Zufall?

[seeker]

Ich habe über den Zufall nachgedacht und bin auf folgendes gestoßen:

Die Nachkommastellen (Ziffern) irrationaler Zahlen, z.B. der Zahl Pi, ergeben hervorragende Zufallszahlen.
Es ist zwar bis heute noch nicht klar, ob diese Ziffernfolge echt zufällig ist, also ob Pi eine "Normale Zahl" ist, jedoch kann man das mit gutem Gewissen vermuten und zumindest kommt sie einer Normalen Zahl recht nahe.

Mein Problem ist nun folgendes:
Wenn ich nun aus diesen Nachkommastellen von Pi, von ganz weit hinten, irgendwo eine endliche Ziffernfoge herausnehmen würde und sie euch vorlegen würde (ohne zu verraten, woher sie stammt), hättet ihr dann eine Chance zu erkennen, dass diese Folge aus Pi stammt oder würdet ihr feststellen, dass die Ziffernfolge zufällig ist?

Nun ist doch aber genau diese Folge alles andere als zufällig: Sie entstammt aus einem ganz einfachen Zusammenhang, nämlich dem Durchmesser eines Kreises im Verhältnis zu seinem Umfang (bzw. dem Verhältnis eines Kreises zu einem Quadrat). Trotzdem erscheint sie als zufällig.
Außerdem: Wie kann denn eine klar berechenbare Zahl aus Ziffern bestehen, die zufällig sind (sich also einer Berechenbarkeit entziehen)? Das verstehe ich nicht.

Es mag in der Natur Zusammenhänge oder in der Mathematik Algorithmen geben, die nur wenig komplizierter sind und bei denen die Chance auf ein Erkennen, dass es sich nicht um Zufall handelt, praktisch Null ist.

Wie können wir dann überhaupt sicher sein, dass es Zufall oder zufällige Ereignisse gibt?
Insofern entzieht sich ja dann der Zufall prinzipiell jedes wissenschaftlichen Nachweises... und der scheinbare Zufall effektiv oft genug auch - oder gibt es doch ein praktisches Verfahren um echten von scheinbarem Zufall in jedem Fall sicher unterscheiden zu können?

(Ich schiele dabei natürlich auch auf die QM. Ja, dort kommt dann noch die Lokalität ins Spiel...)


Grüße
seeker

[tomS]

Ist es wirklich so, dass die nachkommastellen von Pi zufällig sind, dass also keinerlei Korrekationen vorliegen?

[Skeltek]

Die Zufälligkeit der Nachkommastellen rührt vom Dezimalsystem her.
Würdest du bei der Schreibweise von Pi ein irrationales Zahlensystem verwenden, wären bestimmte Zusammenhänge vermute ich mal stark deutlicher sichtbar.

[seeker]

Ist es wirklich so, dass die nachkommastellen von Pi zufällig sind, dass also keinerlei Korrekationen vorliegen?

Die Antwort ist: Man weiß es (noch) nicht!
Aber allein das ist ja schon bemerkenswert.

Auf dem Weg zum Beweis

Bailey und Crandall haben zwar noch nicht bewiesen, dass Pi normal ist. Aber sie haben eine Marschroute entworfen, die zum Ziel führen könnte, und auf diesem weiten Weg den ersten Schritt gemacht. Das Problem der Normalität von Pi gilt unter Experten als extrem schwierig. Der Mathematiker Stan Wagon vom Macalester College in St. Paul/Minnesota hält es schon für einen großen Durchbruch, dass Bailey und Crandall überhaupt etwas Neues über diese Materie sagen können.

Auch von den meisten anderen wichtigen irrationalen Konstanten der Mathematik - wie der Eulerschen Zahl, dem natürlichen Logarithmus von 2, der Quadratwurzel aus 2 oder dem Goldenen Schnitt - ist nicht bekannt, ob sie normal sind. Sollte der von Bailey und Crandall eingeschlagene Weg für Pi zum Ziel führen, ist es vermutlich auch nicht mehr allzu schwer, die Normalität dieser Zahlen zu beweisen oder zu widerlegen.

http://www.faz.net/aktuell/wissen/pi-ta ... 51333.html

Offene Frage der Normalität

Eine zurzeit besonders aktuelle mathematische Frage bezüglich \pi ist, ob sie eine normale Zahl ist, d. h. ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-ären) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie dies die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde.

In letzter Konsequenz würde dies beispielsweise bedeuten, dass die Kreiszahl alle bisher und zukünftig geschriebenen Bücher irgendwo in codierter Binär-Form enthalten muss. Siehe auch das Infinite-Monkey-Theorem.

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000, dass die Existenz der oben angegebenen Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt, dass die Normalität von \pi zur Basis 2 (wie auch die von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann. Für weitere Details dazu siehe die Webseite von Bailey.[9]

Physiker der Purdue Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von \pi auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl \pi entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl \pi tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als \pi ab.

http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl

Zum Weiterlesen:
http://matheplanet.com/default3.html?ca ... D0CFsQFjAC

http://www.spiegel.de/wissenschaft/mens ... 91,00.html

Normale Zahl

Als normale Zahl wird in der Mathematik eine reelle Zahl bezeichnet, unter deren Nachkommaziffern für jedes k \geq 1 alle möglichen k-stelligen Ziffernblöcke mit gleichen asymptotischen relativen Häufigkeiten auftreten.
...
Es ist nicht bekannt, ob irrationale Zahlen im dezimalen System wie die Kreiszahl \pi, \sqrt{2}, die Eulersche Konstante e oder der natürliche Logarithmus der Zahl 2 normal sind oder nicht.

Von den Mathematikern David H. Bailey und Richard E. Crandall wurde im Jahr 2001 die bis heute nicht bewiesene Vermutung aufgestellt, dass jede irrationale algebraische Zahl normal sein könnte.

http://de.wikipedia.org/wiki/Normale_Zahl

Ich glaube nicht, dass das Problem am Zahlensystem hängt.
Was ist ein "irrationeles Zahlensystem"? Meinst du z.B. 1Pi, 2Pi, 3Pi, ... ? Wo trägst du dann da z.B. e oder Wurzel (2) ein?

Grüße
seeker

[tomS]

Aber "normal" bedeutet doch noch nicht "zufällig" oder?

[seeker]

Das ist das Problem, an dem ich hänge.
Einerseits ja, "normal" bedeutet nicht zufällig, sondern eine Gleichverteilung "wie beim Zufall".
Andererseits bedeutet es m.E. aber auch "vom Zufall nicht unterscheidbar", wenn man nicht a priori den Algorithmus kennt.
Ich vermute, dass es bedeuten könnte, dass in vielen Fällen der Algorithmus nicht in endlicher Zeit gefunden werden kann - und ohne ihn bleibt es eben offen, ob eine Ziffernfolge "wirklich" zufällig ist oder nicht.

Grüße
seeker

[tomS]

Soweit ich weiß kennt man für Pi einen Algorithmus, der einzelne Ziffern erzeugt (ohne die vorigen erzeugen zu müssen). Ich denke, du meinst eher die Rekonstruktion des Algorithmus aus den Ziffern.

Pi ist insofern algorithmisch darstellbar, eine beliebige Zufallszahl nicht.

[seeker]

Ich denke, du meinst eher die Rekonstruktion des Algorithmus aus den Ziffern.

Genau!Insbesondere interessiert mich die Möglichkeit der Rekonstruktion, wenn man nur einen Teil aller Ziffern kennt.

Grüße
seeker

[positronium]

Wenn ich nun aus diesen Nachkommastellen von Pi, von ganz weit hinten, irgendwo eine endliche Ziffernfoge herausnehmen würde und sie euch vorlegen würde (ohne zu verraten, woher sie stammt), hättet ihr dann eine Chance zu erkennen, dass diese Folge aus Pi stammt oder würdet ihr feststellen, dass die Ziffernfolge zufällig ist?

Ich kann mir nicht vorstellen, dass man den Ursprung einer solchen Ziffernfolge feststellen könnte. Ist nämlich Pi eine unendlich lange Zahl, bei der keine Periodizität auftritt (ich glaube, davon geht man doch aus?), dann kommt in Pi jede mögliche Ziffernfolge vor. Wenn eine andere Zahl ebenso diese Eigenschaft hat, kann man nicht feststellen, aus welcher Zahl die Folge stammt, also bleibt der Ursprung verborgen. Und wenn alle möglichen Kombinationen in einer solchen Zahl stecken, kann man die gewählte Folge auch als Zufall annehmen - die Quelle ist dann irrelevant.

[seeker]

Danke, Yukterez und positronium, das ist interessant.

Worauf ich hinaus will:

Wenn ich eine einfache Zahlenfolge habe, z.B.: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,8,7,6,5,4,3,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...,8,7,6,5,4,3,2,1 dann lässt sich sehr einfach ein einfachster Algorithmus finden, der genau diese Zahlenfolge produziert.

Wenn ich aber eine Zahlenfolge habe, wie z.B.: 4,5,0,7,1,3,3,9,0,1,2,6,5,0,78,9,1,2,5,6,8,8,4,6,7,1,2,0,6,7,0,1,2,7,4,6,9,0,7,1,3,3,3,5,4,8,0,7,1,2,3,5,7,...,9,9,9,4,0,1,2,5,0,7,9,4,6,5,8,9,7,2,3,4,6 (das könnten z.B. auch Messwerte sein), dann lässt sich nicht so einfach (evtl. gar nicht) ein einfachster Algorithmus finden, der diese Zahlen irgendwo/irgendwann produziert.
Was tue ich also, wenn ich keinen einfachsten Algorithmus mit hoher Wahrscheinlichkeit zuordnen kann (es könnte ja immer noch Pi sein, aber eben vielleicht auch nicht)?
Nenne ich das dann Zufall, wenn die Verteilung der Zahlen normal ist, obwohl es vielleicht gar kein Zufall ist?

Grüße
seeker

[tomS]

Ist nämlich Pi eine unendlich lange Zahl, bei der keine Periodizität auftritt (ich glaube, davon geht man doch aus?), ...

Ja!

... dann kommt in Pi jede mögliche Ziffernfolge vor.

Nein, nicht zwingend! Betrachte die Folge 010110111011110...

[positronium]

... dann kommt in Pi jede mögliche Ziffernfolge vor.

Nein, nicht zwingend! Betrachte die Folge 010110111011110...

Ja, schon, aber das ist so etwas wie eine Reihe. Es stellt sich die Frage, ob so eine rekursive Abhängigkeit in Zahlen wie Pi auftreten kann; in einem allgemeinen Fall natürlich schon.

[positronium]

Was tue ich also, wenn ich keinen einfachsten Algorithmus mit hoher Wahrscheinlichkeit zuordnen kann (es könnte ja immer noch Pi sein, aber eben vielleicht auch nicht)?
Nenne ich das dann Zufall, wenn die Verteilung der Zahlen normal ist, obwohl es vielleicht gar kein Zufall ist?

"Zufall" würde ich nicht sagen. Vielleicht "Quasizufall". Die Folge ist dann so kompliziert, dass man sie nicht sofort (evtl. nie) zuordnen kann. Ich sehe jetzt darin eigentlich kein Problem. Es wird immer Zahlenfolgen geben, die irgendwie und irgendwo Sinn machen. Solange man den Zusammenhang nicht kennt, kann man nicht wirklich etwas dazu sagen. Ausserdem braucht man so eine Zahlenfolge nur kurz genug machen, und man kann sie in sehr vielen Kontexten einordnen.
Aber um auf den Zusammenhang mit der QM zu kommen: Ich denke nicht, dass das einzelne Messergebnis echter Zufall ist. Wäre es das, hätte die einzelne Messung nichts mit der Gesamtheit zu tun. M.M.n. muss das Einzelereignis entweder etwas über die Gesamtwahrscheinlichkeit wissen oder das Einzelereignis durch die Gesamtwahrscheinlichkeit bestimmt werden.

[tomS]

... dann kommt in Pi jede mögliche Ziffernfolge vor.

Nein, nicht zwingend! Betrachte die Folge 010110111011110...

Ja, schon, aber das ist so etwas wie eine Reihe. Es stellt sich die Frage, ob so eine rekursive Abhängigkeit in Zahlen wie Pi auftreten kann; in einem allgemeinen Fall natürlich schon.

Ich wollte ja nur sagen, dass eine unendliche, nicht-periodische Nachkommastellenfolge nicht garantiert, dass darin jede Folge auftritt.

[tomS]

Nein, nicht zwingend! Betrachte die Folge 010110111011110...

Das ist immerhin eine 15-stellige Zahl; und bei solchen hast du nur 32768 Möglichkeiten in denen nur 0 bis 1 vorkommt, aber 1e+15 insgesamte Möglichkeiten (von 0 bis 9).

Nein, das ... deutet an, dass diese Zahlenfolge unendlich ist. Es kommt immer eine 1 dazu, d.h. die Zahl ist nicht-rational, aber sicher auch nicht zufällig, und sie enthält sicher nicht beliebige Zahlenfolgen sondern nur abzählbar viele. Das ist also ein Gegebneispiel zu Positroniums Behauptung

Ist nämlich Pi eine unendlich lange Zahl, bei der keine Periodizität auftritt, dann kommt in Pi jede mögliche Ziffernfolge vor

[Skeltek]

Jetzt wirds kindisch.
Man kann einen n-dimensionalen Block Zahlen erstellen, in dem für n->unendlich genau die Diagonale deiner unendlich langen Zahl entspricht.
Genauso lässt sich eine Liste Zahlen erstellen, in der Cantors "nicht enthaltene Zahl" in der ersten Zeile steht; man muss nur warten bis er die nächste Ziffer hinschreibt bevor man seine Liste rekursiv erweitert...

ps: Entschuldigt die Zynik ^^

[tomS]

ich verstehe nicht, was und wen du meinst ;-)