doch nur noch erschwerend hinzu, ändert aber nichts am eh unlösbaren Problem von 1.
Grüße
seeker
Man muss nur Gödel's Unvollständigkeitssatz auf sich selbst anwenden, um das auch plastisch erkennen zu können.