Selbstanwendung von Gödel's Unvollständigkeitssätzen

[Pippen]

Gödel macht in seinen Unvollständigkeitstheoremen folgende Aussage: Alle hinreichend mächtigen formalen Systeme sind entweder unvollständig oder widersprüchlich UND keines dieser Systeme kann seine eigene Widerspruchsfreiheit beweisen.

1. Entweder diese Aussage ist falsch.

2. Oder diese Aussage ist wahr. Wenn sie wahr wäre, dann hieße das, dass auch das System auf dem wiederum sie beruht, widersprüchlich sein kann.

2.1. Wenn das System widersprüchlich wäre, dann wäre die Aussage wahr (siehe 2.) und falsch, denn dann wäre ihre Negation wahr (ex falso quodlibet) und damit die Aussage (Negation der Negation) falsch.

2.2. Wenn das System widerspruchsfrei wäre, dann wäre die Aussage wahr.

Daraus folgt: Gödels Sätze sind nur unter der Bedingung wahr, dass das System, aus denen sie abgeleitet sind, seinerseits widerspruchsfrei ist. Da sie aber, wenn sie wahr wären, diese Widerspruchsfreiheit gerade nicht sicherstellen können, sind Gödel's Sätze unbeweisbar und damit hypothetisch.

Ich verstehe nun nicht, warum die Mathematiker soviel Aufhebens um Gödels Aussage machen.

[tomS]

Gödels Sätze besagen, dass eine Fortmalisierung der Mathematik - wie von Hilbert gefordert - unmöglich ist.

Es kann sein, dass das ggw. "akzeptierte" System (Mengenlehre, ...) inkonsistent ist, dass wir das aber eben nicht wissen können:
- wenn wir beweisen könnten, dass es widerspruchsfrei ist, dann hätten wir damit bewiesen, dass es das nicht ist!
- solange wir das aber nicht beweisen können, dürfen wir hoffen, dass es widerspruchsfrei ist

Aus den Gödelschen Sätzen folgt, dass es unbeweisbare wahre Sätze gibt, d.h. dass ein System Wahrheiten behauptet, deren Wahrheitsgehalt (mittels des Systems selbst) nicht bewiesbar ist.

Ich habe nicht denm Eindruck, dass die Mathematiker (insbs. die Formalisten oder Konstruktivisten) sehrt viel Aufhebens darum machen. Das geschieht erst, wenn man nach einer universell gültigen "Wahrheit" sucht, die offensichtlich auch die Mathematik nicht liefern kann.

[Skeltek]

Jedem Aussagensystem muss man eine weitere Aussage hinzufügen:
"Obiges Aussagensystem ist wahr/widerspruchsfrei/eindeutig"

Gödels Unvollständigkeitssatz ist vielleicht selbst unvollständig, aber nicht (also nicht zwangsläufig) widersprüchlich. Allerdings kann man jedes Aussagensystem durch erweitern und umformen zu einem unvollständigen uneindeutigen System machen.

Beispiele:
Aussage A: Dieser Satz ist wahr (nicht widersprüchlich, aber unvollständig(uneindeutig))

Aussage B: Dieser Satz ist falsch (widersprüchlich; ob vollständig oder nicht, ist von der Interpretation aus dem bewertenden System abhängig; Das Attribut Unvollständigkeit ist hier nicht bewertbar)


Aussagensystem:
Aussage A: Satz B ist falsch
Aussage B: satz A ist falsch & Satz B ist wahr.
(Man kann hier vom bewertenden höheren System aus entweder sagen es ist widersprüchlich, man kann sagen einer der Sätze ist falsch, oder man kann sagen dass es uneindeutig ist)
(Übrigens ist das Aussagensystem rekursiv & schwachsinnig, das heißt egal welche Aussage als erstes "existiert", trifft sie über die noch nicht existierende Aussage eine Bewertung.
Aussage A kann nicht existieren oder gemacht werden, solange Aussage B noch nicht definiert ist/in Kraft tritt bzw solange B noch nicht existiert.

Meiner Meinung nach können Aussagensysteme lediglich Beziehungen zwischen ihren Elementen beschreiben.


weiteres Beispiel:
Person A: Person B hat meine Bewertung über ihn bewertet.
Person B: Person A hat meine Bewertung über ihn bewertet.
(Wer hat hier wen zuerst den Kommentar des anderen kommentiert?)

[seeker]

Daraus folgt: Gödels Sätze sind nur unter der Bedingung wahr, dass das System, aus denen sie abgeleitet sind, seinerseits widerspruchsfrei ist. Da sie aber, wenn sie wahr wären, diese Widerspruchsfreiheit gerade nicht sicherstellen können, sind Gödel's Sätze unbeweisbar und damit hypothetisch.

Das mag sein, aber hypothetisch wird dadurch nichts.
Das Problem ist, dass die Gödelschen Sätze nicht widerlegbar sind.
Das reichte schon aus um der damaligen Mathematik einen schweren Schlag zu versetzen.

Man muss den Unterschied zwischen Mathematik und NW betrachten:
In den NW sind Erkenntnisse/Beweise immer vorläufige Annäherungen an eine Wirklichkeit, ohne Absolutheitsanspruch. So kann jede Theorie oder jedes NW Gesetz jederzeit widerlegt oder verfeinert werden.
Das ist auch schon oft geschehen. Beispiel: Newtonsche Mechanik.

Ganz anders ist es in der Mathematik: Wenn dort erst einmal etwas bewiesen ist, so ist diese Erkenntnis in einem absoluten Sinne für alle Zeiten gültig.
Beispiel: Der Satz des Pythagoras. Wir können für alle Zeiten absolut sicher sein, dass dieser Satz für absolut alle rechtwinkligen Dreiecke Gültigkeit hat und niemals widerlegt werden kann.
Das ist die absolute Natur eines mathematischen Beweises.

Nun dachte man, dass man, auf dieser absoluten Natur der Mathematik aufbauend, vollständige, konsistente mathematische Systeme schaffen kann, die für alle Zeit in diesem Sinn (in sich selbst, aus sich selbst heraus) Absolutheitsanspruch erheben können, unabhängig von der sonstigen Welt.
Dem ist leider nicht so, wie uns Gödel zeigt.

Grüße
seeker

[Pippen]

Ganz anders ist es in der Mathematik: Wenn dort erst einmal etwas bewiesen ist, so ist diese Erkenntnis in einem absoluten Sinne für alle Zeiten gültig.
Beispiel: Der Satz des Pythagoras. Wir können für alle Zeiten absolut sicher sein, dass dieser Satz für absolut alle rechtwinkligen Dreiecke Gültigkeit hat und niemals widerlegt werden kann.
Das ist die absolute Natur eines mathematischen Beweises.

Keineswegs. Es lassen sich problemlos Axiome konstruieren, wo der Satz des Pythagoras schlicht falsch wäre. Jede mathematische Aussage ist also nur relativ bezogen auf ein bestimmtes System wahr/ableitbar oder falsch/unableitbar. Selbst in diesem Sinn wären mathematische Aussagen immer noch hypothetisch, denn jedes math. System setzt implizit gewisse Existenzaussagen voraus. So wäre zB die Aussage "1+1=2" jedenfalls nicht wahr, wenn es keinen Menschen im Universum gäbe. Ganz zu schweigen davon, dass Menschen sich auch verrechnen können...vielleicht ist V2 nur deshalb eine irrationale Zahl, weil wir alle uns bisher immer verrechnet haben^^. Der Unterschied zwischen M. und NW ist daher keineswegs so fundamental wie man denkt und liegt eher darin, dass math. Aussagen per se präziser sind und man daher schnelle Systeme aufstellen kann, die subj. haltbarer ERSCHEINEN, aber nicht sein müssen (das hat ja Gödel zeigen wollen).

Nun dachte man, dass man, auf dieser absoluten Natur der Mathematik aufbauend, vollständige, konsistente mathematische Systeme schaffen kann, die für alle Zeit in diesem Sinn (in sich selbst, aus sich selbst heraus) Absolutheitsanspruch erheben können, unabhängig von der sonstigen Welt.
Dem ist leider nicht so, wie uns Gödel zeigt.

Das wäre nur dann so, wenn Gödel's Satz unwiderruflich wahr wäre. Woraus ergibt sich, dass das der Fall sein muss?

[seeker]

Ganz anders ist es in der Mathematik: Wenn dort erst einmal etwas bewiesen ist, so ist diese Erkenntnis in einem absoluten Sinne für alle Zeiten gültig.
Beispiel: Der Satz des Pythagoras. Wir können für alle Zeiten absolut sicher sein, dass dieser Satz für absolut alle rechtwinkligen Dreiecke Gültigkeit hat und niemals widerlegt werden kann.
Das ist die absolute Natur eines mathematischen Beweises.

Keineswegs. Es lassen sich problemlos Axiome konstruieren, wo der Satz des Pythagoras schlicht falsch wäre. Jede mathematische Aussage ist also nur relativ bezogen auf ein bestimmtes System wahr/ableitbar oder falsch/unableitbar.

Selbstverständlich. Mathematik ist schließlich Logik: WENN -> DANN. So lange du aber am WENN nichts änderst, ändert sich auch niemals etwas am DANN.
In den NW ist das nicht so. Mathematik ist definitiv "härter", denn dieselben Einschränkungen, die für die Mathematik gelten, gelten auch für die NW... PLUS zusätzliche Einschränkungen.

Selbst in diesem Sinn wären mathematische Aussagen immer noch hypothetisch, denn jedes math. System setzt implizit gewisse Existenzaussagen voraus. So wäre zB die Aussage "1+1=2" jedenfalls nicht wahr, wenn es keinen Menschen im Universum gäbe.

Woher willst du das wissen? Die Antwort auf diese Frage können wir nicht wissen... Wenn das hypothetisch ist, ist dann nicht alles hypothetisch... und bleibt uns in diesem Falle noch überhaupt etwas zu sagen?

Ganz zu schweigen davon, dass Menschen sich auch verrechnen können...vielleicht ist V2 nur deshalb eine irrationale Zahl, weil wir alle uns bisher immer verrechnet haben^^

Das meinst du so nicht ernst? Computer auch?
Na gut... man kann einwenden, dass wir gar nicht wissen können, ob das, was uns allen logisch erscheint, auch logisch ist. Es könnte ja auch sein, dass unsere Logik im Endeffekt nur eine abstrahierte Empirie ist, also letztlich aus der gemeinsamen Erfahrungswelt in Verbindung mit unseren gleichen Gehirnstrukturen stammt. Das betrifft dann aber wie gesagt auch die NW.

Der Unterschied zwischen M. und NW ist daher keineswegs so fundamental wie man denkt und liegt eher darin, dass math. Aussagen per se präziser sind und man daher schnelle Systeme aufstellen kann, die subj. haltbarer ERSCHEINEN, aber nicht sein müssen (das hat ja Gödel zeigen wollen).

Gödel wollte das zeigen, was Tom schon angesprochen hat. Ich empfehle den Wiki-Artikel zu lesen: http://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del ... gkeitssatz

Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik. Er beschäftigt sich mit der Ableitbarkeit von Aussagen in formalen Systemen. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Leistungsfähigkeit[1] auf. Er weist nach, dass es in hinreichend starken Systemen, wie der Arithmetik, Aussagen geben muss, die man weder formal beweisen, noch widerlegen kann. Der Satz beweist damit die Unmöglichkeit des Hilbertprogramms, welches von David Hilbert unter anderem begründet wurde, um die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu beweisen. Der Satz wurde 1931 vom österreichischen Mathematiker Kurt Gödel veröffentlicht.[2]

Nun dachte man, dass man, auf dieser absoluten Natur der Mathematik aufbauend, vollständige, konsistente mathematische Systeme schaffen kann, die für alle Zeit in diesem Sinn (in sich selbst, aus sich selbst heraus) Absolutheitsanspruch erheben können, unabhängig von der sonstigen Welt.
Dem ist leider nicht so, wie uns Gödel zeigt.

Das wäre nur dann so, wenn Gödel's Satz unwiderruflich wahr wäre. Woraus ergibt sich, dass das der Fall sein muss?

Ich bin nach weiterem Nachdenken nicht sicher, ob man den Unvollständigkeitssatz überhaupt so auf sich selbst anwenden kann...
Die Unvollständikgeitssätze sind keineswegs für alle mathematischen Systeme gültig. Sie besagen auch nicht, dass es keine Beweise gibt, sondern nur dass nicht alles aus sich selbst heraus bewiesen werden kann.
Insbesondere gibt es auch den Gödelschen Vollständigkeitssatz: http://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del ... gkeitssatz, also vollständige mathematische Systeme.

Wie auch immer:
Wenn Gödel's Satz falsch wäre, dann wäre ja die Mathematik noch härter, dann wäre sie ja stets aus sich selbst heraus vollständig beweisbar.
Oben kritisierst du die "Härte" der Mathematik als scheinbar... Was denn nun?

Wichtig ist:
Wenn er beweisbar falsch wäre, so wäre das Hilbertprogramm durchführbar.
Da er aber nach deiner Argumentation nur vielleicht falsch sein könnte, ist das Hilbertprogramm schon nicht mehr durchführbar, denn dieses duldet kein "vielleicht", sondern fordert Zweifelsfreiheit (innerhalb der schon genannten Grenzen).


Grüße
seeker