Komplexe Zahlen

[Pippen]

Ich verstehe da was nicht bei komplexen Zahlen. Eine komplexe Zahl i wird zB für "i²=-1" gesetzt. Das kann ja aber nicht sein, denn das Quadrat einer Zahl ist immer positiv, ist also falsch oder würde zu Widersprüchen führen. Das heißt doch aber, dass das Rechnen mit komplexen Zahlen heißt, dass man mit Widersprüchlichem weiterrechnet...geht das denn so einfach? Denn in der klass. Logik, die der Math. zugrundeliegt, gilt, dass aus Widersprüchen alles folgt und sie logisch falsch sind. Wieso "klappt" dann das Rechnen bzw. die Installation der komplexen Zahlen überhaupt?

[tomS]

Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv, aber i ist keine reelle Zahl. Man erweitert einfach den Zahlenbereich, das führt nicht zu Widersprüchen.

Man kann ja z.B. auch sagen "das Produkt ab zweier Zahlen a und b ist nie Null, wenn nicht eine der beiden Zahlen a oder b selbst Null ist". Und dann stellt man fest, dass das Produkt zweier Vektoren durchaus Null sein kann, nämlich dann, wenn sie aufeinander senkrecht stehen. Aber das ist kein Widerspruch, denn Vektoren sind eben nicht einfach Zahlen, sondern etwas Neues.

Genauso ist das mit den komplexen Zahlen.

[rick]

Irgendwo im Forum gibt es auch eine kleine Einführung zu den komplexen Zahlen. Und natürlich ist hier auch die Frage, warum das Quadrat einer Zahl immer positiv sein muss (oder nicht ;D).

[breaker]

Ich glaube, wenn man streng beweisen will, dass das Produkt zweier negativer Zahlen immer positiv ist, dann wird's sehr abstrakt. Die entscheidende Frage hier ist, wie die reellen Zahlen konstruiert sind (und um zu verstehen, warum i=-1 kein Widerspruch ist, ist es entscheidend zu wissen, wie die konplexen Zahlen konstruiert sind).
Die Konstruktion der reellen und komplexen Zahlen sollte eigentlich in jedem Analysis 1-Buch zu finden sein (das Buch von Amann und Escher sollte da relativ gründlich sein).

Ohne so tief einzusteigen, kann ich nur das gleiche antworten, wie Tom: Die Zahl i ist eben keine der bereits bekannten reellen Zahlen, sondern was neues und deshalb gilt hier nicht die Regel, dass das Quadrat immer positiv ist. Und da komplexe Zahlen etwas neues sind, sind für sie auch nicht a priori irgendwelche Rechenregeln vorgegeben, d.h. man muss selbst Regeln definieren. Diese werden dann gerade so definiert, dass keine Widersprüche entstehen.

[rick]

Ich glaube, wenn man streng beweisen will, dass das Produkt zweier negativer Zahlen immer positiv ist, dann wird's sehr abstrakt. Die entscheidende Frage hier ist, wie die reellen Zahlen konstruiert sind (und um zu verstehen, warum i=-1 kein Widerspruch ist, ist es entscheidend zu wissen, wie die konplexen Zahlen konstruiert sind).

Das kann man direkt über die Ordnung des Körpers zeigen. Und in den komplexen Zahlen gibts eben keine, bzw. es kann keine definiert werden. Das sollte auch in den meisten Analysis Büchern drin stehen.