Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathematik

[Pippen]

@rick: Genau!

@Pippen: Der Gödelsche Vollständigkeitssatz sagt was anderes.
Ich denke da solltest du vielleicht anfangen.

Grundsätzlich muss man zwei Fragen unterscheiden:

1. Sind die verwendeten Axiome wahr?
2. Widersprechen sich die verwendeten Axiome?

Bei 1. ist ja unbetritten, dass die Wahrheit der Axiome letztlich nicht bewiesen werden kann. Das reicht doch schon aus um die gesamte Mathematik zu relativieren.
Dass nun bei 2. ,bei den einen Systemen die Antwort "Nein" (unter der Voraussetzung der Wahrheit von 1.!) bewiesen werden kann und bei den anderen nicht, kommt doch nur noch erschwerend hinzu, ändert aber nichts am eh unlösbaren Problem von 1.

Grüße
seeker

Das Problem liegt eben darin, dass die Widerspruchsfreiheit der verwendeten Axiome sich nie!!! beweisen läßt. Es läßt sich auch nie beweisen, dass Zirkel nie widersprüchlich sind. Das liegt an der Natur des Beweises. Alle Beweise der Mathematik sind letztlich informal & pragmatisch. Man beweist zB die Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit der AL mit einem Beweissystem AL', welches man einfach selbst als vollständig und widerspruchsfrei ansieht ohne es - und das ist der Punkt - wiederum zu prüfen. Daher ist auch ein Beweis in der Mathematik nie etwas endgültiges, d.h. es kann durchaus sein, dass eine math. Aussage a wahr ist und bewiesen wurde, aber wir werden nie mit letzter Sicherheit wissen, dass das so ist und damit werden wir nie wissen, ob a nicht doch falsch und unbewiesen ist.

Man muss nur Gödel's Unvollständigkeitssatz auf sich selbst anwenden, um das auch plastisch erkennen zu können.

[seeker]

Ja aber wir haben doch auch mathematische Systeme wo der Gödelsche Unvollständigkeitssatz gar nicht gültig ist, wohl aber der Vollständigkeitssatz.
Das heißt dann doch, dass ich in so einem System S eben gerade kein System S' brauche um die Widerspruchsfreiheit der Axiome von S nachzuweisen.
Ich kann rein innerhalb von S alles nachweisen: Die Folgerungen ergeben sich exakt und vollständig aus den Axiomen und umgekehrt. Ich kann in einem solchen System keine Aussage a la "Dieser Satz ist falsch!" konstruieren.

Wenn du jetzt argumentieren würdest, dass wir in einem solchen System S trotzdem nicht die Wahrheit der Axiome(S) beweisen können und dass man dafür ein mächtigeres System S' braucht und dann ein noch mächtigeres System S'' (für die Axiome(S')) und so zu einem Zirkel kommt, dann wäre ich bei dir.

Das tust du aber nicht...

Grüße
seeker

[Pippen]

Ja aber wir haben doch auch mathematische Systeme wo der Gödelsche Unvollständigkeitssatz gar nicht gültig ist, wohl aber der Vollständigkeitssatz.
Das heißt dann doch, dass ich in so einem System S eben gerade kein System S' brauche um die Widerspruchsfreiheit der Axiome von S nachzuweisen.
Ich kann rein innerhalb von S alles nachweisen: Die Folgerungen ergeben sich exakt und vollständig aus den Axiomen und umgekehrt. Ich kann in einem solchen System keine Aussage a la "Dieser Satz ist falsch!" konstruieren.

Wenn du jetzt argumentieren würdest, dass wir in einem solchen System S trotzdem nicht die Wahrheit der Axiome(S) beweisen können und dass man dafür ein mächtigeres System S' braucht und dann ein noch mächtigeres System S'' (für die Axiome(S')) und so zu einem Zirkel kommt, dann wäre ich bei dir.

Das tust du aber nicht...

Grüße
seeker

Doch eigentlch schon, da sind wir beieinander. Auch beim Vollständigkeitssatz gilt: Wenn ich beweisen will, dass S vollständig ist, dann brauche ich dafür S', S'', S''' usw.; auch hier entsteht der Regress. Ich beweise ja auch nicht die Axiome - das sind einfach Festlegungen - sondern ich beweise, dass alle korrekten Folgerungen aus den Axiomen entscheidbar sind (Vollständigkeit) und die sich nicht widersprechen (Widerspruchsfreiheit).

Was mich einfach nur umtreibt ist, dass das Münchhausen-Trilemma bzw. Agrippa-Trilemma nicht nur auf die ganze Mathematik anwendbar ist, sondern geradezu den Paradefall eine formal exakten Beweises bildet, der leider aber wohl unerreichbar scheint (ganz ausgeschlossen ist es nicht, denn auch das Trilemma ist selbst nicht beweisbar!).

[seeker]

Ich meinte in meinem letzten Beitrag natürlich "infiniter Regress" und nicht "Zirkel".

Auch beim Vollständigkeitssatz gilt: Wenn ich beweisen will, dass S vollständig ist, dann brauche ich dafür S', S'', S''' usw.; auch hier entsteht der Regress.

Warum denn?
(bei Systemen der Prädikatenlogik erster Stufe)

Der Gödelsche Vollständigkeitssatz (benannt nach Kurt Gödel) ist der Hauptsatz der mathematischen Logik. Er zeigt für das Hilbert-Kalkül (ein formales System der Prädikatenlogik erster Stufe) die Korrektheit und Vollständigkeit: Jeder Satz, der semantisch aus einer Formelmenge folgt, lässt sich mit den Schlussregeln des Systems aus der Formelmenge herleiten, und umgekehrt. Für die Logik erster Stufe sind also syntaktische und semantische Folgerung gleichbedeutend.

http://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del ... gkeitssatz

Ich meine, ich kann doch irgendein solches System nehmen und INNERHALB dieses einen speziellen Systems zeigen, dass es vollständig und korrekt ist.
Dazu brauche ich vom Vollständigkeitssatz noch gar nichts zu wissen.
D.h. ich brauche ihn doch gar nicht von AUßERHALB des Systems "aufstülpen".

Dass der Vollständigkeitssatz auch im allgemeinen Fall gültig ist, ist doch etwas anderes. Dazu komme ich doch erst, wenn ich allgemein alle Systeme der Prädikatenlogik erster Stufe betrachte, was ich im speziellen Fall eben noch gar nicht getan haben muss.

...und ich glaube hier machst du einen Fehler, indem du das Spezielle und das Allgemeine durcheinanderbringst.

Grüße
seeker

[Pippen]

Ich meine, ich kann doch irgendein solches System nehmen und INNERHALB dieses einen speziellen Systems zeigen, dass es vollständig und korrekt ist.

Das wäre doch aber wieder zirkulär, oder? Denn du setzt schon voraus, was du zeigen willst: dass das System vollständig und korrekt ist. Du kannst eben irgendein x in einem System nicht mit diesem System beweisen, sondern du brauchst ein anderes System, ein Metasystem. Sonst kann man beweisen, dass "alle Griechen sind Götter" aus "1+1=2" folgt, weil "alle griechen sind götter" aus "1+1=2" folgt. Da könnte man letztlich den größten Mist beweisen oder könnte zB Rechenfehler nie aufspüren bzw. würde sie mitziehen.

[seeker]

Das wäre doch aber wieder zirkulär, oder? Denn du setzt schon voraus, was du zeigen willst: dass das System vollständig und korrekt ist.

Nein, eben nicht. Ich muss am Anfang gar nichts wissen. Ich nehme einfach nur an, dass die verwendeten Regeln und Axiome wahr seien. Ich nehme nicht an, dass sie auch konsistent sind, denn gerade das will ich ja herausfinden.
Ich untersuche also einfach das System S auf Widersprüche, nur mit den Mitteln die das System S auch zur Verfügung stellt.
So wie ich es verstehe, kann man allein dadurch zeigen (bei Systemen 1. Stufe), dass das untersuchte System vollständig und korrekt ist - NUR IN SEINEN EIGENEN GRENZEN natürlich.
D.h.: Ich kann natürlich keine Aussagen, die in S beweisen wurden, so mir nichts dir nichts auf andere (bes. mächtigere) Systeme übertragen.
ALLE Aussagen sind grundsätzlich und immer nur im Kontext des Systems gültig, in dem sie auch generiert wurden.

Deshalb ist das hier nicht richtig:

Sonst kann man beweisen, dass "alle Griechen sind Götter" aus "1+1=2" folgt, weil "alle griechen sind götter" aus "1+1=2" folgt.

... denn mein System enthält z.B. gar keine Wörter, insbesondere keine Begriffe wie "Griechen" und "Götter".

Grüße
seeker

[Pippen]

Ich nehme nicht an, dass sie auch konsistent sind, denn gerade das will ich ja herausfinden.
Ich untersuche also einfach das System S auf Widersprüche, nur mit den Mitteln die das System S auch zur Verfügung stellt.

Wieso ist das nicht zirkulär? Gerade wenn S widersprüchlich wäre, würdest du ja herausbekommen können, dass S nicht widersprüchlich ist (ex falso quodlibet). Das ist gerade das Problem: Es reicht nicht mit S herauszubekommen, dass S widerspruchsfrei ist (das tust du auch wenn S widersprüchlich ist), sondern du kannst die Widerspruchsfreiheit nur indirekt klären.

Stell dir zB S aus einer einzigen Aussage vor: p. Du kannst nur diese Aussage p in S treffen. Dieses System wäre widersprüchlich und vollständig, weil du für p zB "Ich lüge" einsetzen könntest. Das merkst du aber nicht in S, sondern erst, wenn du S in einem anderen System - hier der Sprache - anwendest.
Stell dir zB S aus einer einzigen Aussage vor: "." Du kannst nur die Aussage "." in S treffen. Diese System scheint sogar vollständig und widerspruchsfrei, das würde es aber auch und gerade scheinen, wenn S widersprüchlich wäre. Obwohl also "eigentlich" kein Zweifel daran besteht, dass dieses supersimple System vollständig und widerspruchsfrei ist, reicht das nicht.

[seeker]

Verzwickte Sache...

Nach deiner Argumentation könnte man auch mit S' nicht herausfinden ob S widerspruchsfrei ist, denn das würde sofort zu einem infiniten Regress (S'', S''', ...) führen.
Man könnte eine Widerspruchsfreiheit also gar nicht nachweisen.

Gerade wenn S widersprüchlich wäre, würdest du ja herausbekommen können, dass S nicht widersprüchlich ist (ex falso quodlibet). Das ist gerade das Problem: Es reicht nicht mit S herauszubekommen, dass S widerspruchsfrei ist (das tust du auch wenn S widersprüchlich ist), sondern du kannst die Widerspruchsfreiheit nur indirekt klären.

Da bin ich nicht sicher.
Wir haben zwei mögliche Fälle:

a) S ist widersprüchlich
b) S ist widerspruchsfrei

Wenn a), dann kann ich widersprüchliche Ableitungen konstruieren in der Art: "A -> B" UND "A -> nicht B".
Wenn b), dann kann ich das gerade nicht tun.

Nun könnte ich das empirisch untersuchen indem ich rumprobiere. Dann gäbe es aber (und da hast du Recht) keinen echten Unterschied mehr zu den NW.
Und (da hast du auch Recht): Genau das tut man in weiten Teilen der heutigen Mathematik. Man sagt einfach: "Bis jetzt hat weltweit noch keiner einen Widerspruch gefunden. Es funktioniert ja!"

Man braucht also einen allgemeinen Beweis IN S, um feststellen zu können, ob für S a) oder b) gilt. Man muss nachweisen, dass in S keine widersprüchlichen Aussagenpaare formuliert werden können.
Wenn ein solcher Beweis existiert, kann ich a) von b) IN S klar unterscheiden... und ich denke, genau das leistet der Vollständigkeitssatz für Systeme der 1. Stufe.

Stell dir zB S aus einer einzigen Aussage vor: p. Du kannst nur diese Aussage p in S treffen. Dieses System wäre widersprüchlich und vollständig, weil du für p zB "Ich lüge" einsetzen könntest. Das merkst du aber nicht in S, sondern erst, wenn du S in einem anderen System - hier der Sprache - anwendest.

Wenn ich aber durch zusätzliche, geignete Axiome die Auswahl einschränke, was in p eingestzt werden darf, dann löse ich doch das Problem?
Ich muss doch nur so einschränken, dass keine widerprüchlichen Aussagenpaare eingesetzt werden können?
Wie gesagt: Aussagen, die IN S generiert wurden, gelten grundsätzlich auch nur IN S, nicht auch außerhalb von S.

Stell dir zB S aus einer einzigen Aussage vor: "." Du kannst nur die Aussage "." in S treffen. Diese System scheint sogar vollständig und widerspruchsfrei, das würde es aber auch und gerade scheinen, wenn S widersprüchlich wäre. Obwohl also "eigentlich" kein Zweifel daran besteht, dass dieses supersimple System vollständig und widerspruchsfrei ist, reicht das nicht.

Nein, das sehe ich nicht ein. Wenn S widersprüchlich ist, dann muss ich mindestens zwei Aussagen treffen können, nämlich "." und "nicht ." (denn genau das bedeutet ja "widersprüchlich").
Wenn ich das ausschließen kann (und das kann ich hier), dann ist S widerspruchsfrei.


Grüße
seeker

[Pippen]

Stell dir zB S aus einer einzigen Aussage vor: "." Du kannst nur die Aussage "." in S treffen. Diese System scheint sogar vollständig und widerspruchsfrei, das würde es aber auch und gerade scheinen, wenn S widersprüchlich wäre. Obwohl also "eigentlich" kein Zweifel daran besteht, dass dieses supersimple System vollständig und widerspruchsfrei ist, reicht das nicht.

Nein, das sehe ich nicht ein. Wenn S widersprüchlich ist, dann muss ich mindestens zwei Aussagen treffen können, nämlich "." und "nicht ." (denn genau das bedeutet ja "widersprüchlich").
Wenn ich das ausschließen kann (und das kann ich hier), dann ist S widerspruchsfrei.

Ausschließen kannst du das aber nicht mit S, sondern nur in dem du auf S draufguckst und feststellst: Da ist ja überhaupt nur ein Zeichen, ein Punkt, ableitbar. Diese Feststellung passiert aber schon in S', hier deiner natürlichen Sprache und Logik, die definieren, was und wann etwas widersprüchlich ist, was ein Punkt ist, nämlich das Zeichen *.*, was ne Ableitung ist usw. Wenn dieses S' widersprüchlich ist - und das ist nun ganz und gar nicht mehr klar - dann wäre die Aussage "S ist vollständig und widerspruchsfrei" genauso legitim und korrekt wie "S ist unvollständig und widersprüchlich" und damit wäre S tatsächlich unvollständig und widersprüchlich.

Es geht auch noch anders: Wenn gilt: S ->".", aber es gibt keinen Punkt auf der Tastatur und auch sonst nicht als Zeichen, dann wäre S unanwendbar und metatheoretisch (in S') schlicht falsch, stimmts? Woher wissen wir (ganz genau bzw. wie ein Com.puter), dass da ein Punkt als Zeichen auf unserer Tastatur vermerkt ist? Das müsste uns jemand sagen und er müßte uns sagen, warum wiederum das Gesagte gilt usw usf. [...] Irgendwann enden wir bei folgendem Problem: Existieren wir, S und der Punkt eigentlich, denn wenn nicht, dann kann S nicht korrekt sein. Kein Mathematiker würde die Aussage "1+1=2" als wahr annehmen, wenn als Bedingung genannt würde, dass es noch nie einen Menschen auf der Erde gab, denn die Gleichung setzt den Menschen und seine Denkwelt voraus; hier wird dann die Mathematik mit purer Erkenntnistheorie und Philosophie konfrontiert und daraus gibt es nur einen Ausweg: pure Willkür und irgendwo Halt! sagen...und wir haben damit ja recht gut gelebt, so scheint es bis hierher^^.

Rein formal können wir aber damit kein System S als "irgendwas" nachweisen. Selbst der beste Computer der Welt bräuchte bestimmte Annahmen, die als wahr, unbeweisbar und unhintergehbar gelten müssten und genau wegen diesem "unhintergehbar" wäre nie klar, ob die Falschheit des Systems vielleicht gerade in dem Bereich "dahinter" liegt, die wir dadurch nie erkennen könnten (sondern die wir quasi q priori mitschleppen).

[seeker]

Wenn du dich auf diese Argumentation zurückziehst bin ich bei dir.

Wir landen damit letztlich wieder bei den unbeweisbaren Axiomen...

... und das erste unausgesprochene Axiom der Logik lautet: "Die Logik ist logisch!"

Woher wissen wir das eigentlich? Woher wissen wir, dass wir logisch denken, wenn wir es (ohne nachweislichen Fehler) tun?
Woher wissen wir, dass das, was uns logisch ERSCHEINT auch logisch IST?

Man kann sich mit Fug und Recht auf den Standpunkt stellen, dass das, was uns logisch erscheint, unsere Fähigkeit zum logischen Denken, etwas ist, dass der Mensch durch empirische Erkenntnis der Welt und deren anschließende Abstraktion gewinnt.
D.h.: Aus dieser Sicht heraus ist "Logik" bzw. die "Fähigkeit zum logischen Denken" nichts weiter als das Ergebnis abstrahierter und geordneter Erfahrungswerte des Menschen. Damit ist sie aber weder von den (organisch vorgegebenen) Denkprozessen, also von der Art und Weise des menschlichen Denkens, unabhängig noch von der Art unserer Sinneswahrnehmungen und somit relativ oder möglicherweise sogar falsch.
Hier wird die Ansicht vertreten, dass selbst die Philosopie und die Mathematik bei genauer Betrachtung auf einem empirischen Fundament stehen, also letztlich auch von direkter Beobachtung und sinnlicher Erfahrung abhängig sind.
(Das Problem bei Beobachtung und sinnlicher Erfahrung ist, dass man damit nie zu einer Aussage kommen kann, die unzweifelhaft als "wahr" gelten kann. Deshalb erheben z.B. die Naturwissenschaften nie einen absoluten Wahrheitsanspruch.)

Es gibt auch den gegensätzlichen Standpunkt, der besagt, dass "Logik" etwas ist, das unabhängig vom Menschen existiert, also absolut ist.
Hier wird behauptet, dass Erkenntnisse auch ohne einen Rückgriff auf direkte Beobachtung und sinnliche Erfahrung gewonnen werden können.

Beide Standpunkte sind letztlich unbeweisbar, was wiederum ausreicht um die gesamte Mathematik zu relativieren; in dem Sinne, dass jeglicher absolute Gültigkeitsanspruch auch dort in Frage gestellt werden kann.


Grüße
seeker

[PeterM]

Wenn du dich auf diese Argumentation zurückziehst bin ich bei dir.


Woher wissen wir das eigentlich? Woher wissen wir, dass wir logisch denken, wenn wir es (ohne nachweislichen Fehler) tun?
Woher wissen wir, dass das, was uns logisch ERSCHEINT auch logisch IST?

Sprache teilt, trennt und abstrahiert. Sprache klassifiziert die abstrahierte Form und konstruiert in der Folge. Insofern ist Sprache weit von der Wirklichkeit oder Wahrheit entfernt. Die so gewonnen Erkenntnisse sind gedachte Formen der Wirklichkeit. Es gibt weder Subjekt noch Objekt, beides ist nur die erkannte Form des Verhältnisses zueinander.  Jegliches Wissen ist damit abstrakt.

Sprache ist übermittelte Sinneserfahrung aus der Wahrnehmung. Nach Klassifizierung der Wahrnehmung folgt Konstruktion und Interpretation. Unsere Wirklichkeit wird geformt durch Verknüpfungen mit den abgeleiteten Klassifizierungen. Die so modellierte Welt hat maximal einen Anspruch auf Funktion, nicht aber auf Wahrheit oder Wirklichkeit. Beweisfähig in dem Sinne, sind demnach nur die Funktionen. Wahrheit oder Wirklichkeit lässt sich nicht durch Sprache beweisen, weil Wahrheit oder Wirklichkeit auch nur eine Umschreibung unserer Vorstellung ist.

Die Mathematik als solche hat als Grundlage die Sprache. Was soll an der Mathematik anders sein, als an der Sprache? Sprache ist angewandtes Denken. Mathematik ist “sprachlich” bereinigtes Denken, aber eben noch Denken und damit aber immer noch Sprache. Sprache, egal welche, hilft lediglich zwischen den Dingen zu unterscheiden.

Selbst die einfachste Messung stützt sich auf theoretische Voraussetzungen, Prinzipien, Hypothesen und andere Postulate des Denkens. Alles Messen ist bloße Abstraktion und alle Ergebnisse ein Produkt des Denkens.

Die Logik funktioniert auf der Basis, dass sie einen erfundenen Anfang benötigt. Logik ist in der Folge ein Ordnungssystem. Ordnungssysteme wiederum beruhen auf Funktionen, die uns eine gewisse Realität oder Weltanschauung präsentieren soll. Diese Realität ist aber nur ein Ausschnitt des „Ganzen“ und hat damit keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Logik ist damit überall einsetzbar, wo es Systeme gibt.

Der erfundene Anfang birgt ein Problem in sich. Wie will man etwas Erfundenes beweisen, wo es doch nur erfunden ist. Was man maximal beweisen kann ist die Funktion, die sich innerhalb des logisch erfundenen „Weltbildes“ oder Systems versteckt.

Jeder, der spricht, konstruiert seine eigene Wirklichkeit. Unser Wahrnehmungsprozess ist ein Vorgang der Begriffe wie Masse, Kraft, Äther, Atom in theoretische Konstruktionen umwandelt, die das Wahrgenommene dann messbar macht.

Die physiklasche Bezeichnung für Bewegung ist Ortsveränderung mit der Zeit. Das Problem dabei ist, dass es keine dauerhaften Orte gibt. Die Orte verändern sich in sich auch ohne Zeit. Wir benötigen aber eine messbare Ortsveränderung mit der Zeit um dem Universum unsere Grundordnung aufzuzwingen und glauben damit, dieses Universum verstehen zu können. Der Trugschluss ist einfach erkennbar, indem man fragt, was Bewegung denn jetzt wirklich ist. Beantworten kann es keiner, weil die vermeintliche “Substanz” nicht erkennbar ist, aus dem das Universum angeblich gemacht ist. Bewegung ist nur ein Wirkung, manchmal sogar eine greifbare Wirkung. Greifbar dann, wenn die Bewegung sich unserer Wahrnehmung entzieht. Wir sehen zwar den Stein, aber nicht die Bewegung in einem Stein, die ja wohl zweifellos vorhanden ist.

In der Weiterführung werden Inertialsysteme beschrieben, in denen sich der Bebachter als ruhend betrachten kann, obwohl er selbst und auch sein Intertialsystem in Bewegung ist. Hier wird doch schon deutlich wie sehr die Physik an die Gefühlswelt und an die Sinneswelt des Menschen gekoppelt ist. Eine objektive Darstellung der Zusammenhänge ist somit nie möglich.


Gruß

Peter

[Skeltek]

Gödels Unvollständigkeitssatz stellt keinen Anspruch darauf, selbst vollständig und widerspruchsfrei zu sein.
Er behauptet von sich selbst entweder nur widerspruchsfrei oder unvollständig.
Was soviel bedeutet, daß er innerhalb der eigenen Gültigkeitsebene selbst widerspruchsfrei und logisch ist(also in sich wahr(Zirkelschluss)). Daß er von einer übergeordneten Ebene auch als unvollständig bewertet werden kann schließt er gar nicht aus.

[Pippen]

Gödels Unvollständigkeitssatz stellt keinen Anspruch darauf, selbst vollständig und widerspruchsfrei zu sein.
Er behauptet von sich selbst entweder nur widerspruchsfrei oder unvollständig.
Was soviel bedeutet, daß er innerhalb der eigenen Gültigkeitsebene selbst widerspruchsfrei und logisch ist(also in sich wahr(Zirkelschluss)). Daß er von einer übergeordneten Ebene auch als unvollständig bewertet werden kann schließt er gar nicht aus.

Dann verstehe ich nicht, warum er als "Beweis" und nicht als "Hypothese/Theorie" firmiert? Warum benutzt dann die Mathematik nicht dieselben Begrifflichkeiten wie Naturwissenschaften, sondern tut so als seien sie was besseres? Ich zB dachte dadurch eine ganze Welte, es Gödel's Theoreme wären "in Stein gemeisselt".

[Fuzzlix]

Dann verstehe ich nicht, warum er als "Beweis" und nicht als "Hypothese/Theorie" firmiert? Warum benutzt dann die Mathematik nicht dieselben Begrifflichkeiten wie Naturwissenschaften, sondern tut so als seien sie was besseres? Ich zB dachte dadurch eine ganze Welte, es Gödel's Theoreme wären "in Stein gemeisselt".

Weil in jedem Aussagensystem an dessen Rändern Aussagen übrig bleiben müssen, welche innerhalb des Aussagensystems weder beweisbar noch widerlegbar sind.
Das bedeutet nicht dass diese Aussagen falsch wären. Sie sind nur innerhalb des Aussagensystems nicht beweisbar.
Diesen Umstand hat Gödel nachgewiesen. Somit halte ich sie schon für Gesetze.

Fuzzlix.

[tomS]

Der Witz ist, dass aus Gödels Theorem entweder die Existenz von unbeweisbaren Sätzen oder die Widersprüchlichkeit eines Systems folgt, dass aber Gödels Satz selbst beweisbar (d.h. in einer endlichen Form von formalen Schritten konstruierbar) ist. Gödels Satz selbst ist also kein Beispiel für einen unbeweisbaren Satz. Nun kann Gödels Satz entweder wahr oder falsch sein. Ist er wahr so ist das System unvollständig (denn das behauptete der Satz) , ist er falsch so ist das System widersprüchlich, denn wenn eine falsche Aussage beweisbar ist, dann kann das System nicht konsistent sein.

[seeker]

Dann verstehe ich nicht, warum er als "Beweis" und nicht als "Hypothese/Theorie" firmiert? Warum benutzt dann die Mathematik nicht dieselben Begrifflichkeiten wie Naturwissenschaften, sondern tut so als seien sie was besseres? Ich zB dachte dadurch eine ganze Welte, es Gödel's Theoreme wären "in Stein gemeisselt".

Vielleicht kann man letztlich dazu sagen:

Weil WIR der Logik mehr VERTRAUEN als der Beobachtung und weil die exakten NW gewissermaßen auf dem Fundament der Mathematik aufgebaut wurden.

Im Grunde geht es auch hier nicht darum, was "sicherer wahr" IST, sondern darum, was UNS mit einer höheren Plausibilität ERSCHEINT.
(Deshalb, weil man nicht beweisen kann, dass die Logik auch logisch IST.)

Etwas mit der (für uns) scheinbar höchsten erreichbaren Plausibilität nennt man dann eben in der Mathematik "Beweis".
... und man kann einsehen, dass die NW diesen Grad der Plausibilität eben nicht zu erreichen vermögen.


Ich weiß weder dass ich denke, noch dass ich bin, noch dass sich etwas tut.
Ich weiß nur, dass ich nichts weiß.
Auch das weiß ich nicht.
----


@Peter:
In vielen Punkten stimme ich dir zu.
Hast du dir schon mal das Buch "Die Einheit der Natur" von Carl Friedrich von Weizsäcker angeschaut?

Das Buch ist in einer etwas altertümlichen Sprache geschrieben, nicht immer ganz leicht zu lesen und will z.T. durchgearbeitet werden - aber evtl. könnte es für dich interessant sein:
Es werden auch deine Themen behandelt.
Weiteres Stichwort zu Weizsäcker: "Weizsäcker, Ur-Theorie" (das muss ich mir aber auch erst noch anschauen)

Grüße
seeker