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Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathematik

Mathematische Fragestellungen
Pippen
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Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathematik

Beitrag von Pippen » 13. Okt 2012, 18:23

Ich werde die Behauptung, dass gewisse formale Systeme als vollständig und widerspruchsfrei (vw) bewiesen werden können (zB Aussagenlogik), ad absurdum führen und daher widerlegen. Der Beweis ist kurz und allgemeinverständlich gehalten:

1. Sei S ein beliebiges formales System.
2. Um zu beweisen, dass S(vw) braucht man ein weiteres System S' (mit dem das bewiesen werden kann, sonst Zirkel).
3. Für S' muss seinerseits gelten: S'(vw).
4. Um zu zeigen, dass S'(vw) braucht man ein weiteres System S''.
5. Diesen Vorgang kann man unendlich lange weiterführen, d.h. es gibt kein System Sx, welches (vw) ist und daher als deduktiver Ausgangspunkt zum Beweis für S dienen kann.
6. Ergo: Kein S kann als vw bewiesen werden.
7. Da dieser Beweisvorgang selbst wieder auf einem nicht als vw-gesicherten System beruhen muss, kann er zwar 6. nicht beweisen, er kann aber jegliche Beweise für die Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit irgendeines formalen Systems dergestalt entkräften, dass wenn er korrekt wäre (was man ja ebensowenig ausschließen kann), es keine beweisbaren vw-Systeme gäbe und allein diese Möglichkeit reicht zur Widerlegung.

MaW: Die Vollstänsdigkeit und Widerspruchsfreiheit eines Systems kann nie formal perfekt bewiesen werden, sondern höchstens, in dem man ganz pragmatisch irgendein System für sakrosankt erklärt und von dort aus deduziert. Damit habe ich mehr gezeigt als Gödel...und das wundert mich, denn es soll ja durchaus gewisse formale Systeme geben, die vw sind und das geht nach o.g. Beweis nicht.

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von tomS » 13. Okt 2012, 20:21

Irgendwo ist da ein Haken.

Z.B. kann man die Widerspruchsfreiheit der boolschen Logik sowie (soweit ich weiß) der Prädikatenlogik streng beweisen. Nur bei "genügend mächtigen" Systemen wie z.B. den natürlichen Zahlen (mit den Peano-Axiomen) geht das nicht mehr
Gruß
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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von Pippen » 14. Okt 2012, 02:08

tomS hat geschrieben:Irgendwo ist da ein Haken.

Z.B. kann man die Widerspruchsfreiheit der boolschen Logik sowie (soweit ich weiß) der Prädikatenlogik streng beweisen. Nur bei "genügend mächtigen" Systemen wie z.B. den natürlichen Zahlen (mit den Peano-Axiomen) geht das nicht mehr
Meines Wissen beweist man zB die boolsche Logik durch ein höheres, aber jedenfalls von der boolschen Logik formal verschiedenes, Beweissystem, nennen wir es X. Das gilt dann als Beweis der boolschen Logik, einfach weil X keiner weiter bestreitet, nur ist das kein formaler, sondern ein pragmatischer Beweis, weil man einfach "so tut" als ob X seinerseits vollständig und widerspruchsfrei ist. Das kann man eben aber formal gesehen nicht einfach so annehmen. X muss selbst korrekt sein, denn natürlich könnte man mit einem zB widersprüchlichen X alles beweisen, auch dass die eigentlich widersprüchliche boolsche Logik widerspruchsfrei sei. Kann man X dann als korrekt nachweisen stellt sich natürlich sofort die Frage nach dem Beweissystem von X seinerseits usw. usf.

Es scheint daher formal gar nichts beweisbar zu sein und damit bleiben formal die schlimmsten Vorstellungen (alles widersprüchlich) möglich. Alle math. Beweise scheinen daher pragmatisch zu sein: man bricht irgendwo ab und "vertraut auf Gott". Dann aber ist Mathematik nichts besonderes, sowas machen alle und heraus kommen immer nur fallible Erkenntnisse.

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von seeker » 14. Okt 2012, 13:15

@pippen:
Ich denke deine Beweisführung ist nichts anderes als das Münchhausen-Trilemma auf die Mathematik angewendet.
Somit hast du aus meiner Sicht grundsätzlich Recht.

Schau mal hier rein:
http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%BCnchhausen-Trilemma

...und schau dir die Tropen des Agrippa an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Agrippa_%28Philosoph%29

Diese Argumentation ist schon 2000 Jahre alt und immer noch aktuell...

Das sind m. E. die grunsätzlichen Unsicherheiten, mit denen man eh immer zu leben hat.

Ich denke die Leistung von Gödel war nun, dass er zusätzlich dazu noch weitere Unsicherheiten für bestimmte mathematische Systeme gefunden hat.
D.h. selbst wenn man das Trilemma ignoriert bekommt man es bei genügend mächtigen Systemen grundsätzlich nicht hin beweisen zu können, dass diese vollständig und widerspruchsfrei wären.

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von PeterM » 16. Okt 2012, 16:39

Die bisherige Diskussion zeigt doch eigentlich nur, wie eng unsere Sprache mit der Mathematik verbunden ist.

Die ursprünglichen Fehler der Sprache werden praktisch von der Mathematik unbemerkt übernommen und fortgeführt.

Das zeigt doch eigentlich nur, dass wir uns selbst an der Nase herumführen.

Wir untersuchen alle möglichen Sachverhalte. Hat eigentlich jemand schon unsere Sprache untersucht, inwieweit dort grundlegende Mängel vorhanden sind, die vom Grundsatz her schon keine allgemein gültigen Beweise oder “Wahrheiten” zulassen, ja gar nicht zulassen können?

Ein wesentlicher Grund scheint doch zu sein, dass Sprache auf Trennung basiert. Auf diese Trennung baut sich alles auf. Selbst die schlüssigste Argumentation erfährt zwangsläufig irgendwo einen Dämpfer.

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von seeker » 16. Okt 2012, 16:51

Was schlägst du daher vor?

Ich sehe es so:
a) Was nicht zu ändern ist muss man hinnehmen und damit umgehen lernen.
b) Was im (positiven Sinn) veränderbar ist soll man verändern.

Wichtig dabei ist:
Man muss versuchen zu erkennen was zu a) gehört und was zu b).

Man muss auch die Grenzen erkennen. Darum geht es...
Das Trilemma gehört für mich zu a).

Davon abgesehen lässt die Mathematik unter ihren gegebenen Vorraussetzungen/Einschränkungen durchaus in sehr vielen Fällen strenge Beweise zu.
Bei der Sprache ist das schwieriger, schon weil sie ungenauer ist.

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von PeterM » 16. Okt 2012, 17:47

Ich schlage vor, dass man Sprache in seiner Substanz und Aussagekraft untersucht. Da reicht es m. E. nicht, wenn man sich auf das Münchhausen Trilemma beruft und sagt: Das ist nun mal so. Das ist Aufgabe pur. Außerdem deckt das Münhausen Trilemma nur unsere Unfähigkeit auf, nicht aber das tatsächliche Problem. Betrachte mal den infinitiven Regress. Wer beherrscht das bis zur Perfektion? Kleine Kinder beherrschen das schon. Die fragen so lange WARUM, bis dir der Schädel platzt.


Wir müssen viel weiter zurück zu den Anfängen, um die Grenzen der Sprache und die Grenzen dessen zu erfahren, was wir Wissen können. Dazu gehört aber auch, das genau untersucht wird, was Wissen eigentlich ist. Diese Grundstruktur des Wissens verbirgt doch gleichzeitig auch die Grenzen unserer Fähigkeiten. Scheinbar können wir uns innerhalb des Wissens doch nur auf Funktionen berufen. Da wäre m. E. schon die erste Grenze.

Mir geht es auch um die Einfachheit der Erklärungen. Das Grundverständnis für Sprache scheint doch zu fehlen. In der Regel definieren wir uns zu Tode und hinterher sind wir auch nicht schlauer.

Das grundsätzliche Problem schient doch zu sein, das wir innerhalb von Gegensätzen argumentieren müssen. Diese Gegensätze sind aber auch nur Teilausschnitte (Einschränkungen) des Gesamten, lassen also schon deshalb keine Allgemeingültigkeit zu.

Des Weiteren: Was ist denn Sprache? Sprache ist doch auch nur ein Modell. Ein Modell kann nie mit dem Original übereinstimmen.

Ich glaube auch nicht, dass Sprache ungenauer ist. Sprache lässt viel mehr zu als Mathematik. Das Problem scheint zu sein, die Sprachvielfalt sinnvoll zu ordnen. In der Physik ist das kein Problem. Dort gibt es einheitliche Grundlagen nach denen argumentiert wird. In der Sprache fehlt die EINHEIT. Nimm nur das Wort - Wort-. Für das Wort als solches gibt es keine einheitliche Definition. Wie willst du dann Sprache nutzen, wenn bei dem allerheiligsten der Sprache (Wort) die einheitliche Definition fehlt.

Diese Problem hätten m. E. schon längst die Philosophen aufdecken müssen, wenn es denn welche gäbe.
Zuletzt geändert von PeterM am 16. Okt 2012, 18:54, insgesamt 2-mal geändert.

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von seeker » 16. Okt 2012, 18:34

PeterM hat geschrieben:Diese Problem hätten m. E. schon längst die Philosophen aufdecken müssen, wenn es denn welche gäbe.
Du kannst dir wohl denken, dass man sich damit schon ausgiebig beschäftigt hat?

Sprachphilosophie...
Vielleicht möchtest du dich da einlesen und so deinen Standpunkt besser verstehen?

Hier ein paar Links:
http://de.wikipedia.org/wiki/Sprachphilosophie
http://de.wikipedia.org/wiki/Geschichte ... hilosophie

Für wichtig halte ich den Wiener Kreis:
http://de.wikipedia.org/wiki/Wiener_Kreis

...und noch ein lesenswertes PDF:
http://www.philosophie.tu-bs.de/archiv/ ... chPhil.pdf


Beste Grüße
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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von PeterM » 16. Okt 2012, 18:52

Hat man denn die Probleme gelöst, die die Sprache mit sich bringt?

Offensichtlich doch nicht.

Das ist eigentlich das, was ich meinte.

Gruß

Peter

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von seeker » 17. Okt 2012, 09:48

Gelöst? Was bedeutet "gelöst"?
Nein, man hat die Probleme aber erkannt und Lösungsvorschläge daraus abgeleitet und ist so dennoch weitergekommen.
Manche wollten auch gleich die Philosophie abschaffen...

Es zeigte sich aber auch hier, dass Agrippa recht hat:
1. Tropos: Dissens: Philosophen liegen stets im Streit über alle möglichen Behauptungen, es gibt keine Übereinstimmung und keine verlässliche Lehrautorität.
Ich weiß schon ungefähr, wo du hinwillst. Das wird aber auch wieder Voraussetzungen haben.
PeterM hat geschrieben:Ich schlage vor, dass man Sprache in seiner Substanz und Aussagekraft untersucht. Da reicht es m. E. nicht, wenn man sich auf das Münchhausen Trilemma beruft und sagt: Das ist nun mal so. Das ist Aufgabe pur. Außerdem deckt das Münhausen Trilemma nur unsere Unfähigkeit auf, nicht aber das tatsächliche Problem. Betrachte mal den infinitiven Regress. Wer beherrscht das bis zur Perfektion? Kleine Kinder beherrschen das schon. Die fragen so lange WARUM, bis dir der Schädel platzt.


Wir müssen viel weiter zurück zu den Anfängen, um die Grenzen der Sprache und die Grenzen dessen zu erfahren, was wir Wissen können. Dazu gehört aber auch, das genau untersucht wird, was Wissen eigentlich ist. Diese Grundstruktur des Wissens verbirgt doch gleichzeitig auch die Grenzen unserer Fähigkeiten. Scheinbar können wir uns innerhalb des Wissens doch nur auf Funktionen berufen. Da wäre m. E. schon die erste Grenze.

Mir geht es auch um die Einfachheit der Erklärungen. Das Grundverständnis für Sprache scheint doch zu fehlen. In der Regel definieren wir uns zu Tode und hinterher sind wir auch nicht schlauer.
Ich kann dir nur nochmals sagen, dass du dich da einlesen solltest, falls es dich interessiert. Das wurde schon untersucht.
Ich selbst stecke da leider nicht tief genug drin.

Ein Problem das wir heute haben ist ja auch folgendes:

Je besser unsere Erklärungen werden, desto unverständlicher werden sie.
Es scheint gar zu gelten:

Verständlichkeit x Erklärungstiefe = konstant

Beispiel:
Die Erklärung der Bewegung nach Aristoteles ist recht einfach zu verstehen:
Dinge fallen nach unten, weil dort ihr natürlicher Ort ist. Der natürliche Bewegungszustand eines Körpers ist die Ruhe.

Die Erklärung, die uns Newton liefert ist komplizierter, richtiger und mathematischer, kann aber noch von jedem Schüler in den meisten Details nachvollzogen werden.

Noch richtiger ist die Erklärung nach der ART. Um sie richtig zu verstehen braucht es aber schon ein langwieriges Studieren.
Viele Einzelheiten sind selbst für Experten bis heute ungelöst.

Noch richtiger wäre eine Theorie, wie z.B. die Stringtheorie. Jedoch: Wer kann die noch verstehen?
Nur ganz wenige Experten.

Unser Grundproblem heute ist auch, dass die Lebenszeit eines Menschen gar nicht mehr ausreicht um alles, was man wissen sollte, um die Welt wirklich umfassend zu verstehen, auch lernen zu können.

Grüße
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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von Pippen » 18. Okt 2012, 00:36

seeker hat geschrieben:@pippen:
Ich denke deine Beweisführung ist nichts anderes als das Münchhausen-Trilemma auf die Mathematik angewendet.
Ja. Dann fehlt aber der Mathematik jeder qualitative Unterschied zu anderen Wissenschaften, denn auch die produzieren "nur" fallible Erkenntnisse.
Ich denke die Leistung von Gödel war nun, dass er zusätzlich dazu noch weitere Unsicherheiten für bestimmte mathematische Systeme gefunden hat.
D.h. selbst wenn man das Trilemma ignoriert bekommt man es bei genügend mächtigen Systemen grundsätzlich nicht hin beweisen zu können, dass diese vollständig und widerspruchsfrei wären.
Gödel beweist, dass genügend mächtige Systemen grdsl. nicht vollständig und widerspruchsfrei sein können. Und woher weiß Gödel, dass sein Beweis nicht selbst auf einem widersprüchlichen System beruht und damit trivial und "falsch" ist, wenn er noch gerade davon ausgeht, dass ebensolche Systeme widersprüchlich sein und wir das nie widerlegen können? MaW: Wer beweist Gödel's Beweis?

Hier ein Aufsatz, der Gödel diesbzgl. ins rechte Licht rückt, kann ich nur empfehlen: http://www.tabvlarasa.de/44/Schmidt.php

Leider ist Gödel's Verdienst eher die Gödelisierung (mir ist klar, dass ich hier etwas provokativ und rotzfrech argumentiere^^). Der Rest ist zu kurz gedacht oder philosophisch seit der Antike und dem Lügnerparadox trivial ("Ich bin unbeweisbar" kann wahr sein aber dann gerade in diesem System/Sprache unbeweisbar = Unvollständigkeit oder falsch sein, was heiße, dass ein falscher Satz ableitbar ist = Widerspruch).

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von rick » 18. Okt 2012, 08:44

Ich denke du urteilst hier ein bisschen zu voreilig, ohne genügende Grundkenntnisse zu haben in der mathematischen Logik.
Ich selbst habe sicherlich auch nicht ausreichend Kenntnisse, werde mich aber sicher mal in das Thema irgendwann rein arbeiten, weil es interessant ist und erst dann diese Arbeiten kritisieren ;). Auf den Matheplaneten gibt es dazu einen Artikel, weil die Unvollständigkeitssätze, "Satz des Jahres 2012" wurde, siehe hier: http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/ ... p?sid=1490 .
Allgemein würde ich sagen, das deine Argumentationskette so einfach ist, das da in den letzten 50+ Jahren schon irgendwer anders drauf gekommen sein muss (zB. Studenten, welche so eine VL hören.) Deswegen bin ich da ein bisschen skeptisch :).
Zu deiner letzten Aussage: Allgemein könnte Gödel ein System benutzt haben, das eben genügend einfach ist um komplett zu sein. Somit wären natürlich auch die Aussagen, welche damit getroffen werden, wahr. Außerdem könnte man eventuell in genügend einfach Systemen, aus dem Systemen heraus beweisen, das sie komplett sind. Mit genügend einfach, meine ich also dann solche, die z.B. einfach sind als das ZFC System.
Naja, soll nur eine Anregung sein. Vielleicht findest damit, was du suchst.
Zu der PDF die du verlinkt hast, ich hab die mal teilweise durchgelesen. Für mich sieht das so aus, als ob ein Hobby-Logiker versucht Kritik zu üben. Andererseits kann man das natürlich auch nicht gut beurteilen, da der Artikel wahrscheinlich eher für Personen ist, welche über kein Fachwissen verfügen und somit extra einfach gehalten ist.

Gruß

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von seeker » 18. Okt 2012, 11:12

Pippen hat geschrieben:
seeker hat geschrieben:@pippen:
Ich denke deine Beweisführung ist nichts anderes als das Münchhausen-Trilemma auf die Mathematik angewendet.
Ja. Dann fehlt aber der Mathematik jeder qualitative Unterschied zu anderen Wissenschaften, denn auch die produzieren "nur" fallible Erkenntnisse.
Ja und Nein.

Ja, weil immer noch gilt: "Ich weiß, dass ich nichts weiß! Nicht einmal das weiß ich!"
D.h.: Dem Menschen ist eine ABSOLUTE Wahrheit grundsätzlich und für alle Zeit verschlossen.

Nein, weil Mathematik und NW völlig unterschiedlich arbeiten.
In der Mathematik nimmt man zuerst eine Menge (A) von unbeweisbaren Grundannahmen (z.B.: "Es gibt Zahlen!") als wahr an ( = Axiome = Dogma!).
(Die Mathematik reagiert also auf das Trilemma indem sie Dogmen setzt.)

Nun lässt sich INNERHALB dieses Systems STRENG beweisen:
"Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr!" usw.

Das hat Gödel auch nicht widerlegt! Er hat nur widerlegt, dass das IMMER geht. Er hat nicht gezeigt, dass das NIE geht.
In den Fällen, wo es geht gilt nach wie vor: Beweisbarkeit = Wahrheit.

Gödel hat also gezeigt, dass man zusätzlich zur Ungewissheit von A noch mit einer weiteren Ungewissheit zu leben hat, eben dem Unvollständigkeitssatz.

Die NW arbeitet ganz anders.
Sie stellt weder einen Wahrheitsanspruch (auch keinen bedingten, wie die Mathematik), noch einen Beweisbarkeitsanspruch.

Sie sagt nur:
Wir haben hier die Systeme A(1), A(2), A(3), usw., die sich alle UNGEFÄHR so verhalten, wie der mathematische Formalismus B.
Daraus folgt VERMUTLICH, dass sich alle Systeme A UNGEFÄHR wie B verhalten.

Wenn man die Sache in der Mathematik herumdreht wird es m.E. noch interessanter:

Wenn der Satz "Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr!" bei genügend mächtigen Systemen nicht immer gilt, dann folgt daraus auch umgekehrt, dass eine Aussage B nicht IMMER eindeutig auf eine Menge von Axiomen A reduziert werden kann!

Auf die NW angewendet bedeutet das:

Es ist MÖGLICH, dass man die Gesamtmenge aller naturwissenschaftlichen Beobachtungen gar nicht auf ein einheitliches mathematisches System mit klaren Axiomen reduzieren kann! D.h. es ist MÖGLICH, dass eine "Weltformel", die alles beschreibt, gar nicht formulierbar ist.


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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von Skeltek » 19. Okt 2012, 00:38

tomS hat geschrieben:Irgendwo ist da ein Haken.

Z.B. kann man die Widerspruchsfreiheit der boolschen Logik sowie (soweit ich weiß) der Prädikatenlogik streng beweisen. Nur bei "genügend mächtigen" Systemen wie z.B. den natürlichen Zahlen (mit den Peano-Axiomen) geht das nicht mehr
Ohne jetzt den ganzen Thread zu lesen(Zeitmangel) folgendes:

Das System muss nicht "genügend mächtig" sein. Selbst der einfache Satz: "Diese Aussage ist wahr" ist zwar widerspruchsfrei wie du sagts, allerdings ist die Aussage unvollständig.
"Dieser Satz ist wahr" kann sowohl als wahr als auch als falsch bewertet werden. Ordnet man dem Satz den Wert "falsch" zu, ist es widerspruchsfrei(der Satz lügt, wenn er lügt).
So gesehen hat der Threadopener recht wenn er sagt, daß ein System nur von einem übergeordneten System seinen Wahrheitsgehalt zugewiesen bekommt.
Hab mich damit recht lang beschäftigt, wie man vielleicht an meiner langjährigen Sig erkennen kann.
Die plausibelste Erklaerung jedes hinreichend komplizierten Systems ist falsch

Unentscheidbarkeit für Dummies: Dieser Satz ist wahr
oder
Diese Menge hat zwei Elemente: A und B

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von Pippen » 19. Okt 2012, 01:06

seeker hat geschrieben:
In der Mathematik nimmt man zuerst eine Menge (A) von unbeweisbaren Grundannahmen (z.B.: "Es gibt Zahlen!") als wahr an ( = Axiome = Dogma!).
(Die Mathematik reagiert also auf das Trilemma indem sie Dogmen setzt.)

Nun lässt sich INNERHALB dieses Systems STRENG beweisen:
"Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr!" usw.
Und hier setze ich an und sage: Innerhalb des Systems läßt sich nur dann streng beweisen, dass wenn a wahr, dann b wahr, wenn dieses System selbst nicht widersprüchlich wäre. Doch genau das kann das System ja nicht leisten, wie wir gesehen haben. Also muss der Mathematiker quasi sagen: Innerhalb des Systems und unter der Annahme, dass es widerspruchsfrei ist, läßt sich beweisen, dass wenn a wahr, dann auch b wahr ist. Richtig? Das erscheint freilich irgendwie komisch: Unter der Annahme, dass die Bibel widerspruchsfrei ist, läßt sich daraus auch ne Menge ableiten, ich hoffe der Punkt wird klar.

Mein Problem mit Gödel, wird in dem Aufsatz gut behandelt: Die Selbstanwendung des Gödelschen Theorems. Gödel beweist mittels eines genügend mächtigen Systems, dass genügend mächtige Systeme entweder unvollständig oder widersprüchlich sind. Hallo? Er beweist etwas mit einem System, von dem er am Ende selber annimmt, dass es widersprüchlich sein könnte? Mehr noch: Gödel muss ja zeigen, dass sein Satz "Ich bin unbeweisbar" wahr und dennoch unbeweisbar ist. Wie will er aber ohne Beweisbarkeit wissen, dass dieser Satz wahr ist? Dazu bräuchte er ein vollständiges und widerspruchsfreies Beweissystem und das gibt es nicht. Auch einfachere Systeme, wie die Aussagenlogikkalküle, sind nicht vollständig und widerspruchsfrei bewiesen, wie gesagt, das geht nie, es sei denn mit dogm. Abbruch und dann ist es gerade ja nie gesichert.

Ich schreibe das alles nur deshalb, weil ich in math. Literatur immer wieder lese, wie sicher und gewiss bestimmte math. Erkenntnisse seien. Selbst hochrangige Mathematiker verkünden mit Stolz, dass zB genügend mächtige System unvollständig oder widersprüchsfrei sind, so als ob das bewiesen wurde. Wenn aber Gödel's Bewies falsch ist, weil Gödel's Beweissystem widersprüchlich ist, was Gödel selbst sogar für möglich und unwiderlegbar hält!! (und damit auch Recht hat), dann könnte es sein, dass genügend mächtige Systeme sehr wohl vollständig und widerspruchsfrei sein könnten - wir haben sie nur noch nicht gefunden...und damit arbeiten auch die Mathematiker nur mit Hypothesen und mehr oder minder überzeugenden Theorien!

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von seeker » 19. Okt 2012, 07:13

Ja, das ist schon interessant...
Damit wäre der Unvollständigkeitssatz, angewendet in mathematischen Systemen, selbst auch ein Axiom (und zwar IMMER).
Wichtig ist auch die Unterscheidung zwischen "Wahrheit" und "Beweisbarkeit".

Aber wie passt das mit dem hier zusammen?
Häufige Fehlschlüsse

Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze werden auch außerhalb der mathematischen Logik, ja sogar außerhalb der Fachmathematik zitiert. Dabei wird aber leicht übersehen, dass das in den Sätzen verwendete Fachvokabular nicht immer die Bedeutung hat, die die Begriffe in anderem Zusammenhang haben. In manchen Versuchen, die Ergebnisse einem breiteren Publikum zugänglich zu machen, wird dieses Problem aber auch nicht deutlich hervorgehoben. Dadurch kommen viele falsche Vorstellungen über die Bedeutung der Sätze zustande.

Daher folgen hier einige Warnungen vor Fehlschlüssen:

Viel Verwirrung entsteht dadurch, dass Gödel ja nicht nur die Unvollständigkeitssätze bewiesen hat, sondern auch den Gödelschen Vollständigkeitssatz. Hier ist zu beachten, dass der Begriff der Vollständigkeit in zwei verschiedenen Bedeutungen gebraucht wird:

Der Vollständigkeitssatz beweist die semantische Vollständigkeit der Prädikatenlogik der ersten Stufe, behandelt also eine Eigenschaft von formalen Systemen.
Der Unvollständigkeitssatz hingegen beweist, dass gewisse Mengen von Ausdrücken nicht vollständig im Sinn einer Theorie sind: es gibt Fälle, wo weder ein Satz noch seine Negation zur Theorie gehören.

Ein weiterer Fehlschluss ist, dass die meisten in der Mathematik benutzten Theorien unvollständig seien. Es gibt aber einige wichtige vollständige Theorien, wie z. B. die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper von Charakteristik p, die Theorie der dichten linearen Ordnungen ohne größtes und kleinstes Element oder Tarskis Axiomatisierung der euklidischen Geometrie. Entscheidend ist, dass diese Theorien nicht ausdrucksstark genug sind, um wesentliche Eigenschaften über natürliche Zahlen darzustellen.

Es gibt vollständige, widerspruchsfreie, rekursiv aufzählbare Axiomensysteme. Diese können aber keine Erweiterung der Arithmetik sein; insbesondere ist es in derartigen Systemen nicht möglich, über dieses System selbst zu reden. Sie sind damit nicht so ausdrucksstark, wie die volle Arithmetik mit 0, Nachfolger, Addition und Multiplikation. Ein einfaches Beispiel für ein derartiges, schwaches System ist die Arithmetik nur mit 0 und Nachfolger, ein weiteres die Presburger-Arithmetik.

Es ist möglich, die Arithmetik vollständig zu beschreiben: Die Theorie T=\{\Phi\in\mathcal L_{\operatorname{PA}};\ \mathbb N\models\Phi \} ist eine (im hier verlangten Sinn) vollständige, widerspruchsfreie Erweiterung der bekannten Peano-Axiome, true arithmetic genannt. Man könnte die gesamte Menge dieser Sätze als „Axiomatisierung“ der Arithmetik bezeichnen. Der erste Unvollständigkeitssatz zeigt, dass diese Axiomatisierung aber nicht entscheidbar ist. Mit anderen Worten: es gibt kein Verfahren, mit dem für jeden Satz \Phi feststellbar ist ob er zu dieser Menge gehört.
http://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del ... gkeitssatz
Weiterhin konnte Gerhard Gentzen zeigen, dass eine konstruktive Mathematik und Logik durchaus widerspruchsfrei ist. Hier zeigt sich ein Grundlagenstreit der Mathematik. Der Philosoph Paul Lorenzen hat eine widerspruchsfreie Logik und Mathematik erarbeitet (Methodischer Konstruktivismus), und sein Buch Metamathematik (1962) eigens geschrieben, um zu zeigen, dass der gödelsche Unvollständigkeitssatz keinen Einwand gegen einen widerspruchsfreien Aufbau der Mathematik darstellt.
http://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del ... gkeitssatz

"Konstruktivismus" scheint hier ein wichtiges Stichwort zu sein...
Gödelscher Vollständigkeitssatz

Der Gödelsche Vollständigkeitssatz (benannt nach Kurt Gödel) ist der Hauptsatz der mathematischen Logik. Er zeigt für das Hilbert-Kalkül (ein formales System der Prädikatenlogik erster Stufe) die Korrektheit und Vollständigkeit: Jeder Satz, der semantisch aus einer Formelmenge folgt, lässt sich mit den Schlussregeln des Systems aus der Formelmenge herleiten, und umgekehrt. Für die Logik erster Stufe sind also syntaktische und semantische Folgerung gleichbedeutend.
http://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del ... gkeitssatz

Pippen hat geschrieben:Innerhalb des Systems läßt sich nur dann streng beweisen, dass wenn a wahr, dann b wahr, wenn dieses System selbst nicht widersprüchlich wäre. Doch genau das kann das System ja nicht leisten, wie wir gesehen haben.
Das muss ich mir noch genauer anschauen. Da hake ich noch. Ist das so, selbst unter der Voraussetzung der Wahrheit der verw. Axiome?

Wegen der Selbstanwendung von Gödels Satz:
Da hake ich auch noch. Ich denke man muss aufpassen, denn damit wendet man den Satz AUßERHALB eines betrachteten math. Systems an, wärend wenn er konkret auf math. Systeme angewendet wird, verwendet man ihn INNERHALB des betreffenden math. Systems - oder?
Ich muss noch nachdenken...

Wie gesagt: Ich muss mich mit der Sache aber noch näher beschäftigen und bin im Moment sehr eingespannt...

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von deltaxp » 19. Okt 2012, 14:10

ist die vw des systems s' unbedingt notwendig um einen zirkelschluß zu vermeiden ? ich bin eher so der pragmatiker. mit diesen theoretischen beweisen in der mathematik konnte und ich nie wirklich was anfangen, hauptsache ich kann mit mathematik was rechnen und modellieren was mit meinen messungen nicht im widerspruch steht.

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von Pippen » 24. Okt 2012, 01:36

Ich möchte das Problem noch mal auf den Punkt bringen und abstrahieren, damit wir uns nicht unbedingt an Gödel abarbeiten:

1. Nehmen wir an, wir haben ein formales System S und leiten darin/damit die Aussage a ab. Woher wissen wir, dass a korrekt (d.h. nach den Axiomen und Regeln von S) abgeleitet wurde?
2. Wir können es nicht von S wissen, denn das wäre ein Zirkelschluß a la "1+1=9, weil 1+1=9", der nicht die korrekte Ableitung von a verbürgen könnte.
3. Wir brauchen also ein System S1 außerhalb von S, welches beweist, dass für S gilt: alles, was in S ableitbar scheint, ist auch ableitbar.
4. Nehmen wir an, wir könnten 3. beweisen.
5. Dieser Beweis würde aber voraussetzen, dass in S1 selbst ebenfalls gilt, dass das, was dort ableitbar erscheint, auch korrekt ableitbar ist, denn sonst beweist S1 nicht S und damit nicht a; S1 muss daher durch ein S2 bewiesen werden usf. usw. ad.inf.
6. Daraus folgt: Satz 1: Ein "exakter" Beweis dafür, dass a in S korrekt abgeleitet wurde, kann nicht existieren UND Satz 2: Satz 1 ist unbeweisbar. DAS IST DER ECHTE UNVOLLSTÄNDIGKEITSSATZ DER MATHEMATIK, DER GÖDEL UND TURING "VEREINIGT", quasi die TOE der Mathematik^^.

MaW: Wir haben hier einen ganz komischen ad-absurdum-Beweis. Wir beweisen, dass nichts beweisbar ist und damit gleichzeitig auch, dass das nicht beweisbar ist, d.h. wir beweisen gar nichts; alles hebt sich auf und am Ende entscheidet reine Willkür iSv "dort oder da gehen wir einfach davon aus, dass dieses System als komplett korrekt gilt". Damit aber kann die Mathematik weder sicherere noch "höhere" Erkenntnisse liefern, sie ist nichts nichts Besonderes, sie arbeitet nur mit Zahlen statt mit Backsteinen^^.

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von Pippen » 24. Okt 2012, 01:41

deltaxp hat geschrieben:ist die vw des systems s' unbedingt notwendig um einen zirkelschluß zu vermeiden ? ich bin eher so der pragmatiker. mit diesen theoretischen beweisen in der mathematik konnte und ich nie wirklich was anfangen, hauptsache ich kann mit mathematik was rechnen und modellieren was mit meinen messungen nicht im widerspruch steht.
Es geht mir hier um eine Art Quantenmathematik, ich will also gaaaaanz genau hinschauen, so ähnlich wie wenn jmd. in der Informatik fragt, ob es einen Computer geben könnte, der alles berechnen kann. Das hat praktisch keine Auswirkungen, ist aber theoretisch interessant und erhellt viele Grundlagen und Grenzen des Denkens. Wenn ich zB Recht habe, dann ist Gödel's Unvollständigkeitssatz fallibel, d.h. es kann theoretisch!! ein genügend mächtiges System geben, was vollständig und widerspruchsfrei ist. Damit hätte die Menschheit zumindest die immerwährende Hoffnung auf ein Wunder^^.

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von seeker » 24. Okt 2012, 10:41

Pippen hat geschrieben:Ich möchte das Problem noch mal auf den Punkt bringen und abstrahieren, damit wir uns nicht unbedingt an Gödel abarbeiten:

1. Nehmen wir an, wir haben ein formales System S und leiten darin/damit die Aussage a ab. Woher wissen wir, dass a korrekt (d.h. nach den Axiomen und Regeln von S) abgeleitet wurde?
2. Wir können es nicht von S wissen, denn das wäre ein Zirkelschluß a la "1+1=9, weil 1+1=9", der nicht die korrekte Ableitung von a verbürgen könnte.
Nein, es ist kein Zirkelschluss. Es ist ein Dogma (Axiom).
Dogma: Die Begründung für p läuft nicht ins Unendliche, sondern der Regress kommt bei einem Dogma zum Stehen. Da Dogmen als Glaubenssätze jedoch nicht beweisbar sind, wird die Argumentationskette durch einen rein subjektiven und damit nicht allgemein begründenden Zugang beendet.
http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%BCnchhausen-Trilemma

Axiome sind prinzipiell nicht zu beweisen, sondern hinzunehmen bzw. sinnvoll zu wählen (das ist nichts Neues). Sie sollen sich allerdings nicht gegenseitig widersprechen.
Und DAS ist das Problem: Wir können letztlich nicht zeigen, dass das in jedem Fall gegeben ist, wenn ein Axiomsystem genügend mächtig ist.

Wenn du dieses Problem nicht hinnehmen willst, dann musst du Konstruktivist werden und eine schwächere Mathematik verwenden, die jedoch dafür zeigen kann, dass ihre Axiomsysteme in jedem Fall widerspruchsfrei sind.

Grüße
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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von Pippen » 25. Okt 2012, 23:43

seeker hat geschrieben:Axiome sind prinzipiell nicht zu beweisen, sondern hinzunehmen bzw. sinnvoll zu wählen (das ist nichts Neues). Sie sollen sich allerdings nicht gegenseitig widersprechen.
Und DAS ist das Problem: Wir können letztlich nicht zeigen, dass das in jedem Fall gegeben ist, wenn ein Axiomsystem genügend mächtig ist.
Ok.
Wenn du dieses Problem nicht hinnehmen willst, dann musst du Konstruktivist werden und eine schwächere Mathematik verwenden, die jedoch dafür zeigen kann, dass ihre Axiomsysteme in jedem Fall widerspruchsfrei sind.
Das kann nicht sein. Auch ein Konstruktivist oder schwächere Mathematik kann nie beweisen, dass ihre Axiome widerspruchfrei sind - selbst für einfache Systeme!

Beweis:

1. System S mit der Buchstaben a, b.
2. Aus S sind dann folgende Aussagen ableitbar: a, b.
3. Wie willst du nun beweisen, dass 1. bzw. 2. nicht widersprüchlich ist? Mit S geht das nicht, denn wenn S widersprüchlich wäre, dann könntest du ja alles, also auch dessen Nichtwidersprüchlichkeit beweisen. Du brauchst also auf jeden Fall ein widerspruchsfreies System. S ist das nicht, da sonst Zirkel, also brauchst du S1 usw. usf. Hier zeigt sich denn auch, dass es sich da wirklich um lupenreine Zirkel, nicht um Dogmaabbruch handelt.

rick
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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von rick » 26. Okt 2012, 06:56

Die Widerspruchsfreiheit der Aussagenlogik und der Prädikatenlogik wurde ja bewiesen. Gug dir doch einfach mal diese Beweise an und versuche nachzuvollziehen, welche Annahmen dort getroffen wurden.

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von PeterM » 26. Okt 2012, 10:53

In diesem Thread wird doch wieder deutlich, dass wir von einer Neutralität der Sprache ausgehen. Sprache ist nicht neutral und hat damit keinen Wahrheitsgehalt. Insofern gibt es auch keine allgemeingültigen Beweise. Sprache ist lediglich ein Produkt des Denkens. Die darin enthaltene Logik stell doch nur Verknüpfungen dar.

Der “logische” Fehler besteht in der falschen Verallgemeinerung. Aber ohne grundlegende Verallgemeinerung keine Verknüpfungsmöglichkeit. Fehlende Verallgemeinerung kann man kann es auch das Ende der Logik bezeichnen.

rick hat geschrieben:Die Widerspruchsfreiheit der Aussagenlogik und der Prädikatenlogik wurde ja bewiesen. Gug dir doch einfach mal diese Beweise an und versuche nachzuvollziehen, welche Annahmen dort getroffen wurden.
Beweise, die auf Annahmen getroffen wurden?




@ Pippen

Danke für deine klare Sicht der Dinge. Mir hat das sehr geholfen.

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von Skeltek » 26. Okt 2012, 11:51

Ein Zirkelschluss ist immer widerspruchsfrei. Es geht hier glaube ich eher um den Wahrheitsgehalt der Implikationen.
"wenn a dann b" und "wenn b dann c" lässt völlig widerspruchsfrei auf "wenn a dann c" schließen. Es ist ein Zirkelschluss; dabei kann a=c sein, muss aber nicht.
Das Problem ist eher zu seigen, ob die beiden ersten Aussagen überhaupt richtig sind. Das ist nicht machbar.
Die plausibelste Erklaerung jedes hinreichend komplizierten Systems ist falsch

Unentscheidbarkeit für Dummies: Dieser Satz ist wahr
oder
Diese Menge hat zwei Elemente: A und B

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Re: Wider der Vollständigkeit und Konsistenz in der Mathemat

Beitrag von seeker » 26. Okt 2012, 13:18

@rick: Genau!

@Pippen: Der Gödelsche Vollständigkeitssatz sagt was anderes.
Ich denke da solltest du vielleicht anfangen.

Grundsätzlich muss man zwei Fragen unterscheiden:

1. Sind die verwendeten Axiome wahr?
2. Widersprechen sich die verwendeten Axiome?

Bei 1. ist ja unbetritten, dass die Wahrheit der Axiome letztlich nicht bewiesen werden kann. Das reicht doch schon aus um die gesamte Mathematik zu relativieren.
Dass nun bei 2. ,bei den einen Systemen die Antwort "Nein" (unter der Voraussetzung der Wahrheit von 1.!) bewiesen werden kann und bei den anderen nicht, kommt doch nur noch erschwerend hinzu, ändert aber nichts am eh unlösbaren Problem von 1.

Grüße
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