Welche Ausdehnung/Oberfläche hat die Kreislinie?

[Pippen]

Na Euklid wäre die Sache einfach: Ein Punkt hätte keine Ausdehnung und daher auch keine Linie aus Punkten, d.h. auch die Linie eines Kreises (die dem Kreis quasi seine Form gibt) hätte zwar eine koordinatenfähige Existenz im Raum, aber eben ohne eigene Ausdehnung und Oberfläche der Linie selbst. Doch wie regel das die mod. Math., die ja nicht mehr auf Euklid's Axiomen basieren. Kurzum: Wenn ich die Oberfläche eines Kreises berechne, ist dann die Kreislinie mit drin enthalten? Wenn ein Graph bei durch die Koordinaten (1;1;1) geht, geht er dann nicht eigentlich auch durch (1,001;1,0001;1,0001), weil er ja eine gewisse Dicke hätte? Wie schließt die mod. Math. solche Überlegungen aus?

[rick]

http://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_A ... _Geometrie Hilbert hat die Axiome modernisiert. Obs nun noch modernere Sichtweisen gibt , weiß ich nicht.

[Pippen]

Dort wird aber mE nicht geregelt, ob und welche Ausdehnung Punkte und Linien haben.... Wenn ich die Oberfläche eines Kreises (in der Theorie) berechne, muss ich mich also fragen, ob "Pi * r2" reicht oder ob ich dazu noch die Oberfläche der Kreisumrandung dazurechnen muss...müsste ich nämlich, wenn die eine selbständige Ausdehnung (Oberfläche) hätte. Das irritiert mich irgendwie gread mal .

[Skeltek]

Eine Linie besteht nicht aus Punkten, sie enthält diese lediglich. Sie ist unendlich dünn.
Durch eine Linie wird lediglich eine unendlich große Menge an Koordinaten zwischen den Endpunkten zusammengefasst. Diese Koordinaten werden umgangssprachlich Punkte genannt.
Ein echter Punkt ist ein grob runder Klecks auf einem Blatt Papier, den man mit einem Pinsel oder ähnlichem aufträgt. Die Dicke des Punktes oder aufgemalten Linie ist von vielerlei Faktoren abhängig wie unter anderem Pinseldicke, Farbe, Saugfähigkeit des Papiers, Oberflächenspannung und Geschick des Malers.

Was in der Mathematik umgangssprachlich als Punklt bezeichnet wird, ist eine exakte Koordinate im mehrdimensionalen Raum. Man kann der Koordinate keine Dicke oder andere Punkte zuweisen, die ihren Rand bilden.

[Pippen]

Eine Linie besteht nicht aus Punkten, sie enthält diese lediglich. Sie ist unendlich dünn.
...
Was in der Mathematik umgangssprachlich als Punklt bezeichnet wird, ist eine exakte Koordinate im mehrdimensionalen Raum. Man kann der Koordinate keine Dicke oder andere Punkte zuweisen, die ihren Rand bilden.

Soviel habe ich schon von Mathematiker gelernt, um zu fragen: Kannst du das beweisen oder das entspr. Axiom benennen?

[Skeltek]

Eine Linie besteht nicht aus Punkten, sie enthält diese lediglich. Sie ist unendlich dünn.
...
Was in der Mathematik umgangssprachlich als Punklt bezeichnet wird, ist eine exakte Koordinate im mehrdimensionalen Raum. Man kann der Koordinate keine Dicke oder andere Punkte zuweisen, die ihren Rand bilden.

Soviel habe ich schon von Mathematiker gelernt, um zu fragen: Kannst du das beweisen oder das entspr. Axiom benennen?

Ja, du musst nur gucken, ob dein Randpunkt r innerhalb oder auf deinem Punkt p liegt. Wenn du guckst , dann gehört r nicht zum Rand von p.
Alle Randpunkte von p haben übrigens zufällig auch die gleichen Koordinaten wie p.

[rick]

Wenn ich die Oberfläche eines Kreises (in der Theorie) berechne, muss ich mich also fragen, ob "Pi * r2" reicht oder ob ich dazu noch die Oberfläche der Kreisumrandung dazurechnen muss...müsste ich nämlich, wenn die eine selbständige Ausdehnung (Oberfläche) hätte. Das irritiert mich irgendwie gread mal .

Das hängt davon ab, ob dein r auf den Rand von dem Kreis zeigt oder nicht... Mit den Axiomen hat das wenig zu tun. Wenn Punkte in den Axiomen eine Ausdehnung hätten, müsstest du erstmal zeigen, wie sie von der Gerade verbunden werden. Wie diese Ebene aussieht aussieht, die von den 3 Punkten beschrieben wird. Geht die Ebene beim 3ten Punkt zb. eher durch die Mitte oder durch das obere Drittel. . Ich denke das es schon möglich ist, das ganze mit einer gewissen Ausdehnung aufzuziehen nur wird dann alles sehr viel schwerer , weil die Axiome vielleicht nicht mehr so eindeutig sind. Man kann natürlich alles auf den Mittelpunkt zb. beziehen, das heißt aber, dass du den Kreis so definierst, dass dein r auf den Mittelpunkt vom Rand zeigt, was wiederum heißt das deine Geometrie gleich bleibt, wenn du alle Linien und Punkte auf unendlich klein/dünn schrumpfst und das heißt wiederum, dass alle Formeln so passen und du dir keine Gedanken machen brauchst ;D